MODELAGEM CHUVA-VAZÃO MENSAL UTILIZANDO REDES NEURAIS ARTIFICIAIS

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1 PROGRAMA DE PÓS-GRADUACAO EM ENGENHARIA DE RECURSOS HIDRICOS E AMBIENTAL MODELAGEM CHUVA-VAZÃO MENSAL UTILIZANDO REDES NEURAIS ARTIFICIAIS MESTRANDO: FERNANDO WEIGERT MACHADO ORIENTADORA: MIRIAM RITA MORO MINE CO-ORIENTADOR: ELOY KAVISKI

2 CICLO HIDROLÓGICO Precipitação Evaporação Transpiração Escoamento superficial Evaporação Evaporação Solo EVAPORAÇAO 70% Infiltração Percolação Esc. sub superficial Esc. de base Rio, Lago Oceano

3 PROBLEMA!!! Conhecido como o ciclo hidrológico acontece, o PROBLEMA é determinar, do volume precipitado, o volume escoado...ou seja: Qual é a vazão? E ainda!!!! Qual é a vazão máxima? Em que tempo ela ocorre? Avaliar este processo com certo grau de precisão é que permite gerenciar de maneira racional: Abastecimento de água Indústria Irrigação Geração de energia Estiagens Cheias

4 MODELOS Há diversos tipos de modelos. Basicamente os modelos trabalham da seguinte forma: No caso dos modelos chuva-vazão:

5 MODELOS CHUVA VAZÃO Os modelos chuva-vazão mais utilizados são: Modelos... Conceituais: Representam os principais processos do ciclo hidrológico através de algoritmos com parâmetros relacionados com as características da bacia hidrográfica. Exemplos: Sacramento, IPH II, IPHMEN. Empíricos: Determinam a relação entre chuva e vazão através de uma equação matemática cujos parâmetros não tem relação alguma com a realidade física. Exemplos: Equações lineares e não lineares multivariáveis.

6 M. CONCEITUAIS vs M. EMPÍRICOS M. CONCEITUAIS M. EMPÍRICOS 1.Calibração dos parâmetros? 2. Levantamento em campo? 3. Interpretação hidrológica? 4. Estudos de ocupação? 5. Custos?

7 QUESTÃO? Os modelos empíricos são equações matemáticas. Na maioria das vezes estas equações são produtos de regressões lineares multivariáveis. Sendo o processo de transformação de chuva-vazão um processo não-linear nem sempre a aplicação de um modelo empírico é boa ou justificável.

8 ALTERNATIVA!!! Uma ALTERNATIVA aos modelos chuva-vazão existentes é a utilização de Redes Neurais Artificais. As Redes Neurais Artificiais são modelos empíricos. Em Recursos Hídricos as Redes Neurais Artificiais é uma tecnologia recente que vêm sendo pesquisada e utilizada para várias situações apresentado bons resultados. Previsão de vazões afluentes. JAIN et al. (1999). Otimização de reservatórios. NEELAKANTAN e PUNDARIKANTHAN. (2000). Ajuste de curvas de descarga. MACHADO et al. (2005).

9 OBJETIVOS Objetivo geral: Modelar o processo chuva-vazão MENSAL utilizando uma rede neural e comparar os resultados com um modelo conceitual. O que acontece? O resultado ou desempenho de uma rede neural é influenciada por elementos como: i) arquitetura da rede, ii) número de epochs, iii) inicialização dos pesos, iv) a extensão das séries de dados. Logo... Objetivos específicos: Desenvolver um algoritmo computacional capaz de criar redes neurais e durante o treinamento considerar a influência destes elementos.

10 POR QUE MENSAL? Os modelos chuva-vazão são utilizados para representar o ciclo hidrológico em diversas escalas. Horário Diário Semanal Mensal Diversos estudos quanto a aplicação das redes neurais na modelagem chuva-vazão vem sendo realizados. Em geral estes estudos comparam os resultados obtidos pelas redes neurais com outros modelos empíricos e modelos conceituais. ELSHORBAGY et. al (2000) afirmam que entre os modelos empíricos, as redes neurais apresentam o melhor desempenho. TOKAR et al. (2000) comparam os resultados das redes neurais com modelos conceituais de mais CURTO prazo. As redes foram melhores

11 RESPOSTAS Observa-se que em estudos anteriores as redes neurais quando aplicadas na modelagem de curto prazo em geral apresentam bons resultados. São relativamente poucos os trabalhos com investigação quanto a possibilidade de se utilizar redes neurais na modelagem de mais longo prazo. Além disso... MOTIVACAO ESPECIAL A relação chuva-vazão mensal é provavelmente a mais difícil por ter de considerar processos do ciclo hidrológico tanto de curto como de longo prazo. LUNGU (apud ANMALA et al., 2000).

12 INTRODUÇÃO Redes neurais são ferramentas matemáticas criadas a partir de observações do funcionamento do cérebro humano. Breve histórico Início do Século XX: Freud e William James 1943 Warren McCullough e Walter Pitts 1949 Hebb Década de 50 - Rosenblatt 1974 Paul Werbos Rummelhart Entrada 1 Entrada 2 PESO 1 PESO 2 b

13 MLP, COMO FUNCIONAM? ϕ() w(n) 11 w(n) 12 b 1 w(n) 11 x 1 w(n) 21 w(n) 22 ϕ() w(n) 12 w(n) 31 b 2 w(n) 13 ϕ() y k x 2 w(n) 32 w(n) 41 ϕ() w(n) 14 b 1 w(n) 42 b 3 ϕ() b 4 x 1 x 2 x + 1w + x w b ϕ() y 1w11 + y2w12 + y3w13 + y4w14 + b1 y 1 ϕ() yk b 1 b 1

14 ANÁLISE MATEMÁTICA Matematicamente uma rede neural artificial do tipo MLP define uma função matemática cuja forma genérica é: y k ϕ q ϕ = w kj p j= 1 i= 1 w ji x i + b j + b k Onde: q número de neurônios na camada na camada intermediária. p número de neurônios na camada na camada de entrada.

15 NOVO CENÁRIO A cada combinação os valores de p e q têm-se uma nova equação,uma nova forma funcional. Fisicamente p e q define a arquitetura da rede. O que isto significa? RETA EXPONENCIAL LOG Ou ainda... y = ax 2 y = ax + bx + c 3 + bx 2 + cx + d y + n n-1 = a1x + a2x... + an-1x an Redes neurais

16 1º QUESTÃO? Qual função melhor se ajusta aos dados observados? A determinação da função que melhor se ajuste aos dados observados em grande parte depende do problema proposto. Em situações em que não se conhece a natureza do problema a melhor função é determinada por tentativa e erro. Conseqüência... Quando se tratar de redes neurais artificiais deve-se determinar os valores ótimos para p e q, ou seja, deve-se avaliar a arquitetura da rede, número de entradas e número de neurônios na camada intermediária.

17 COMO É AJUSTADO UMA EQUAÇÃO? 1) y = ax + b 2) y = logb 3 ) y = x a ax Variável Coeficientes Otimização O processo de otimização é um processo interativo utilizado na determinação dos coeficientes de uma função a qual se pretende aproximar aos dados observados

18 O PROCESSO DE OTIMIZAÇÃO 1º Determina-se o valores iniciais para os coeficientes. 2º Calcula-se a soma dos erros ao quadrado. Como assim? e 1 e 2 en 1 e n e = ε ( d = y ) 2 e

19 O 3ª 3 PASSO 3º Para a função erro calcula-se o seu ponto de mínimo. Ponto de mínimo! 2 3 y y' Mas nossa função é da forma = x 2 5x + 6 = 2x 5 2 x 5 = 0 y '' = 2 y > 0 x = 2, 5 Mínimo ε= (d y 1) + (d2 y 2) (dn- 1 yn 1) + (dn yn)

20 NESTAS CIRCUSTÂNCIAS......não se tem um problema no plano Mas sim... ε a Mínimo Local Mínimo Global b

21 LEMBREMOS AINDA QUE... No caso das redes neurais... ε= (d y 1) + (d2 y 2) (dn- 1 yn 1) + (dn yn) y = ax + b... Mas... y k ϕ q ϕ = w kj p j= 1 i= 1 w ji x i + b j + b k

22 2ª QUESTÃO As redes neurais artificiais definem superfícies além da 3º dimensão. Superfícies muito irregulares com vários mínimos locais HSU (1995). Nestas circunstâncias há o risco de a solução do problema convergir para um mínimo local. Como isto ocorre? Se os primeiros coeficientes da rede neural forem escolhidos tal que, eles definam um ponto na superfície de erro próximo ao mínimo local, fatalmente o processo de otimização conduzirá a solução para este mínimo local. Conseqüência... Durante o processo de treinamento das redes neurais deve-se considerar a hipótese de inicializar o treinamento da rede um certo número de vezes, cada inicialização com coeficientes iniciais diferentes.

23 ALGORITMOS DE OTIMIZAÇÃO Para equações mais extensas, como a função erro definida pelas redes neurais, onde derivar torna-se um processo oneroso, são utilizados algoritmos de otimização. Métodos já conhecidos Método do maior gradiente Backpropagation Gradiente descendente W * n+ 1 = Wn n λ ε w k Método de Newton-Raphson w = η ε Levenberg-Maquardt W = W n + 1 n ( H ε 1 w ) ε k w k w = [J T 1 (n)j(n) +µ I] J T (n)e(n)

24 SIMULACÃO DA OTIMIZAÇÃO Problema Prático Função Erro

25 PARADOXO O mínimo local também não é uma garantia de que o problema de otimização está resolvido. Por que? Porque alcançar um erro muito pequeno pode significar que a função definida pela rede neural se aproxime demais dos pontos observados e não generalize o processo. 3ª QUESTÃO Isto... também pode ser controlado determinando um número de interações ou número de epochs limite ao algoritmo de otimização. Consequência Durante o treinamento também deve-se avaliar a hipótise de variar o número de epochs.

26 RESUMO Influenciam nos resultados obtidos através de redes neurais: 1) Arquitetura da rede Número de entradas Número de neurônios na camada intermediária 2) Os coeficientes iniciais Inicialização 3) Número de epochs 4) A extensão das séries. Citado por ANMALA et al (2000), TOKAR et al. (1999) e LIMA E FERREIRA (2003)

27 IPHMEN O IPHMEN é um modelo chuva-vazão mensal conceitual desenvolvido pelo Instituto de Pesquisas Hidráulicas da Universidade Federal do Rio Grande do Sul (TUCCI, 1998). O IPHMEN é dividido em três algoritmos básicos i) distribuição de volumes. ii) escoamento superficial e subterrâneo iii) otimização dos parâmetros. Os parâmetros do modelo IPHMEN são: a, b e c parâmetros relacionados com a equação de Horton. α - parâmetro correlacionado com a evapotranspiração real Ks coeficiente de propagação superficial. Kb tempo de variação do reservatório subterrâneo. Cr fator de escoamento superficial.

28 BACIA HIDROGRÁFICA O estudo de caso foi desenvolvido na bacia do rio Jangada. Dados: Área: 1055 Km² 7 Postos pluviométricos 1 Posto fluviométrico

29 DADOS Os dados utilizados foram escolhidos em função das entradas do modelo IPHMEN, no caso: i) precipitação média, ii) evatranspiração potencial e iii) vazão média mensal. Todos os dados passaram por um estudo de consistência. Fez-se inspeções visuais, eliminação dos dados duplicados e preenchimento de falhas No caso particular da precipitação média fez-se ainda um estudo global através da curva dupla-acumulativa. No calculo da precipitação média foram selecionados 6 postos dos 7 postos existenstes. Os dados iniciam em março/76 e terminam em julho/94. São 221 meses, 1326 dados e somente 28 falhas. A evapotranspiração potencial foi calculada através do método de Penman com dados do posto Teixeiras Soares ( ) localizado numa bacia próxima com as mesmas característcas da bacia hidrográfica do rio Jangada.

30 FLASHBACK Já foi visto que entre os elementos que influenciam as redes neurais a ARQUITETURA é um elemento preponderante. Neste intuito foram criadas algumas redes neurais variando o número de entradas e neurônios na camada intermediária. Há seis tipos de entradas as quais chamamos aqui de modelos. Para cada entrada/modelo foram criadas redes neurais com 3, 5, 8 e 10 neurônios na camada intermediária. A combinação de modelos e neurônios na camada intermediária resulta em 24 redes. Semelhante a LIMA e FERREIRA FILHO (2003).

31 TREINAMENTO O treinamento de uma rede neural consiste em a partir de conjunto de entradas e saídas conhecidas, apresentar as entradas à rede, calcular uma saída e comparar a saída calculada com a saída conhecida. Os parâmetros da rede pesos e vieses são corrigidos à partir do erro através de um algoritmo de otimização. O algoritmo de otimização escolhido foi o LEVENBERG- MAQUARDT. Cada uma das redes foram treinadas 30, 60 e 90 epochs e inicializadas 6 vezes. Além disso considerou-se a extensão das séries de dados. Foram utilizados conjuntos de dados com 60, 120 e 180 dados.

32 MÉTODO DE TREINAMENTO ENTRADAS PROCESSOS SAÍDAS TREINAMENTO ENTRADA ENTRADA REDES NEURAIS (24) ENTRADA INICIALIZACAO (6) EPOCHS (30/60/90) PESOS E VIESES AJUSTADOS SIMULACAO RESPOSTAS 1296

33 APLICAÇÃO DO IPHMEN O modelo IPHMEN foi calibrado três vezes por tentativa e erro. Para cada tentativa foi utilizado um conjunto de dados diferente. Primeiro 60 depois 120 e por último 180 dados. Os mesmos dados utilizados para treinar as redes neurais. Esta metodologia foi adotada propositalmente para poder comparar os resultados das redes neurais com os resultados do modelo IPHMEN. Os valores dos parâmetros calibrados para o modelo IPHMEN para cada entrada foram os seguintes.

34 REDES NEURAIS O produto final do processo de treinamento das redes neurais foram obtidos 1296 resultados. Foram determinados 6 modelos Cada qual com 3, 5, 8 e 10 neurônios na camada intermediária 6 modelos, 24 redes...24 resultados Mas cada rede foi treinada com três conjunto de entradas. 6 modelos, 24 redes...72 resultados Além disso foram treinadas com 30, 60 e 90 epochs 6 modelos, 24 redes resultados Em 6 inicializações 1296 resultados Entre estes foram selecionados os 108 melhores.

35 COMO? Exemplo: Inicialização A.

36 ANÁLISE ESPECÍFICAS A partir dos resultados obtidos foram feitas 5 análises específicas. a. Avaliou-se a influência em inicializar uma mesma rede várias vezes. b. Determinou-se qual o número de epochs os modelos treinados obtiveram os melhores resultados c. Verificou-se se havia alguma relação entre o número de epochs e a extensão das séries d. Avaliou-se a relação entre o número de parâmetros da rede e o número de epochs. e. Determinou-se a relação entre o número de entradas e a extensão das séries utilizadas.

37 INICIALIZACAO ANÁLISES ESPECÍFICAS a.inicialização Foram feitas duas análises 1ª Entre as 24 redes neurais foram selecionadas 10 redes treinadas para as 6 inicializações sobre as mesmas condições. b. Epochs c. Epochs vs. Extensão d. Parâmetros e. Extensão A análise dos resultados mostra que a inicialização influenciou nos resultados, no entanto isto ocorreu de maneira discreta.

38 INICIALIZACAO PARTE 2 ANÁLISES ESPECÍFICAS 2ª Para cada inicialização e conjunto de entrada foi selecionado o melhor modelo. a.inicialização b. Epochs c. Epochs vs. Extensão d. Parâmetros e. Extensão Novamente a influência da inicialização existe, mas é baixa. Independente da inicialização A, B, C... ou F as redes que melhor representaram a relação entre chuva e vazão quando treinada com a entrada 1 foram aquelas com entradas conforme o modelo 2, entrada 2 modelos 4 e 5 e entrada 3 modelo 4.

39 EPOCHS ANÁLISES ESPECÍFICAS Para avaliar o número de epochs predominante fez-se um análise de frequência simples entre os 108 modelos pré-selecionados. a.inicialização b. Epochs c. Epochs vs. Extensão d. Parâmetros e. Extensão

40 EPOCHS vs EXTENSÃO DAS SÉRIES ANÁLISES ESPECÍFICAS Neste caso fez-se uma análise de frequência do número de epochs para cada conjunto de entrada. a.inicialização b. Epochs c. Epochs vs. Extensão d. Parâmetros e. Extensão

41 EPOCHS vs NÚMERO DE PARÂMETROS ANÁLISES ESPECÍFICAS Os parâmetros das redes estão presentes em todas as conexões, pesos, e em todas os neurônios das camadas intermediárias e de saída, viéses. a.inicialização b. Epochs c. Epochs vs. Extensão d. Parâmetros e. Extensão Neste caso o aumento do número de parâmetros não significou um aumento do número de epochs.

42 NÚMERO DE ENTRADAS vs EXTENSÃO ANÁLISES ESPECÍFICAS a.inicialização b. Epochs MOD 2 3 entradas MOD 4 5 entradas MOD 5 6 entradas c. Epochs vs. Extensão d. Parâmetros e. Extensão Os modelos com maior número de entradas só alcançaram bons resultados quando o número de dados utilizados foi aumentado.

43 REDES NEURAIS Qual foi a regra...?

44 ENTRADA 1 MODELO 2 INI. B 80 m³/s 180 m³/s

45 ENTRADA 2 MODELO 4 INI. F

46 ENTRADA 3 MODELO 4 INI. B

47 ENTRADA 1

48 ENTRADA 2

49 ENTRADA 3

50 COMPARACÃO DOS RESULTADOS A comparação de resultados foi realizada em termos estatísticos, análise gráfica e estudo dos hidrogramas. Estatística... Treinamento e calibração: Validação:

51 ENTRADA 1

52 ENTRADA 2

53 ENTRADA 3

54 CONCLUSÕES O objetivo geral desta pesquisa foi modelar o processo de transformação de chuva em vazão numa escala mensal através da utilização das redes neurais artificiais. Os resultados foram satisfatórios. Em relação ao IPHMEN os coeficientes de correlação foram maiores e os erros menores. Além disso os modelos apresentaram comportamentos semelhantes: Para a entrada 1, os coeficientes de correlação foram maiores na validação. Ambos os modelos não se comportaram bem para as vazões altas. Semelhança num trecho do hidrograma.

55 CONCLUSÕES Além dos bons resultados as redes neurais apresentaram uma vantagem de ordem prática. Para obter os resultados das redes neurais foram necessários 5 min contra cerca de 7 horas para o IPHMEN. O bom resultado alcançado pelas redes neurais esta associada a metodologia adotada. Arquitetura da rede Epochs Inicialização. Extensão das séries de dados

56 CONCLUSÕES Foi observado que... É importante inicializar os pesos e vieses das redes neurais. O número de entradas está correlacionado a extensão das séries de dados. Quanto maior o número de entradas maior deve ser o número de dados no treinamento. Verificou-se que o número de epochs deve ser baixo e não esta correlacionado com o número de parâmetros nem com a extensão das séries de dados. O número de epochs baixo foi uma hipótese associada ao algoritmo de otimização Levenberg Marquard ser de convergência rápida. Isto foi comprovado aqui. Os melhores resultados foram alcançados pelas redes neurais treinadas somente 30 epochs com cerca de 15 a 57 parâmetros.

57 RECOMENDAÇÕES Os bons resultados obtidos nesta pesquisa estimulam a investigação da aplicação de redes neurais em recursos hídricos. No entanto, este é um assunto extenso. Para trabalhos futuros recomenda-se a aplicação da metodologia proposta na modelagem de eventos horários, diários, semanais e anuais, a investigação de outros algoritmos de otimização para redes neurais, redes de base radial e temporais e a investigação da influência da normalização dos dados de entrada.

58 AGRADECIMENTOS À todos os presentes. À minha família Aos professores do PPGRHA Ao CNPq À UFPR Ao CEHPAR Aos amigos e colegas