DINÂMICA DO MODELO FERMIÔNICO AUTO-INTERAGENTE SOB A INTERAÇÃO DE UM CAMPO MAGNÉTICO

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1 31 DINÂMICA DO MODELO FERMIÔNICO AUTO-INTERAGENTE SOB A INTERAÇÃO DE UM CAMPO MAGNÉTICO CARLONI, R. S. 1 ; AGUIAR PINTO, A. C. 2 RESUMO. A dinâmica do modelo fermiônico de um único sítio auto-interagente na presença de um campo magnético pode ser obtida de forma exata e algébrica. Diversos sais orgânicos possuem a parte eletrônica descrita por modelos fermiônicos com pouquíssimos graus de liberdade. Nesse trabalho, escrevemos a representação matricial da hamiltoniana do modelo fermiônico, além de calcular seus autovalores (energia) e seus autovetores (autoestados instantâneos) para dois casos de representação de um campo magnético externo: (i) o campo magnético é constante em módulo e direção e (ii) o campo depende harmonicamente no tempo e tem direção fixa no espaço. PALAVRAS-CHAVE: Férmions, Autovalores e Autovetores, Mecânica Quântica. DYNAMICS OF SELF-INTERACTING FERMIONIC MODEL UNDER THE INTERACTION OF A MAGNETIC FIELD ABSTRACT: The dynamic model of a single fermionic self-interacting site in the presence of a magnetic field can be obtained accurately and algebraic. Several organic salts have the electronics described by fermionic models with very few degrees of freedom. In this paper, we write the matrix representation of the Hamiltonian of the fermionic model, and calculate its eigenvalues (energy) and its eigenvectors (eigenstates) for two cases of representation of an external magnetic field: (i) the magnetic field is constant modulus and direction and (ii) the field harmonically depends on time and has fixed direction in space. KEYWORDS: Fermions, Eigenvalues and Eigenvectors, Quantum Mechanics. INTRODUÇÃO É sempre possível calcular a dinâmica exata de sistemas fermiônicos com poucos graus de liberdade sob qualquer condição inicial, pois os férmions, tais como o elétron, obedecem ao princípio de exclusão de Pauli, tornando finita a dimensão de sua base. Na literatura é possível encontrar a aplicabilidade dos modelos fermiônicos. O modelo fermiônico com dois ou três sítios espaciais tem sido usado para descrever as 1 Aluno do Curso de Engenharia Física, Bolsista de IC da UEMS. renan_winan@hotmail.com 2 Professor Adjunto da UEMS na área de Física. acap@uems.br. 1,2 Curso de Engenharia Física Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul - Rodovia Itahum-Dourados, km 12, Caixa Postal: 351 Cidade Universitária de Dourados - CEP Dourados MS.

2 32 propriedades eletrônicas e/ou óticas de certos sais orgânicos que possuem transferência de carga elétrica, por exemplo, veja as referências (RICE, 1979; RICE; YARTSEV; JACOBSEN, 1980; LIEBSCH; ISHIDA; MERINO, 2009; MERINO et al., 2008). Em modelos fermiônicos com férmions auto-interagentes dotados com graus de liberdade de spin e com interação entre os sítios espaciais, a vida média de um elétron em um sítio é inversamente proporcional ao módulo da constante de transferência, caracterizada pela constante t, veja a referência (COSTA JUNIOR; THOMAZ, 1997). Quando essa constante t que caracteriza o deslocamento do elétron para o sítio vizinho, ou seja, a transferência de carga, é muito pequena, em primeira ordem, podemos aproximar esse modelo por dois ou três modelos fermiônicos de um sítio espacial com férmions auto-interagentes independentes. Esta aproximação justifica o interesse de estudar o modelo fermiônico com apenas um sítio espacial, levando em conta a autointeracão dos férmions, representada pela interação coulombiana. Este é o modelo mais simples na Mecânica quântica em que ocorre a auto-interação dos férmions. O sistema fermiônico de um sítio auto-interagente (GIRARDEAU, 1980) na presença de um campo magnético externo dependente do tempo hamiltoniana: descrito pela (1) onde e são os operadores de criação e destruição de spin, respectivamente, que satisfazem as relações de anticomutação, e (2) e,, representa o operador número de férmions com componente de spin. A hamiltoniana (1) tem somente graus de liberdade fermiônicos internos e U(>0) pode ser pensado como representando a interação repulsiva entre os férmions no mesmo sítio espacial. Na hamiltoniana (1) utilizamos o acoplamento Zeeman para levar em conta a interação entre o sistema e o campo magnético externo. Temos que, onde g é o fator de Landé, é o magnéton de Bohr e B(t) representa o campo magnético externo. Adotamos que a direção do vetor campo magnético é paralela ao eixo z.

3 33 METODOLOGIA Para obter a dinâmica exata desse modelo fermiônico auto-interagente sob a interação de um campo magnético externo, inicialmente, escrevemos a representação matricial da hamiltoniana (1) na base completa do operador número total de férmions N, onde (3) Seja { }, com i = 0, 1, 2 e 3, uma base completa dos autoestados desse operador número total de férmions, (4) onde representa o estado sem a partícula fermiônica com spin,, e. Nessa base, escrevemos a representação matricial da hamiltoniana e calculamos as energias desse sistema e seus respectivos autoestados, com i = 1,..., 4. Ao obter os autoestados instantâneos da hamiltoniana (1), podemos escrever a representação de um vetor de estado físico (BERRY, 1984; DITTRICH; REUTER, 1994): na base completa desses autoestados onde é um autoestado da hamiltoniana (1) com energia. Os coeficientes representam a amplitude de probabilidade de, ao realizar uma medida de energia, (5) encontrar o sistema com energia e são determinados pela condição de que o vetor de estado que descreve esse sistema quântico satisfaz a equação de Schrodinger: (6) Ao substituir a equação (5) na equação (6), após alguma álgebra, podemos encontrar as equações diferencias acopladas ou não para cada coeficiente, j = 1,..., 4. É fácil demonstrar que a hamiltoniana (1) comuta com o operador número total de férmions N. Portanto, a dinâmica dos sistemas não mistura estados pertencentes a diferentes sub-espaços de Fock (espaços vetoriais com número bem definido de partículas). Por conseguinte, podemos calcular, independentemente, a dependência no

4 34 tempo dos coeficientes dos vetores de estados sub-espaços de Fock. da eq.(5) pertencentes a diferentes RESULTADOS E DISCUSSÕES Revisão sobre o procedimento matemático na Mecânica Quântica Na Mecânica Quântica, o estado de um sistema pode ser representado por uma função de onda complexa da posição ou momento das partículas que constitui esse sistema. Existe também outra representação criada por Paul Adrien Maurice Dirac, onde formula-se a Mecânica Quântica em termos de um espaço vetorial complexo, em geral de dimensões infinita, esta é comumente chamada de notação de Dirac. Vetor Ket e vetor Bra Um vetor do espaço dos estados é descrito por um, denominado vetor ket. Um elemento do espaço dual desse espaço é denotado por e denominado vetor bra. O produto escalar dos estados e é chamado bracket e denotado por: (7) A correspondência é antilinear entre kets e bras denominada de conjugação hermitiana (COHEN-TANNOUDJI; DIU; LALOË, 1977). Considerando um ket formado pela combinação linear dos e, a correspondência desse ket com o seu bra é: (8) onde é o complexo conjugado de. Algumas propriedades do produto escalar desses vetores estão listadas abaixo: (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15)

5 35 Um vetor físico é um vetor ket que contém toda a informação do estado quântico. Esse vetor físico pode ser representado através de uma base vetorial formado por vetores escolhidos convenientemente que, em geral, são ortonormais entre si. A escolha da base depende do problema em questão. Pode-se utilizar, por exemplo, a base dos autoestados de energia, de momentum angular, etc (COHEN-TANNOUDJI; DIU; LALOË, 1977). Considerando a base { condição de ortonormalização é, } formada por vetores discretos e ortonormais, onde a (16) Onde é a delta de Kronecker, que se comporta de tal maneira, (17) Assim é possível escrever o ket qualquer pertencente ao espaço como uma expansão em { }. (18) Onde é a projeção de na base { }, ou seja, (19) A representação matricial do ket vetor é formada pelo conjunto de números onde cada linha da matriz coluna representa a projeção do ket em um dos vetores dessa base, (20) Considerando a mesma base discreta { }, podemos escrever um bra vetor : (21) onde é é o complexo conjugado de, este que é a projeção do na base, assim (22) Da mesma maneira que o ket, podemos representar o bra na forma matricial, ele é descrito por uma matriz linha:

6 36 (23) Operadores Hermitianos O formalismo de Dirac faz uso de operadores matemáticos. Estes são extremamente importantes para o formalismo, pois estabelecem uma relação funcional entre dois espaços vetoriais, sendo essa relação funcional chamada de transformação linear. Consideremos um operador linear de modo que o resultado de sua operação em um ket genérico é (24) O ket é formado pelo conjunto de suas componentes em casa base de acordo com a (18), o operador atua igualmente em casa uma das bases. Para isso ser garantido o operador deve ser linear e a condição de linearidade é: (25) O mesmo deve acontece para o bra vetor, pois se para todo ket temos um correspondente. Então, atuando um operador em um bra, tem-se (26) O é denominado operador adjunto do operador. A correspondência entre um ket e um bra e entre um operador e o seu adjunto é nomeada conjugação hermitiana, sendo expressa por, (27) Esses operadores apresentam algumas relações, sendo elas: (28) (29) (30) (31) O operador vetorial discreta { pode ser representado na forma matricial. Considerando uma base } podemos escrever o elemento:

7 37 (32) Assim, temos a representação matricial do operador : O índice i corresponde a linha e o j corresponde a coluna. assim O operador hermitiano é definido quando o operador (33) é igual a seu adjunto, Admitindo que seja um operador hermitiano e utilizando a (32), temos que, assim temos que a diagonal principal, quando i = j, é formada apenas por números reais. (34) Consideremos um vetor que seja ortonormalizado, definido um operador: (35) onde é chamado de operador projetor. Aplicando o projetor num ket vetor qualquer obtemos, (36) Notemos que o termo é a projeção na base de, se for considerado um subespaço formado pelos vetores,,... ortonormalizado, o projetor torna-se: (37) O projetor é um exemplo de operador hermitiano, a (37) é denominada relação de completeza, ela atua num ket gerando o próprio ket. Autovalor e Autoestado de Operadores Hermitianos Um ket é autoestado de um operador qualquer quando o resultado da operação de no ket é um número que pode ser complexo, e o próprio ket, ou seja, (38)

8 38 O número é o autovalor do operador. Atuando o operador no, ortonormalizado, e fazendo o produto escalar com o bra Logo: podemos escrever, (39) (40) Isso implica que é um número real, assim o autovalor de um operador hermitiano é sempre um número real. Isso indica que é possível medi-lo. Essa propriedade faz com que o operador hermitiano seja utilizado no estudo de sistemas quânticos caracterizado-o como um observável. Para sabermos os autovalores de um operador, é necessário conhecer a estrutura do operador. Vamos considerar uma base discreta { }, a projeção do ket nessa base, fazendo uso da eq. (38), é dada por (41) Aplicando a relação de completeza (37) na (41) obtemos, (42) com e, assim manipulando a expressão temos, (43) Substituindo as (42), (43) na (41), temos (44) O sistema descrito pela (44) possuirá solução não trivial, isto é, (COHEN-TANNOUDJI; DIU; LALOË, 1977), (45) quando com A sendo uma matriz quadrada com elementos, é o autovalor do operador e I é a matriz identidade. Essa equação é denominada equação característica e fornece uma equação de ordem igual a N e suas raízes são os autovalores do operador. O vetor de estado do modelo fermiônico

9 39 Nessa seção, escreveremos o vetor de estado (5) para o modelo representado pela hamiltoniana (1) nos dois casos de configuração do campo magnético externo. Para encontrarmos os autovalores (energias), aplicamos a Hamiltoniana (1) (1) Na base finita de estado de número de partículas bem definido:,, e, e usando as propriedades dos operadores de criação e de destruição, obtemos que Vendo o resultado acima, observamos que, independente da forma do campo magnético, os autoestados do operador número, também são autoestados da hamiltoniana (1). Dessa forma, as energias (os autovalores) da hamiltoniana são: Os respectivos autoestados são Tendo obtido os autoestados e autovalores da hamiltoniana, podemos escrever o vetor de estado (5) que carrega toda a informação do sistema fermiônico (BERRY, 1984; DITTRICH; REUTER, 1994). Para o caso em que o campo magnético é constante,, temos que o vetor de estado :

10 40 (46) Para o caso em que o campo depende harmonicamente no tempo e tem direção fixa no espaço na forma, onde e são constantes, temos (47) Obtenção dos coeficientes do vetor de estado do modelo (46): Utilizando a equação de Schrodinger (6), temos ao substituir o vetor de estado (48) Após alguma álgebra: Aplicando os BRA ; ; e podemos encontrar as equações diferenciais para cada coeficiente, j = 0,..., 3. Portanto, a amplitude de probabilidade de um sistema permanecerá sempre constante. Logo, não há evolução temporal dos coeficientes.

11 41 No caso do vetor de estado com campo magnético dependente harmonicamente no tempo (47) aplicando na equação de Schrodinger e após um pouco de álgebra temos: (49) diferenciais: Aplicando os BRA ; ; e encontramos as equações constante. Vemos que, como no caso anterior, a probabilidade também permanece AGRADECIMENTOS. Os autores agradecem a UEMS pelo suporte técnico. CARLONI agradece a Universidade Estadual do Mato Grosso do Sul (UEMS) e a Fundação de Apoio ao Desenvolvimento do Ensino, Ciência e Tecnologia do Estado de Mato Grosso do Sul (FUNDECT) pela bolsa concedida, através do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação Científica (PIBIC). REFERÊNCIAS BERRY, M. V. Quantal Phase Factors Accompanying Adiabatic Changes. Proceedings Of Royal Society A, v. 392, n. 1802, p , COHEN-TANNOUDJI, C.; DIU, B.; LALOË, F. Quantum Mechanics. New York- EUA: Ed. John Wiley & Sons, v. I. 914p. COSTA JÚNIOR, A. T.; THOMAZ, M. T. Dynamics of the Electronic States of Organic Charge-Transfer Salts in in-phase Mode. Modern Physics Letters B, v. 11, n. 20, p , DITTRICH, W.; REUTER, M. Classical and Quantum Dynamics- from Classical Paths to Path Integrals. Second Corrected and Enlarged Edition. Berlin: Ed. Springer- Verlag, p.

12 42 GIRARDEAU, M. D. Fock - Tani representation for composite particles in a soluble model. Journal of Mathematical Physics, v. 21, n. 9, p , LIEBSCH, A.; ISHIDA, H.; MERINO, J. Mott transition in two-dimensional frustrated compounds. Physical Review B, v. 79, n. 19, p , MERINO, J. et al. Quasiparticles at the Verge of Localization near the Mott Metal- Insulator Transition in a Two-Dimensional Material. Physical Review Letters, v. 100, n. 8, p , RICE, M. J. Towards the experimental determination of the fundamental microscopic parameters of organic ion-radical compounds. Solid State Communications, v. 31, n. 2, p , ; YARTSEV, V. M.; JACOBSEN, C. S. Investigation of the nature of the unpaired electron states in the organic semiconductor N-methyl- N-ethylmorpholiniumtetracyanoquinodimethane. Physical Review B Condensed Matter, v. 21, n. 8, p , 1980.