WEBSTHER DA SILVA UMA GENERALIZAÇÃO PARA O PROBLEMA DO AMIGO SECRETO

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1 UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL - UAB UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE - UFRN SECRETARIA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA - SEDIS CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO MÉDIO WEBSTHER DA SILVA UMA GENERALIZAÇÃO PARA O PROBLEMA DO AMIGO SECRETO LUÍS GOMES/RN JULHO 2016

2 WEBSTHER DA SILVA UMA GENERALIZAÇÃO PARA O PRBLEMA DO AMIGO SECRETO Trabalho de conclusão apresentado ao curso de Especialização em Ensino de Matemática para o Ensino Médio da Secretaria de Educação à Distância SEDIS como requisito para a obtenção do título de Especialista em Matemática pela Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN. Orientador: Prof. Dr. Iesus Carvalho Diniz LUÍS GOMES/RN JULHO 2016

3 Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / SISBI / Biblioteca Setorial Centro de Ciências Exatas e da Terra CCET. Silva, Websther da. Uma generalização do problema do amigo secreto / Websther da Silva. Luís Gomes, RN, f. : il. Orientador: Prof. Dr. Iesus Carvalho Diniz. Monografia (Especialização) Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Secretaria de Educação à Distância. Coordenação do Curso de Especialização em Ensino de Matemática para o Ensino Médio. 1. Princípio da inclusão e exclusão. 2. Permutação caótica. 3. Relação de Stifel. 4. Indução matemática. 5. Permutações caóticas generalizadas. I. Diniz, Iesus Carvalho. II. Título. RN/UF/BSE-CCET CDU:

4 TERMO DE APROVAÇÃO UMA GENERALIZAÇÃO PARA O PROBLEMA DO AMIGO SECRETO por WEBSTHER DA SILVA Este Trabalho de Conclusão de Curso TCC foi apresentado em 16 de julho de 2016 como requisito parcial para a obtenção do título de Especialista no Curso de Especialização em Ensino de Matemática para o Ensino Médio da Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN. O candidato foi arguido pela Banca Examinadora composta pelos professores abaixo assinados. Após deliberação, a Banca Examinadora considerou o trabalho aprovado. Prof. Dr. Iesus Carvalho Diniz CCET - UFRN Orientador Prof. Esp. Danielle de Oliveira N. Vicente CCET - UFRN Examinadora Prof. Msc. Odilon Júlio dos Santos CCET - UFRN Examinador

5 DEDICATÓRIA Dedico este trabalho primeiramente a Deus, por ser essencial em minha vida, autor do meu destino, meu guia, socorro presente na hora de angustia, ao meu pai José, minha mãe Maria, meus irmãos Wilhiam, Wittalo e Cosmo a minha esposa Helena e minha adorada Ana Luíza, colegas de curso e ao orientador Iesus.

6 AGRADECIMENTOS Agradecimento a Deus por ter permitido que tudo isso acontecesse. A minha família em geral pais (José e Maria), irmão (Wilhiam, Wittalo e Cosmo), a minha esposa Helena, ao meu anjinho Ana Luíza, ao sobrinho Nícolas, e todos que contribuíram direto e indiretamente nesse momento. Ao meu orientador Iesus, pelo empenho dedicado a elaboração deste trabalho.

7 RESUMO Neste trabalho apresentamos Uma Generalização para o Problema do Amigo Secreto. O resultado obtido permite-se generalizar o resultado clássico e já conhecido do número de permutações caóticas de um dado conjunto bem como estabelecer a definição do fatorial de um número natural a partir das permutações caóticas de um dado conjunto. Palavras chaves: Princípio da Inclusão e Exclusão, Permutação Caótica, Relação de Stifel, Indução Matemática, Relação de Stifel e Permutações Caóticas Generalizadas.

8 ABSTRACT We present a generalization to the Secret Friend Problem. The result allows to generalize the classical result and nown number of chaotic permutations of a given set and establish the definition of the factorial of a natural number from the chaotic permutations of a given set. Keywords : Inclusion and Exclusion Principle, Permutation Chaotic, Stifel ratio, Mathematics Induction, Stifel ratio and Permutations Chaotic Generalized.

9 Uma generalização para o problema do amigo secreto Iesus C. Diniz Websther da Silva 12 de julho de Introdução Um problema já bem conhecido em combinatória é o do número permutações caóticas de um conjunto A = {a 1,..., a n } de n elementos, comumente representado por D n ou!n. Este problema foi posto primeiramente por Pierre Raymond de Montmort [1] em 1708 e resolvido pelo próprio em Nicholas Bernoulli também o resolveu, aproximadamente no mesmo período, usando o princípio da inclusão e exclusão. Uma permutação caótica dos elementos do conjunto A = {a 1,..., a n } é o conjunto das permutações dos elementos de A nas quais nenhum deles aparece em sua posição inicial, ou de maneira mais formal, o conjunto das funções f : A A tais que f(a i ) a i para todo i {1,..., n}. Em [2] é dada uma expressão para o cálculo de D n, ademais é mostrado que D n é o inteiro mais próximo de n! e. n ( 1) j D n = n! j! e D n = n! e (1) Exemplo 1 Sejam I n := {1,..., n} o conjunto dos n primeiros inteiros positivos e C n de todas as permutações caóticas de I n. Determine C 4 e D 4. Solução: Seja I 4 = {1, 2, 3, 4}, tem-se portanto que C 4 = { (2, 1, 4, 3), (2, 4, 1, 3), (2, 3, 4, 1), (3, 1, 4, 2), (3, 4, 1, 2), (3, 4, 2, 1), (4, 3, 2, 1), (4, 3, 1, 2), (4, 1, 2, 3)} e D 4 = 9. Exemplo 2 Um técnico de futsal dispõe de um elenco de 8 jogadores de linha: 2 laterais esquerdo, 2 laterais direito, 2 fixos, 2 pivôs além de 2 goleiros. De quantos modos o técnico pode escalar o time, se apenas o goleiro puder jogar em sua posição natural? Universidade Federal do Rio Grande do Norte, iesus@mat.ufrn.br Universidade Federal do Rio Grande do Norte, websthermatematica@gmail.com 1

10 Solução: Há ( 2 1)( 2 1)( 2 1)( 2 1)( 2 1) = 2 5 maneiras de se escolher os 4 jogadores de linha e o goleiro que serão titulares, para cada uma destas escolhas, há uma possibilidade de escalação do goleiro e D 4 possibilidades para os jogadores de linha. Assim, segue-se pelo princípio fundamental da contagem que há possibilidades de escalação do time. Neste artigo generalizaremos o cálculo do número de permutações caóticas D n obtidos entre dois conjuntos de mesmos elementos para dois conjuntos quaisquer. Denotaremos por D n o número de permutações caóticas entre dois conjuntos A e A de n elementos dos quais deles são não comuns aos dois conjuntos, isto é, A A = n, para todo {1,..., n}. A primeira delas será demonstrada por indução a partir de uma recorrência, enquanto a segunda solução será determinada por um argumento combinatório. Teorema 1 Sejam A e A dois conjuntos tais que A A = n e A = A = n, então para todo {0,..., n} D n = ( ) D n j. (2) j 1. O valor de D n é um caso particular da Eq. 2 com = 0; pois se = 0, então A = A e D 0 n é o número de permutações caóticas entre dois conjuntos de mesmos elementos, ou seja, D 0 n = D n ; 2. Se = n, então os conjuntos A e A não apresentam nenhum elemento em comum, neste caso D n n = n!. 2 Desenvolvimento: prova pelo princípio da indução finita Sejam A e A dois conjuntos tais que A A = n e A = A = n. Sem perda de generalidades, consideremos A = {1,...,, + 1,..., n} e A = {1,...,, + 1,..., n} com D n o número das permutações caóticas entre os elementos de A e A. Diferentemente do problema clássico das permutações caóticas, nos quais os dois conjuntos continham os mesmos elementos, temos agora elementos não comuns aos dois conjuntos, e com isso há novas possibilidades de permutações caóticas dos elementos entre os conjuntos A e A. Para todo i {1,..., } seja A i o conjunto das permutações caóticas nas quais o elemento i de A ocupa a posição i. O número de permutações caóticas poderá ser calculado a partir do condicionamento nos elementos não comuns aos dois conjuntos que ocupam ou não as suas posições naturais, mais especificamente falando, se ao menos um elemento i {1, 2,..., } ocupa a posição i, A 1... A, ou nenhum elemento i de A estiver em sua posição natural, (A 1... A ) c. Assim, pelo princípio aditivo tem-se 2

11 D n = (A 1... A ) c + (A 1... A ) = A c 1... A c + (A 1... A ) (3) e desde que para todo {1,..., n} tem-se de (3) e (4) que A c 1... A c = D n (4) Ademais, tem-se que D n = D n + (A 1... A ). (5) j {1,..., } com {i 1, i 2,..., i j } {1,..., } A i1 A i2... A ij = D j n j, com D0 n j = D n j. (6) Para = 1, então j = 1 e segue-se de (5) e (6) que Dn 1 = A c 1 + A 1 = D n + D n 1. (7) Para = 2, então de (6) segue-se que para todo i 1 {1, 2} A i1 = Dn 1 1 ( = 2, j = 1) e A 1 A 2 = D n 2 ( = 2, j = 2). Logo de (5) e (7), tem-se Dn 2 = D n + (A 1 A 2 ) = D n + A i1 A i1 A i2 1 i 1 2 = D n + 2D 1 n 1 + D n 2 (8) = D n + 2(D n 1 + D n 2 ) D n 2 = D n + 2D n 1 + D n 2. Para = 3, então de (6) com i 1 {1, 2, 3} e {i 1, i 2 } {1, 2, 3} A i1 = D 2 n 1 (j = 1), A i1 A i2 = D 1 n 2 (j = 2) e A 1 A 2 A 3 = D n 3 (j = 3). Logo de (5), (6), (7) e (8) segue-se que Dn 3 = D n + (A 1 A 2 A 3 ) = D n + A i1 A i1 A i2 + A 1 A 2 A 3 1 i i 1<i 2 3 = D n + 3D 2 n 1 3D 1 n 2 + D n 3 (9) = D n + 3(D n 1 + 2D n 2 + D n 3 ) 3(D n 2 + D n 3 ) + D n 3 = D n + 3D n 1 + 3D n 2 + D n 3. 3

12 Admitamos como hipótese de indução que para um certo N, Lema 1 Para todo N, D n = D +1 n ( ) D n j (10) j = D n + D n 1 Demonstração: Tem-se que Dn +1 é o total de permutações caóticas entre dois conjuntos de n-elementos com + 1 elementos não comuns a ambos. Para todo j {1,..., + 1} particionando o conjunto das permutações caóticas em relação a qualquer um dos A j, A 1 por exemplo, tem-se: D +1 n = A c 1 + A 1 = D n + D n 1 (11) Usando a recorrência (11) e a hipótese de indução dada em (10), segue-se que = ( ) 0 D +1 n = Dn + Dn 1 ( = j ) D n j + ( ) D n 1 j j ( ) ( ) ( ) D n + D n 1 + D n D n ( ) ( ) ( ) D n 1 + D n D n ( ) [( ) ( )] [( ) ( )] = D n + + D n D n ( ) ( ) ( ) ( ) = D n + D n D n ( ) + 1 = D n j. j Exercício 1 Prove que ( ) n n! = D n + 0 ( ) n D n ( ) n D 0. n ( ) D n 1 ( ) D n 1 D n (+1) Solução: Desde que D n n = n!, o resultado como corolário do teorema 1 tomando-se = n na equação (2). 4

13 Exercício 2 Num congresso matemático n pessoas encontram-se sentadas num auditório de n + cadeiras. Elas vão para uma outra sala e quando retornam ao auditório, sentam-se novamente e é observado que nenhuma delas ocupa a mesma cadeira que antes. Mostre que o número de maneiras que isto pode ocorrer é Dn+. Solução: Sem perda de generalidade, suponhamos as cadeiras numeradas de 1 a n+, com as n primeiras sendo previamente ocupadas por pessoas numeradas de 1 a n. Ademais, considere para todo (i, j) {1,..., n} {1,..., n + } a seguinte convenção: (i, j) representando a cadeira j sendo ocupada pela pessoa i e para l {(n + 1),..., (n + ) } (l, j) se a cadeira j estiver vazia. Assim, o número de maneiras da sala ser ocupada sem as posições iniciais serem repetidas por nenhum dos presentes, é o conjunto das permutações caóticas entre os conjuntos A = {1,..., n, (n + 1),..., (n + ) } e A = {1,..., n, (n + 1),..., (n + )}, i.e., D n+ = ( ) D n+ j (12) j Observação 1 O resultado dado em (12) a partir do teorema 1; é uma generalização do problema 13, página 173 de [3] para o caso em que = 1. 3 Conclusão Neste trabalho generalizamos o problema clássico das permutações caóticas. A prova do resultado se mostrou bem interessante pelo fato de usarmos tanto o princípio da inclusão e exclusão bem como o princípio da indução finita e a relação de Stifel. O resultado principal permite introduzir o conceito de fatorial a partir de um argumento combinatório relativo à partição do conjunto de permutações caóticas. Referências [1] de Montmort, P. R. (1708). Essay d analyse sur les jeux de hazard. Paris: Jacque Quillau. 2. ed., Revue & augmentée de plusieurs Lettres. Paris: Jacque Quillau, [2] Morgado, A. C. O.; Carvalho, J. B. P.; Carvalho, P. C. P.; Fernandez, P. Análise combinatória e probabilidade. 9. ed. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, (Coleção do Professor de Matemática). [3] Wallis, J. D. A Begginer s Guide to Discrete Mathematics. Birhäuser Boston 2003; 1. ed. [4] Feller, W. Introdução à teoria das probabilidades e suas aplicações. São Paulo: Edgard Blucher, (Tradução de Flávio W. Rodrigues e Maria E. Fini). 5