Estimação de Espessuras e Propriedades de Materiais em Pavimentos Usando o Problema Inverso

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1 Estimação de Espessuras e Propriedades de Materiais em Pavimentos Usando o Problema Inverso M.Sc. Radael de Souza Parolin, Dr. Pedro Augusto Pereira Borges, Dr. Luciano Pivoto Specht UNIJUÍ - Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul Mestrado em Modelagem Matemática radaelsp@gmail.com Resumo: Para obter informações sobre a estrutura de pavimentos, atualmente, são realizadas prospecções significativamente destrutivas e intervenientes no tráfego, para coleta de material e posterior análise em laboratório. Propõe-se neste trabalho uma técnica menos destrutiva do que as técnicas atuais, para identificação de espessuras e materiais das camadas de pavimentos. A técnica consiste: na instalação de uma sonda térmica no pavimento, com sensores de temperatura e fontes de calor, para a obtenção da distribuição de temperatura em função do tempo e do espaço, em diferentes profundidades; na resolução do problema de transferência de calor em duas dimensões; e na estimação das espessuras e propriedades térmicas dos materiais de cada camada através do Problema Inverso. O Problema Direto foi modelado pela equação de condução do calor e resolvido com Diferenças Finitas Centrais, usando o método explícito de avanços temporais. A técnica proposta mostrou-se eficiente para a estimação das espessuras e da condutividade térmica. A identificação dos materiais, através do reconhecimento das propriedades térmicas, mostrou-se mais eficiente com o uso dos valores da condutividade, ao invés da difusividade térmica. O Algoritmo Genético e o Algoritmo Memético fornecem soluções aproximadas, mas com vantagem no custo computacional para o Algoritmo Memético. 1. Introdução A manutenção e a restauração de rodovias são realizadas após procedimentos destrutivos como prospecções, para verificação das reais condições do pavimento. As prospecções são uma necessidade quando não se dispõem de informações a respeito da estrutura, da construção e da degradação dos pavimentos ao longo dos anos. Estes procedimentos são onerosos, além de envolver equipamento e pessoas especializadas, interferem no tráfego e necessitam de análises laboratoriais, com elevado custo econômico. A espessura das camadas e a identificação dos materiais existentes são informações essenciais, e em alguns casos suficientes para a tomada de decisões. Para a identificação das espessuras das camadas dos pavimentos, existe uma técnica não destrutiva, que utiliza o georadar (FONTUL et al., 2007; NIELSEN et al., 2008). Porém, seu uso é restrito devido ao custo econômico do equipamento e da complexidade de análise dos dados. De acordo com estes aspectos, é importante o estudo de novas técnicas de análise estrutural, com uma avaliação específica, de menor custo, invasão e interferência no tráfego, do que as técnicas existentes. O presente trabalho tem por objetivo desenvolver uma técnica para estimar as espessuras e propriedades dos materiais constituintes de pavimentos já construídos de rodovias. A técnica necessita da instalação de uma sonda térmica em uma perfuração vertical, facilmente consertável, para obtenção da distribuição de temperatura ao longo do tempo. Os dados medidos de temperatura são utilizados no Problema Inverso para estimar os parâmetros térmicos e as espessuras de cada camada. O problema direto de transferência de calor no pavimento é modelado utilizando a Equação de Condução do Calor, com condições de contorno de primeira espécie e resolvido pelo Método de Diferenças Finitas Centrais, com o esquema explícito de avanços temporais. O Problema Inverso utiliza os Algoritmos Genético e Memético para minimizar a diferença entre as distribuições de temperaturas medidas e calculadas. 564

2 2. Materiais e Métodos Foram realizados experimentos de monitoramento da temperatura em dois tipos de pavimentos: um rígido e outro flexível. Os dados obtidos foram utilizados para a estimação de parâmetros térmicos (condutividade e difusividade térmica) e espessuras das camadas dos pavimentos, através de algoritmos de problema inverso sobre o problema de transferência de calor nos pavimentos. 2.1 Materiais, Equipamentos e Experimentos Os pavimentos experimentais, mostrados na Figura 1, foram construídos como pavimentos experimentais no Laboratório de Engenharia Civil da UNIJUÍ e são compostos pelas seguintes camadas granulares: Subleito: composto de solo argiloso natural (típico da região de Ijuí). Reforço do subleito: base granular composta de rachão, com profundidade de 30cm, responsável pela drenagem da água caso haja infiltração. A camada de rachão constitui formas graúdas não uniformes, imperfeitamente encaixadas quando a camada é compactada, facilitando assim a passagem da água. Base: com espessuras de 30cm no pavimento rígido e 40cm no pavimento flexível, é composta de BGS (Brita Graduada Simples) de diversos tamanhos, que quando compactada não apresenta vazios, ficando assim responsável pela resistência e distribuição dos esforços causados pelo tráfego. Os revestimentos são de dois tipos: Concreto de Cimento Portland (Pavimento Rígido) com 25cm de espessura executado à base de cimento Portland e água; e Betuminoso (Pavimento Flexível) com espessura de 15cm de asfalto pré-misturado a frio, executado com emulsão (água, betume e emulsificante). Foi usada uma camada selante (banho de emulsão asfáltica sobre o revestimento) com a finalidade de selar o pavimento, impermeabilizando-o. A temperatura foi monitorada através de uma sonda térmica composta de 9 sensores de temperatura (termopares) e 2 fontes de calor, localizados em diferentes profundidades (Tabela 1). A instalação de fontes térmicas tem como objetivo gerar gradientes térmicos, necessários para a estimação dos parâmetros e espessuras nas camadas mais profundas. Foram abertos dois orifícios de 0,012 m de diâmetro em cada pavimento, com profundidade de 0,64 m e 0,56 m no pavimento rígido e no flexível, respectivamente. As duas fontes de calor utilizadas (resistores de 2,2 Ω) foram alimentadas com tensão de 2 V. Figura 1: Esquema dos pavimentos (o primeiro nº indica o sensor e o segundo a profundidade em cm) 565

3 Pavimento Rígido Pavimento Flexível Sensor/Fonte z (m) Sensor/Fonte z (m) S1 0 S1 - S2 0,08 S2 0 S3 0,16 S3 0,08 S4 0,24 S4 0,16 S5 0,32 S5 0,24 S6 0,4 S6 0,32 S7/F1 0,48 S7/F1 0,4 S8 0,56 S8 0,48 S9/F2 0,64 S9/F2 0,56 Tabela 1: Posição dos sensores de temperatura e fontes de calor (S = sensor e F = fonte) As medidas com as sondas foram realizadas entre as 8:30 e 17:30h dos dias 09 e 10/12/2010, fornecendo dados de temperatura para as posições de cada sensor, no período considerado. 2.2 Calibração das Medidas de Temperatura Os termopares foram calibrados utilizando um termômetro padrão (certificado de calibração número /001), colocados em equilíbrio térmico estacionário em água, em cinco temperaturas distintas. Com estes dados, foram obtidas retas de calibração para cada sensor, com desvio padrão assumido como o erro de calibração ( c ). Os procedimentos de instalação da sonda nos pavimentos, ajustes dos equipamentos e medição foram repetidos 5 vezes em temperatura ambiente constante, para analisar o erro de repetição. O desvio padrão destas medidas, para cada sensor, foi admitido como o erro de repetição ( r ). A incerteza de medida foi calculada pela Eq. (1) e apresentou valor mínimo de ± 0,31 o C para o sensor S7 e máximo de ± 0,69 o C para o sensor S3, consideradas admissíveis para medidas de estimação de parâmetros, de acordo com os objetivos deste trabalho. I 2 2 c r (1) onde I é a incerteza de medição ( o C), c é a incerteza dos erros de calibração ( o C) e r é a incerteza dos erros de repetição ( o C). 2.3 Modelo Matemático da Transferência do Calor (Problema Direto) A variação de temperatura, nas condições consideradas nos experimentos, ocorre devido às variações térmicas na superfície e nas fontes de calor. O fluxo de calor na superfície é variável em relação ao tempo, e pode ser considerado uniforme para uma pequena área, o que permitiria a utilização de um modelo unidimensional para a transferência de calor no interior do pavimento. O calor gerado pelas fontes difunde-se em todas as direções. Admitindo um sistema de referência em coordenadas cilíndricas, com o eixo central coincidente com a sonda, os gradientes na direção angular são praticamente nulos para materiais homogêneos. Com base nessas considerações, foi escolhido um modelo bidimensional em coordenadas cilíndricas para representar a transferência de calor no interior dos pavimentos. A Equação Diferencial de Condução do Calor com fontes (ÖZISIK, 1993) é dada pela Eq. 2 e é entendida neste trabalho como o modelo matemático do Problema Direto. 566

4 1 T t i 2 T 2 z 1 r T r r r 1 k i g para 0 < r < R e 0 < z < H (2) Onde T é temperatura (ºC), z é a profundidade (m), r é o raio (m), t é o tempo (s), α i é a difusividade térmica da camada i (m²/s), g é a fonte de calor (w/m³) e k i é a condutividade térmica na fonte de calor da camada i (J/msºC), As condições de contorno são dadas pelas Eqs. 3 a 6. As Eqs. 3 e 4 são as condições de fronteira na superfície e na base, respectivamente. A Eq. 6 é a condição inicial. Todas estas condições foram obtidas experimentalmente. A Eq. 5 é uma condição de fronteira na superfície lateral do cilindro de raio R, foi considerada constante em relação ao tempo e igual a temperatura inicial do pavimento em r = 0, com R suficientemente grande, de modo a não alterar esta condição, durante o período de tempo de transferência de calor. T ( r,0, T ( onde 0 t tf (3) S T H T( r, H, onde 0 t tf e H a profundidade máxima (4) T( R, z, TR ( z, onde 0 t tf e R o raio máximo (5) T ( r, z,0) T0 ( r, z) onde 0 r R e 0 z H (6) Onde T é temperatura (ºC), T 0 é a condição inicial (ºC), T S é a temperatura na superfície (ºC), T H é a temperatura no final da terceira camada (ºC) T R é a temperatura em r = R do pavimento (ºC) H é a altura do cilindro (m) R é o raio do cilindro (m) e t f é o tempo final. 2.4 Algoritmos Para a Estimação de Parâmetros (Problema Inverso) O problema inverso proposto neste trabalho consiste na estimação de sete parâmetros, o que o torna altamente complexo devido à gama de soluções possíveis. Foram usados dois métodos: o Algoritmo Genético (HOLLAND (1975), GOLDBERG (1989) e LEANDRO et al. (2008)) e o Algoritmo Memético (MOSCATO (1989), BRITTO (2007) e LEANDRO et al. (2008)). Os problemas direto e inverso foram implementados em programas computacionais próprios em linguagem MatLab e executados em um computador com processador AMD Turion 64, 2.0 GHz com 512 MB de RAM. 567

5 3. Resultados e Discussões Os algoritmos de problemas inversos foram aplicados nos dados experimentais dos pavimentos rígidos e flexíveis, com o objetivo de verificar a eficiência do modelo proposto, na estimação das incógnitas. Foram realizadas três aplicações de Algoritmos Genéticos e Meméticos, já que estes métodos são estatísticos e produzem soluções diferentes a cada execução. A Tabela 2 apresenta estas aplicações para os dados do pavimento rígido, com o respectivo coeficiente de correlação e o tempo de execução computacional. As espessuras z 1, z 2 e z 3 experimentais foram obtidas diretamente das medidas de projeto do pavimento, enquanto que as difusividades e condutividades térmicas são dados da literatura ABNT (1972 apud HELLMANN, 2008; 2004 apud TRAMONTINI, 2007). Parâmetros Exp. ALGORITMO GENÉTICO ALGORITMO MEMÉTICO 1 o PI 2º PI 3º PI Média 1º PI 2º PI 3º PI Média z 1 0,25 0,261 0,235 0,226 0,240 0,2205 0,286 0,232 0,246 z 2 0,30 0,287 0,283 0,333 0,301 0,3282 0,305 0,348 0,327 z 3 0,11 0,091 0,121 0,08 0,097 0,913 0,048 0,059 0,066 α 1 (10-7 ) 7,29 a 7,95 9,629 9,116 9,593 9,446 8,342 9,324 9,224 8,963 α 2 (10-7 ) 5,38 a 8,75 9,675 8,815 8,909 9,133 7,316 7,4 7,851 7,522 α 3 (10-7 ) - 6,226 9,387 9,212 8,275 4,406 5,051 7,499 5,652 k 2 0,7 0,734 0,678 0,725 0,712 0,668 0,746 0,729 0,714 k 3-0,438 0,436 0,447 0,44 0,453 0,446 0,453 0,451 R 2-0,962 0,960 0,963 0,962 0,949 0,96 0,960 0,956 Tempo - 1h17 46s 1h12 4s 53 23s 1h7 44s 17 53s 15 59s 16 38s 16 50s Tabela 2: Estimação de parâmetros para o Pavimento Rígido Percebe-se a alta eficiência da técnica na determinação das espessuras das camadas para o pavimento rígido, apesar de existir uma pequena variação a cada aplicação do algoritmo. Na estimação das propriedades dos materiais tem-se uma estimação fora do intervalo considerado para as difusividades térmicas, além de razoável variação na estimação a cada aplicação. Devese observar, que as difusividades reais do pavimento são desconhecidas e os dados apresentados como experimentais, são de fato da literatura. Os resultados estimados para a condutividade térmica são mais próximos dos experimentais e esta poderia ser uma variável mais precisa na identificação do material através da estimação das propriedades. O Algoritmo Genético e o Memético são bem eficientes na estimação das espessuras e das condutividades térmicas, havendo maior discrepância para a espessura da terceira camada. A vantagem do Algoritmo Memético, em relação ao Genético, é um custo computacional menor com as condições escolhidas na aplicação realizada. Os algoritmos de problemas inversos foram aplicados nos dados experimentais do pavimento flexível de forma semelhante à aplicação no pavimento rígido. Os resultados estão relacionados na Tabela

6 Parâmetros Exp. ALGORITMO GENÉTICO ALGORITMO MEMÉTICO 1 o PI 2º PI 3º PI Média 1º PI 2º PI 3º PI Média z 1 0,15 0,150 0,14 0,147 0,146 0,1514 0,1423 0,1339 0,1425 z 2 0,40 0,396 0,386 0,372 0,385 0,3928 0,3981 0,3803 0,3904 z 3 0,01 0,012 0,033 0,039 0,028 0,0158 0,0196 0,0458 0,0271 α 1 (10-7 ) 2,92 a 5,43 9,411 8,974 7,88 8,755 8,019 7,239 7,7 7,653 α 2 (10-7 ) 5,38 a 8,75 8,921 8,109 9,459 8,83 7,313 9,475 3,228 6,672 α 3 (10-7 ) - 6,433 5,6 6,66 6,231 6,716 5,144 6,656 6,172 k 2 0,7 0,924 0,824 0,809 0,852 0,838 0,713 0,778 0,776 k 3-0,312 0,314 0,32 0,315 0,314 0,287 0,315 0,305 R 2-0,9731 0,9704 0,9673 0,9703 0,9678 0,9437 0,9536 0,955 Tempo s 42 24s 52 26s 46 41s 13 20s 14 10s 14 38s 14 3s Tabela 3: Estimação de parâmetros para o Pavimento Flexível Os resultados das Tabelas 2 e 3 são muito semelhantes, em termos de eficiência do problema inverso, com relação à estimação do valor das incógnitas, com pequena perda de precisão na estimação da condutividade térmica da 2ª camada pelo Algoritmo Genético, comparativamente ao desempenho da execução com os dados do pavimento rígido. Mesmo assim, pode-se concluir que os algoritmos são eficientes e podem ser usados para a função proposta, para os dois tipos de conjuntos de dados. Figura 2: Distribuição de temperatura experimental e calculada com a média dos dados estimados com o Algoritmo Genético para o Pavimento Rígido Na Figura 2 é mostrada a distribuição de temperatura experimental e calculada para a média dos dados estimados com o Algoritmo Genético. A simulação descreve razoavelmente o comportamento dos dados experimentais, apesar de existirem diferenças de aproximadamente 4ºC em algumas curvas, como por exemplo, às 17:00 e às 17:30 em 0,08m e 0,16m de profundidade. Tal diferença é maior do que a maior incerteza das medidas de temperatura (± 0,69 o C). Uma análise mais detalhada na estrutura do experimento indica que pode existir um erro nas medidas de temperatura independente da calibração e da repetição. Os sensores medem a temperatura do conjunto ar+sonda térmica+pavimento, e não apenas do pavimento. Possíveis efeitos de convecção natural no orifício, devido ao aquecimento do ar pelas fontes nas camadas mais profundas e conseqüente ascensão deste, podem ter aumentado em cerca de 5 o C a temperatura nas camadas superiores. 569

7 4. Conclusões A técnica proposta mostrou-se eficiente para a estimação das espessuras e da condutividade térmica. A identificação dos materiais, através do reconhecimento das propriedades térmicas, mostrou-se mais eficiente com o uso dos valores da condutividade, ao invés da difusividade térmica. Os Algoritmos Genético e Memético foram eficientes na estimação dos parâmetros e mostraram pouca diferença entre os valores dos parâmetros estimados. Considerando as definições das exigências de aplicação para cada método, o Algoritmo Memético teve menor custo computacional. Mesmo assim, a aplicação do Algoritmo Genético tem custo computacional viável para a proposta de resolução do problema. Considerando a identificação das espessuras e das propriedades térmicas dos materiais, a técnica proposta neste trabalho traz uma nova perspectiva em avaliação estrutural. Essa técnica não necessita de muitos equipamentos, grande espaço de atuação (interferência no tráfego) e também dispensa experiência para uma análise complexa dos dados obtidos, pois é de fácil uso. A pequena interferência no pavimento pode ser revertida facilmente para preencher os furos e não necessita de uma análise laboratorial posterior dos materiais do pavimento analisado. 5. Referências Bibliográficas BRITTO, A. S. Identificação de Sistemas Utilizando Algoritmos Meméticos para Estimação de Parâmetros, Dissertação de Mestrado, Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul UNIJUÍ. Ijuí, FONTUL, S.; ANTUNES, M.L.; FORTUNATO, E.; OLIVEIRA, M. Practical application of GPR in transport infrastructure survey. In: Advanced Characterization of Pavement and Soil Engineering Materials, Londres, GOLDBERG, D. E. Genetic Algorithms in Search, Optimization, and Machine Learning. Boston: Addison Wesley Longman, USA, HELLMANN, L. Determinação de Propriedades Térmicas de Materiais de Pavimentação. Dissertação de Mestrado, Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul UNIJUÍ. Ijuí, HOLLAND, J. H. Adaptation in Natural and Artificial System. Ann Arbor, 2. ed. The University of Michigan Press, USA, LEANDRO, G. V.; BORGES, A. P. B.; SALVADORI, F.; CAMPOS, M.; RECH, C.; CAMARGO, R. F. Optimal Mathematical Modelo of Hall-Effect Sensor. Anais do International Conference on Engineering Optimazation, Rio de Janeiro, MOSCATO, P. On Evolution, Search, Optimization, Genetic Algorithms and Martial Arts: Towards Memetic Algorithms. Caltech Concurrent Computation Program, C3P Report 826, Pasadena CA.,1989. NIELSEN, N; HAUSER, B.; PREBER, T.; SEBAALY, P.; JOHNSTON, D.; HUFT, D.; BANG, S. Full Depth Reclamation On Existing Asphalt Pavements. Anais do 4º Eurasphalt & Eurobitume Congress, Dinamarca, ÖZISIK, M. N. Heat Conduction. John Wiley & Sons. New York, ÖZISIK, M. N.; ORLANDE, H. R. B. Inverse Heat Transfer: Fundamentals and Applications. Taylor Francis. New York, TRAMONTINI, R. Modelagem Matemática da Transferência de Calor em Pavimentos Rígidos e Flexíveis. Dissertação de Mestrado, Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul UNIJUÍ. Ijuí,