1º DE SETEMBRO DE

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1 Proposta para estimar os parâmetros da equação de Mitscherlich e a dose econômica de fertilizante Proposal to estimate the parameters of equation Mitscherlich and the economic level of the fertilizer BRUNO RAFAEL DE ALMEIDA MOREIRA*¹; CELSO TADAO MIASAKI¹; EVANDRO PEREIRA PRADO¹. ¹ Faculdade de Ciências Agrárias e Tecnológicas, UNESP Câmpus de Dracena. *bruno_rafael.m05@hotmail.com RESUMO Na literatura científica, existem modelos matemáticos e estatísticos que expressam a relação entre a produção vegetal e as doses de fertilizantes. Complementarmente, esses modelos constituem ferramentas capazes de auxiliar os profissionais do setor agropecuário na correta gestão das práticas de adubação mineral de plantas. Dentre os modelos reconhecidos, destaca-se a equação de Mitscherlich a qual possui parâmetros que são estimados a partir de princípios matemáticos complexos e, muita das vezes, impraticáveis. Diante do exposto o presente trabalho teve como objetivo desenvolver modelos matemáticos para estimar os parâmetros A, b e c da equação de Mitscherlich e também a dose econômica de fertilizante, na tentativa de reduzir os esforços algébricos despendidos nos modelos matemáticos existentes, além de aumentar o grau de precisão, e que auxilie os agricultores e demais profissionais envolvidos no setor agropecuário, quanto à correta tomada de decisão associada às práticas de nutrição mineral de plantas. A fim de testar os modelos, considerou-se um conjunto de dados de 38 ensaios de adubação mineral de cana-de-açúcar com P 2 O 5. A proposta apresentou resultado altamente satisfatório, ajustando a curva de regressão de Mitscherlich aos dados experimentais com coeficiente de determinação extremamente elevado, além de reduzir os esforços algébricos associados aos métodos convencionais. INTRODUÇÃO Por meio de ensaios experimentais de adubação mineral de plantas, o alemão E. A. Mitscherlich desenvolveu, em 1909, uma equação, na qual relacionou a produção das plantas em função do fornecimento de nutrientes no solo e que atualmente recebe seu sobrenome (TISDALE, 1984). A equação é expressa por: 576

2 [ ] Nesta equação, x representa a dose aplicada de determinado nutriente e y a resposta em produção de determinada cultura; A representa a produção máxima teórica; b corresponde ao teor do nutriente contido no solo e c indica o coeficiente de eficácia. Adicionalmente, a equação de Mitscherlich serve de alicerce à estimativa da dose econômica de fertilizantes em ensaios de adubação mineral de plantas. Pimentel-Gomes e Malavolta (1949) propuseram a seguinte metodologia para estimar os parâmetros da equação de Mitscherlich: primeiramente, calcula-se o coeficiente de eficácia c por meio de um processo trabalhoso e demorado, que exige o uso de derivadas parciais, a aplicação do método dos mínimos quadrados e, posteriormente, o emprego do teorema de Rouché. Na sequência estimam-se os demais parâmetros A e b, em função de c. Harmsen et al. (2001) e Nijland, Schouls e Goudriaan (2008) também reuniram esforços na tentativa de desenvolveram versões modificadas da equação de Mitscherlich, com o intuito de facilitar as estimativas de seus parâmetros e torná-los mais precisos, mas não obtiveram sucesso, pois a metodologia aplicada continuou complexa. Diante do exposto o objetivo do presente trabalho consistiu em desenvolver equações matemáticas alternativas para estimar os parâmetros A, b e c da equação de Mitscherlich e a dose econômica de fertilizantes, na tentativa de reduzir os esforços algébricos despendidos nos modelos existentes, e que auxilie os agricultores, técnicos e demais profissionais envolvidos na agropecuária quanto à correta tomada de decisão associada às práticas de adubação mineral de plantas. MATERIAL E MÉTODOS O trabalho foi desenvolvido na Faculdade de Ciências Agrárias e Tecnológicas, FCAT - UNESP Dracena, SP. Os estudos iniciaram-se no 1º semestre de 2015, sendo concluído recentemente, no 2º semestre de A princípio, realizou-se uma revisão metódica da literatura especializada no tema em questão. Face às dificuldades encontradas nos modelos matemáticos existentes para calcular os parâmetros da equação de Mitscherlich, surgiu a ideia de propor novos modelos para estimá-los. O raciocínio à elaboração dos modelos matemáticos para estimar os parâmetros A, b e c da equação de Mitscherlich e a dose econômica de fertilizantes foi estabelecido, única e exclusivamente, com base na análise 577

3 matemática da Figura 1, que representa a curva característica da Lei de Mitscherlich ou Lei dos acréscimos decrescentes, uma das mais importantes leis da Fertilidade do Solo. Figura 1. Esquematização gráfica da equação de Mitscherlich. Modelagem matemática dos parâmetros da equação de Mitscherlich e da dose econômica de fertilizante Inicialmente, elaborou-se a equação matemática para estimar o coeficiente de eficácia c, pois esta serviu como base à modelagem dos demais parâmetros A e b. Com base na associação entre as estimativas prévias dos três parâmetros citados anteriormente, modelou-se a equação para estimar a dose econômica de fertilizantes. Os procedimentos matemáticos adotados são descritos a seguir: Parâmetro c Se y representa a produção de determinada cultura, então os incrementos de produção obtidos a cada nível i de adubação foram definidos pela expressão: (1) Assumindo-se que os intervalos de aplicações das doses de determinado nutriente são igualmente espaçados, seguindo uma progressão aritmética de razão r, ou seja, zero, r, 2r... (n-1)r. O somatório dos incrementos de produção, obtidos a cada nível i de adubação, é igual ao incremento total de produção que, por sua vez, representa a máxima distância entre a produção, obtida na dose (n-1)r e a produção inicial, obtida na dose zero. Logo: 578

4 De acordo com Souza (2016), a Lei de Mitscherlich corresponde aos acréscimos não proporcionais na produtividade de dada cultura, em função das doses crescentes de determinado nutriente. Portanto, a cada dose x do nutriente aplicado, obtém-se um incremento de produção, cada vez menor, corroborando com o princípio dos acréscimos decrescentes, simbolizado por, sendo definido pela expressão: (3) Logo, o princípio da Lei de Mitscherlich permitiu definir a eficácia de determinado elemento nutricional (M) por meio do quociente entre o incremento total de produção e o decréscimo de produção, ajustado pelo fator Ψ β, que representa o potencial biótico das culturas. Pois, segundo Epstein e Bloom (2006) as espécies vegetais expressam em média de 90 a 95% do seu potencial biótico durante a absorção de nutrientes. Assim: (4) O modelo matemático elaborado para estimar o parâmetro c foi, portanto: ( ) ( ) (5) Sendo: Coeficiente de eficácia, em ha kg -1 ; : Razão de aplicação de fertilizante, em kg ha -1 ; Eficiência do elemento (M); Parâmetro A Desconsiderando o efeito residual do teor de nutriente contido no solo, indicado por b, definiu-se a expressão algébrica que representa o efeito individualizado do coeficiente de eficácia c sobre cada dose de aplicação (zero,, 2... (n-1) ) como: (6) Assim, 579

5 ( ) Logo, a partir do somatório dos efeitos individualizados definiu-se o peso assintótico : [ ] De maneira análoga, multiplicando-se os efeitos individualizados por cada uma das doses de aplicação (zero,, 2... (n-1) ) e somando posteriormente os resultados, definiu-se o peso assintótico ponderado : [ ] Se indica a quantidade total de fertilizante aplicado e a combinação total das produções obtidas a cada nível i de adubação, então grau de interação entre o fator limitante e a resposta da cultura à adubação foi definido pela expressão. Então, ao multiplicar o somatório dos efeitos individualizados, representado por pelo grau de interação entre o fator limitante e a resposta da cultura à adubação obteve-se o peso assintótico : [ ] A partir do produto entre o peso assintótico ponderado e a combinação total das produções obtidas a cada nível i de adubação, encontrou-se peso assintótico : [ ] A partir da razão entre as amplitudes e, dado o nível n de complexidade do ensaio de adubação e considerando-se, ainda, o intervalo equidistante de aplicação r, definiu-se a assíntota resultante correspondente ao parâmetro A, representado na Figura 2 e, posteriomente, expresso pela Equação 12: 580

6 Figura 2. Esquematização gráfica do modelo matemático para estimar o parâmetro A. Sendo: A: Produção máxima teórica, em t ha -1 ; n: Nível de complexidade do ensaio de adubação; r: Intervalo equidistante de aplicação, em kg ha -1 ; Combinação total das produções, em t ha -1 ; Grau de interação entre os fatores dose e produção; Soma dos efeitos individualizados do coeficiente de eficácia c sobre cada dose de aplicação; Soma dos efeitos individualizados do coeficiente de eficácia c sobre cada dose de aplicação multiplicada pela própria dose. Parâmetro b O teor b de nutriente contido no solo, é inversamente proporcional ao coeficiente de eficácia c do fertilizante e diretamente proporcional a razão obtida entre a produção máxima teórica A e os desvios de cada resposta em produção, dado o nível i de adubação, em relação a própria produção máxima teórica A, ponderada pelo peso assintótico. Logo: [ ( )] 581

7 Sendo: Teor de nutriente contido no solo, em kg ha -1 ; Produção máxima teórica, em t ha -1 ; Coeficiente de eficácia, em ha kg -1 ; Soma dos efeitos individualizados; : resposta em produção, dado o nível i de adubação; em t ha -1. Dose econômica de fertilizantes Considerando-se a relação entre os parâmetros A, b e c da equação de Mitscherlich, assim como o preço da cultura no campo, o preço do fertilizante e o intervalo de aplicação equidistante r, desenvolveu-se o seguinte modelo matemático para estimar a dose econômica de fertilizantes: [ ] Sendo: Dose econômica, em kg ha -1 ; Graus de liberdade do ensaio de adubação; Intervalo de aplicação equidistante, kg ha -1 ; c: Coeficiente de eficácia, em ha kg -1 ; A: Produção máxima teórica, em t ha -1 ; b: Teor do nutriente contido no solo, em kg ha -1 ; Preço do fertilizante, em R$ kg -1 ; Preço da cultura no campo, em R$ t -1. Avaliação dos modelos Um conjunto de dados extraídos de 38 ensaios de adubação mineral de cana-deaçúcar com N, P, K conduzidos por Strauss (1951) em esquema fatorial 3x3x3 foi utilizado para testar a qualidade de ajuste e a precisão dos modelos propostos. Como exemplo elucidativo considerou-se apenas as aplicações das doses de zero, e kg ha -1 de P 2 O 5, correspondentes às produções médias de = 40,9 t ha -1, =56,2 t ha -1 e =62,7 t ha -1. À estimativa da dose econômica, considerou-se o preço do fertilizante igual a 1,05 582

8 R$ kg -1 e o preço da cultura no campo igual a 18,00 R$ t -1. Para comparar os dados estimados com os dados observados utilizou-se medidas de dispersão a saber: desvio, desvio 2 e erro quadrático médio. A análise de regressão da curva de Mitscherlich, ajustada a partir dos modelos propostos, foi realizada no Software R. RESULTADOS E DISCUSSÃO O coeficiente de eficácia apresentou valor de c = 0,0062 ha kg -1. Em relação ao teor de nutriente contido no solo e a produção máxima teórica possível, encontrou-se os respectivos valores de: b = 65,20 kg ha -1 e A = 67,50 kg ha -1. A equação de regressão encontrada foi, portanto: [ ] As produções médias estimadas pela equação de Mitscherlich, ajustada através dos modelos matemáticos propostos são apresentadas a seguir, na Tabela 1. Tabela 1. Comparativo entre os valores reais de produção da cana-de-açúcar e os valores estimados pela regressão de Mitscherlich, desvio, desvio² e Erro Quadrático Médio. Valores reais Valores estimados Desvio Desvio² 40,9 40, , , ,2 56, , , ,7 62, , , Erro Quadrático Médio (EQM) = 0, , a seguir: O ajuste da curva de Mitscherlich aos dados experimentais é representado na Figura 583

9 Figura 3. Regressão de Mitscherlich ajustada aos dados experimentais. De modo geral, observou-se que os modelos matemáticos propostos permitiram excelentes ajustes da equação de Mitscherlich aos dados experimentais dos 38 ensaios de adubação mineral de cana-de-açúcar com P 2 O 5, considerados neste estudo. Para o caso elucidativo, por exemplo, a análise de regressão indicou um coeficiente de determinação extremamente elevado (R² = 0,9999) e um Erro Quadrático Médio muito baixo (EQM = 0, ), comprovando a capacidade dos modelos propostos em convergir satisfatoriamente aos dados reais, não conduzindo a regressão da curva de Mitscherlich a valores absurdos e, ou, inconsistentes. Além disso, por se tratar de uma análise exclusivamente gráfica, o raciocínio adotado dispensou a utilização de abordagens matemáticas complexas, como é o caso do Teorema de Rouché, das derivadas parciais e do método dos mínimos quadrados, apresentado por Pimentel Gomes e Malavolta (1949). Deste modo, as dificuldades matemáticas associadas aos métodos convencionais foram reduzidas e o processo tornou-se menos trabalhoso e rápido, dado que os modelos propostos são constituídos por poucas variáveis, as quais são facilmente estimadas. É valido ressaltar que, os parâmetros A, b e c apresentaram bom comportamento quando foram submetidos a ensaios de adubação mineral de plantas contendo três níveis de aplicações de fertilizantes. Quando submetidos a ensaios mais complexos, com quatro e cinco níveis de aplicações, os mesmos não demonstraram o mesmo desempenho, permanecendo aquém da capacidade de generalização desejada inicialmente. Porém, novos estudos já foram iniciados, com o intuito de adaptá-los aos ensaios de adubação superiores. Quanto ao modelo desenvolvido para estimar a dose econômica de fertilizante, este é totalmente dependente das estimativas prévias dos parâmetros A, b e c da equação de Mitscherlich. Portanto, seu grau de confiabilidade está em função da qualidade do ajuste da curva de regressão de Mitscherlich e não deve ser aplicado em casos onde o coeficiente de determinação for insatisfatório. Neste estudo, encontrou-se o valor de x(e*) = 115,04 kg ha -1 para a dose econômica de P 2 O 5, o que correspondeu a uma economia teórica de 5,208 R$ ha -1. À primeira vista, o valor parece ser irrisório, porém quando se considera grandes áreas, o mesmo torna-se relevante. Devido à elevada precisão e ao nível de confiabilidade dos modelos, a presente proposta apresentou grande relevância prática, podendo permitir o manejo e a interpretação 584

10 cada vez melhor das atividades agrícolas relacionadas à adubação mineral de plantas; satisfazendo, ainda, as demandas por novas tecnologias e ferramentas matemáticas que auxiliem os profissionais envolvidos no setor agropecuário quanto à correta gestão dos recursos naturais disponíveis. CONCLUSÃO Os modelos matemáticos propostos para estimar os parâmetros A, b e c da equação de Mitscherlich reduziram os esforços algébricos, tornando a estimativa dos parâmetros menos trabalhosa, rápida e de fácil compreensão. REFERÊNCIAS EPSTEIN, E.; BLOOM, A.J. Nutrição mineral de plantas: princípios e perspectivas, 2 ed. Londrina: Planta, HARMSEN, K.; MATAR, A.E.; SAXENA, M.C.; SILIM, S.N Yield response to phosphorus fertilizer in a wheat-lentil rotation in a Mediterranean environment, Netherlands Journal of Agricultural Science NIJLAND, G.O.; SCHOULS, J. GOUDRIAAN, J. Integrating the production functions of Liebig, Michaelis-Menten, Mitscherlich and Liebscher into one system dynamics model, Netherlands Journal of Agricultural Science -Wageningen Journal of Life Sciences PIMENTEL-GOMES, F.; MALAVOLTA, E. Aspectos matemáticos e estatísticos da lei de Mitscherlich Reunião Brasileira de Ciências do Solo, SOUSA, J.S. Análise foliar para ajuste da recomendação de adubação do cafeeiro f. Dissertação (Mestrado em Fitotecnia) Departamento de Fitotecnia, Universidade Federal de Viçosa, Viçosa, STRAUSS, E. Experimentos de adubação na zona canavieira de Pernambuco. Reunião Brasileira de Ciências do Solo, TISDALE, S.L.; NELSON, W.L.; BEATON, J.D. Soil fertility and fertilizers. 4 ed. New York: MacMillan, p. 585