UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA PLANO DE ENSINO

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1 032 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA PLANO DE ENSINO Código MAT Nome Cálculo Numérico A Créditos/horas-aula Pré-Requisitos 04 / 60 Súmula Em vigor desde INF01101 Computação Básica Fortran, ou INF01117 Especificação Formal N, ou INF01210 Introdução à Informática, ou INF01211 Algoritmos e Programação; e MAT01355 Álgebra Linear I A ou MAT01050 Álgebra Matricial Computacional; e MAT01009 Métodos Aplicados de Matemática I, ou MAT01167 Equações Diferenciais II, ou MAT01356 Equações Diferenciais e Diferenças Finitas. Erros; ajustamento de equações; interpolação. Derivação e integração. Solução de equações lineares e não lineares; solução de sistemas de equações lineares e não lineares. Noções de optimização. Solução de equações diferenciais e equações diferenciais parciais. Noções do método de Monte Carlo em suas diferentes aplicações. Elaborado (no que segue abaixo somente!) pelo Professor Paulo R. Zingano Conteúdo Programático Tópico 1: Introdução à Computação Científica. Computação numérica e simbólica; visualização científica; linguagens e software. Modelagem matemática, leis de conservação e balanceamento, taxas e equações diferenciais. Algoritmos finitos e iterativos; complexidade computacional de problemas e algoritmos; algoritmos determinísticos e probabilísticos, problemas diretos e inversos, determinísticos e estocásticos; algoritmos seminuméricos. Complexidade algébrica e analítica; classes P e NP, problemas NP-completos. Exemplos de problemas de alta complexidade em Matemática, Física Computacional, CFD e outras áreas. Breves noções sobre arquitetura de computadores, computação paralela e vetorial, clusters de computadores e supercomputação; processadores superpipelined e superescalares, hierarquias de memória, representação interna de dados, operações lógicas e numéricas, computação FP e inteira, operações de I/O; sistemas operacionais e compiladores. Exemplos de problemas matemáticos massivamente paralelos, paralelização de algoritmos em

2 álgebra linear. Linguagens de programação, bibliotecas e softwares matemáticos; introdução a MATLAB. Computação científica na ufrgs, Brasil e mundo; RNP, CENAPADs; laboratórios, organizações e sociedades. Problemas e perspectivas futuras da Computação Científica; limites da computação; breve introdução a redes neurais, computação quântica e lógica fuzzy. Tópico 2: Introdução à Análise Numérica. Sistemas de numeração, representação em ponto fixo e ponto flutuante, aritméticas de precisão finita, aritmética IEC/IEEE. Erros de discretização e arredondamento, validação de computações numéricas. Acumulação de erros de arredondamento, instabilidade numérica; condicionamento de problemas e algoritmos; estabilidade direta e backward, análise a priori e a posteriori, exemplos. Tópico 3: Solução de equações não lineares. Localização e separação de raízes, método da bisecção e variantes, métodos de ponto fixo, método de Newton-Raphson e variantes; raízes simples e múltiplas, zeros de polinômios. Convergência linear e superlinear, convergência quadrática e superior; estabilidade numérica. Métodos de ponto fixo, Newton e variantes para sistemas de equações não lineares. Tópico 4: Solução de sistemas de equações algébricas lineares. Métodos diretos: método de Gauss com pivoteamento, estabilidade numérica, balanceamento, fator de crescimento, refinamento iterativo; método de Cholesky. Métodos iterativos: Gauss-Seidel, Jacobi, gradiente conjugado, SOR e SSOR, técnicas de pré-condicionamento. Tópico 5: Interpolação polinomial. Interpolação polinomial em geral, interpolação de Lagrange e Hermite, diferenças divididas, erros de aproximação; interpolação inversa, interpolação em mais variáveis. Interpolação por splines polinomiais; splines lineares, quadráticos e cúbicos, representação por B-splines; erros em malhas uniformes e arbitrárias. Tópico 6: Diferenciação numérica. Aproximação por diferenças finitas, aproximações por splines e interpolação polinomial, fórmulas BDF, CDF e FDF; métodos de diferenciação compacta. Tópico 7: Integração numérica. Problemas de quadratura, integrais próprias e impróprias, pré-processamento de integrais; aproximação polinomial, algoritmos de Newton-Cotes, métodos compostos, fórmulas de Simpson e trapézios, integração de Romberg, integração por splines, quadratura Gaussiana. Problemas de cubatura, métodos polinomiais, métodos de Monte Carlo. Tópico 8: Ajuste de parâmetros por mínimos quadrados. Ajuste linear e equações normais. Noções sobre ajuste não linear nos parâmetros e método de Levenberg-Marquardt. 2

3 Tópico 9: Optimização numérica. Métodos de procura em uma dimensão, problemas multidimensionais, programação convexa. Métodos SD e gradiente conjugado. Métodos de minimização para solução de sistemas de equações algébricas lineares. Noções sobre programação linear e algoritmo simplex. Noções sobre algoritmos genéticos. Tópico 10: Aproximação numérica de equações diferenciais. Problemas de valores iniciais para EDOs: métodos de Runge-Kutta clássicos, métodos RK modernos, métodos de passo múltiplo, métodos BDF; barreiras de Butcher e Dahlquist. Procedimentos adaptativos de controle do erro. Problemas de contorno: métodos de shooting, métodos de diferenças finitas, introdução a métodos de elementos finitos. Erros de discretização e aproximação; relações entre consistência, estabilidade e convergência para problemas de valores iniciais e de contorno; estabilidade via análise de autovalores e Perron-Frobenius; fenômenos de supraconvergência em malhas não uniformes. Introdução a métodos discretos para EDPs: problemas evolutivos e estacionários. Cronograma de Atividades: Abaixo apresentaremos um cronograma, descrevendo a quantidade de encontros, de duas horas cada, para cada tópico descrito nos Conteúdos Programáticos acima: Tópico 1 4 encontros; Tópico 2 4 encontros; Tópico 3 5 encontros; Tópico 4 5 encontros; Tópico 5 2 encontros; Tópico 6 1 encontro; Tópico 7 3 encontros; Tópico 8 1 encontro; Tópico 9 2 encontros; Tópico 10 5 encontros; Exame Final 1 encontro; Atendimento e revisão 1 encontro; Recuperação 1 encontro. Objetivos gerais: - Apresentar panorama atual da computação científica e métodos numéricos; - Discutir métodos numéricos fundamentais nas classes de problemas considerados; - Desenvolver habilidade para desenvolvimento de novos métodos numéricos, sempre que viável; - Introduzir conceitos e resultados iniciais em análise numérica; - Discutir efeitos de erros de arredondamento nos problemas e métodos considerados. 3

4 Metodologia e experiências de aprendizagem: Aulas expositivas e dialogadas, incluindo notas históricas e resolução de exercícios em aula; também serão atribuídas atividades complementares em período extraclasse, particularmente resolução de exercícios e estudo de textos (em língua portuguesa ou inglesa) complementando discussões de aula e viabilizando o extenso programa. Sistema de Verificação do Aproveitamento: Será realizado um exame individual de avaliação ao final do período letivo, em aula, versando sobre a matéria discutida no semestre, com possibilidade de consulta às notas de aula. A atribuição do conceito final será feita em correspondência com o grau M (entre 0 e 10) obtido no exame final por cada estudante, usando-se a seguinte referência: M 9,0 corresponde a conceito final A; 7,5 M < 9,0 corresponde a conceito final B; 6,0 M < 7,5 corresponde a conceito final C; M < 6,0 corresponde a conceito final D; sendo atribuído conceito FF aos estudantes que não comparecerem ao exame. Atividades de Recuperação: Os estudantes que desejarem alterar seu conceito final, qualquer que ele seja, poderão prestar um exame de recuperação, de caráter substitutivo, nos mesmos moldes acima. Esta recuperação será realizada uma semana depois do exame, após aula de revisão e entrega dos resultados. Bibliografia Básica: 1. C. F. van Loan, Introduction to Scientific Computing (2nd ed.), Prentice-Hall, Upper Saddle River, G. H. Golub & J. M. Ortega, Scientific Computing and Differential Equations: an introduction to numerical methods, Academic Press, New York, J. M. Ortega & W. G. Poole, An introduction to numerical methods for differential equations, Pitman, Marschfield, G. H. Golub & C. F. van Loan, Matrix Computations (3rd ed.), John Hopkins University Press, Baltimore, W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling & B. P. Flannery, Numerical Recipes in Fortran: the art of scientific computing (2nd ed.), Cambridge University Press, Cambridge,

5 Bibliografia Complementar: 1. W. L. Roque, Introdução ao Cálculo Numérico, Atlas, São Paulo, D. M. Cláudio e J. M. Marins, Cálculo Numérico Computacional (2ª ed.), Atlas, A. L. Bortoli, C. Cardoso, M. P. G. Fachin & R. D. Cunha, Introdução ao Cálculo Numérico, Cadernos de Matemática e Estatística, UFRGS, S. R. C. Pizzatto, Cálculo Numérico, Cadernos de Matemática e Estatística, UFRGS, P. Henrici, Elements of Numerical Analysis, Wiley, New York, C. W. Ueberhuber, Numerical Computation: methods, software and analysis (2 vols.), Springer, Berlin, J. R. Rice, Numerical Methods, Software, and Analysis (2nd ed.), Academic Press, Boston, G. H. Golub & J. M. Ortega, Scientific Computing: an introduction with parallel computing, Academic Press, Boston, G. W. Stewart, Introduction to Matrix Computations, Academic Press, New York, A. Quarteroni, R. Sacco & F. Saleri, Numerical Mathematics, Springer, New York, G. E. Forsythe & C. B. Moler, Computer Solution of Linear Algebraic Systems, Prentice Hall, Englewood Cliffs, L. N. Trefethen & D. Bau, III, Numerical Linear Algebra, SIAM, Philadelphia, L. F. Shampine, Numerical Solution of Ordinary Differential Equations, Chapman & Hall, New York, J. D. Lambert, Numerical Methods for Ordinary Differential Systems, Wiley, New York, A. Iserles, A first course in the numerical analysis of differential equations, Cambridge University Press, Cambridge, L. F. Shampine, I. Gladwell & S. Thompson, Solving ODEs with MATLAB, Cambridge University Press, N. J. Higham, Accuracy and stability of numerical algorithms, SIAM, Philadelphia, A. Gilat, MATLAB: an introduction with applications (2nd ed.), Wiley, New York, R. Hyde, Write Great Code (2 vols), No Starch Press, R. Beale & T. Jackson, Neural computing: an introduction, Adam Hilger, Bristol,