Exercícios sobre Listas, Árvores, Grafos e Recursão Generativa

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1 Exercícios sobre Listas, Árvores, Grafos e Recursão Generativa Fundamentos de Algoritmos INF05008 Esta listanão épara entrega,massimpara aferiropreparo individualdoalunopara a última prova; dúvidas poderão ser discutidas na aula do dia 7/12 ATENÇÃO: DEFINIÇÕES DE DADOS, CONTRATOS E EXEMPLOS FAZEM PARTE DAS SOLUÇÕES 1. Desenvolva um programa que ordena, em ordem crescente, lista de mensagens ( s) pela data (dia apenas) deste . Considere que: uma estrutura é definida da seguinte forma: (define-struct (remetente dia texto)) um é uma estrutura (make- remetente dia texto) onde remetente e textosão strings e dia é um número. Defina o(s) outro(s) tipo(s) de dado(s) antes de apresentar a função. 2. Seguindo o enunciado do exercício anterior, modifique o programa para que ordene os s pelo remetente. (Dica: use string<?). 3. Ainda considerando a questão de ordenação dos s, desenvolva uma função de alta ordem para ordenar s pela data que receba como argumento também a forma de ordenação (crescente ou decrescente, através de funções apropriadas). 4. Considereafunção searchquedeterminaseumnúmeroocorreounãoemumalistadenúmeros. Como pode ser observado, esta função tem que percorrer toda a lista para determinar isto. ;; search : number list-of-numbers -> boolean (define (search n alon) [(empty? alon) false] [else (or (= (first alon) n) (search n (rest alon)))])) Desenvolva uma função search-sorted que determina a mesma coisa, mas que se aproveita do fato de que alista está ordenada. 5. Simule manualmente as chamadas e confirme que (ancestral-olhos-azuis? empty) retorna false. Faça o mesmo para (ancestral-olhos-azuis? Gustav) (não é necessário realizar todas as chamadas; concentre-se nas principais). Obs.: para este e outros exemplos sobre árvores, consideraremos a árvore usada no exemplo visto em aula. 6. Desenvolva a função conta-pessoas que consome uma árvore cujos nodos são membros de uma família, e produz onúmero de pessas nafamília. 7. Desenvolva a função idade-média que consome uma árvore cujos nodos são membros de uma família, e produz a idade média das pessoas na família. 8. Desenvolva a função cores-dos-olhos que consome uma árvore cujos nodos são membros de uma família, e produz uma lista de todas as cores de olhos que ocorrem na família. Uma cor de olhos pode ocorrer mais de uma vez nalista. Dica: use a operação append que consome 2 listas e produz a concatenação delas. 9. Desenvolva a função contem-ab? que consome um número n e uma árvore binária cujos nodos são números. Se a árvore contiver o número em algum dos nodos, retornar true, senão false. 1

2 10. Desenvolva a função pesquisar-ab que consome um número e uma árvore binária cujos nodos contém estruturas que armazenam dados sobre um determinado contribuinte. As informações relevantes sobre contribuintes são: seu CPF e seu nome; além disto os nodos precisam apontar para os nodos anterior (esquerda) e posterior (direita). Esta função produz o nome do contribuinte caso o número exista na árvore e false em caso contrário. 11. Desenvolva a função na-ordem que consome uma árvore binária referente a contribuintes e produz uma lista de todos os CPF s destes contribuintes. Tal lista deve conter os números na ordem em que aparecem na árvore da esquerda para a direita. Dica: use a operação append que concatena 2 ou mais listas. 12. Desenvolva a função pesquisar-abp que consome um número n e uma ABP(árvore binária de pesquisa). SeaárvorecontiverumnodocujaestruturatemoCPFigualan,afunçãoretornaonomedocontribuinte. Caso contrario, produz false. Compare com o resultado produzido pela função pesquisar-ab (ver exercício nesta lista). 13. Desenvolvaafunção insere-nó. AfunçãorecebeumaABPB,umnúmeroneumsímbolos. Afunção cria uma nova ABP igual aanterior mas com aadição do nócom valores n e s. 14. Desenvolva a função constrói-abp a partir de uma lista-de-números. Use as listas exemplos apresentadas napágina 204 do livro. Uma lista-de-números é: empty (cons (list id nome) lnum) onde id é um número, nome é um símbolo, e lnum é uma lista de números 15. Uma página web é: (a) empty, ou (b) (cons s wp), onde s é um símbolo e wp é uma página web, ou (c) (cons ewp wp), onde ewp e wp são páginas web A partir dessa definição de dados, desenvolva a função troca. A função recebe dois símbolos, novo e velho, e uma página web wp. A função produz uma página com a mesma estrutura de wp, mas com todas as ocorrências de velho trocadas por novo. 16. Muitos usuários não gostam de navegar em páginas web que têm muitos sub-níveis até que se atinja a informação necessária. Por isso, um web designer quer medir qual a profundidade (número de níveis) de uma página. Se uma página contem apenas símbolos, então sua profundidade é zero. Uma página que remete a uma sub-página tem a profundidade desta mais um. Se uma página remete a diversas páginas, a profundidade dela é a máxima profundidade entre as páginas para as quais ela remete, mais um. Desenvolva a função profundidade que consome uma página web e calcula sua profundidade. 17. Simule manualmente (descendente-olhos-azuis? Eva), bem como (descendente-olhos-azuis? Bettina). 18. Desenvolva a função quão-longe que determina quão longe, na árvore, está um dado parent de um de seus descendentes de olhos azuis, caso haja algum. Se um dado parent tem olhos azuis, a distância é zero. Em caso contrário, se pelo menos um de seus filhos tem olhos azuis, a distância é um, e assim por diante. Se nenhum descendente tiver olhos azuis, então a função deve retornar false. 19. Desenvolver a função conta-descendentes que consome um nodo do tipo parent e conta o número de seus descendentes, incluindo a si mesmo. Modifique o exercício e crie a função conta-descendentes-exclusivo que realiza o mesmo porém exclui a si mesmo. 20. Desenvolver a função cor-dos-olhos que consome um parent e produz uma lista com todas as cores deolhosemsuaárvoregenealógica(seusdescendentes). Umacorpodeocorrermaisdeumaveznalista. 21. Desenvolver a função tamanho-página que consome uma página web (como definida) e produz o número de símbolos (palavras que ela contem). 2

3 22. Desenvolva a função ocorre-símbolo? que consome um símbolo e uma página web e determina se tal símbolo ocorre em algum lugar da página, incluindo suas sub-páginas. 23. Desenvolva a função encontra-símbolo. Ela produz false se um dado símbolo não ocorre em uma dada página ou em alguma de suas sub-páginas. Se o símbolo ocorre pelo menos uma vez, a função deve produzir uma lista dos cabeçalhos das páginas percorridas. Considere que uma estrutura webpage contem um cabeçalho (um símbolo) e um corpo (uma lista de símbolos). Dica: defina uma função auxiliar similar mas que produza apenas true quando uma web-page contem o símbolo desejado. 24. Explique porque cada uma das expressões abaixo é sintaticamente incorreta: 1. (local ((define x 10) (y (+ x x))) y) 2. (local ((define (f x) (+ (* x x) (* 3 x) 15)) (define x 100) (define f@100 (f x))) f@100 x) 3. (local ((define (f x) (+ (* x x) (* 3 x) 14)) (define x 100) (define f (f x))) f) 25. Determine quais das seguinte expressões são legais e quais não são, e explique porque. 1. (define A-CONSTANT (not (local ((define (odd an) [(= an 0) false] [else (even (- an 1))])) (define (even an) [(= an 0) true] [else (odd (- an 1))]))) (even a-nat-num)))) 2. (+ (local ((define (f x) (+ (* x x) (* 3 x) 15)) (define x 100) (define f@100 (f x))) f@100) 1000) 3. (local ((define CONST 100) (define f x (+ x CONST))) (define (g x y z) (f (+ x (* y z))))) 26. Avalie manualmente as seguintes expressões: 1. (local ((define (x y) (* 3 y))) (* (x 2) 5)) 2. (local ((define (f c) (+ (* 9/5 c) 32))) (- (f 0) (f 10))) 3

4 3. (local ((define (odd? n) [(zero? n) false] [else (even? (sub1 n))])) (define (even? n) [(zero? n) true] [else (odd? (sub1 n))]))) (even? 1)) 4. (+ (local ((define (f x) (g (+ x 1) 22)) (define (g x y) (+ x y))) (f 10)) 555) 5. (define (h n) [(= n 0) empty] [else (local ((define r (* n n))) (cons r (h (- n 1))))])) (h 2) 27. Use uma expressão local para organizar a função para encontrar descendentes de olhos azuis vista anteriormente. 28. Considere a seguinte definição de função: ;; maxi : non-empty-lon -> number ;; to determine the largest number on alon (define (maxi alon) [(empty? (rest alon)) (first alon)] [else [(> (first alon) (maxi (rest alon))) (first alon)] [else (maxi (rest alon))])])) Notar que ambas as cláusulas da expressão cond computam (maxi (rest an-inv)). Logo, esta é uma candidata natural a uma expressão local. Reformule a função dada usando a expressão local e teste ambas as versões com (list ). Qual o efeito? Explique. 29. Considere a seguinte definição de função e considere inventário conforme definido anteriormente neste curso: ;; extract1 : inventário -> inventário ;; cria um inventário a partir de an-inv para ;; todos os itens que custam menos de $1 (define (extract1 an-inv) [(empty? an-inv) empty] [else [(<= (ir-price (first an-inv)) 1.00) (cons (first an-inv) (extract1 (rest an-inv)))] [else (extract1 (rest an-inv))])])) Já que ambas as cláusulas da expressão cond extraem o primeiro ítem de um inventário, reformule o exemplo usando a expressão local. 30. Descreva as seguintes classes de funções: 4

5 1. (number -> boolean) 2. (boolean symbol -> boolean) 3. (number number number -> number) 4. (number -> (listof number)) 5. ((listof number) -> boolean) 31. Escreva o contrato da função filter1 conforme definida abaixo: (define (filter1 rel-op alon t) [(empty? alon) empty] [else [(rel-op (first alon) t) (cons (first alon) (filter1 rel-op (rest alon) t))] [else (filter1 rel-op (rest alon) t)])])) 32. Abstraia as 2 funções seguintes em uma única função chamada extremo: ;; mini : nelon -> number ;; to determine the smallest number ;; on alon (define (mini alon) [(empty? (rest alon)) (first alon)] [else [(< (first alon) (mini (rest alon))) (first alon)] [else (mini (rest alon))])])) ;; maxi : nelon -> number ;; to determine the largest number ;; on alon (define (maxi alon) [(empty? (rest alon)) (first alon)] [else [(> (first alon) (maxi (rest alon))) (first alon)] [else (maxi (rest alon))])])) Ambas consomem listas não vazias(nelon) e produzem um único número. A função da esquerda produz o menor número dalista, enquanto que adadireita produz omaior. Posteriormente, defina as funções mini1 e maxi1 em termos da função extremo. Teste cada uma das versões com as seguintes listas: (a) (list ) (b) (list ) (c) (list ) 33. Formule contratos para as seguintes funções: (a) sort: consomeumalistadenúmeroseumafunçãoqueconsome2números(dalistadada)eproduz um booleano; sort produz então uma lista de números (b) map que produz uma lista de números e consome uma função de número para número e uma lista de números (c) projectqueproduzumalistadesímboloseconsomeumalistadelistadesímboloseumafunção de lista de símbolos para símbolo 34. Use filter1 para desenvolver uma função que consome uma lista de símbolos e extrai todos os símbolos que não são iguais a car. Escreva ocontrato de filter Desenvolva a função mesmo-resultado?, a qual determina se duas funções (ambas consomem três números e produzem um número), produzem o mesmo resultado para 1.2, 3, Modifique as definições de ordena e insere para que elas passem a ser funções de alta ordem onde o critério de ordenação é definido como parâmetro. Denomine-as ordena-criterio e insere-criterio. 5

6 37. Simulte todos os passos até a solução usando a função quick-sort quando aplicada a (list ). 38. O que acontece se usarmos quick-sort com a lista (list ))? Modifique quick-sort para que nos devolva uma lista com omesmo tamanho da lista passada como argumento. 39. Desenvolva e teste as funções mdc-e e mdc-g com os números e Use (time (mdc-e...)) e (time (mdc-g...)) e compare os tempos de execução. Explique a razão da diferença. 40. A função quick-sort reduz o tamanho do problema em muitos casos, mas ela é muito lenta quando se trata de problemas pequenos. Desta forma, em geral se usa quick-sort para reduzir o tamanho do problema, aliada à função ordena (vista na aula sobre o cap. 12) para tratar os sub-problemas. Desenvolva uma versão da quick-sort que usa a função ordena se o tamanho da lista está abaixo de um limiar (dado como argumento). 41. Teste as funções quick-sort e ordena com o auxílio de (time (...)), para diversos tamanhos de listaseconstateque ordenaémaisrápidaparalistasdeatéumcertotamanho. Determinequetamanho é este. 42. Desenvolva a função concatena-strings, que recebe uma lista não-vazia do tipo lista-de-strings e retorna a concatenação de todas as strings da lista. Por exemplo: (concatena-strings (cons "Fundamentos de Algoritmos " (cons "é uma disciplina " (cons "muito legal!" empty)))) ===> "Fundamentos de Algoritmos é uma disciplina muito legal!" string string -> string para concatenar duas strings especí- Use a função string-append : ficas. 43. Um cozinheiro deve preparar uma receita. Antes de começar, ele precisa ter certeza de que possui todos os ingredientes necessários. Para ajudar esse cozinheiro, apresente a definição de dados do tipo lista-de-ingredientes e crie um programa que, a partir da lista de ingredientes em estoque e da lista de ingredientes da receita, retorne "OK" se todos os ingredientes estiverem disponíveis. Caso contrário, o programa deve informar quais ingredientes estão faltando. 44. Um ônibus percorre uma determinada linha, passando por diversas paradas. Apresente a definição de dados para lista-de-paradas e crie um programa que indique se é possível utilizar este ônibus para um deslocamento de uma parada inicial até uma parada final. Assuma que o percurso de volta é o inverso do percurso de ida. 45. Dadas três listas l1, l2 e l3 do tipo lista-de-números, definido abaixo, crie um programa que diga qual das três listas possui mais números dentro de um intervalo fechado entre dois números ini-int e fim-int. ;; Uma lista-de-números é ou ;; - empty, ou ;; - (cons n ldn), onde ;; n : number ;; ldn : lista-de-números 46. Desafio (exercício 12.4 do livro). Desenvolva a função permuta que, dada uma palavra (representada como uma lista de símbolos), retorna uma lista de todas as suas possíveis permutações. Por exemplo: 6

7 (permuta (list o l a)) ====> (list (list o l a) (list o a l) (list l o a) (list l a o) (list a a l) (list a l o) ) Dica 1. É necessário o uso de funções auxiliares. Dica 2. Para iniciar, pode-se usar a estratégia da função ordena: separar os itens da lista, passando-os para uma auxiliar. Dica 3. Cuidado com os tipos de retorno das funções: este exemplo ressalta a importância do contrato no desenvolvimento de funções complexas. 47. Considere a seguinte definição de dados: (define-struct nó (val esq dir)) Uma AB (árvore binária) é ou - false, ou - (make-nó val esq dir), onde val é número, esq e dir são AB Defina a função valores-ab que, dada uma árvore binária de entrada, retorna uma lista com os valores de todos osnós da árvore (emqualquer ordem). 48. Escreva uma função acha-maior-ab que encontre o maior valor armazenado em uma árvore binária. 49. Apresente um programa converte-árvores, o qual, dada uma AB, converte esta estrutura em uma ABP. 50. Além do insertion sort e do quick sort, vistos em aula, outro método de ordenação famoso é o merge sort. Neste método, a lista de números a serem ordenados é dividida em pares de números (listas de dois números consecutivos na lista original). Cada lista de pares é ordenada. Após isso, listas de pares ordenados consecutivos são ordenados, formando listas ordenadas de 4 números. Em seguida, as listas de 4números ordenados são usadas para formar listas com oitonúmeros, e assim por diante. Apresente um programa que implemente este método de ordenação. Assuma que o tamanho da lista de entrada é sempre uma potência de 2maior ou igual a Considere um conjunto de cidades de uma região. Cada cidade possui um conjunto de estradas que a ligam a outras cidades da mesma região, sendo que todas as estradas possuem mão dupla. Crie um programa que, dada uma lista de cidades e suas conexões, ache o menor caminho entre uma cidade de origem e uma cidade de destino. O comprimento do caminho a ser considerado é o número de estradas a serem percorridas entre cidades; i.e., o menor caminho possível entre duas cidades seria uma estrada que ligue as duas diretamente. No entanto, não deve ser assumido que sempre existe uma ligação direta entre todas as cidades. 52. Escreva a função move-bolas que, dada uma lista de bolas, move cada uma até que todas estejam fora do limite da mesa (uma única mesa) 7