GBC043 Sistemas de Banco de Dados Álgebra e Cálculo Relacional. Ilmério Reis da Silva UFU/FACOM

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1 GBC043 Sistemas de Banco de Dados Álgebra e Cálculo Relacional Ilmério Reis da Silva ilmerio@facom.ufu.br UFU/FACOM

2 Álgebra e Cálculo Relacional e o Modelo R São as linguagens formais do Modelo R Álgebra Relacional (AR): conjunto básico de operações do Modelo R Expressão da Álgebra Relacional: uma sequência de operações da AR Usada na implementação de consultas por processadores de consultas dos SGBD Relacionais Cálculo Relacional (CR): uma linguagem declarativa formal FACOM/UFU Página:2

3 Álgebra e Cálculo Relacional - Notação R: uma relação F: uma fórmula do cálculo de predicados de primeira ordem, i.e.: Alfabeto de símbolos: variáveis, constantes, funções, símbolos de predicados, parêntesis, conectivos lógicos (,,,, ) e quantificadores (, ) Termo: é uma constante ou variável. Sendo f uma função n-ária e t 1, t 2,..., t n termos, então f(t 1, t 2,..., t n ) também é um termo Fórmula atômica: P(t 1, t 2,..., t n ) onde P é um símbolo de predicado n-ário Fórmula bem formada(fbf): se w i e w j são fbfs então também são fbfs: (w i ); (w i ); (w i ) (w j ); (w i ) (w j ); (w i ) (w j ); (w i ) (w j ); Obs: As variáveis em fbf podem ser livres ou vinculadas a um dos dois quantificadores, FACOM/UFU Página:3

4 Página:4 Álgebra Relacional (AR)

5 Página:5 Álgebra Relacional - Fundamentos Operações derivadas da teoria de conjuntos são definidas sobre relações Operadores fundamentais: UNÁRIOS: seleção, projeção BINÁRIOS: união, diferença, produto cartesiano Operadores adicionais: intersecção, junção θ, junção natural, semijunção, quociente Outros operadores: junção externa, união externa, fecho transitivo;

6 Página:6 Álgebra Relacional - Seleção Def. a Seleção σ F (R) retorna o subconjunto de tuplas de R que satisfazem a fórmula F. Pode ser vista como uma partição horizontal de R. F é chamado predicado da seleção F contêm termos do tipo (A θ c) ligados por conectores onde A é um atributo de R θ é um dos seguintes operadores: <, >, =,,, c uma constante conectores podem ser,,

7 AR Seleção - Exemplo 1 σ title= Mech.Eng. (emp) ENO ENAME TITLE E3 A. Lee Mech. Eng. FACOM/UFU E7 R. Davis Mech. Eng. Página:7

8 Página:8 AR Seleção - Exemplo 2 σ dno=4 sakart > (employee)

9 Página:9 Álgebra Relacional - Projeção Def. a Projeção π A,B (R) retorna o subconjunto de colunas, no caso {A, B} de R. Pode ser vista como uma partição vertical de R.. Exemplo Projeção: π pno, budget (proj)

10 AR Projeção - Considerações O resultado é um conjunto de tuplas distintas logo, π lname, pname, salary (employee) É diferente do resultado de SELECT lname, pname, salary FROM employee FACOM/UFU Página:10

11 Página:11 AR Sequência de operações Como recuperar o nome e salario dos funcionários do departamento 5? Alternativa 1: expressão da AR π lname, pname, salary (σ dno=5 (employee)) Alternativa 2: sequência explícita de operações EDEP5 σ dno=5 (employee) RESUL π lname, pname, salary (EDEP5)

12 Página:12 AR Renomeando atributos/relação R(unome,pnome,salario) π lname, pname, salary (EDEP5) Operação renomear, denotada por ρ: Renomeando a relação: ρ S (R) Renomeando os atributos: ρ unome,pnome, salario (R) Renomeando a relação e seus atributos: ρ S(unome,pnome, salario) (R)

13 Página:13 Álgebra Relacional - União Def. a União R S retorna o conjunto das tuplas que estão em R ou que estão em S, considerando os esquemas de R e S compatíveis

14 Álgebra Relacional União - Exemplo Recuperar o ssn dos empregados lotados no departamento 5 ou que supervisionam diretamente um empregado do departamento 5 EDEP5 σ dno=5 (employee) R1 π ssn (EDEP5) R2 π supersn (EDEP5) R R1 R2 FACOM/UFU Página:14

15 Página:15 AR Operações binárias com conjuntos Considerações sobre a União, Intersecção e Diferença ou subtração. Def. Compatibilidade de tipo: Duas relações R(A 1, A 2,... A n ) e S(B 1, B 2,... B m ) são compatíveis se tiverem o mesmo grau, i.e. m=n, e para todo 1 i n dom(a i )=dom(b i ).

16 Página:16 Álgebra Relacional - Diferença Def. a Diferença R - S retorna o conjunto das tuplas que estão em R mas não estão em S

17 Página:17 Álgebra Relacional - Intersecção Def. A Intersecção R S retorna o conjunto das tuplas que estão em R e em S

18 Página:18 Álgebra Relacional - Produto Cartesiano Def. o Produto Cartesiano R x S retorna o conjunto de tuplas formadas pela concatenação de cada tupla de R com todas as tuplas de S. Sendo (r, s) os graus das relações (R, S), respectivamente, (R x S) será uma relação de grau r+s

19 Página:19 Álgebra Relacional - Produto Cartesiano - Exemplo

20 Página:20 AR Conjunto completo de operações O conjunto de operações {σ, π,, ρ, -, x} é um conjunto completo, ou seja, qualquer operação da AR pode ser expresas como uma sequência dessas operações, por exemplo:

21 Página:21 Álgebra Relacional - Junção Def. a Junção θ é denotada por R F S e pode ser definida como σ F (R x S), onde F é do tipo (R.A θ S.B) sendo A e B atributos de R e S respectivamente. Também chamada junção interna (inner join) Se F é do tipo (R.A=S.B) a junção θ é chamada equijunção. Se F é do tipo (R.A=S.A) e dom(r.a)=dom(s.a), então a equijunção é chamada junção natural. Em junção natural haverá uma projeção no resultado final, aparecendo apenas uma das duas colunas de F. A junção natural pode ser denotada por R A S

22 Página:22 Álgebra Relacional - Junção - Exemplo

23 Página:23 Álgebra Relacional Junção Externa Def. a Junção Externa (outer join) entre R e S mantem na relação resultante tuplas que não têm correspondência na junção, sendo: - Junção externa à esquerda, R _ S, mantêm tuplas de R sem correspondência em S com NULLS nos atributos de S - Junção externa à direita, R _ S, mantêm tuplas de S sem correspondência em R com NULLS nos atributos de R - Junção externa completa, R _ _S, mantêm tuplas de R e S sem correspondência com S e R, respectivamente, com NULLS nos atributos de S e R, respectivamente.

24 Página:24 Álgebra Relacional Semi Junção Def. a Semi junção R F S é definida por π R (R F S) e retorna o subconjunto das tuplas de R que participam de R F S É utilizada para reduzir acesso a disco em BD centralizado e como estratégia para reduzir comunicação em BD Distribuídos

25 Página:25 Álgebra Relacional Divisão Def. a Divisão R S, sendo (r, s) os graus das relações (R, S), respectivamente, com r > s > 0, retorna o conjunto das (r-s)-tuplas t tais que para toda s-tupla u de S a r-tupla tu, formada pela concatenação de t e u, está em R. Sendo A o conjunto de atributos de R que não estão em S, então: R S = π A (R) - π A ((π A (R) x S) R)

26 Página:26 Álgebra Relacional Divisão - Exemplo Na Divisão (ASG PROJ ) o resultado é o conjunto detuplas <ENO> tais que para toda <PNO, PNAME, BUDGET> de PROJ existe a tupla <ENO,PNO,PNAME,BUDGET> em ASG. ASG PROJ ASG PROJ ENO OBS: A palavra-chave é toda. Somente E3 trabalha no dois projetos de PROJ, i.e. P3 e P4 E3

27 Álgebra Relacional Divisão passo a passo - 1 Divisão ASG PROJ = π ENO ASG - π ENO [[(π ENO ASG ) x PROJ ] ASG ] ENO E1 E2 E3 E4 FACOM/UFU E5 Página:27

28 Página:28 Álgebra Relacional Divisão passo a passo - 2 Divisão ASG PROJ = π ENO ASG - π ENO [[(π ENO ASG ) x PROJ ] ASG ]

29 Página:29 Álgebra Relacional Divisão passo a passo - 3 Divisão ASG PROJ = π ENO ASG - π ENO [[(π ENO ASG ) x PROJ ] ASG ]

30 Álgebra Relacional Divisão passo a passo - 4 Divisão ASG PROJ = π ENO ASG - π ENO [[(π ENO ASG ) x PROJ ] ASG ] ENO ENO E1 E2 E3 - E1 = E2 E4 ENO E3 E4 E5 E5 FACOM/UFU E6 Página:30

31 Página:31 Álgebra Relacional - Expressões Seja o BD

32 Página:32 Álgebra Relacional Expressões Exemplo 1 Qual o nome dos funcionários que trabalham no projeto CAD/CAM? π ENAME (((σ PNAME= CAD/CAM PROJ) PNO ASG) ENO EMP) Uma solução com relações intermediários menores é: π ENAME (EMP ENO (π ENO (ASG PNO (σ PNAME= CAD /CAM PROJ)))

33 Página:33 Álgebra Relacional Expressões Exemplo 2 Atualizar o salário dos programadores (TITLE= Programmer ) para (PAY (σ TITLE= Programmer PAY)) (<Programmer, 25000>)

34 Página:34 Álgebra Relacional Árvore de Consulta Def. uma árvore de consulta é uma estrutura de dados em árvore que representa uma expressão da álgebra relacional. Seja a expressão:

35 Página:35 AR Árvore de Consulta- Exemplo

36 Página:36 AR Outras operações Projeção Generalizada Projeção generalizada: uso de expressões aritméticas

37 Página:37 AR Outras op. Agregação e Agrupamento Funções de agregação e agrupamento

38 Página:38 AR Outras op. Fecho transitivo Como recuperar o ssn dos empregados da hierarquia de um supervisor Necessita um mecanismo de Loop ou Recursão que não está especificado na AR Veremos...

39 Página:39 Álgebra Relacional Exercícios Ver [EN] capítulo 6

40 Página:40 Cálculo Relacional - CR

41 Página:41 Fundamentos do Cálculo Relacional Linguagem declarativa Cálculo Relacional de Tupla é semelhante ao SQL Cálculo Relacional de Domínio semelhante ao QBE (Query By Example)

42 Cálculo Relacional de Tupla - CRT Def. no Cálculo Relacional de Tupla uma variável t é interpretada como uma tupla qualquer e a consulta é: {t F(t)} ou {t.a 1, t.a 2,..., t A n F(t 1, t 2,, t n,, t n+1, t n+2,..., t n+m )} onde: F é uma fórmula com átomos do tipo: R(t) ou R.t (t i.a θ t j.b) : A e B atributos das relações onde t i e t j variam respectivamente eθ Є {<, >, =,,, } (c θ t j.b) ou (t i.a θ c) Cada átomo é avaliado como true ou false, R.t é true se t é tupla de R e false cc A fórmula F é composta por átomos conectados pelos operadores booleanos AND, OR e NOT seguindo as seguintes regras: FACOM/UFU Página:42

43 Cálculo Relacional de Tupla - CRT Regra 1) todo átomo é uma fórmula Regra 2) se F 1 e F 2 são fórmulas então também são: ( F 1 AND F 2 ), (F 1 OR F 2 ), NOT(F 1 ) e NOT(F 2 ) Além disso as variáveis podem ser livres ou ligadas por meio dos quantificadores,. Regra 3) se F é uma fórmula então tambem é ( t) (F), que é verdadeira se para alguma tupla atribuida a t F for verdadeira cc é falsa Regra 4) se F é uma fórmula então tambem é ( t) (F) que é verdadeira se para toda tupla atribuída a t F for verdadeira cc é falsa FACOM/UFU Página:43

44 Página:44 CRT e SQL Exemplo 1 {t emp(t) AND t.title= Mech.Eng. } O SQL é uma linguagem declarativa baseada no cálculo relacional de tupla. Veja a semelhança SELECT * FROM emp t WHERE t.title = Mech.Eng.

45 Página:45 CRT e SQL Exemplo 2 Q0: Recuperar (data de nascimento, endereço) do funcionário cujo nome é João Batista {t.birthdate, t.address emp(t) AND t.name = 'João Batista'} SELECT t.birthdate, t.address FROM emp t WHERE t.name = 'João Batista'

46 Página:46 CRT Exemplo 3 Q1: Listar o nome e o endereço dos funcionários que trabalham para o departamento 'Pesquisa' {t.pname, t.lname, t.address employee(t) AND ( d)(department(d)) AND d.dname = 'Pesquisa' AND d.dnumber=t.dno} Obs.: as variáveis livres na consulta devem aparecer antes da barra vertical

47 CRT e SQL Exemplo 3 Q1: Listar o nome e o endereço dos funcionários que trabalham parao departamento 'Pesquisa' {t.pname, t.lname, t.address employee(t) AND ( d)(department(d)) AND d.dname = 'Pesquisa' AND d.dnumber=t.dno} SELECT t.pname, t.lname, t.address FROM employee t, department d WHERE d.dname = 'Pesquisa' AND d.dnumber=t.dno FACOM/UFU Página:47

48 Página:48 CRT Outros exemplos - Q2 Q2: Listar o número do projeto, o número do departamento que o controla, o sobrenome, data de nascimento e o endereço do funcionário que controla o departamento para projetos localizados em Mauá

49 Página:49 CRT Outros exemplos Q0' Q0': Listar os nomes dos funcionários que trabalham em algum projeto controlado pelo departamento 5

50 Página:50 CRT Outros exemplos Q4 Q4: Listar o número dos projetos que envolvem um funcionário cujo nome é 'Silva', seja como trabalhador ou como gerente de um departamento que controla o projeto.

51 Página:51 CRT Transfomação de quantificadores

52 Página:52 CRT Implicação

53 CRT Usando o quantificador universal Q3: Listar os nomes dos funcionários que trabalham em todos os projetos controlados pelo departamento 5 {f.lname, f.fname employee(f) AND (( p)(not (project(p)) OR NOT (p.dnum=5) OR (( t)(works_on(t) AND t.essn=f.ssn Ou (vide [RG, pg 102] AND p.pnumber=t.pno))))} {f.lname, f.fname employee(f) AND (( p)((project(p)) AND (p.dnum=5) AND (( t)(works_on(t) AND t.essn=f.ssn AND p.pnumber=t.pno))))} FACOM/UFU Página:53

54 CRT Substituindo pelo quantificador existencial Q3: Listar os nomes dos funcionários que trabalham em todos os projetos controlados pelo departamento 5 {f.lname, f.fname employee(f) AND (NOT ( p) (project(p) AND (p.dnum=5) AND (NOT ( t)(works_on(t) AND t.essn=f.ssn AND p.pnumber=t.pno))))} FACOM/UFU Página:54

55 CRT Expressões segura e insegura Def. Uma expressão segura no cálculo relacional é aquela que gera como resultado um número finito de tuplas, caso contrário é chamada expressão insegura Exemplo de expressão insegura: {t NOT (employee(t))} Obs.: Definimos domínio da expressão como o conjunto de constantes ou tuplas de relações mencionadas na expressão. Logo, o resultado da expressão acima inclui tuplas que não estão no domínio da expressão, tornando-a insegura. FACOM/UFU Página:55

56 Página:56 Cálculo Relacional de Domínio Cálculo Relacional de Domínio: uma variável x é interpretada como um valor em um domínio Consulta:{x 1, x 2,..., x n F(x 1, x 2,..., x n+1, x n+2,..., x n+m )} F é uma fbf, análoga ao CRT, onde x 1, x 2,..., x n são variáveis livres Exemplo: {ENO, ENAME EMP(ENO,ENAME, Mech.Eng. )} O QBE(query by example) é uma linguagem declarativa baseado no Cálculo Relacional de Domínio. Semelhantemente as interfaces gráficas do MS Access e do Borland Paradox

57 CRD Exemplo Q0 Q0: Listar a data de nascimento e o endereço do funcionario cujo nome é 'João B Silva' {u, v ( q)( r)( s)( t)( w)( x)( y)( z) ( employee(q,r,s,t,u,v,w,x,y,z) AND q='joão' AND AND r='b' AND s='silva')} Obs.: cada variável percorre o domínio de um atributo FACOM/UFU Página:57

58 CRD Exemplo Q0A Notação QBE Q0: Listar a data de nascimento e o endereço do funcionario cujo nome é 'João B Silva' No QBE as condições são inseridas diretamente no esquema da relação. Além disso, considere nos exemplos subsequentes que as variáveis que não aparecem antes da e que não são usadas em condições estão automaticamente quantifiadas com {u, v employee('joão', 'B', 'Silva', t,u,v,w,x,y,z)} FACOM/UFU Página:58

59 CRD Exemplo Q1 Q1: Listar o nome e o endereço de todos os funcionários que trabalham para o departamento 'Pesquisa' {q, s, v ( z)( l)( m) ( employee(q,r,s,t,u,v,w,x,y,z) AND deparment(l,m,n,o) AND l='pesquisa' AND m=z)} FACOM/UFU Página:59

60 CRD Exemplo Q2 Q1: Listar o número do projeto, o número do departamento que o controla, o último nome, data de nascimento e endereço do gerente do departamento que controla projetos localizados em 'Mauá' {i, k, s, u, v ( j)( l)( m)( n)( t) (project(h,i,j,k) AND employee(q,r,s,t,u,v,w,x,y,z) AND deparment(l,m,n,o) AND k=l AND j='mauá' AND n=t)} FACOM/UFU Página:60

61 CRD Exemplo Q7 Q1: Listar o nome dos gerentes que têm pelo menos um dependente {s, q ( t)( n)( h) employee(q,r,s,t,u,v,w,x,y,z) AND deparment(l,m,n,o) AND dependent(h,i,j,k) AND t=n AND t=h)} FACOM/UFU Página:61

62 Página:62 Cálculo Relacional Exercícios Ver [EN] capítulo 6

63 Página:63 FIM Álgebra e Cálculo Relacional FIM