Estruturas de Dados. Árvores Parte II: O TAD Árvore. EDs & Algoritmos. Operações Genéricas: Operações de Consulta: Operações de Acesso:

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1 Estruturas de Dados Árvores Parte II: EDs & lgoritmos Prof. Ricardo J. G.. Campello Parte deste material é baseado em adaptações e extensões de slides disponíveis em (Goodrich & Tamassia). O TD Árvore Operações Genéricas: size(t): no. de nós da árvore. isempty(t): árvore T vazia? Operações de cesso: root(t): retorna referência para o nó raiz ou para nulo se árvore T for vazia. parent(t, p): retorna ref. p/ o nó pai do nó referenciado por p ou para nulo se p é raiz. children(t, p): retorna lista de referências para os filhos do nó referenciado por p. Lista vazia se p for folha. Operações de Consulta: isinternal(t, p): Nó p é interno? isexternal(t, p): Nó p é externo? isroot(t, p): Nó p é raiz de T? Operações de tualização: swap(t, p, q): Troca elementos da árvore T armazenados nos nós referenciados por p e q. replace(t, p, e): Substitui por e o elemento armazenado no nó referenciado por p....

2 TD Árvore inária O TD Árvore inária estende o TD árvore, ou seja, herda todas as suas operações. Operações dicionais: leftchild(t, p): retorna referência para o nó filho esquerdo do nó referenciado por p ou para nulo (p. ex. se p é externo). rightchild(t, p): retorna referência para o nó filho direito do nó referenciado por p ou para nulo (p. ex. se p é externo). sibling(t, p): retorna referência para o nó irmão do nó referenciado por p ou para nulo se p é filho único (árvore T imprópria). O TD Árvore inária Árvores são estruturas muito flexíveis, dando margem à diversos tipos de operações possíveis para um TD. Por esta razão, TDs Árvore podem diferir bastante de implementação para implementação, especialmente no que diz respeito aos métodos de modificação. Exemplo: Dois possíveis métodos que permitem modificar a estrutura: expandexternal(t, v) v v removeboveexternal(t, w) C w Permitem construir ou destruir completamente qualquer árvore binária! 4

3 Estrutura em rranjo para Árvores inárias Utiliza o conceito de função numeradora por nível: f(v) = se v é a raiz da árvore T. f(v) = f(u) se v é filho esq. de u. f(v) = f(u)+ se v é filho dir. de u. Cada nó da árvore é armazenado na célula de um arranjo O índice é dado pela função numeradora. O valor da função numeradora fornece imediatamente a localização dos filhos e do pai. 5 Estrutura em rranjo para Árvores inárias Tamanho do arranjo é N = p M +, onde p M é o valor máximo de f(v). Para índice inicial do arranjo = 0 Problema: Se a árvore não for completa, células do arranjo serão alocadas desnecessariamente. Espaço é O(N) independente do número n de nós da árvore. No pior caso, a demanda de memória é Exponencial! N = (n+)/ para s próprias N = n para s impróprias 6 4 n = 7 N = 6 7 n = 4 N =

4 Estrutura em rranjo para s Resumo: d b a c e f g a b c d e f g... Vantagens: Simplicidade Espaço apenas para armazenar conteúdo (elementos) ligações estão implícitas nos valores dos índices Desvantagens: Espaços vagos se árvore não é completa Inadequada para árvores com tamanho variável 7 Estrutura Encadeada para Árvores inárias Um nó é representado por um nodo, que armazena: Elemento. Ponteiro para pai. Ponteiro para filho esquerdo. Ponteiro para filho direito. Espaço O(n)! D D C E C E 8 4

5 Tempos de Execução nas Duas Implementações Operação swap, replace root, parent, children leftchild, rightchild, sibling isinternal, isexternal, isroot expandexternal, removeboveexternal rranjo / Encadeada O() O() O() O() O() (encadeada) 9 Estrutura Encadeada para Árvores Um nó é representado por um nodo, que armazena: Elemento Ponteiro para nó pai. Ponteiro para lista de ponteiros para nós filhos. D F D F C E C E 0 5

6 Percurso Pré-Fixado O(n), onde n é o no. de nodos Um percurso visita os nodos de uma árvore de forma sistemática. travessia ou caminhamento Em um percurso pré-fixado, um nodo é visitado antes dos seus descendentes. Exemplo de plicação: imprimir doc. estruturado lgoritmo PreOrder(T, v) visite(t, v) para w children(t, v) faça PreOrder(T, w) Documento * cesso seqüencial à lista children a partir do primeiro filho. Capítulo 5 Capítulo 9 Referências Seção. Seção. Seção. Seção. Seção. Percurso Pré-Fixado Caso Particular Árvores inárias lgoritmo PreOrder(T, v) visite(t, v) PreOrder(T, leftchild(t, v)) PreOrder(T, rightchild(t, v)) * Chamada: PreOrder(T, root(t)) 6

7 Percurso Pós-Fixado O(n), onde n é o no. de nodos Em um percurso pós-fixado, um nodo é visitado após seus descendentes. Útil quando alguma propriedade de um nodo depende da propriedade dos seus descendentes. Exemplo de plicação: calcular o espaço utilizado em árvores de arqs e diretórios. cs6/ lgoritmo PosOrder(T, v) para w children(t, v) faça PosOrder(T, w) visite(t, v) 9 * cesso seqüencial à lista children a partir do primeiro filho. homeworks/ 7 programs/ 8 todo.txt K hc.doc K hnc.doc K DDR.java 0K Stocks.java 5K Robot.java 0K Percurso Pós-Fixado Caso Particular Árvores inárias lgoritmo PosOrder(T, v) PosOrder(T, leftchild(t, v)) PosOrder(T, rightchild(t, v)) visite(t, v) * Chamada: PosOrder(T, root(t)) 7

8 valiação de Expressões ritméticas Especialização de um percurso pós-fixado: visite(t, v) calcula e retorna a op. x y se v for interno, c.c. retorna o valor armazenado em v. + lgoritmo EvalExpr(T, v) x EvalExpr(T, leftchild(t, v)) y EvalExpr(T, rightchild(t, v)) elem(t, v) retorne x y senão retorne elem(t, v) * Chamada: EvalExpr(T, root(t)) 5 Árvores inárias PS. ssume disponível no TD operação elem(t, v), que retorna info. do nó referenciado por v. Percurso Inter-Fixado Em um percurso interfixado um nodo é visitado após sua sub-árvore esquerda e antes da sua sub-árvore direita. Exemplo de plicação: Percurso não decrescente em uma árvore binária de busca onde cada nodo interno armazena um elemento maior (menor) ou igual aos elementos armazenados na sua subárvore esquerda (direita). lgoritmo InOrder(T, v) InOrder(T, leftchild(t, v)) visite(t, v) InOrder(T, rightchild(t, v) ) * Chamada: InOrder(T, root(t))

9 Exercícios Escreva um algoritmo em pseudo-código que receba uma árvore T e uma referência para um nó da árvore, retornando a profundidade daquele nó na árvore. O algoritmo deve ser iterativo (não-recursivo). O algoritmo deve usar apenas as operações do TD Árvore (slide ), independente da ED utilizada para implementá-lo. 7 Exercícios Faça um algoritmo em pseudo-código para cálculo da altura de uma árvore binária própria T recebida como parâmetro: O algoritmo deve ser recursivo. Para tanto, a árvore não deve ser o seu único parâmetro. O algoritmo deve usar apenas as operações do TD Árvore inária (slides e 5), independente da ED utilizada para implementá-lo. Você deve mostrar que o tempo de execução de pior caso do algoritmo é linear em termos do número de nós da árvore. 8 9

10 Exercícios Seja a seguinte expressão aritmética: ( 7 / ( ( (a + 8) ) ( ( b) + 8 ) ) ) / ( c 0 ) Represente essa expressão em uma árvore estritamente binária de expressão aritmética. Mostre em detalhes como essa árvore ficaria armazenada em um arranjo segundo a estratégia de implementação baseada em função numeradora por nível. Mostre graficamente e em detalhes como essa árvore ficaria armazenada em uma estrutura dinâmica. Mostre o conteúdo de cada nó da árvore segundo a ordem de visitas aos nós, nos seguintes percursos: pré-fixado, pós-fixado e inter-fixado. 9 Exercícios Implemente o TD Árvore inária em Linguagem C: Via ED estática (arranjo). Via ED dinâmica. Faça a implementação de um dos TDs acima de modo a armazenar números inteiros nos nodos da árvore. Então implemente operações para imprimir todos esses números via: Percurso pré-fixado. Percurso pós-fixado. Percurso inter-fixado. Nota: Cada visita deve imprimir o valor do nó correspondente. 0 0

11 ibliografia M. T. Goodrich & R. Tamassia, Estruturas de Dados e lgoritmos em Java, ookman, 00 M. T. Goodrich & R. Tamassia, Data Structures and lgorithms in C++/Java, John Wiley & Sons, 00/005 J. L. Szwarcfiter & L. Markenzon, Estruturas de Dados e seus lgoritmos, LTC, 994. V. ho, J. E. Hopcroft & J. Ullman, Data Structures and lgorithms ddison Wesley, 98. M. Tenembaum et al., Data Structures Using C, Prentice- Hall, 990