Métodos Formais. Notação Z - Revisão

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1 Métodos Formais Notação Z - Revisão

2 Notação Z Utiliza lógica de predicado e teoria de conjuntos Permite dividir uma especificação em esquemas Esquemas descrevem aspectos estáticos e dinâmico

3 Notação Z Aspectos estáticos: Estado que um sistema ocupa As invariantes de relacionamento que são mantidas

4 Notação Z Aspectos dinâmicos: Operações possíveis O relacionamento entre entradas e saídas As mudanças de estado que acontecem

5 Notação Z Uma especificação Z consiste de parágrafos matemáticos: Matemática: conjuntos, sequências, coleções, funções e relações Tipos básicos Variáveis Descrições axiomáticas

6 Notação Z Uma especificação Z consiste de parágrafos matemáticos: 'Constraints' Esquemas Abreviações Comentários?

7 Notação Z - Tipos Tipos são interpretados como conjuntos Fortemente tipada Todas as variáves, constantes e expressões devem ter um nome Tipos podem ser simples e compostos

8 Notação Z - Tipos Tipos simples podem ser: Primitivos e básicos Tipo primitivo: Z Como todos os tipos são tratados como conjuntos, operações como = e são definidas para todos os tipos

9 Notação Z - Tipos Tipos básicos: São definidos para uma especificação [Nome_1,...,Nome_n] [NOME,MATRICULA] Operações de conjuntos [NOME] x, y :NOME x y x NOME...

10 Notação Z - Tipos Tipos compostos Conjuntos Produtos cartesianos Esquemas Variáveis, predicados, expressões

11 Notação Z - Tipos Conjuntos Enumeração status = {pronto, executando} Compressão pares = {x : N x < 1000 x mod 2 = 0}

12 Notação Z - Tipos Abreviações Pode ser útil definir um novo nome no modelo para representar expressões complexas Exemplo Título X Autor X Ano Livro == Título X Autor X Ano

13 Notação Z - Tipos Tuplas e produto cartesiano Livro : Titulo X Autor X Ano Livro = (The Notation Z, J.M. Spivey, 2001)

14 Notação Z - Variáveis Variáveis As variáveis são associadas a um tipo através de declarações ident_1,..., ident_n : expressão p, q : livro : Titulo X Autor X Ano

15 Notação Z - Variáveis Expressões axiomáticas Introduz variáveis e 'constraints' sobre seus valores Predicados podem não ser declarados Declaração Predicado;...;Predicado square : N N n :N square n =n n

16 Notação Z - Predicados Predicados Expressões booleanas Podem ser definidos isoladamente Sobre variáveis pré-definidas Exemplo: n_client < 5

17 Notação Z - Esquemas Esquemas Nome Esquema Declarações Predicado;...;Predicado NomeEsquema =^ [D1,...,Dn P1,...,Pm] Usuario nome : seq Char senha : seq Char n:nome,m:senha n m Usuario =^ [ nome : seq Char; senha : seq Char n:nome,m:senha nome senha ]

18 Notação Z Tipos Simples e compostos Abreviações Produtos Cartesianos Expressões Predicados Variáveis Esquemas

19 Notação Z - Predicados Formas de montar predicados em Z = 1

20 Notação Z - Operações Operações sobre tipos primitivos Z N + < - > * div mod.. N1 succ

21 Notação Z - Operações Operações sobre conjuntos - pertence - união - intersecção \ - diferença # - cardinalidade - subconjunto - subconjunto próprio

22 Notação Z - Operações Operações sobre conjuntos = - igualdade U - união generalizada P - powerset

23 Notação Z - Operações Relações e funções Relações binárias modelam objetos que relacionam membros de dois conjuntos A B = P(A x B) r : A B

24 Notação Z - Operações Funções total parcial total injetora parcial sobrejetora parcial bijetora total bijetora parcial injetora total sobrejetora

25 Notação Z - Operações Operadores em relações e funções relação binária maplet dom domínio ran contra-domínio 9 composição relacional q:x Y,r:Y Z => X Z º volta da composição relacional

26 Notação Z - Operações Operadores em relações e funções restrição de domínio Conj Relação restrição de contra-domínio subtração de domínio subtração de contra-domínio ~ inverso relação _ ( _ ) imagem relacional Relação ( Conj ) => A<-->B X PA --> PB

27 Notação Z - Operações Sequência Tipos são definidos a partir dos símbolos e S1 = a, b, c, d Variáveis são especificadas: Sequência vazia - palavra chave seq Sequência não vazia - palavra chave seq₁ Sequência com elementos duplicados - palavra iseq

28 Notação Z - Operações Operações sobre sequências # tamanho concatenação rev reverso da sequência head primeiro elemento last último elemento tail sequência sem o primeiro elemento front sequência sem o último elemento

29 Notação Z - Operações Operações sobre sequência / concatenação distribuída sequência de sequência - /q prefix prefixo suffix sufixo in segmento subsequência = índice + sequência subsequência = sequência + elementos

30 Notação Z - Operações Coleções (Bags) Conjunto contendo a quantidade de cada elementos armazenado Definido a partir de uma função parcial nos naturais BagX == X N1 TipoFicha == {vermelho, amarelo, azul} BagFicha == {vermelho 3, amarelo 5} São especificados através da palavra reservada bag

31 Notação Z - Operações Operações em 'bags' count ou # quantidade de um elemento no bag elemento que aparece 'n' vezes em um bag pertence U + união U - diferença está contido

32 Notação Z - Exemplos Conta de usuário Um usuário possui nome e senha O nome é diferente da senha A senha não deve ter mais que 8 dígitos Caracter = {a, b, c, d,..., z} Login nome : seq1 Caracter senha : seq1 Caracter nome senha #senha < 8

33 Notação Z - Exemplos Livro de Aniversário De uma lista de pessoas conhecidas, desejo representar uma agenda que armazene datas de aniversário A agenda deve armazenar nomes e datas de aniversário [NOME, DATA] Agenda lnomes : P NOME aniversarios : NOME DATA lnomes = dom aniversarios

34 Notação Z - Exemplos Cliente X Servidor Não podem existir 2 servidores com mesmo id Um servidor pode atender até no máximo 5 requisições limite == N limite < 5 Servidor id: N req: limite SisServ lserv : P Servidor s1, s2 lserv s1.id = s2.id s1 = s2

35 Notação Z - Exemplos Turmas X Alunos Uma turma é formada por um conjunto de disciplinas Cada disciplina pode ter no máximo 30 alunos [DISCIPLINA] Turma lturma : bag DISCIPLINA n : N (n > 30 n lturma = )

36 Notação Z - Decoração Z é uma linguagem que estrutura um conjunto de teorias matemáticas Convenções são utilizadas para permitir o uso desta teoria matemática estruturada na descrição de programas O uso destas convenções permite-nos descrever espaço de estados e operações

37 Notação Z - Decoração Espaço de estados: Conjunto de estados iniciais Operações Cada operação possui variáveis de entrada e saída As operações são especificadas pela relação entre as variáveis de entrada e saída e um par de estados (o estado antes e depois da operação)

38 Notação Z - Decoração Em Z, um esquema especifica um espaço de estados sobre um tipo abstrado Contador valor, limite : N valor < limite O espaço de estados aqui é formado por todas as instâncias do contador que obedecem a invariante 0 valor < limite do relacionamento entre os atributos valor e limite

39 Notação Z - Decoração Para uma especificação descrever sistemas é necessário um estado inicial IniciaContador Contador valor = 0 limite = 100 Teorema: Contador IniciaContador

40 Notação Z - Decoração Uma operação especifica um estado anterior e posterior sobre um espaço de estados O símbolo ' identifica o estado final Incrementa Contador Contador ' valor ' = valor + 1 limite ' = limite As invariantes de relacionamentos devem ser mantidas antes e depois da operação

41 Notação Z - Decoração Uma operação pode conter valores de entrada e saída Valores de entrada são decorados no esquema que descreve a operação com o símbolo '?' Add Contador Contador ' incr? : N valor ' = valor + incr? limite' = limite

42 Notação Z - Decoração Valores de saída são decorados no esquema que descreve a operação com o símbolo '!' AddComRetorno Contador Contador ' incr? : N retorno! : N valor ' = valor + incr? limite' = limite retorno! = valor '

43 Notação Z - Decoração O símbolo é usado para abreviar a escrita de operações em que há mudança de estado É apenas uma convenção, não é uma operação Contador valor, limite : N valor < limite Incrementa Contador valor ' = valor + 1 limite ' = limite Incrementa valor, limite : N valor ', limite ' : N valor < limite valor ' < limite ' valor ' = valor + 1 limite ' = limite

44 Notação Z - Decoração O símbolo Ξ é usado para abreviar a escrita de operações em que não há mudança de estado Como, é apenas uma convenção, não é uma operação Contador valor, limite : N valor < limite Incrementa Contador valor ' = valor + 1 limite ' = limite RetornaAposIncrementa Ξ Incrementa retorno! : N retorno! = valor ' RetornaAposIncrementa valor, limite : N valor ', limite ': N retorno! : N valor < limite valor ' < limite ' valor ' = valor + 1 limite ' = limite retorno! = valor '

45 Notação Z - Exemplo Exemplo do livro de aniversário Uma agenda para armazenar nomes e datas de aniversário [NOME, DATA] Livro lnome : P NOME aniverisario : lnomes DATA lnome = dom aniversario

46 Notação Z - Exemplo Adicionar um novo nome no livro AdicionaNoLivro Livro nome? : NOME data? : DATA nome? lnome aniversario ' = aniversario {nome? data?}

47 Notação Z - Exemplo Encontrar uma data de aniversário EncontrarAniversario Ξ Livro nome? : NAME data! : DATA nome? lnome data! = aniversario(nome?)

48 Notação Z - Exemplo Lembrete Lembrete Ξ Livro dia? : DATA aniversariantes! : P NOME aniversariantes! = {a : lnome aniversario(a) = dia?}

49 Notação Z - Exemplo Estado inicial Inicializacao Livro lnome =

50 Notação Z - Exemplo A especificação está correta, mas não considera entrada de dados não esperados Adição de nomes que já existem Busca de nomes que não existem O sistema deve parar? Deve continuar operando e desconsiderar entrada de dados não esperadas?

51 Notação Z - Exemplo Especificação adicional Identificação de possíveis erros/exceções Cada operação vai possuir uma saída resultado! Operações com sucesso retornam ok Os outros retornos são entrada_existente ou entrada_nao_existente RETORNO = {ok, entrada_existente,entrada_nao_existente}

52 Notação Z - Exemplo Retorno de sucesso para a opreação AdicionaNoLivro O retorno é ok AdicionaNoLivro Livro nome? : NAME data? : DATA Sucesso resultado! : RETORNO resultado! = ok nome? lnome aniversario ' = aniversario {nome? data?} AdicionaNoLivro Sucesso

53 Notação Z - Exemplo Para completar a operação AdicionaNoLivro falta considerar o caso de que uma entrada existir EntradaExistente Ξ Livro nome? : NOME resultado! : RETORNO nome? lnome resultado! = entrada_existente

54 Notação Z - Exemplo Um esquema AdicionarNoLivro mais robusto NovoAdicionarNoLivro ^= AdicionaNoLivro Livro nome? : NAME data? : DATA nome? lnome aniversario ' = aniversario {nome? data?} Sucesso resultado! : RETORNO resultado! = ok EntradaExistente Ξ Livro nome? : NOME resultado! : RETORNO nome? lnome resultado! = entrada_existente (AdicionaNoLivro Sucesso) EntradaExistente NovoAdicionarNoLivro Livro nome? : NOME data? : DATA resultado! : RETORNO (nome? lnome aniversario ' = aniversario {nome? data?} resultado! = ok) (nome? lnome aniversario ' = aniversario resultado! = entrada_existente)

55 Notação Z - Exemplo No caso da operação EncontrarAniversario o nome pode não existir EncontrarAniversario Ξ Livro nome? : NAME data! : DATA nome? lnome data! = aniversario(nome?) EntradaNaoExistente Ξ Livro nome? : NOME resultado! : RETORNO nome? lnome resultado! = entrada_nao_existente NovoEncontrarAniversario = ^ (EncontrarAniversario Sucesso) EntradaNaoExistente

56 Notação Z - Exemplo No caso da operação Lembrete não há erro a ser registrado Se não existe aniversariante na data passada, o retorno é um conjunto vazio Lembrete Ξ Livro dia? : DATA aniversariantes! : P NOME aniversariantes! = {a : lnome aniversario(a) = dia?} Sucesso resultado! : RETORNO resultado! = ok NovoLembrete ^= Lembrete Sucesso