Sistema de classes de resistência para dicotiledôneas: revisão da NBR 7190/97

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1 Voltar MADEIRA arquitetura e engenharia Sistema de classes de resistência para dicotiledôneas: revisão da NBR 7190/97 Almir Sales, Universidade Federal de São Carlos, Departamento de Engenharia Civil, São Carlos, SP. almir@power.ufscar.br nº 13 artigo 9 Resumo: Este trabalho apresenta uma revisão do sistema de classes de resistência para madeiras de dicotiledôneas nativas e para as cultivadas no Brasil. Foram utilizados valores de propriedades mecânicas de quarenta e duas espécies nativas e de reflorestamento e, por meio de critérios estatísticos apropriados, estabeleceram-se classes de resistência para dicotiledôneas. A partir dos resultados, foram definidas cinco classes para as dicotiledôneas. Esses resultados se constituem em importante subsídio para a revisão da NBR Norma Brasileira para Cálculo e Execução de Estruturas de Madeira, principalmente no que se refere à especificação do material para a elaboração do projeto estrutural. Palavras-chave: madeira, classes de resistência, dicotiledôneas. Abstract: This work present a revision of the strength classes system to hardwood timbers grown in Brazil. Values of the strength and stiffness properties of forty-two tropical and forestation species were utilized. Adequate statistical analysis was conducted and five classes to hardwoods were defined. These results are important subsidy to of NBR 7190 revision - Brazilian Standard to Design and Construction of Wooden Structures, mainly for material specification to structural design. Keywords: timber, strength classes, hardwood.

2 1. Introdução A especificação da madeira para o projeto estrutural foi alterada com a revisão da NBR7190 Projeto de Estruturas de Madeira, recomendando-se a utilização de um sistema de classes de resistência SALES (2000) (1). A maneira anterior de especificar a madeira por meio da escolha de espécies usuais, em muitos casos, contribuiu no sentido de tornar a madeira menos competitiva frente a outros materiais como o aço e o concreto. Em geral, o projetista possui dificuldade no conhecimento das espécies disponíveis no local de aplicação do projeto, optando pela especificação de espécies de uso tradicional, as quais podem apresentar custo elevado de aquisição devido à distância da região de extração. Além disso, é freqüente a dúvida relativa à verificação da espécie botânica dos lotes de madeira a serem adquiridos, possibilitando a ocorrência de erros que afetam o desempenho da estrutura de madeira. Mesmo com o esforço dos laboratórios nacionais em investigar as propriedades mecânicas da madeira de espécies com potencialidade de utilização comercial, a maior parte da madeira utilizada com finalidade estrutural restringe-se ao uso de poucas espécies, levando à escassez destas essências pelo uso intensivo e conseqüente encarecimento provocado pela diminuição da oferta. É o caso da madeira espécie Peroba-Rosa, que atualmente possuem elevado custo e baixíssima disponibilidade, ocasionados pela exploração intensiva. A utilização das classes de resistência permite orientar a escolha do material para a elaboração do projeto estrutural, de tal modo que um projeto assim especificado poderá utilizar a madeira disponível na região de construção da estrutura, desde que os valores das propriedades mecânicas dos lotes a serem empregados se enquadrem na classe definida no projeto. Com isto, eliminam-se boa parte dos problemas relativos à verificação da espécie botânica do lote de madeira adquirido, pois o enquadramento nas classes de resistência será obtido em função dos valores das propriedades de resistência deste lote, como ocorre de modo semelhante com outros materiais estruturais. A aplicação do sistema de classes de resistência para a madeira de dicotiledôneas poderá facilitar a disseminação de madeiras de reflorestamento na construção civil. A madeira de eucalipto além de apresentar menor custo quando disponível em locais próximos aos de sua utilização, sua extração pode se dar em menor idade relativamente às dicotiledôneas da floresta amazônica, usualmente empregadas no sul e sudeste brasileiros. Portanto, a utilização de classes de resistência para madeiras nativas e cultivadas representa importante contribuição no sentido de favorecer a utilização da madeira como material estrutural, tornando-a mais competitiva em relação a outros materiais como aço e concreto. Dentro do contexto apresentado, o presente trabalho pretende propor a introdução de uma nova classe de resistência para as dicotiledôneas, a classe C50, visando aprimorar o sistema de classes de resistência no âmbito da revisão da NBR 7190/97 (triênio 2002/2005). A introdução da classe C50 será realizada dentro dos mesmos critérios e metodologia desenvolvida por SALES (1996) (2), e deste modo, será possível a continuidade da utilização do sistema de classes de resistência sem que haja aumento de complexidade para o projetista. 2. Sistemas de classes de resistência De maneira geral, os sistemas de classes de resistência independem dos métodos utilizados para classificar a madeira, pois possuem o objetivo de facilitar a especificação do material na fase de concepção do projeto estrutural, enquanto os métodos de classificação visual e mecânica são utilizados com o intuito de selecionar e homogeneizar lotes de madeira com características específicas visando o adequado aproveitamento do material para fins estruturais. Para o desenvolvimento de um sistema de classes de resistência, segundo GREEN; KRETSCHMANN (1990) (3), geralmente são utilizados um dos seguintes procedimentos:

3 Utilização dos valores das propriedades de resistência e rigidez de espécies ou grupo de espécies usualmente empregadas com finalidade estrutural. Os valores dos limites das classes são estabelecidos visando facilitar a especificação do material para o projeto, de modo a obter uma distribuição mais racional dos valores das propriedades das espécies ou grupos de espécies. Utilização de uma série matemática para escolher os valores dos limites das classes. As séries geralmente utilizadas são a aritmética e a geométrica, sendo que o limite de cada classe de resistência é representado por um passo na série. Nos dois procedimentos as espécies podem ser enquadradas nas classes de resistência, em função das suas propriedades de resistência e rigidez. COOPER (1951) apud BOOTH (1967) (4) demonstrou a validade da série geométrica para o desenvolvimento das classes de resistência, e propôs a adoção das séries de Renard ou preferred number series (série de números preferidos) visando o estabelecimento de classes de resistência para a madeira. As séries de Renard são representadas por R5, R10, R20, R40 etc., onde o numeral indica o número de intervalos da série. Os números gerados por essa série são calculados pela raiz quinta, décima, vigésima, quadragésima etc., respectivamente, de 10, em função da quantidade de intervalos desejados, numa progressão geométrica. Desse modo, para cinco intervalos, tem-se a seguinte razão: 5 10 = 1,5849 Considerando os valores aproximados, a série gerada com cinco intervalos entre zero e 10 é representada por: (1,00; 1,60; 2,50; 4,00; 6,30; 10,00). Uma das principais vantagens da série de números preferidos é a facilidade de formação de novas séries. O produto de dois números da série também pertence à série, e esta pode ser estendida indefinidamente, dividindo-se ou multiplicando-se sucessivamente por 10. Os valores dos limites das classes denotados pelos números gerados na série de Renard representam os valores do módulo de ruptura na flexão (MOR em psi). Estes valores são os utilizados na especificação da madeira no projeto de estruturas. Os valores de MOR podem ser estimados pelos valores do módulo de elasticidade longitudinal na flexão (MOE), obtidos a partir dos procedimentos de classificação mecânica de peças estruturais. Outras propriedades de resistência e rigidez podem ser incluídas no sistema de classes de resistência assim desenvolvido, por meio da utilização de relações entre estas e o MOR. Geralmente, os sistemas existentes utilizam as seguintes propriedades: MOR, MOE, resistência à tração paralela às fibras, resistência à compressão paralela às fibras, resistência ao cisalhamento e massa específica, GREEN; KRETSCHMANN (1990) (3). Nos sistemas de classes de resistência utilizados atualmente, consideram-se valores característicos para as propriedades de resistência, e valores médios para as propriedades de rigidez. O teor considerado para a umidade de equilíbrio da madeira geralmente é de 12% (FEWELL, 1991) (4). No Brasil, as classes de resistência para madeira estão indicadas na NBR 7190/97 e foram definidas a partir dos estudos desenvolvidos por SALES (1996) (2), o qual aplicou técnicas de análise multivariada e métodos hierárquicos para a obtenção de grupos homogêneos para a representar as classes de resistência para madeiras de coníferas e dicotiledôneas cultivadas em nosso país. O teor considerado para a umidade de equilíbrio da madeira foi de 12%, correspondente às condições ambientais nas quais têm-se valores médios anuais de umidade relativa U amb 65% e, temperatura de 20 o C. A consideração desse valor do teor de umidade de equilíbrio (U = 12%) para a madeira segue uma tendência internacional de uniformização da normalização pertinente à madeira e estruturas de madeira. O EUROCODE 5 Common unified rules for timber structures, apresentado pela COMISSION OF THE EUROPEAN

4 COMMUNITIES) (5), utiliza essa condição para as propriedades consideradas nas classes de resistência. Na NBR 7190/97 a especificação por meio das classes de resistência é feita a partir da determinação da resistência característica à compressão paralela às fibras f c0k. A utilização dessa propriedade visa permitir que a resistência da madeira seja estimada por um ensaio destrutivo de fácil execução. Esta forma de especificação reflete o modelo de segurança empregado na NBR 7190/97 baseado no método probabilista de estados limites. As classes de resistência estabelecidas são C20, C30, C40 e C60, para as dicotiledôneas, as quais estão apresentadas na tab. 1. Tabela 1: Classes de resistência para dicotiledôneas (NBR7190/97). Classe f c0,k f v0,k E c0,m ρ bas,m (kg/m3) ρ ap,m,12% (kg/m3) C C C C onde: f c0,k - valor característico da resistência à compressão paralela às fibras f v0,k -valor característico da resistência ao cisalhamento paralelo às fibras E c0,m -valor médio do módulo de elasticidade longitudinal obtido no ensaio de compressão paralela às fibras ρ bas,m - valor médio da massa específica básica ρ ap,m,12% - valor médio da massa específica aparente a 12 % de umidade 3. Espécies utilizadas no estudo para estabelecimento do novo sistema de classes de resistência para dicotiledôneas Os resultados considerados abrangem trinta e quatro espécies entre dicotiledôneas nativas e de reflorestamento, caracterizadas no Laboratório de Madeiras e de Estruturas de Madeira (LaMEM) do Departamento de Estruturas (SET), da Escola de Engenharia de São Carlos (EESC), da Universidade de São Paulo (USP). O financiamento dos projetos de pesquisa que permitiram a caracterização dessas espécies foi obtido junto ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq), Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) e Secretaria de Ciência, Tecnologia e Desenvolvimento Econômico do Estado de São Paulo. Esses resultados consistem em 858 séries de ensaios com madeira de dicotiledôneas. As espécies foram escolhidas em função dos seguintes critérios: existência de áreas no Brasil que possibilitem exploração comercial; potencialidade de utilização destas espécies nos diversos setores da construção civil; existência dos valores individuais de ensaios necessários à determinação das propriedades físicas, de resistência e de rigidez; ensaios realizados segundo uma mesma metodologia experimental. As espécies de dicotiledôneas nativas utilizadas nesta pesquisa foram retiradas da floresta amazônica, origem da maior parte da madeira serrada consumida em nosso país. As espécies de dicotiledôneas de reflorestamento utilizadas pertencem ao gênero Eucalytpus e foram cultivadas no sudeste brasileiro. A seguir estão listados os nomes comum e científico de cada uma das quarenta e duas espécies de dicotiledôneas estudadas. O registro dos nomes científicos foi efetuado segundo MAINIERI (1983) (6), MAINIERI; CHIMELO (1989) (7) e JANKOWSKY (1990) (8).

5 Angelim Araroba (Votaireopsis araroba) Angelim Ferro (Hymenolobium sp) Angelim Pedra (Hymenolobium petraeum) Angelim Pedra Verdadeiro (Dinizia excelsa) Branquilho (Terminalia sp) Cafearana (Andira sp) Canafístula (Cassia ferruginea) Casca Grossa (Vochysia sp) Castelo (Gossypiospermum praecox) Cedro Amargo (Cedrella odorata) Cedro Doce (Cedrella sp) Champanhe (Dipterys odorata) Cupiúba (Goupia glabra) Catiúba (Qualea paraensis) Garapa Roraima (Apuleia leiocarpa) Guaiçara (Luetzelburgia sp) Guarucaia (Peltophorum vogelianum) Ipê (Tabebuia serratifolia) Jatobá (Hymenaea sp) Louro Preto (Ocotea sp) Maçaranduba (Manilkara sp) Mandioqueira (Qualea sp) Oiticica Amarela (Clarisia racemosa) Quarubarana (Erisma uncinatum) Sucupira (Diplotropis sp) Tatajuba (Bagassa guianensis) Eucalipto Alba (Eucalyptus alba) Eucalipto Camaldulensis (Eucalyptus camaldulensis) Eucalipto Citriodora (Eucalyptus citriodora) Eucalipto Cloeziana (Eucalyptus cloeziana) Eucalipto Grandis (Eucalyptus grandis) Eucalipto Maculata (Eucalyptus maculata) Eucalipto Maidene (Eucalyptus maidene) Eucalipto Microcorys (Eucalyptus microcorys) Eucalipto Paniculata (Eucalyptus paniculata) Eucalipto Propinqua (Eucalyptus propinqua) Eucalipto Punctata (Eucalyptus punctata) Eucalipto Saligna (Eucalyptus saligna) Eucalipto Tereticornis (Eucalyptus tereticornis) Eucalipto Triantha (Eucalyptus triantha) Eucalipto Umbra (Eucalyptus umbra) Eucalipto Urophylla (Eucalyptus urophylla) 4. Análise multivariada e de agrupamento As técnicas de análise multivariada possibilitam analisar simultaneamente um grande número de dados e variáveis, JOHNSON; WICHERN (1988) (9). HINZ (1975) (10) define a análise de agrupamento como sendo um processo de arranjar séries de dados em grupos, de tal maneira que os dados de um grupo tenham alto grau de homogeneidade, comparados aos dados de grupos diferentes. Segundo BUSSAB et al. (1990) (11), a análise de agrupamento engloba uma variedade de técnicas e algoritmos cujo objetivo é encontrar e separar objetos em grupos similares. Um importante conceito na utilização de técnicas de análise de agrupamento é a escolha de

6 um critério que quantifique o quanto dois objetos são parecidos. Esta quantificação pode ser mensurada por meio das medidas de similaridade e de dissimilaridade. Nas medidas de dissimilaridade quanto maior o valor observado menos parecidos (mais dissimilares) serão os objetos, enquanto na similaridade quanto maior o valor observado mais parecidos são os objetos. O coeficiente de correlação é um exemplo de medida de similaridade, enquanto a distância euclidiana é um exemplo de dissimilaridade (BUSSAB et al., 1990) (11). Na presente pesquisa aplicou-se a análise de agrupamento às séries consideradas de ensaios com dicotiledôneas, utilizando as propriedades físicas, de resistência e rigidez como variáveis de estudo. Com isto, é possível discriminar as séries de ensaios em grupos homogêneos e com significativa diferenciação (dissimilaridade) entre estes grupos assim obtidos. Portanto, o estabelecimento das classes de resistência foi realizado com base nos grupos obtidos na análise de agrupamento e de acordo com os parâmetros relativos às variáveis analisadas em cada grupo Matriz de distâncias Utilizando a matriz de dados e aplicando o critério de dissimilaridade escolhido, pode-se construir a matriz de distâncias (ou de dissimilaridade), segundo a distância euclidiana dos dados. A matriz de distâncias permite verificar a distância de um objeto (série de ensaio) a qualquer outro objeto pertencente ao conjunto de dados, ou seja, o quanto estes objetos são dissimilares. Optou-se por trabalhar com os dados originais visto que, em análises preliminares, foram obtidos grupos homogêneos com significativa diferenciação entre grupos. A distância euclidiana (d) é definida como sendo (eq. 1): 2 2 ( ) = ( ) + ( ) + + ( ) = ( ) d x,y x y x y... x y x y onde: 1 1 x1 x2 x = : : x p 2 2 p p 2 p i= 1 y1 y2 y = : : y p, e p = número de variáveis i i 2 (1) 4.2. Método hierárquico centróide As técnicas hierárquicas são algoritmos nos quais os objetos são classificados em grupos em diferentes etapas, de modo hierárquico, produzindo uma árvore de classificação, CORMACK (1971) apud BUSSAB et al. (1990) (11). Na aplicação das técnicas hierárquicas aglomerativas, por meio de fusões sucessivas dos n objetos, vão sendo obtidos n-1, n-2 etc. grupos, até reunir todos os objetos num único grupo. O método hierárquico centróide, MHC, é uma técnica hierárquica aglomerativa que possibilita produzir grupos homogêneos com grande diferenciação entre os grupos. Em função disso e a partir de investigações preliminares com outras técnicas aglomerativas, o MHC foi adotado para o processamento dos dados da presente pesquisa.

7 Esse método utiliza a distância euclidiana como critério de dissimilaridade. A sua aplicação consiste em substituir cada junção de objetos num único ponto representado pelas coordenadas de seu centro, de modo que em cada etapa procura-se fundir grupos que tenham a menor distância entre si. A determinação desses pontos é facilitada utilizando-se os elementos constituintes da matriz de distâncias. No MHC a distância entre os grupos é definida pela distância entre os seus centros, sendo que cada junção efetuada diminui uma dimensão da matriz de distâncias, até reunir todos os pontos em um único grupo. O procedimento CLUSTER do programa SAS (SAS, 1990) (12), fornece uma tabela na qual é apresentada em cada etapa a formação dos grupos e os respectivos níveis de dissimilaridade em que eles são formados Representação gráfica por meio de dendrogramas Conhecendo-se os níveis de dissimilaridade das junções dos grupos obtidos na aplicação do MHC, é possível representar graficamente a análise efetuada por meio da construção de um dendrograma (gráfico em forma de árvore). No eixo horizontal do dendrograma são indicadas, de maneira eqüidistante, as séries de ensaios ou grupos formados pelas junções das séries. A escala vertical à esquerda, indica os níveis de dissimilaridade, sendo que as linhas verticais partindo dos grupos (ou séries) possuem altura correspondente ao nível no qual os objetos são considerados semelhantes. 5. Resultados obtidos para as dicotiledôneas A aplicação do método hierárquico centróide resultou na formação de cinco grupos formadores das classes de resistência. No dendrograma apresentado na fig. 1 estão indicadas as cinco classes de resistência obtidas para as dicotiledôneas Nível de similaridade Classe 1 Classe 2 Classe 3 Classe 4 Classe GR15 GR17 GR21 GR27 GR12 GR14 GR28 GR20 GR25 GR16 GR22 GR13 Grupos Figura 1 - Dendrograma obtido para as dicotiledôneas As análises realizadas segundo a metodologia proposta e com base nos resultados experimentais considerados permitem propor as seguintes classes de resistência para a madeira de dicotiledôneas, tab. 2.

8 Tabela 2: Classes de resistência para dicotiledôneas (acrescentando C50). Classe f c0,k f v0,k E c0,m ρ bas,m (kg/m3) ρ ap,m,12% (kg/m3) C C C C C Esta nova proposição para as classes de resistência para as dicotiledôneas permite uma melhor distribuição das espécies estudadas, conforme poderá ser observado no próximo item Agrupamento das espécies estudadas no novo sistema de classes de resistência para dicotiledôneas A aceitação de um lote de madeira como pertencente a uma das classes de resistência especificadas segundo a NBR 7190/97 (13) é feita sob a condição f c0k, efetivo f c0k, especificado, ou seja, a aceitação de um lote madeira como pertencente à classe C40 é feita sob a condição f c0k, efetivo 40 Mpa (tab. 2), e assim por diante. A determinação de f c0k, efetivo é realizada conforme procedimento para a investigação direta da resistência, descrito na NBR 7190/97. Uma outra forma para determinar-se este valor é a utilização dos valores médios da resistência à compressão paralela às fibras de espécies já investigadas considerando a variabilidade da resistência da madeira. De acordo com diversas pesquisas relativas à variabilidade da resistência da madeira, é possível admitir um coeficiente de variação CV = 0,18 (1,2). Desse modo, pode-se estimar a resistência característica à compressão paralela aplicando-se os valores médios obtidos para cada uma das séries de ensaios realizados para as quarenta e duas espécies estudadas. O agrupamento das espécies estudadas no novo sistema de classes de resistência, está apresentado na tab. 3. Nesta nova proposta, as 18 espécies estudadas que poderiam ser especificadas como sendo pertencentes à classe C40 podem com a nova proposta possuir a seguinte distribuição: nove espécies na classe C40; nove espécies na classe C50. Na fig. 2 está esquematizada a distribuição das quarenta e duas espécies estudadas no sistema de classes de resistência para dicotiledôneas da NBR 7190/97 e na fig. 3 está esquematizada esta mesma distribuição dentro da nova proposição, ou seja, acrescentandose a classe C50.

9 Tabela 3: Agrupamento de espécies de dicotiledôneas no novo sistema de classes de resistência para dicotiledôneas proposto (acrescentando C50). Espécie C20 C30 C40 C50 C60 Angelim Araroba Angelim Ferro Angelim Pedra Angelim P. Verdadeiro Branquilho Cafearana Canafístula Casca Grossa Castelo Cedro Amargo Cedro Doce Champagne Cupiúba Catiúba E. Alba E. Camaldulensis E. Citriodora E. Cloeziana E. Grandis E. Maculata E. Maidene E. Microcorys E. Paniculata E. Propinqua E. Punctata E. Saligna E. Tereticornis E. Triantha E. Umbra E. Urophylla Garapa Roraima Guaiçara Guarucaia Ipê Jatobá Louro Preto Maçaranduba Mandioqueira Oiticica Amarela Quarubarana Sucupira Tatajuba

10 Na proposição anterior do sistema de classes de resistência as espécies estudadas estão distribuídas conforme a fig. 2. Figura 2 Distribuição das quarenta e duas espécies estudadas segundo o sistema de classes de resistência para dicotiledôneas (NBR7190/97) Na nova proposição do sistema de classes de resistência as espécies estudadas estão distribuídas conforme a fig. 3 (acrescentando a classe C50). Figura 3 Distribuição das quarenta e duas espécies estudadas segundo o novo sistema de classes de resistência para dicotiledôneas (acrescentado C50) 6. Considerações finais O agrupamento de espécies segundo as classes de resistência fornece maior flexibilidade ao projeto, viabilizando a construção da estrutura de madeira em função das espécies disponíveis no centro consumidor, além de possibilitar a redução do custo da madeira devido ao transporte do material. Esse procedimento poderá levar a um incremento na utilização da madeira como material estrutural, ao facilitar a escolha de diversas essências numa mesma especificação, permitindo assim um melhor aproveitamento da diversidade de espécies nativas e de reflorestamento.

11 A proposição de uma nova classe C50 poderá facilitar a escolha e especificação da madeira de dicotiledôneas, permitindo um melhor aproveitamento das características mecânicas de espécies de dicotiledôneas de reflorestamento. 7. Agradecimentos O autor agradece ao Laboratório de Madeiras e Estruturas de Madeira da EESC/USP, ao CNPq e à FAPESP. 8. Referências bibliográficas (1) SALES, A. (2000). Classes de Resistência para Madeira. Revista Madeira: arquitetura e engenharia, v.1, n.1, p (2) SALES, A. (1996). Proposição de classes de resistência para madeira. São Paulo. 223p. Tese (Doutorado) - Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, Universidade de São Paulo. (3) GREEN, D.W.; KRETSCHMANN, D.E. (1990). Stress class systems: an idea whose time has come? US Department of Agriculture. Forest Services. Forest Products Laboratory. Research Paper, n.fpl-rp-500, p (4) BOOTH, L.G. (1967). The application of preferred numbers to the determination of basic stresses, grades and sizes of structural lumber. In: ANNUAL MEETING OF INTERNATIONAL UNION OF FORESTY RESEARCH ORGANIZATIONS, Munich, Anais. v.1, 16p. (5) COMISSION OF THE EUROPEAN COMMUNITIES. (1995). EUROCODE 5 - Common unified rules for timber structures. Luxembourg. (6) MAINIERI, C. (1983). Manual de identificação das principais madeiras comerciais brasileiras. São Paulo, Instituto de Pesquisas Tecnológicas do Estado de São Paulo. (7) MAINIERI C.; CHIMELO, J.P. (1989). Fichas de características das madeiras brasileiras. 2.ed. São Paulo, Instituto de Pesquisas Tecnológicas do Estado de São Paulo. (8) JANKOWSKY, I.P. (1990). Madeiras brasileiras. Caxias do Sul, Spectrum. (9) JOHNSON, R. A.; WICHERN, D. W. (1988). Applied multivariate statistical analysis. 2.ed. Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice Hall. p , (10) HINZ, P.N. (1975). A method of cluster analisys and some applications. In: EK, A.P.; BALSINGER, J.W.; PRAMNITZ, L.C., eds. Forest modeling and inventary. Madison, Society of American Foresters. p (11) BUSSAB, W.O.; MIAZAKI, E.S.; ANDRADE, D.F. (1990). Introdução à análise de agrupamentos. In: SIMPÓSIO NACIONAL DE PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA, 9., São Paulo, Anais. São Paulo, Associação Brasileira de Estatística, ABE. v.1, p.1-20, (12) SAS (1990). System analysis statistical: user s guide, version 6. 4.ed. Cary, NC, USA, SAS Institute. (13) Associação Brasileira de Normas Técnicas (1997). NBR 7190 Projeto de estruturas de madeira. São Paulo. 107p.