Raciocinar em Matemática Significado, importância e contextos de desenvolvimento

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1 Significado, importância e contextos de desenvolvimento Programa de Formação Contínua em Matemática para professores dos 1º. e 2º. ciclos do Ensino Básico da Escola Superior de Educação de Setúbal, 2010/2011

2 Raciocínio matemático: Expressão polissémica Que significado? Não sabemos o que é, realmente, o raciocínio matemático... (Steen, 1999) É complicado escrever sobre raciocínio em Matemática porque o termo raciocínio, tal como compreensão, é amplamente usado tendo subjacente a hipótese implícita de que há acordo universal sobre o seu significado (...) na realidade a maior parte dos matemáticos e educadores matemáticos usam o termo sem o clarificarem (...). (Yakel & Hanna, 2003) Raciocínio numérico, algébrico, analítico, geométrico, probabilístico, estatístico... Raciocínio indutivo, dedutivo, por analogia...

3 Estabilizando um significado Significado É uma actividade partilhada em que quem aprende participa enquanto interage com outros para resolver problemas matemáticos. Em aulas em que é valorizado o raciocínio matemático a explicação e a justificação são aspectos-chave da actividade dos alunos. A ênfase no raciocínio matemático em todos os níveis de escolaridade atrai a atenção para a argumentação matemática e justificação. (Yakel & Hanna, 2003) [envolve] a formulação e teste de conjecturas (...) a sua demonstração. (...) compreender o que é uma generalização, um caso particular e um contra-exemplo (...) envolve a construção de cadeias argumentativas (...) distinguir entre raciocínio indutivo e dedutivo (...) diferentes métodos de demonstração. (PMEB, 2007)

4 Estabilizando um significado Significado É uma actividade partilhada em que quem aprende participa enquanto interage com outros para resolver problemas matemáticos. Em aulas em que é valorizado o raciocínio matemático a explicação e a justificação são aspectos-chave da actividade dos alunos. A ênfase no raciocínio matemático em todos os níveis de escolaridade atrai a atenção para a argumentação matemática e justificação. (Yakel & Hanna, 2003) [envolve] a formulação e teste de conjecturas (...) a sua demonstração. (...) compreender o que é uma generalização, um caso particular e um contra-exemplo (...) envolve a construção de cadeias argumentativas (...) distinguir entre raciocínio indutivo e dedutivo (...) diferentes métodos de demonstração. (PMEB, 2007)

5 Estabilizando um significado Significado Formular e testar conjecturas Generalizar Compreender o que é um caso particular Compreender o que é um contra-exemplo Explicar Justificar Argumentar Demonstrar (provar) Distinguir raciocínio indutivo de dedutivo Resolver problemas Comunicar

6 Recordando a tarefa Sacos de berlindes... (...) Tirar 10 berlindes de modo a que a soma dos números seja 37. (Boavida et al., 2008) Esmiuçando significados Tomás e Matilde Ricardo e Helena Fizemos muitas experiências. Por exemplo: 34= (10 nºs) 36= (10 nºs) 38= (10 nºs) 37 = (9 nºs) 37= (9 nºs) 37= (11 nºs) Não conseguimos chegar a 37 com 10 números. O problema não se pode resolver. Primeiro fizemos experiências e não conseguimos. Depois olhámos melhor para os números dos sacos e descobrimos que eram todos ímpares. Sabemos que se somarmos dois números ímpares quaisquer vamos obter sempre um número par como, por exemplo, 9+7=16. Portanto, se tivermos uma combinação par de números ímpares, obtemos sempre como resposta um número par, como por exemplo = 22. É impossível obter 37 a partir de 10 números ímpares porque 10 é um número par e 37 é um número ímpar.

7 Explicar versus justificar Esmiuçando significados Explicar Visa tornar inteligível para outros o nosso raciocínio e o que cremos ser verdadeiro Ricardo e Helena: explicaram o seu raciocínio e afirmaram que o problema não se pode resolver Tomás e Matilde: justificaram matematicamente a impossibilidade de resolução Justificar Apresentar as causas, a razão de ser; fundamentar. Apresentar argumentos (raciocínios, razões ou provas) para mostrar a lógica, a verdade ou a falsidade de uma afirmação procurando fazer aceitar ou compreender uma ideia, posição, atitude, modo de agir. (Academia das Ciências de Lisboa, 2001) Remete para a questão do porquê

8 Recordando a tarefa Subindo escadas Conjecturar Esmiuçando significados A casa do João tem uma escadaria com 10 degraus. Por vezes, o João sobe-a degrau a degrau (passo a passo). Outras vezes, salta por cima de um degrau e continua a subir ou degrau a degrau ou saltando por cima de um novo degrau. De quantos modos diferentes pode o João subir as escadas? Conjectura 1 : o número de modos é igual ao número de degraus Conjectura: afirmação plausível mas de validade provisória

9 Recordando a tarefa Subindo escadas Conjecturar e provar que não é verdade Esmiuçando significados Conjectura 1 : o número de modos é igual ao número de degraus Testando a conjectura 1 4 degraus Passo, passo, passo, passo; Salto, passo, passo; Passo, salto, passo; Passo, passo, salto; Salto, salto 5 modos!!! Conjectura 1: refutada pelo recurso a um contra exemplo Descobrir um contra exemplo prova a falsidade de uma conjectura

10 Recordando a tarefa Subindo escadas Conjecturar: aperfeiçoar conjecturas Aperfeiçoando a conjectura 1 A importância de fazer uma lista organizada Esmiuçando significados 2d 3d 4d 5d 6d A importância de explorar relações Nº de modos

11 Recordando a tarefa Subindo escadas Conjecturar: aperfeiçoar conjecturas Esmiuçando significados Enunciando uma nova conjectura: diferentes representações Conjectura 2: O número de modos é sempre igual à soma dos dois números de modos anteriores Conjectura 2: Nº de modos Testando a conjectura 2: 8 degraus: 34 modos??? Conjectura 2: mais plausível mas não provada para qualquer nº de degraus... (34 modos)

12 Recordando a tarefa Subindo escadas Conjecturar e provar que é verdade Empiricismo naïf Esmiuçando significados (Balacheff, 1987) O número de modos é sempre igual ao número de degraus, porque verificámos para três casos (conj. 1) Experiência crucial O número de modos é sempre igual à soma dos dois números de modos anteriores porque experimentámos para 15 degraus e verifica-se (conj. 2) Não são provas da conjectura Prova: Lida com a questão da generalidade dos objectos do universo... Subindo escadas Nº de modos anterior ( ) Nº de modos anterior ao anterior ( ) +

13 Natureza discursiva: Exprimir, em linguagem natural, um raciocínio cujo foco é a Matemática; pode incluir gestos, figuras, dados numéricos,... Natureza dialéctica: Tentativa de justificar um enunciado a partir do que se crê ser verdadeiro; não conduz necessariamente a conclusões verdadeiras mas parte de princípios verdadeiros para quem argumenta; Carácter social: há que convencer, o implica o recurso à racionalidade. Discurso conectado logicamente; não necessariamente dedutivo; Função primeira: a justificação; as outras funções estão subordinadas. Argumentar em Matemática Esmiuçando significados Forma mínima de argumentação Dados Visto que Garantia Em virtude de Fundamento Conclusão (Boavida et al., 2008; Pedemonte, 2002; Toulmin, 1993)

14 Argumentar versus demonstrar Esmiuçando significados Demonstração (prova) em Matemática Encadeamento dedutivo de argumentos matematicamente válidos que conduz à necessidade lógica das conclusões. Lida com a questão da validade para todos os casos. Argumentar e demonstrar (provar): semelhanças e diferenças Semelhança: Em ambos os casos, está-se na presença de justificações racionais. Diferença: a finalidade A demonstração visa validar e a argumentação convencer; validar é mais que convencer. A demonstração pretende justificar no interior de um domínio teórico. Demonstração: uma argumentação particular (Pedemonte, 2002)

15 Argumentar versus demonstrar Esmiuçando significados Demonstração (prova) em Matemática Encadeamento dedutivo de argumentos matematicamente válidos que conduz à necessidade lógica das conclusões. Lida com a questão da validade para todos os casos. Argumentar e demonstrar (provar): semelhanças e diferenças Semelhança: Em ambos os casos, está-se na presença de justificações racionais. Diferença: a finalidade A demonstração visa validar e a argumentação convencer; validar é mais que convencer. A demonstração pretende justificar no interior de um domínio teórico. Demonstração: uma argumentação particular (Pedemonte, 2002)

16 Raciocinar em Matemática: Porquê? Importância Questão Como é que sabes quando algo está correcto em Matemática? Ouvindo os alunos: algumas respostas representativas Tem que se experimentar até encontrar cinco exemplos para ver se a resposta está certa. Quando se recebe o teste. Nunca se sabe realmente se algo está certo. Só tem que se ter esperança e rezar para que esteja certo. Se isso for designado por teoria ou teorema, sabe-se que é verdadeiro. Se fores esperto, saberás. (Knuth et al., 2009)

17 Considerações Raciocinar em Matemática: Porquê? Quatro das cinco respostas não se baseiam na racionalidade matemática, mas em factores que os alunos não controlam. Importância Fundam-se na ausência de continuadas e consistentes experiências que ajudem os alunos a compreender que raciocinar é um meio importante de validar a actividade matemática e a desenvolver a capacidade de construir argumentos matemáticos. Questão colocada a cerca de 400 alunos de uma escola urbana dos EUA. Em Portugal, as respostas seriam, na essência, muito diferentes? Possivelmente não... Justificar é central em Matemática. Mesmo as crianças mais novas não podem aprender Matemática com compreensão sem se envolverem na actividade de justificar. (Schultz-Ferrel, et al., 2007)

18 Ideias importantes Ensinar e aprender a raciocinar em Matemática Selecção criteriosa de tarefas: matematicamente poderosas e cognitivamente desafiadoras. Criar e manter uma certa cultura de sala de aula em que a explicação e a justificação sejam uma componente regular e consistente do que significa fazer Matemática; em que seja incentivada e apoiada uma atitude favorável à descoberta do porquê das coisas. Fomentar a actividade de conjecturar: compreender o significado, valorizar a actividade, formular e testar conjecturas,... Proporcionar experiências de prova: compreender que provar não significa verificar através de alguns exemplos, produzir provas, entender a importância da actividade,...

19 Referências bibliográficas Bibliografia e outros materiais consultados Academia das Ciências de Lisboa (2001). Dicionário da língua portuguesa contemporânea. Lisboa: Academia das Ciências de Lisboa e Ed. Verbo. Balacheff, N. (1987). Processus de preuve et situations de validation. Educational studies in Mathematics, 18 (2), Boavida, A. M.; Paiva, A. L.; Cebola, G. Vale, I. & Pimentel, T. (2008). A experiência matemática no ensino básico. Lisboa: ME/DGIDC Knuth, E.; Choppin, J.& Bieda, K. (2009). Proof: Examples and beyond. Mathematics Teaching in the Middle School 15 (4), Pedemonte, B. (2002). Étude didactique et cognitive des rapports de l'argumentation et de da démonstration dans l'apprentissage des mathématiques. Université Joseph Fourier-Grenoble I/ Université de Génova. Ponte, J. P. et al. (2007). Programa de Matemática do Ensino Básico. Lisboa: ME/ DGIDC. Schultz-Ferrel, K., Hammond, B. & Robles, J. (2007). Introduction to reasoning and proof (Grades Prek-2). Portsmouth: Heinemann. Steen, L. (1999). Twenty questions about mathematical reasoning. Em L. Stiff, & F. Curcio (Eds.), Developing mathematical reasoning in grades K-12 (pp ). Reston, VA: NCTM. Toulmin, S. (1993). Les usages de l argumentation. Paris: PUF. Yackel, E., & Hanna, G. (2003). Reasoning and proof. Em J. Kilpatrick, W. G. Martin, & D. Schifter (Eds.), A research companion to Principles and Standards for School Mathematics (pp ). Reston, VA: NCTM.

20 Bibliografia e outros materiais consultados Documentos não publicados Apresentação em PowerPoint intitulada Raciocinar em Matemática: Que significado? Que vertentes? Que contextos de desenvolvimento elaborada por Ana Maria Boavida no âmbito dos materiais de apoio à unidade curricular Introdução à Didáctica da Matemática (Maio de 2010, Escola Superior de Educação, Instituto Politécnico de Setúbal). Apresentação em PowerPoint intitulada Geometria: Justificar, argumentar e demonstrar elaborada por Ana Maria Boavida, Fernanda Matias, Margarida Rodrigues e Sílvia Machado para a Formação de Professores Acompanhantes do PMEB: Geometria promovida pela DGIDC (Janeiro de 2010, Vieira de Leiria). Apresentação em PowerPoint intitulada Raciocínio matemático: Significado e contextos de desenvolvimento elaborada por Leonor Santos, Ana Maria Boavida, Hélia Oliveira e Susana Carreira, para o curso Orientação e desenvolvimento de projectos educativos em Matemática II (formação de Professores Acompanhantes) promovido pela DGIDC (Fevereiro de 2008, Vieira de Leiria).