PRODUÇÃO E MINIMIZAÇÃO DE CUSTOS: UM EXERCÍCIO EM CONTROLE ÓTIMO NO EXCEL.

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1 PRODUÇÃO E MINIMIZAÇÃO DE CUSTOS: UM EXERCÍCIO EM CONTROLE ÓTIMO NO EXCEL. Robert Wayne Samohyl, Ph.D Professor Titular da Universidade Federal de Santa Catarina, Departamento de Engenharia de Produção e Sistemas, Florianópolis - SC. samohyl@eps.ufsc.br. Flávia Maria Longo Acadêmica de graduação da Universidade Federal de Santa Catarina, Departamento de Engenharia de Produção e Sistemas, Florianópolis - SC. flavia@eps.ufsc.br. Abstract: This paper is based upon the classic article of Holt et al (HMMS, 955) concerning the optimization of variable costs for a paint factory for a planning period of one year (954), taking into account predictions of monthly costs associated with employment, production and inventories. Today s factory allocation problem is certainly the same. The original equations from HMMS reappear in the literature from time to time, most recently in Shen (994) and Love and Turner (993). The equations are utilized to test new algorithms in exercizes of optimal stochastic control. The focus in this paper is to offer an optimal control exercize using the simplest of procedures available in the EXCEL environment with new equations that have been re-estimated from the original HMMS data, without the use of simplifying assumptions to linearize the mathematics. The paper is concluded with comments which compare some of our results to the original HMMS approach. The most interesting result concerns the optimal allocation of workers. HMMS would recommend hiring and firing at various times throughout the planning period, whereas our results based on more realistic cost functions would recommend that the level of employment be held constant. Key words: production, inventories, planning. Introdução Este trabalho tem como base o artigo clássico de Holt et al (955) (HMMS) sobre a otimização de custos operacionais numa fábrica de tintas num período de planejamento com horizonte de um ano (954), levando em conta previsões de custos mensais associados ao trabalho, produção e estoques. O problema empresarial hoje em dia não é diferente dos anos 50: buscar a alocação ótima de mão-de-obra e nível de produção que minimiza custos operacionais dado uma previsão no período de planejamento sobre as vendas. As equações originais de HMMS reaparecem na literatura de vez em quando e mais recentemente em Shen (994) e Love e Turner (993). Estas equações são utilizadas para testar a eficiência de novos algoritmos para exercícios em controle ótimo estocástico. A proposta principal deste trabalho é conduzir o controle ótimo não-linear na maneira mais simples possível, usando como meio a planilha EXCEL com equações reestimadas dos dados originais de HMMS, sem nenhuma suposição rígida sobre a linearidade, ou não, das relações de custo.

2 O trabalho é concluído com comentários que comparam alguns resultados do trabalho original de 955 com os deste trabalho. O resultado mais interessante é relacionado a utilização de mão-de-obra na fábrica. HMMS recomendaria fases onde a mão-de-obra é mais utilizada e fases onde seria menos utilizada. Nosso resultado, baseado em funções de custo mais realistas, recomenda que a mão-de-obra esteja estável durante o período de planejamento sem qualquer admissão ou demissão. 2 Modelo original de HMMS No estudo clássico de Holt, et al (HMMS, 955), o custo total de operação tem quatro elementos: folha de pagamento, custos de empregar e demitir, custos de hora extra e custos de estoques. Estes custos caracterizam-se por funções das seguintes variáveis: número de trabalhadores (W t ), nível de produção (P t ) e estoques líquidos (I t ) = estoques brutos (GI t ) - pedidos em atraso (BO t ). Custos de folha de pagamento: () CRP t = 340 W t onde t significa o período de um mês. Em HMMS t =,...,N=2 representando o horizonte de planejamento da fabrica, alias o ano de 954. Custos de empregar ou demitir: (2) CHL t = 64.3 (W t - W t- ) 2 Custos de hora extra: (3) COT t =.20 (P t W t ) P t - 28 W t Custos de estoques: (4) CINV t =.0825 (I t - 320) 2 Custo total (Ct t ) para cada período é a soma dos custos individuais: (5) Ct t = CRP t + CHL t + COT t + CINV t 955). HMMS define C N como the total cost for N months expressed in dollars (p. 5, (6) C N = CTt N t= O problema de otimização de HMMS é, portanto, minimizar os custos durante o período de planejamento: (7) min C N = Wt,Pt Sujeito às restrições: (8) I t- + P t - S t = I t CTt onde S t, a única variável exógena, são pedidos recebidos (vendas) no período t. No entanto, as equações originais de HMMS, () até (8), podem ser modificadas utilizando técnicas mas recentes para refletir melhor as relações verdadeiras, levando em conta que as funções de custo são representadas em formas nao-quadráticas e não-lineares na discussão original,

3 do capítulo 3 do livro(hmms) de 960. Passando para a forma quadrática como um artifício matemático, como fez HMMS nos anos 50, ajuda em simplificar a resolução do sistema de equações. A abordagem original para solucionar o problema da fábrica de tintas foi através de uma aplicação simples de controle ótimo quadrático. Foi necessário aproximar as funções de custo a formas quadráticas para simplificar as operações matemáticas subsequentes. "Once the parameters of the cost functions are estimated, the decision rule solution may be obtained by differentiating with respect to each decision variable. We obtain a set of linear equations, and then invert the matrix of these equations to obtain the decision rules." (HMMS, 955, p.6). Consequentemente, a estimação de funções de custo tem que seguir uma forma quadrática. Lembra-se, entretanto, que artifícios desta espécie eram necessários nos anos 50 em função do desenvolvimento muito restrito, na época, de informática. Nosso trabalho é dedicado a oferecer um tratamento mais moderno, sem sacrificar a formulação original de HMMS. 3 A versão modificada do modelo A versão modificada das equações mantém a equação que representa a folha de pagamento (). Porém, a equação para os custos de empregar e demitir trabalhadores agora é separada em duas, como HMMS explicam: In conference with management a judgemental estimate was made that the cost of hiring and training was $80 for a one-man increase in the size of the workforce. A layoff cost estimate of $360 per man included direct costs and morale effects on the remaining workers. (p. 73, 960). Custos para empregar: (9) CH t = 80 (W t - W t- ) >=0; Custos para demitir: (0) CLO t = 360 (W t- - W t ) >=0; Os custos de hora extra são reestimados a partir dos dados originais, buscando uma forma funcional mais adequada e reconhecendo um possível problema de heteroscedasticidade. Os procedimentos estatísticos em regressão não serão discutidos aqui mas estão disponíveis dos autores. () COT t =.0943 COT t (P t W t ) P t (P t ) W t + et Na discussão de HMMS sobre os custos de estoques, as equações representativas vêm diretamente de relações lineares: Since the cost of holding a gallon of gross inventory (GI) for one month was estimated to be $20, and the cost of holding a back order gallon (BO) for one month was estimated to be $00, it was possible to calculate for each month the

4 cost of holding inventory and the cost of holding back orders. (HMMS, p. 76, 960). Utilizando os números acima, os custos relacionados aos estoques são os seguintes: Custos de estoques brutos: (2) CINV t = 20 GI t Custo de pedidos a realizar: (3) CBOt = 00 BO t Na versão modificada do modelo, custo total (CT t ) para cada período é a soma de seis custos individuais: (4) CT t = CRP t + CH t + CLO t + COT t + CINV t + CBO t Finalmente, a restrição (8) foi rescrita explicitamente em termos de pedidos a realizar (BO) e estoques brutos (GI): (7) GI t- - BO t- + P t - S t = GI t - Bo t O problema de otimização de HMMS, portanto, continua igual a formulação original, minimizar os custos durante o período de planejamento, levando em conta as equações reformuladas: (7) 4 Alguns resultados min C N = Wt,Pt CTt A partir dos dados e equações anteriormente expostos, apresenta-se alguns dos resultados obtidos através do EXCEL e o utilitário SOLVER. A planilha de figura referese ao modelo inicial de Holt, et al (HMMS, 955). Cada linha da planilha representa um mês no período de planejamento, de janeiro até dezembro de 954. Na primeira coluna de resultados numéricos do nível de mão-de-obra W t é demonstrada a severidade da conclusão de HMMS, recomendando um corte imediato de emprego nos primeiros quatro meses do período de planejamento de 07 para um mínimo de 86 trabalhadores. Na segunda coluna de resultados, o nível de produção sofre variações entre um máximo de 645 em julho e um mínimo de 203 em novembro. A previsão de custo total somado para o período todo seria , o último número da planilha. Gráficos, 2 e 3 repetem os resultados principais de forma prática.

5 954 Wt P t GI t BO t I t S t CRP t CHL t COT t CINV t CT t dez jan fev mar abr mai jun jul ago set out nov dez TOTAL Figura : Planilha de Resultados do Modelo Original (HMMS). A seguinte planilha, figura 2, diz respeito à versão modificada do modelo anterior. A diferença marcante entre as duas planilhas está na primeira coluna de resultados numéricos, que refere-se a mão-de-obra empregada na fábrica durante o período de planejamento, que não sofre variação. Custos de empregar e custos de demitir ficam com valores zerados. Neste modelo, o custo de hora extra (COT t ) é maior e, subseqüentemente, quando precisa-se de mais mão-de-obra usa-se aquela já disponível na fábrica sem que se faça necessária a admissão de mais operários. Assim, a hora extra acaba sendo mais barata do que variar o número de operários da fábrica. Neste caso, o custo total fica em , maior que o resultado do HMMS, mas enfatizamos que esta estimativa é mais realista na luz de funções de custo que refletem melhor a realidade das não-linearidades. Uma última observação interessante é no tocante ao nível de produção proposta pelos dois procedimentos. Como se pode ver claramente no gráfico 2, as programações para o nível de produção são idênticas. Em outras palavras, os dois procedimentos concordam nas suas propostas sobre o nível de atividade da fábrica, exceto na maneira utilizada para conseguílo. HMMS querem variar o número de trabalhadores da fábrica enquanto o modelo modificado quer variar a intensidade do uso da mão-de-obra já existente. 954 Wt P t GI t BO t I t S t CH t CLO t CINV t CBO t CRP t COT t CT t dez jan fev mar abr mai jun jul ago set out nov dez TOTAL Figura 2: Planilha de Resultados do Modelo Modificado.

6 NÍVEL DE MÃO-DE-OBRA 20,00 0,00 MODIFICADO 00,00 90,00 80,00 HMMS 70,00 60, Período de Planejamento Gráfico : Número de Trabalhadores. NÍVEL DE PRODUÇÃO 700,00 600,00 500,00 400,00 300,00 200,00 00,00 0, Período de Planejamento Gráfico 2: Nível de Produção.

7 CUSTO TOTAL Período de Planejamento Gráfico 3: Custo Total. 5 Conclusões Até poucos anos atrás, o uso de controle ótimo não era considerado uma prática empresarial muito útil principalmente em função de duas deficiências. Primeiro, para simplificar formas funcionais intrinsecamente não-lineares, as relações verdadeiras foram transformadas em relações não tão verdadeiras, mas, pelo menos, mais fáceis para manipular matematicamente. Os resultados das simplificações matemáticas eram, consequentemente, soluções não representativas da realidade da empresa. Segundo, os algoritmos e softwares antes disponíveis, eram complicados para se entender sua base teórica e extremamente caros na implementação e uso cotidiano. Este trabalho tentou demonstrar que estas duas deficiências ainda existem mas em grau cada vez menor, e que a tecnologia mais recente da área é cada vez mas acessível à comunidade empresarial. 6 Bibliografia Becker, R., Hall, S., Rustem, B. (994) "Robust optimal decisions with stochastic nonlinear economic systems". Jour. of Eco. Dyn. and Cont. p Holt, C., Modigliani, F., Muth, J., and Simon, H. (960) Planning Production, Inventories and Workforce. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ. Holt, C., Modigliani, F.,Simon, H. (955) "A linear decision rule for production and employment scheduling". Management Science 2/,-30. Love C.E., and M. Turner. (993) "Note on utilizing stochastic optimal control in aggregate production planning". Eur. Jour. of O.R

8 Samohyl, Robert. "Applications of stochastic optimal control through simulation", presented at the Brasilian Congress of Operations Research, Florianopolis, Brasil, December 3, 994. Shen, Randolph F.C. (994) "Aggregate production planning by stochastic control". Eur. Jour. of O.R Theil, Henri. (964) Optimal Decision Rules for Government and Industry. North Holland, Amsterdam.