CONHECIMENTO MATEMÁTICO NOS ANOS INICIAIS: POSSIBILIDADES A PARTIR DAS OBRAS DE M.C. ESCHER

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1 CONHECIMENTO MATEMÁTICO NOS ANOS INICIAIS: POSSIBILIDADES A PARTIR DAS OBRAS DE M.C. ESCHER Resumo VAZ, Halana Garcez Borowsky UFSM halanagarcezborowsky@yahoo.com.br BEMME, Luis Sebastião Barbosa UFSM luisbarbosab@yahoo.com.br MARAFIGA, Andressa Widenhöft UFSM andressinhamarafiga@hotmail.com LOPES, Anemari Roesler Luersen Vieira UFSM anemari.lopes@gmail.com Eixo Temático: Educação Matemática Agência Financiadora: Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior O Clube de Matemática é um projeto que vem sendo desenvolvido há dois anos no âmbito do GEPEMat (Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática), junto a escolas da rede pública estadual da cidade de Santa Maria, Rio Grande do Sul, e centra suas preocupações no desafio de ensinar Matemática nos anos iniciais, principalmente no sentido de organizar ações que possibilitem um ambienta favorável para a aprendizagem. A dinâmica deste projeto acontece em três principais momentos: planejamentos das ações por parte dos estudantes de licenciatura em Matemática e Pedagogia; aplicação na escola deste planejamento pelos estudantes e professora regente; e avaliação realizado com a participação de todos os componentes do GEPEMat. O presente trabalho ter por objetivo apresentar uma Unidade Didática desenvolvida no Clube de Matemática na perspectiva da Atividade Orientadora de Ensino (Moura, 1996), a partir das obras de M. C. Escher. A unidade aqui relatada foi realizada com uma turma do terceiro ano do Ensino Fundamental iniciando com uma história virtual apresentada com o intuito de estudar padrões a partir das obras de Escher. Após o estudo da vida e obra deste artista e tendo por base a problemática apresentada na história, foram planejadas e desenvolvidas duas Situações Desencadeadoras de Ensino (SDE): a construção de um sólido platônico e a construção de dois caleidociclos. O sólido platônico hexaedro regular- e um dos caleidociclos eram decorados com obras de Escher, de acordo com a proposta de Schattschneider e Walker (1991). Esta Unidade Didática consistiu num processo em que os alunos do Clube de Matemática tiveram a oportunidade de constatar que a Matemática não está restrita a números e operações. Além disso, foi possível acompanhar a aprendizagem matemática dos mesmos em relação a: medidas; formas; relação entre plano e espaço; formas geométricas; e padrões matemáticos.

2 13054 Palavras-chave: Anos iniciais. Educação Matemática. Clube de Matemática. Ensino e Aprendizagem da Matemática Introdução O ensino da Matemática requer, cada vez mais, mudanças que sejam capazes de reverter o quadro atual que aponta grandes dificuldades, tanto por parte dos alunos quanto por parte dos professores. Nesse sentido, podemos pensar na Educação Matemática escolar levando em consideração outras áreas do conhecimento, como por exemplo, as Artes, o que pode se constituir como uma ferramenta importante para enriquecer as ações desenvolvidas em sala de aula. A área de Artes pode contemplar as aulas de Matemática não só como forma de motivação, mas também como uma forma de aplicação de conteúdos. No percurso histórico da humanidade é possível perceber a estreita ligação entre estas duas áreas, quando observamos, por exemplo, que na arquitetura as normas rígidas de simetria e proporcionalidade buscavam não só a harmonia das formas mas expressavam desenhos e figuras geométricas. As atividades que podem ser realizadas a partir de uma obra de arte podem ser variadas e atender a diversos conceitos e introduzir ideias Matemáticas de uma maneira bem diferenciada e que foge de uma visão tradicional de ensino. Nesse sentido, o Clube de Matemática (CM) busca uma aproximação da Matemática com as outras áreas do conhecimento. O CM surgiu de uma necessidade de um grupo de alunos de graduação e de professores da rede pública de repensar a prática do ensino de Matemática nos anos iniciais. Atualmente se constitui como um projeto que conta com a participação de alunos de graduação dos cursos de Matemática e Pedagogia, estudantes de pós-graduação, professores da rede pública e professores universitários. É desenvolvido em uma turma do terceiro ano do Ensino Fundamental de uma escola pública de educação básica, e se constitui como lócus de pesquisa do Núcleo da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM), coordenado pelo GEPEMat, do projeto Educação Matemática nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental: princípios e práticas da organização do ensino, financiado pelo Observatório da Educação/CAPES, desenvolvido em parceria com a Universidade de São Paulo (USP- São Paulo e USP-Ribeirão Preto) e a Universidade Federal de Goiás (UFG).

3 13055 A preocupação do CM com a Matemática concentra-se no desafio que é para o professor ensinar essa disciplina nos anos iniciais, principalmente no sentido de desenvolver ações que possibilitem um ambienta favorável para a aprendizagem. Isto porque a Educação Matemática nesse nível de ensino não pode se reduzir apenas à transmissão de regras e conteúdos buscando a memorização, mas sim, a um processo de compreensão das ideias que envolvem os conteúdos matemáticos. A escola, tendo o professor como aliado, tem um papel de extrema importância no desenvolvimento dos alunos. Ela é o lugar de socialização e apropriação de conhecimentos construídos historicamente, por isso contribui de forma significativa para o desenvolvimento do ser humano, para melhor viver e conviver em sociedade, aprender com a diversidade, construindo ações do coletivo e no coletivo. O CM desenvolve suas ações visando não só o aprendizado da Matemática, mas também o processo de humanização. Segundo Moura et. al. (2010, p ) o homem cria necessidades que têm por objetivo não apenas garantir sua existência biológica, mas, principalmente, sua existência cultural. Satisfazendo suas necessidades, constituindo-se como um ser ético, como um ser que cria princípios e preceitos para guiar sua ação, ao mesmo tempo que tais princípios norteiam a constituição de suas necessidades e ações. O CM esta organizado em três principais momentos: planejamentos das ações por parte dos estudantes de licenciatura em Matemática e Pedagogia; aplicação na escola deste planejamento pelos estudantes e professora regente; e avaliação realizado com a participação de todos os componentes do GEPEMat. Este trabalho tem por objetivo apresentar uma das Unidades Didáticas desenvolvidas no Clube de Matemática, na perspectiva da Atividade Orientadora de Ensino (Moura, 1996), a partir das obras de Escher. Inicialmente trazemos um breve histórico do artista Escher. Posteriormente apresentamos a Unidade Didática e suas etapas de desenvolvimento e finalizamos com algumas considerações sobre a mesma. Sobre Escher e a Matemática Maurits Cornelis Escher nasceu em uma pequena cidade ao norte da Holanda, em 17 de junho de Como tinha grande interesse pelas artes gráficas, ingressou na Escola Secundária para estudar arquitetura,

4 13056 Ele viajava muito e por longos períodos pela Europa, principalmente para Itália, onde a paisagem inspirava-o a fazer as suas obras. Durante o rigor do inverno suas viagens eram interrompidas e ele aproveitava para usar seu tempo trabalhando e aperfeiçoando seus rascunhos. De acordo com Brun (1998), o ano de 1937 foi marcante para sua obra, pois ele realizou uma expedição num cargueiro pela costa da Itália indo até a Espanha. Nesta viagem, dois lugares em particular acabaram servindo de inspiração para diversas dos seus trabalhos: os Mosaicos dos Mouros encontrados no Alhambra e A Mesquita, em Córdoba. Desde então, Escher se tornou muito menos móvel e viajou somente de férias, para visitar seu filho que vivia no exterior ou para dar palestras sobre o seu trabalho. Em 1937 ele se mudou para Ukkel, perto de Bruxelas. Viajou mais uma vez para a sua Terra Natal e em 1970 foi à última vez que se mudou, quando finalmente se fixou em Laren. Ele morreu em março de Apesar de não ter grandes conhecimentos matemáticos, Escher construiu suas obras, em grande parte, sobre o fascínio de alguns objetos e conceitos matemáticos. Em algumas das suas criações podemos notar claramente a noção do infinito, rotações, simetrias, translações, além dos sólidos platônicos. Muitas de suas obras desafiam as leis da perspectiva, representando imagens de objetos aparentemente tridimensionais, mas que não podem existir na realidade. Outras, ainda, baseiam-se em figuras impossíveis já conhecidas na Matemática (como o Tribar ou a Escada de R. Penrose), mas que nunca tinham sido tão bem aproveitadas em termos gráficos. Desenvolvimento Moura (1996) propõe a Atividade Orientadora de Ensino (AOE) baseado na Teoria da Atividade de Leontiev que, segundo Nascimento (2010), busca no trabalho educativo as necessidades, objetos e instrumentos da atividade de ensino dos professores e da atividade de aprendizagem dos educandos. Ainda segundo Nascimento (2010), podemos dizer que a AOE pode ser considerada base teórico-metodológica para a organização do ensino: teórica por considerar a organização do ensino enquanto atividade baseada na teoria da atividade, e metodológica por fornecer um instrumento lógico-metodológico para a organização dos conhecimentos a serem ensinados e aprendidos.

5 13057 A AOE como mediadora na organização do trabalho pedagógico apresenta alguns elementos que podem ser apropriados pelos professores, quais sejam: a história do conceito, a história virtual, o problema desencadeador, as situações desencadeadoras de aprendizagem e a síntese coletiva. Esta se estrutura de modo a permitir que os sujeitos interajam, mediados por um conteúdo negociando significados, com o objetivo de solucionar coletivamente uma situação-problema. (MOURA et. al, 2010, p.155). Esses elementos são norteadores de nossas ações, como podemos perceber na descrição da Unidade Didática a seguir. História Virtual e Problema Desencadeador Como já ressaltado, o Clube de Matemática pauta-se na Atividade Orientadora de Ensino proposta de Moura (1996), e baseia-se na concepção de que a atividade educativa se desencadeia a partir da organização do ensino do professor. Tal concepção traz como conseqüência a compreensão de que as ações desenvolvidas com o intuito de proporcionar a aprendizagem devem ser precedidas de um planejamento. Para a Unidade Didática aqui relatada foi elaborado um problema desencadeador onde Frederico, um personagem fictício, depara-se diante de um problema: precisa pintar um cartão utilizando padrões, a tempo de entregar no dia das mães. Sua grande inspiração eram as obras de Escher. Padrões são desenhos que se repetem. Em geometria utilizam-se padrões para preenchimento de superfícies, em especial na confecção de mosaicos. No caso de Frederico, ele deveria criar um padrão que preenchesse o espaço destinado a capa do cartão ao mesmo tempo em que o decorasse. Para ajudar os alunos na resolução do problema de Frederico, foi apresentado inicialmente um breve histórico sobre a vida de Escher e algumas de suas obras sendo ressaltadas, em especial, as ideias matemáticas contidas nas obras. Pôde-se notar um grande interesse dos alunos, principalmente sobre as obras que dão noção de infinito, como a obra Limite Circular II. Foram muitos os questionamentos e comentários entre eles sobre quais os objetos que estavam presentes nas obras e qual a relação que havia entre eles. Posteriormente foi feita a exploração do mapa mundi, quando os alunos localizaram os países onde Escher havia passado. Nessa ação realizada com o mapa, os alunos também

6 13058 tiveram a possibilidade de localizar a região onde moramos e comparar as distâncias entre ela e os outros países que foram visitados por Escher. A partir desta explanação, os alunos puderam então, familiarizar-se com o conceito de padrão contido também nas obras do Escher, utilizando-o para a confecção da estampa do cartão que fariam para o dia das mães. Após a confecção os alunos organizaram um mural com os cartões, que foi exposto e entregue na comemoração deste dia na escola. Situações Desencadeadoras de Aprendizagem De acordo com Moura et. al. (2010), a situação desencadeadora de aprendizagem (SDA) é mobilizadora de necessidades, motivos, objetivos, ações e as operações do professor e dos estudantes e se traduzem em conteúdos a serem apropriados pelos estudantes no espaço de aprendizagem. De forma a complementar os conhecimentos trabalhados inicialmente sobre os conteúdos vistos a partir das obras de Escher, foram realizadas duas SDA: a construção de um sólido platônico e de dois caleidociclos. O sólido platônico hexaedro regular- e um dos caleidociclos eram decorados com obras de Escher, de acordo com a proposta de Schattschneider e Walker (1991). Na construção do sólido, o objetivo inicial era que os alunos tivessem condições de observar os padrões presentes em um octaedro planificado com ilustrações baseadas na obra Três Mundos. Figura 1- Octaedro Planificado Pedimos aos alunos que colorissem o modelo planificado, cujas imagens estavam em preto e branco, destacando as figuras que consideravam mais relevantes.

7 13059 Aos poucos, os alunos foram observando que algumas figuras se repetiam e foram construindo formas próprias de destacar esses padrões utilizando cores diversas ou uma cor única. Vale salientar que um aluno demonstrou muito interesse no sólido e resolveu fazer uma homenagem ao pai dele que estava de aniversário, pintando e escrevendo no sólido para lhe entregar. Esta motivação atribui um significado diferenciado ao trabalho dele. Após a pintura, iniciou-se a etapa de montagem dos sólidos, que apresentou um pouco mais de dificuldades, exigindo mais paciência e concentração por parte dos alunos. No entanto, os alunos estavam tão entusiasmados com a atividade que não se importaram de esperar, claro que com ansiedade, pois queriam ver o sólido pronto. Começamos a ajudar os alunos na montagem. Nessa etapa foi dada especial atenção ä relação entre o plano e o espaço: como uma figura em uma planificada, se organiza, através da dobradura em triângulos,numa figura espacial Figura 2 - Octaedro após a montagem A SDA seguinte foi a montagem de dois Caleidociclos, que são círculos tridimensionais de tetraedros (SCHATTSCHNEIDER E WALKER, 1991). No primeiro eles receberam um caleidociclo planificado decorado com a obra Três Mundos de Escher que eles tiveram que colorir, seguindo a mesma dinâmica do sólido ressaltando os padrões- e montar. No segundo, eles receberam uma malha plana de triângulos (Figura 3) que eles próprios decoraram, pintaram e montaram, conforme o exemplo apresentado na Figura 4. Figura 3 Caleidociclo planificado sem decoração

8 13060 Figura 4 Caleidociclo decorado por um dos alunos Foi possível observar que a atividade constitui-se como uma proposta interessante do ponto de vista da interação, uma vez que os alunos se auxiliaram para a execução. Ao término da aula os alunos mostravam-se entusiasmados com seus caleidociclos coloridos e com diferentes estampas. Nesse encaminhamento destaca-se não somente os aspectos das relações entre a Matemática e a Arte, mas também os aspectos lúdicos do brincar com o caleidociclo, pois, segundo Kishimoto (1997), se desejamos formar seres criativos, críticos e aptos para tomar decisões, um dos requisitos é o enriquecimento do cotidiano infantil com a inserção de histórias, lendas e brincadeiras. Considerações Finais De acordo com o que Curi (2009) nos coloca, durante muito tempo a ênfase no processo mecânico de utilização de fórmulas e números era frequente no ensino de Matemática, no entanto, segundo a autora, isso vem mudando e hoje já se tem uma preocupação maior com a comunicação e a interação no sentido de possibilitar meios para melhorar a aprendizagem dos alunos. É importante desenvolver um trabalho que leve o aluno a acompanhar a dinamicidade, desmistificando a visão que parcela significativa dos alunos tem de que o conteúdo matemático é um conhecimento abstrato e estático. Para Alves, (2001), o desenvolvimento de atividades lúdicas nas aulas de Matemática, gera efetiva participação, pois os alunos sentem-se motivados, tendo interesse para tal, propiciando o desenvolvimento da aprendizagem de conteúdos matemáticos. Considerando que a realização da Unidade Didática, aqui descrita, coincidiu com o período referente a data do aniversário de nascimento de Escher, os alunos da turma do Clube

9 13061 de Matemática realizaram uma apresentação para os demais alunos da escola, onde puderam socializar os conhecimentos sobre a vida e obra do artista. Esse momento foi avaliado como uma síntese coletiva dos conhecimentos trabalhados em aula, visto que os alunos puderam relatar os conhecimentos matemáticos encontrados nas obras de Escher, demonstrando apropriação da cultura elaborada. Além disso, os alunos tiveram a oportunidade de constatar que a Matemática não está restrita a números e operações. Foi possível perceber a aprendizagem dos alunos mais especificamente no que diz respeito: a medidas atrás da atividade com o mapa onde puderam comparar a distância e entre os países; a relação entre plano e espaço e a identificação de formas na construção do octaedro; e padrões na observação e decoração do caleidociclo e do cartão confeccionado para as mães. Pudemos considerar, portanto, que quando a atividade realizada com os alunos efetivamente os interessa, realmente participam da proposta levada pelo professor, e o ensino e a aprendizagem dos conceitos trabalhados se dá forma mais dinâmica. Pois o conhecimento se constrói através da vivência da criança, ou seja, através da aprendizagem de forma significativa e prazerosa. A partir desta experiência, podemos reforçar a importância do professor trabalhar em sala de aula com metodologias diversificadas que dinamizem a Educação Matemática através do envolvimento dos alunos. Destaca-se que aquelas que fazem uso de aspectos lúdicos se tornam particularmente importantes nos anos iniciais do ensino fundamental. Trabalhar de forma lúdica em sala de aula no desenvolvimento dos conteúdos matemáticos pode contribuir para que as crianças não apresentem rejeição em relação a essa disciplina. Ao trabalhar desta forma estamos colaborando para que as crianças sintam prazer em compreender a Matemática, formando cidadãos conscientes da necessidade e da importância desses conhecimentos em sua vida cotidiana. Finalizando, é importante ressaltar que entendemos que os aspectos positivos aqui apresentados, estão diretamente relacionados a organização da atividade, através dos elementos norteadores da Atividade Orientadora de Ensino. REFERÊNCIAS ALVES, Eva Maria Siqueira. A ludicidade e o ensino de matemática: uma prática possível. Campinas, SP: Papirus, 2001.

10 13062 BRUN, Ernst. O espelho mágico de M.C. Escher. Trad. Maria Odete Gonçalves Keller. Singapura: Evergreen, CURI, Edda. Genêros textuais usados freqüentemente nas aulas de matemática: exercícios e problemas. In: LOPES, Celi Espasandin; NACARATO, Adair Mendes. Educação Matemática, Leitura e Escrita: armadilhas, utopias e realidades. Campinas: Mercado de Letras, KISHIMOTO. Tizuko Morchida. Jogo, brinquedo, brincadeira e a educação. São Paulo, SP: Cortez, MOURA, Manoel Oriosvaldo de. et al. A atividade pedagógica na teoria históricocultural. Brasília: Liber, MOURA, Manoel Oriosvaldo de. A atividade de ensino como unidade formadora. Bolema, Rio Claro, v. 12, p NASCIMENTO, Caroline. A organização do ensino e a formação do pensamento estéticoartístico na teoria histórico-cultural. Dissertação (Mestrado em Educação) Faculdade de Educação, Universidade de São Paulo, São Paulo, SCHATTSCHNEIDER, Doris; WALKER, Wallace. Caleidociclos de M.C. Escher. Trad. Maria Odete Gonçalves Keller. Singapura: Evergreen, 1991.