Um pouco de Álgebra Relacional

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1 Capítulo 3 Um pouco de Álgebra Relacional A compreensão das operações da álgebra relacional é extremamente importante para aqueles que querem conhecer melhor os mecanismos das linguagens de consultas para bancos de dados relacionais. Este capítulo apresenta um resumo das operações da álgebra visando a apresentar ao leitor alguns conceitos que serão valiosos no decorrer dos capítulos subsequentes. 3.1 OPERAÇÕES DA ÁLGEBRA RELACIONAL A álgebra relacional está baseada em cinco operações primitivas: PROJEÇÃO SELEÇÃO PRODUTO UNIÃO DIFERENÇA Uma expressão algébrica é uma seqüência de operações que, executadas na ordem estabelecida, produzem um resultado final na forma de uma tabela. Uma operação da álgebra é aplicada sobre um ou dois operandos, dependendo da operação. Um operando pode ser uma tabela do banco de dados ou o resultado da aplicação de alguma operação. Com isso, é possível aplicar operações sobre tabelas e encadear os resultados com outras operações, de forma a construir expressões algébricas. Na notação aqui adotada, os operandos podem aparecer entre parênteses, colchetes ou chaves, de modo a facilitar a leitura de expressões, assim como os parênteses são usados nas expressões aritméticas. Um operando, portanto, pode ser uma tabela relacional ou o resultado de uma expressão algébrica. Uma linguagem de consulta para bancos de dados relacionais baseada na álgebra relacional deve prover uma sintaxe que permita a construção dessas expressões e seu processamento num determinado banco de dados. As cinco operações mostradas acima são chamadas de primitivas porque nenhuma delas pode ser obtida da combinação das outras quatro. Isto significa que as cinco são necessárias para que a álgebra relacional seja completa. A OPERAÇÃO DE PROJEÇÃO É utilizada quando se deseja selecionar uma ou mais colunas de uma tabela. Para produzir uma lista com matrículas e s dos alunos, por exemplo, basta aplicar a operação de projeção sobre as colunas matrícula e, da tabela ALUNO. O quadro a seguir ilustra essa aplicação.

2 14 Um pouco de álgebra relacional P matrícula, ALUNO matrícula 1001 Ricardo Biondi 1002 Maria Rita Colatti 1004 Oscarito Vianna 1005 Barbara Carlito 1007 Carlos Maradona 1008 Sacadura Miranda 1010 Maria Lucia Silva A operação de projeção é representada pelo símbolo P seguido da lista de uma ou mais colunas, sobre as quais a projeção deve ser feita, e do operando, neste caso a tabela ALUNO, cujas colunas são projetadas. A OPERAÇÃO DE SELEÇÃO A operação de seleção, representada pelo símbolo S seguido de uma expressão lógica e de um operando, resulta nos registros deste operando que passam pelo critério de filtragem determinado pela expressão lógica. No exemplo a seguir, a operação de seleção é empregada para a obtenção dos registros dos alunos do curso de Direito, representados pelos registros que têm o valor DIR na coluna codcurso. S codcurso = DIR ALUNO matrícula sexo codcurso nascimento 1001 Ricardo Biondi M DIR 21/02/ Oscarito Vianna M DIR 14/08/ Carlos Maradona M DIR 30/06/77 COMBINANDO PROJEÇÃO E SELEÇÃO As operações da álgebra podem ser combinadas para a construção de consultas mais complexas. O exemplo a seguir produz a lista de matrículas e s do alunos do curso de Direito. P matrícula, [ S codcurso = DIR ALUNO] matrícula 1001 Ricardo Biondi 1004 Oscarito Vianna 1007 Carlos Maradona Aqui, foram combinadas duas operações da álgebra. Primeiro, a operação de seleção foi aplicada à tabela ALUNO produzindo os registros dos alunos do curso de Direito, isto é, que têm o valor DIR na coluna codcurso. Este resultado, entre colchetes, serviu então como operando da operação de projeção nas colunas matrícula e. A OPERAÇÃO PRODUTO A operação de produto serve para combinar tabelas e, por si só, não parece muito interessante. Contudo, forma uma combinação formidável com as operações de seleção e projeção.

3 Operações da Álgebra Relacional 15 A operação de produto requer dois operandos e produz, como resultado, todas as combinações dos registros existentes em cada um deles. O quadro a seguir mostra o produto das tabelas ALU- NO e CURSO. ALUNO CURSO matrícula sexo Aluno.codcurso nascimento Curso.codcurso curso 1001 Ricardo Biondi M DIR 21/02/80 DIR Direito 1001 Ricardo Biondi M DIR 21/02/80 JOR Jornalismo 1001 Ricardo Biondi M DIR 21/02/80 INF Informática 1002 Maria Rita Colatti F INF 10/11/78 DIR Direito 1002 Maria Rita Colatti F INF 10/11/78 JOR Jornalismo 1002 Maria Rita Colatti F INF 10/11/78 INF Informática 1004 Oscarito Vianna M DIR 14/08/79 DIR Direito 1004 Oscarito Vianna M DIR 14/08/79 JOR Jornalismo 1004 Oscarito Vianna M DIR 14/08/79 INF Informática 1005 Barbara Carlito F JOR 29/10/79 DIR Direito 1005 Barbara Carlito F JOR 29/10/79 JOR Jornalismo 1005 Barbara Carlito F JOR 29/10/79 INF Informática 1007 Carlos Maradona M DIR 30/06/77 DIR Direito 1007 Carlos Maradona M DIR 30/06/77 JOR Jornalismo 1007 Carlos Maradona M DIR 30/06/77 INF Informática 1008 Sacadura Miranda M INF 12/12/81 DIR Direito 1008 Sacadura Miranda M INF 12/12/81 JOR Jornalismo 1008 Sacadura Miranda M INF 12/12/81 INF Informática 1010 Maria Lucia Silva F JOR 10/08/75 DIR Direito 1010 Maria Lucia Silva F JOR 10/08/75 JOR Jornalismo 1010 Maria Lucia Silva F JOR 10/08/75 INF Informática O primeiro operando, a tabela ALUNO, contém 7 registros e o segundo, a tabela CURSO, contém 3 registros. Assim, a combinação dessas tabelas resulta em 21 registros, pois cada um dos 7 alunos aparece combinado com cada um dos 3 cursos. Um fato curioso neste resultado é que duas colunas têm o mesmo, codcurso. Cada coluna é acompanhada por um prefixo que indica sua tabela de origem. COMBINANDO PROJEÇÃO, SELEÇÃO E PRODUTO A maioria das consultas empregadas nas aplicações de bancos de dados são formadas a partir de variações das operações de projeção, seleção e produto. Por isso, as combinações dessas operações devem ser perfeitamente compreendidas por aqueles que buscam conhecer melhor e dominar a formulação de consultas para bancos de dados relacionais. Vamos supor que seja necessário produzir uma lista com os s dos alunos e os s dos seus respectivos cursos. Como o de um aluno está na tabela ALUNO e o de um curso está na tabela CURSO, é preciso combinar essas duas tabelas. O exemplo anterior mostra o resultado dessa combinação, obtida pelo produto das tabelas ALUNO e CURSO. Como todas as combi-

4 16 Um pouco de álgebra relacional nações possíveis entre registros são realizadas numa operação de produto, há algumas que não fazem sentido, sendo então preciso filtrar as combinações que interessam para a produção do resultado procurado. Por exemplo, as combinações entre o aluno de matrícula 1001 e os registros dos cursos de código JOR e INF podem ser descartadas, porque o código do curso deste aluno é DIR. Assim, como regra geral, somente são interessantes as combinações onde o código do curso do aluno é igual ao código do curso que vem da tabela CURSO. O quadro a seguir mostra as combinações que são relevantes assinaladas. matrícula sexo Aluno.codcurso nascimento Curso.codcurso curso 1001 Ricardo Biondi M DIR 21/02/80 DIR Direito 1001 Ricardo Biondi M DIR 21/02/80 JOR Jornalismo 1001 Ricardo Biondi M DIR 21/02/80 INF Informática 1002 Maria Rita Colatti F INF 10/11/78 DIR Direito 1002 Maria Rita Colatti F INF 10/11/78 JOR Jornalismo 1002 Maria Rita Colatti F INF 10/11/78 INF Informática 1004 Oscarito Vianna M DIR 14/08/79 DIR Direito 1004 Oscarito Vianna M DIR 14/08/79 JOR Jornalismo 1004 Oscarito Vianna M DIR 14/08/79 INF Informática 1005 Barbara Carlito F JOR 29/10/79 DIR Direito 1005 Barbara Carlito F JOR 29/10/79 JOR Jornalismo 1005 Barbara Carlito F JOR 29/10/79 INF Informática 1007 Carlos Maradona M DIR 30/06/77 DIR Direito 1007 Carlos Maradona M DIR 30/06/77 JOR Jornalismo 1007 Carlos Maradona M DIR 30/06/77 INF Informática 1008 Sacadura Miranda M INF 12/12/81 DIR Direito 1008 Sacadura Miranda M INF 12/12/81 JOR Jornalismo 1008 Sacadura Miranda M INF 12/12/81 INF Informática 1010 Maria Lucia Silva F JOR 10/08/75 DIR Direito 1010 Maria Lucia Silva F JOR 10/08/75 JOR Jornalismo 1010 Maria Lucia Silva F JOR 10/08/75 INF Informática A operação de seleção deve ser empregada para evitar as combinações indesejadas, como mostra o exemplo a seguir. S aluno.codcurso = curso.codcurso [ ALUNO CURSO] matrícula sexo Aluno.codcurso nascimento Curso.codcurso curso 1001 Ricardo Biondi M DIR 21/02/80 DIR Direito 1002 Maria Rita Colatti F INF 10/11/78 INF Informática 1004 Oscarito Vianna M DIR 14/08/79 DIR Direito 1005 Barbara Carlito F JOR 29/10/79 JOR Jornalismo 1007 Carlos Maradona M DIR 30/06/77 DIR Direito 1008 Sacadura Miranda M INF 12/12/81 INF Informática 1010 Maria Lucia Silva F JOR 10/08/75 JOR Jornalismo Para a obtenção do resultado final, basta aplicar a operação de projeção nas colunas e curso, tomando como operando o resultado da expressão de seleção sobre o produto, como mostrado a seguir.

5 Operações da Álgebra Relacional 17 P, curso [ S aluno.codcurso = curso.codcurso [ ALUNO CURSO] ] curso Ricardo Biondi Direito Maria Rita Colatti Informática Oscarito Vianna Direito Barbara Carlito Jornalismo Carlos Maradona Direito Sacadura Miranda Informática Maria Lucia Silva Jornalismo A JUNÇÃO NATURAL A operação de seleção aplicada ao resultado de um produto constitui uma combinação corriqueira nas consultas a bancos de dados. Essa combinação é considerada uma operação derivada da álgebra relacional, denominada junção. Quando a ligação entre duas tabelas é feita sobre a igualdade de atributos com o mesmo, a junção é dita uma junção natural. O parágrafo seguinte apresenta uma definição informal da junção natural. O resultado da junção natural R >< S é igual ao resultado do produto de R por S seguido de uma seleção S, cuja expressão lógica é θ. O critério de seleção expresso por θ determina que cada par de atributos comuns (homônimos) de R e S sejam i- guais. No exemplo anterior, os atributos codcurso, nas tabelas ALUNO e CURSO, são homônimos, o que caracteriza uma junção natural entre as duas tabelas. Ou seja e pode-se estabelecer a equivalência θ aluno.codcurso = curso.codcurso ALUNO >< CURSO S aluno.codcurso = curso.codcurso [ ALUNO CURSO] Se houvesse mais de um par de atributos comuns, a expressão lógica seria composta pela conjunção (and) das igualdades de todos os pares. Para as tabelas INSCRIÇÃO e DISCIPLINA, que têm o atributo matrícula em comum, valeria a equivalência DISCIPLINA >< INSCRIÇÃO S disciplina.coddisciplina = inscrição.coddisciplina [DISCIPLINA INSCRIÇÃO] EXPRESSÕES COM MÚLTIPLAS JUNÇÕES A junção de várias tabelas é uma prática comum na extração de dados. O exemplo a seguir utiliza colunas de todas as tabelas de nosso banco exemplo. A expressão P aluno.matrícula,aluno.,curso,disciplina,professor.,nota [ CURSO >< [ ALUNO >< [ INSCRIÇÃO >< [ DISCIPLINA >< PROFESSOR ] ] ] ] tem por resultado matrícula Aluno. curso disciplina Professor. nota 1007 Carlos Maradona Direito Direito Civil Olivia Straw 7,00

6 18 Um pouco de álgebra relacional 1010 Maria Lucia Silva Jornalismo Português Carlos Azambuja 5, Ricardo Biondi Direito Português Carlos Azambuja 8, Barbara Carlito 1001 Ricardo Biondi 1007 Carlos Maradona 1002 Maria Rita Colatti 1005 Barbara Carlito 1010 Maria Lucia Silva Jornalismo Direito Direito Informática Jornalismo Jornalismo Estatística Dir. Constitucional Dir. Constitucional Compiladores Sociologia Sociologia Pedro Amarante 4,20 Zenubio Siqueira Zenubio Siqueira Lenira Rocha 9,50 Silvia Ferreira 3,00 Silvia Ferreira 10,00 A OPERAÇÃO UNIÃO O resultado da operação de união, representada pelo símbolo entre dois operandos contém todos os registros de seus operandos. Como a álgebra relacional trabalha com a noção de conjuntos, não há registros duplicados no resultado da união. Se no primeiro operando existe um registro idêntico a um ou mais registros do segundo operando, então esse registro aparece no resultado somente uma vez. Note que os operandos de uma operação de união devem ser compatíveis, tendo o mesmo número de colunas com domínios compatíveis nas colunas correspondentes. Como exemplo, vamos construir uma lista com os s de todos alunos e professores do banco de dados exemplo. Para tanto, poderíamos unir as tabelas ALUNO e PROFESSOR e depois projetar o resultado sobre a coluna. Porém, as tabelas ALUNO e PROFESSOR não podem ser objeto da operação de união diretamente, uma vez que suas colunas não são compatíveis entre si. Assim, é preciso obter os s dos alunos, depois obter os s dos professores e por fim fazer a união dos dois conjuntos. As listas dos s dos alunos e dos professores são facilmente obtidas pelas expressões produzindo as listas P ALUNO e P PROFESSOR Ricardo Biondi Maria Rita Colatti Oscarito Vianna Barbara Carlito Carlos Maradona Sacadura Miranda Maria Lucia Silva Olivia Straw Carlos Azambuja Marina Azambuja Pedro Amarante Zenubio Siqueira Lenira Rocha Silvia Ferreira A lista de alunos e professores é obtida pela união das listas acima. Podemos escrever a expressão que produz [P ALUNO] [P PROFESSOR] Barbara Carlito Carlos Azambuja Carlos Maradona Lenira Rocha Maria Lucia Silva Maria Rita Colatti Marina Azambuja

7 Operações da Álgebra Relacional 19 Olivia Straw Oscarito Vianna Pedro Amarante Ricardo Biondi Sacadura Miranda Silvia Ferreira Zenubio Siqueira A OPERAÇÃO DE DIFERENÇA O resultado da operação de diferença entre duas tabelas R e S é o conjunto de registros que estão em R mas não estão em S. R S R S Para ilustrar melhor a aplicação da operação de diferença, vamos escrever uma expressão que produz os s dos alunos que não estão inscritos em disciplina alguma. No nosso banco de dados, todo aluno que está inscrito em alguma disciplina aparece na tabela INSCRIÇÃO. Para obter os alunos que não têm inscrições basta fazer a diferença entre o conjunto completo de alunos e o conjunto de alunos que têm alguma inscrição. Ou seja, se retirarmos do conjunto completo de alunos aqueles que têm alguma inscrição, o resultado será o conjunto de alunos que não têm inscrição alguma. Exatamente a operação de diferença. Esquematicamente, teríamos Todos alunos Alunos que têm alguma inscrição Alunos que não têm inscrições (diferença) O primeiro passo é construir a lista de s dos alunos que têm alguma inscrição. Para isso, é necessário fazer a junção natural das tabelas ALUNO e INSCRIÇÃO, porque o do aluno não consta da tabela INSCRIÇÃO. Essa junção é obtida pela expressão que tem como resultado ALUNO >< INSCRIÇÃO aluno.matricula sexo codcurso nascimento inscricao.matricula coddisciplina nota 1001 Ricardo Biondi M DIR 21/02/ Ricardo Biondi M DIR 21/02/ , Maria Rita Colatti F INF 10/11/ , Barbara Carlito F JOR 29/10/ , Barbara Carlito F JOR 29/10/ , Carlos Maradona M DIR 15/07/ Carlos Maradona M DIR 15/07/ ,00

8 20 Um pouco de álgebra relacional 1010 Maria Lucia Silva F JOR 10/08/ , Maria Lucia Silva F JOR 10/08/ ,00 A junção natural produz os registros correspondentes das duas tabelas ligados através do atributo comum matrícula. Note que este resultado apresenta alguns alunos mais de uma vez, com inscrição em mais de uma disciplina. Essas duplicações, no entanto, são eliminadas na operação de projeção. Isso ocorre porque a álgebra, com já vimos, trabalha com a noção de conjuntos de registros e conjuntos não admitem repetição. A projeção desse resultado na coluna fornece os s dos alunos que têm alguma inscrição. A expressão P [ ALUNO >< INSCRIÇÃO ] tem como resultado a lista dos s dos alunos que têm alguma inscrição Ricardo Biondi Maria Rita Colatti Barbara Carlito Carlos Maradona Maria Lucia Silva Basta agora escrever a expressão final de diferença entre o conjunto com os s de todos os alunos e o conjunto com os s dos alunos que têm alguma inscrição. Um último detalhe é que os operandos de uma diferença devem ser compatíveis entre si e uma das condições de compatibilidade é o número de colunas. Assim, é preciso projetar a tabela ALUNO na coluna antes de efetuar a diferença final. [P ALUNO ] [P [ ALUNO >< INSCRIÇÃO ] ] Pronto! A expressão algébrica acima produz os s dos dois alunos que não têm inscrição alguma. Oscarito Vianna Sacadura Miranda 3.2 CONSULTAS MAIS COMPLEXAS Consultas que envolvem a operação de diferença podem ser complexas e de difícil compreensão. Vejamos, por exemplo, a produção da lista de disciplinas que são cursadas por todos alunos do curso de Jornalismo. Primeiramente, vamos construir a lista de alunos do curso JOR juntamente com as disciplinas nas quais estão inscritos, pela expressão P inscrição.matricula, coddisciplina [ S codcurso = JOR [ ALUNO >< INSCRIÇÃO ] ] Note que foi preciso incluir a tabela ALUNO na expressão porque é necessário descobrir se um a- luno é do curso de Jornalismo ou não, e esta informação está na coluna codcurso, da referida tabela.

9 Consultas mais complexas 21 matrícula coddisciplina Agora é preciso descobrir quais são as disciplinas nas quais todos os alunos da lista estão inscritos. Vamos imaginar que todos os alunos de Jornalismo cursam todas as disciplinas existentes. Se, deste conjunto de possibilidades, retirássemos as ocorrências de inscrições efetivas, nós teríamos a lista de todas as inscrições que poderiam ocorrer mas não ocorrem. Ora, se uma determinada disciplina não aparece na lista de inscrições que não ocorreram é porque ela é cursada por todos os alunos. Ninguém deixou de estar inscrito nela! Vamos expressar isso na álgebra relacional. O conjunto de todas as inscrições possíveis para os alunos de Jornalismo é o produto da lista desses alunos pela lista completa de disciplinas, cuja expressão pode ser escrita como [ P matricula [ S codcurso = JOR ALUNO ] ] [ P disciplina DISCIPLINA ] Pode-se observar que o resultado dessa expressão contém todas as combinações possíveis entre alunos de Jornalismo e disciplinas. As matrículas dos dois alunos do curso de Jornalismo, 1005 e 1010, aparecem combinadas com todas as disciplinas existentes na tabela DISCIPLINA. matrícula disciplina 1005 Dir. Constitucional 1005 Direito Civil 1005 Estatística 1005 Compiladores 1005 Bancos de Dados 1005 Sociologia 1005 Português 1010 Dir. Constitucional 1010 Direito Civil 1010 Português 1010 Compiladores 1010 Bancos de Dados 1010 Sociologia 1010 Português Sendo este último resultado a lista de todas as possibilidades de inscrição, se subtrairmos dele a lista de inscrição que realmente aconteceram, teremos a lista de inscrições que eram possíveis mas não ocorreram. Assim, tomando-se a expressão anterior, das disciplinas cursadas pelos a- lunos de Jornalismo, e subtraindo-a da lista de todas as possibilidades, pela expressão { [ P matricula [ S codcurso = JOR ALUNO ] ] [ P disciplina DISCIPLINA ] } {P inscrição.matricula,disciplina [[ S codcurso = JOR ALUNO ] >< INSCRIÇÃO ] >< DISCIPLINA ] } o resultado obtido contém a lista de inscrições que não ocorreram, como mostrado esquematicamente a seguir.

10 22 Um pouco de álgebra relacional Inscrições de fato realizadas pelos alunos de Jornalismo P inscrição.matrícula,disciplina [[ S codcurso = JOR ALUNO ] >< INSCRIÇÃO ] >< DISCIPLINA ] matrícula disciplina 1005 Dir. Constitucional 1005 Direito Civil 1005 Estatística 1005 Compiladores 1005 Bancos de Dados 1005 Sociologia 1005 Português 1010 Dir. Constitucional 1010 Direito Civil 1010 Estatística 1010 Compiladores 1010 Bancos de Dados 1010 Sociologia 1010 Português matrícula disciplina 1005 Sociologia 1005 Estatística 1010 Português 1010 Sociologia Todas as inscrições possíveis para os alunos de Jornalismo [P matrícula [ S codcurso = JOR ALUNO ] ] [ P disciplina DISCIPLINA ] = matrícula disciplina 1005 Dir. Constitucional 1005 Direito Civil 1005 Compiladores 1005 Bancos de Dados 1005 Português 1010 Dir. Constitucional 1010 Direito Civil 1010 Estatística 1010 Compiladores 1010 Bancos de Dados A projeção sobre a coluna Disciplina resulta na lista de disciplinas nas quais nenhum aluno de Jornalismo se inscreveu. São as inscrições possíveis mas não realizadas. Para simplificar, vamos chamar de T a expressão que produz o resultado acima. Se T contém a lista de disciplinas nas quais algum aluno de Jornalismo não se inscreveu, então a diferença de todas as disciplinas menos as dessa lista é o resultado que buscamos, isto é, a lista de disciplinas nas quais todos os alunos de Jornalismo estão inscritos. Os operandos da diferença são { P disciplina DISCIPLINA } { P disciplina T } disciplina Dir. Constitucional Direito Civil Estatística Compiladores Bancos de Dados Sociologia Português disciplina Dir. Constitucional Direito Civil Compiladores Bancos de Dados Português Estatística = disciplina Sociologia O resultado indica que Sociologia é a disciplina na qual todos os alunos do curso de Jornalismo estão inscritos. A expressão final pode ser escrita como { P disciplina DISCIPLINA } { P disciplina [ [ P matrícula [ S codcurso = JOR ALUNO ] ] [ P disciplina DISCIPLINA ] ] [ P inscrição.matrícula,disciplina [ [ [ S codcurso = JOR ALUNO ] >< INSCRIÇÃO ] >< DISCIPLINA ] ] }

11 Buscando mais informações 23 Observando a expressão algébrica acima, não é difícil compreender por que as linguagens baseadas na lógica de predicados ganharam terreno rapidamente. É trabalhoso conceber e representar expressões mais complexas. Esta deficiência foi decisiva no processo de popularização de linguagens como o SQL, ainda que, como veremos mais adiante, mesmo em SQL as consultas que requerem a operação de diferença não são problemas triviais. A ÁLGEBRA RELACIONAL COMO UMA LINGUAGEM DE CONSULTAS As operações mostradas neste capítulo têm apenas o intuito de familiarizar o leitor com os mecanismos fundamentais para a construção de consultas. Entendendo melhor essas idéias é possível escrever melhores expressões SQL. É claro que essas operações, como foram aqui apresentadas, estão ainda longe de configurar uma linguagem de consultas para uso mais amplo. Faltam recursos como a reação de colunas, ordenação das linhas do resultado, aplicação de funções de agregação (totalizadoras) e vários outros aspectos que permitiriam seu real emprego em ambientes não didático/acadêmicos. Mesmo assim, o aspecto pedagógico da álgebra torna interessante esse estudo, ainda que superficial. BUSCANDO MAIS INFORMAÇÕES Para o leitor interessado em aprofundar seu conhecimento nos mecanismos da álgebra relacional, há um vasto material bibliográfico a ser consultado. A década de 70 foi fortemente marcada pela pesquisa e desenvolvimento das principais idéias que hoje em dia permeiam as diversas implementações comerciais do modelo relacional. Essa intensa atividade acadêmica então verificada produziu frutos concretos como se pode notar na análise dos algoritmos utilizados nos produtos atualmente disponíveis no mercado. Alguns desses trabalhos, entretanto, merecem destaque, seja por sua originalidade ou pela sua capacidade de concisão e didatismo. Assim, podemos indicar as seguintes referências, apresentadas juntamente com comentários sobre suas principais contribuições. ULLMAN, J. Principles of Database Systems, Computer Science Press, O autor trata com rigor vários aspectos da teoria do sistema relacional, especialmente no que se refere aos aspectos da formulação, interpretação e processamento de consultas. Excelente material para o leitor que deseja compreender a fundo os mecanismos e possibilidades teóricas do processamento de consultas sob o modelo relacional. O exercício 3.6 foi extraído daqui. KLUG, A. Equivalence of Relational Algebra and Relational Calculus Query Languages, Journal of the Association for Computing Machinery 29, 3(Julho 1982), O autor mostra a relação entre a Álgebra Relacional e o Cálculo Relacional, provando sua equivalência ainda que incluindo-se o cálculo de funções de agregação nas operações algébricas. Um texto clássico. CODD, E. F. A Relational Model of Data for Large Shared Data Banks, Communications of the Association for Computing Machinery 13, 6(Junho 1970), Onde tudo começou.

12 24 Um pouco de álgebra relacional EXERCÍCIOS 3.1 Escreva uma expressão da álgebra relacional que produza a lista com os s dos alunos da disciplina Direito Civil, como mostrada abaixo. Carlos Maradona 3.2 Forneça o resultado final da expressão P professor. [ PROFESSOR >< [ DISCIPLINA >< [INSCRICAO >< [ALUNO >< (S curso= Direito CURSO) ] ] ] ] 3.3 Escreva uma expressão da álgebra relacional que produza a lista de s dos professores que aprovaram todos seus alunos. Considere apenas professores que têm algum aluno em alguma disciplina e que um aluno está aprovado se sua nota for maior ou igual a 5, Uma operação derivada bastante útil é a operação de interseção de duas tabelas, que produz os registros presentes em ambas. Escreva a expressão da operação de interseção de duas tabelas R S a partir das operações primitivas da álgebra relacional. R A B S A B R S C D Outra operação derivada freqüentemente mencionada é a operação de divisão. A divisão de R por S, representada por R S, é o conjunto de registros t tal que, para cada registro s de S, o registro formado pela concatenação de t e s pertence a R. Intuitivamente, a divisão é o contrário do produto, pois retorna os registros t que aparecem combinados com todos os registros S na tabela R. Pode haver registros t que aparecem em R combinados com alguns registros de S, mas não todos; esses registros não fazem parte do resultado. Vejamos um exemplo, para a divisão R a,b S R A B C D S A B R a,b S C D Note que é preciso especificar as colunas de R que contêm os registros de S. a. escreva a expressão da divisão a partir das operações primitivas; b. no exemplo que produz a lista de disciplinas que são cursadas por todos alunos do curso de Jornalismo é possível utilizar a operação de divisão? Se possível, como? 3.6 Mostre que nenhuma das operações primitivas da álgebra relacional pode ser expressa a partir das demais.