PRODUTOS NOTÁVEIS: UMA PROPOSTA SOB A PERSPECTIVA GEOMÉTRICA 1 RESUMO

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1 PRODUTOS NOTÁVEIS: UMA PROPOSTA SOB A PERSPECTIVA GEOMÉTRICA 1 Greice Noronha da Costa 2 IFRS - greice.costa@caxias.ifrs.edu.br Melina Trentin Rosa 3 IFRS - melina.rosa@caxias.ifrs.edu.br Kelen Berra de Mello 4 IFRS - kelen.mello@caxias.ifrs.edu.br RESUMO Neste relato de experiência apresenta-se uma ação para formação continuada dos professores. Na oficina, propôs-se uma atividade que tem como objetivo investigar e construir junto aos alunos de 8 ano (7ª série) a representação geométrica dos produtos notáveis. Por meio da utilização de materiais manipuláveis, o aluno é levado a compreender o que representa geometricamente o cálculo dos produtos notáveis de grau 2, construindo os conceitos matemáticos envolvidos e suas fórmulas. Com isso, os professores passam a conhecer novos métodos, tendo a oportunidade de aperfeiçoarem-se. Através desta atividade foi possível investigar a matemática, proporcionando ao aluno outros métodos de aprendizagem. Palavras-chave: Formação continuada de professores; Geometria; Materiais Concretos. 1. INTRODUÇÃO A pedido da 4ª Coordenadoria Regional de Educação (4ª CRE), foi oferecida a oficina "Uma maneira geométrica de ensinar Produtos Notáveis" para um curso de Formação Continuada de Professores. O evento foi realizado por meio de uma Parceria entre a Secretaria de Estado da Educação (SEDUC)/4ª CRE e Prefeitura Municipal de São Marcos. O públicoalvo desta formação foram professores do Ensino Fundamental dos anos finais, atuantes na área de Matemática. Esta oficina ocorreu em 2013, com duração de 2 horas, numa escola no Município de São Marcos. 1 Apoio: Capes Edital CAPES/Prodocência nº 19/ Licencianda em Matemática, Câmpus Caxias do Sul, Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul. 3 Licencianda em Matemática, Câmpus Caxias do Sul, Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul. 4 Doutora em Engenharia Mecânica, Câmpus Caxias do Sul, Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul. 1

2 A mesma tinha como finalidade promover a formação continuada dos professores ao mostrar a eles um método alternativo para abordar um conteúdo, geralmente abordado somente da forma algébrica. Conforme afirma Bianchini (2011, p. 17): O desenvolvimento profissional do(a) professor(a) deve ser entendido como um processo contínuo, que se dá ao longo de toda a vida profissional, não ocorre ao acaso, tampouco é espontâneo, mas é resultado do processo de busca que parte das necessidades e dos interesses que surgem no percurso. [...] Lembramos que as ações de formação continuada podem ser desenvolvidas por múltiplas modalidades, como leituras atualizadas, cursos, palestras, oficinas, seminários e grupos de estudos. O objetivo desta oficina é utilizar materiais manipuláveis para visualizar geometricamente os produtos notáveis de grau dois (quadrado), no caso particular de valores positivos 5. Espera-se que, com esta oficina, os professores de matemática dos anos finais do Ensino Fundamental possam fazer uso desta abordagem para aproximar a Geometria e a Álgebra, quando abordarem o conteúdo de produtos notáveis com seus alunos. Segundo Dante (2005), no cálculo algébrico, alguns produtos envolvendo expressões algébricas apresentam um padrão, uma regularidade em seus resultados, e costumam aparecer com muita frequência, sendo conhecidos como produtos notáveis. Conhecendo as fórmulas algébricas desses produtos, podem-se facilitar os cálculos. Normalmente as demonstrações adotadas pelos professores no ensino de produtos notáveis são apenas feitas no modo algébrico, falta ao aluno uma maneira de perceber o que está sendo construído, e através de visualizações geométricas isto é possível, de modo que o aluno entenda como a expansão dos produtos dos notáveis é gerada. 2. A IMPORTÂNCIA DA VISUALIZAÇÃO GEOMÉTRICA POR MEIO DE MATERIAL CONCRETO Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs), em sua primeira parte Matemática no Ensino Fundamental, descrevem que os currículos de Matemática para o Ensino Fundamental devem contemplar os seguintes conteúdos: 5 O uso do material concreto pressupõe que os valores de a, b e (a b) sejam positivos, haja vista que não podemos atribuir valores não positivos para medidas de comprimento de figuras geométricas. 2

3 [ ] estudo dos números e das operações (no campo da Aritmética e da Álgebra), o estudo do espaço e das formas (no campo da Geometria) e o estudo das grandezas e das medidas (que permite interligações entre os campos da Aritmética, da Álgebra, e da Geometria e de outros campos do conhecimento). (BRASIL, 1998, p.49) De acordo com Rodrigues (2008), as propostas de conteúdos do Ensino Fundamental na área de Matemática são organizadas em ciclos e algumas sugestões são dadas para o fazer Matemática em sala de aula, como: resolução de problemas como ponto de partida, conexões com a história da Matemática, generalizações de padrões no estudo da álgebra, construção com régua e compasso no estudo da geometria, uso das tecnologias da comunicação, jogos corporativos e conexões com outras áreas do conhecimento. Os PCNs apontam como objetivos no quarto ciclo (oitavo e nono anos) o desenvolvimento do pensamento algébrico, por meio da exploração de situações de aprendizagem que levem o aluno a: Produzir e interpretar diferentes escritas algébricas - expressões, igualdades e desigualdades, identificando as equações, inequações e sistemas; Resolver situações-problema por meio de equações e inequações do primeiro grau, compreendendo os procedimentos envolvidos; Observar regularidades e estabelecer leis matemáticas que expressem a relação de dependência entre variáveis. (BRASIL, 1998, p. 81) Rodrigues (2008) afirma ainda que as propostas colocadas nos PCNs sugerem trabalhar atividades que inter-relacionem as diferentes concepções da álgebra para garantir o desenvolvimento do pensamento algébrico. Salienta-se, ainda, que a visualização geométrica de expressões algébricas é um recurso que facilita a aprendizagem de noções algébricas. Esta necessidade surge diante da dificuldade de compreensão, por parte dos alunos, da demonstração algébrica adotada pelos professores. Segundo Dante (2005), sempre que possível, deve-se procurar uma motivação ou uma conexão com a geometria para não tornar o assunto desinteressante e para que o aluno perceba a sua importância. Complementando esta ideia, Bigode (2000), diz que o ideal é desenvolver tanto a forma algébrica quanto a geométrica, para possibilitar uma melhor visualização do aluno com relação aos produtos notáveis. A interpretação geométrica auxilia na compreensão das regras e significados dos conteúdos abordados. Utilizando material concreto pode-se desenvolver conceitos e 3

4 propriedades através de modelos geométricos, pois eles favorecem na visualização, representação e identificação de elementos presentes na demonstração, contribuindo para que as aulas se tornem mais dinâmicas e produtivas, aumentando a qualidade da aprendizagem de todos da turma. 3. UTILIZANDO A GEOMETRIA PARA ENSINAR PRODUTOS NOTÁVEIS Construiu-se um kit para os produtos notáveis de grau 2, feito com o material E.V.A, o qual possui 8 figuras geométricas planas, que são 3 quadrados, 4 retângulos e 1 polígono côncavo irregular, conforme mostra a Figura 1. Figura 1 - Kit dos produtos notáveis do grau 2. Fonte: Arquivo pessoal. As medidas utilizadas na construção dos kits não são únicas, as peças podem ser construídas com diferentes dimensões, desde que se mantenha uma proporção com relação as figuras apresentadas. Com essas peças pode-se ensinar os produtos notáveis de grau 2 de uma forma geométrica, ou seja, quadrado da soma de dois termos (a + b)², quadrado da diferença de dois termos (a b)² e produto da soma pela diferença de dois termos (a + b). (a b). 3.1 QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS Para a realização desta atividade são necessárias 4 peças: quadrado médio de lado a, quadrado pequeno de lado b e dois retângulos pequenos de lados a e b. Inicia-se essa a visualização geométrica, montando com essas 4 peças um quadrado com lados (a + b). Dispõem-se as peças sobre uma superfície, conforme a Figura 2. 4

5 Figura 2 - (a) Área das peças que formam o produto notável (b) Produto Notável construído Fonte: Arquivo pessoal Pede-se para os participantes calcularem a área de cada figura disposta na superfície - Figura 2(a), onde tem-se que: A1= a², A2= ab, A3= ab e A4= b². Olhando a construção feita na Figura 2(a), pede-se para descobrirem a área total. AT = a² + 2ab + b² (1) Agora, pede-se para os participantes descobrirem a área do quadrado formado na Figura 2(b), observando que o quadrado tem lado (a + b), tem-se tem-se: AT = (a + b)² (2) Assim sendo, igualando as equações (1) e (2), pois as duas representam a mesma área, (a + b)² = a² + 2ab + b² (3) Também pode-se, utilizar a propriedade distributiva da multiplicação para encontrar a igualdade (3). Conclui-se então, que o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo mais duas vezes o primeiro termo vezes o segundo termo mais o quadrado do segundo termo. 3.2 QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS Para a realização desta atividade são necessárias 4 peças: quadrado grande de lado a, quadrado médio de lado (a - b) e dois retângulos grandes de lados a e b. Inicia-se essa visualização geométrica a partir do quadrado grande com lado a, com A1= a². Sobre o mesmo, na parte superior esquerda, coloca-se o quadrado médio de medida lateral (a b), como mostrado na Figura 3(b). 5

6 Figura 3 - (a) Quadrado de lado a (b) Quadrado de lado (a - b) Fonte: Arquivo pessoal No canto superior direito, coloca-se um retângulo grande com altura a e largura b, com A2 = ab. Da mesma forma na parte inferior esquerda do quadrado inicial, coloca-se outro retângulo grande com altura b e largura a, conforme a Figura 4 (a) e (b). Figura 4 - (a) Retângulo com altura a e largura b inserido a partir do canto superior direito. (b) Retângulo com altura b e largura a inserido na parte inferior esquerda. Fonte: Arquivo Pessoal Assim sendo, o quadrado médio tem medida (a - b), e sua área é A = (a b)², conforme Figura 5. 6

7 Figura 5 - Quadrado de lado b destacado na figura construída Fonte: Arquivo pessoal Então, através da geometria, pode-se perceber que a área do quadrado médio é equivalente à área do quadrado grande a², desde que subtraído a área dos dois retângulos 2ab como mostrado na Figura 4 (a) e (b), e como existem dois quadrados de lado b sobrepostos, precisa-se somar novamente sua área que equivale a b². Logo, (a b)²= a² 2ab + b² (4) Também pode-se, utilizar a propriedade distributiva da multiplicação para encontrar a igualdade (4). Conclui-se que o quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS Para a realização desta atividade são necessárias 3 peças: quadrado grande de lado a, polígono côncavo irregular de lado a, b e (a b) como mostrado na Figura 6 e retângulo pequeno de lados a e b. Inicia-se essa visualização geométrica a partir do quadrado com lado a. Em seguida coloca-se sobre ele o polígono côncavo irregular, que tem lados a e concavidade b. Disto percebe-se que foi retirado um quadrado de lados b, do quadrado de lados a, conforme Figura 6. 6 A atividade proposta também poderia ser realizada com outras peças, sendo elas: quadrado de lado (a b), dois retângulos de lados (a b) e b e um quadrado de lado b. 7

8 Figura 6 - Polígono côncavo irregular sobre o quadrado de lado a. Fonte: Arquivo Pessoal Assim, a área deste polígono côncavo é: AT = a² b² (5) Na Figura 7 (a), no polígono côncavo irregular, sobrepõe-se um retângulo de lados (a b) e b, que pode ser transferido para a lateral do polígono a fim de formar um único retângulo de lados (a + b) e (a b), conforme Figura 7 (b). Figura 7 - (a) Retângulo de lados (a b) por b. (b) Retângulo transferido para a lateral. Fonte: Arquivo pessoal Pede-se para os participantes calcularem a área de cada figura disposta na superfície Figura 6 onde se tem o quadrado de lado a, área a²; o polígono côncavo do qual foi retirado o quadrado de lado b, área b². 8

9 Agora pede-se para os participantes calcularem a área total do retângulo construído na Figura 7 (b), sabendo que as medidas da altura e da base são, respectivamente, (a b) e (a + b), disto tem se AT = (a + b). (a b) (6) Assim, igualando as equações (5) e (6), pois as duas representam a mesma área, temse (a + b). (a b) = a² -b² (7) Também pode-se, utilizar a propriedade distributiva da multiplicação para encontrar a igualdade (7). Logo o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo. 4. A OFICINA A oficina "Uma maneira geométrica de ensinar Produtos Notáveis" foi realizada numa escola municipal, sendo ministrada por dois bolsistas de extensão, alunos do curso de Licenciatura em Matemática, e pela coordenadora do Projeto de Extensão. Havia nove participantes, em sua maioria professores do Ensino Fundamental nos anos finais, porém dois não trabalhavam com a disciplina de Matemática. Eles atuavam nos anos iniciais do Ensino Fundamental, também haviam participantes que não tinham formação em Licenciatura em Matemática. No início da oficina, foi apresentada aos participantes a proposta da ação, que era a de ensinar uma forma que possibilitasse a compreensão dos produtos notáveis de grau 2 através das visualizações geométricas, neste momento foi entregue aos mesmos um formulário de avaliação do evento. Após, foram entregues a cada participante uma folha de cartolina, lápis, borracha, régua, tesoura e 1 kit que serviria como modelo para que pudessem criar seus próprios kits. Foram apresentadas as peças que compõem o kit dos produtos notáveis de grau 2 e, com base nessa peças, os participantes iniciaram a construção na cartolina do kit. No final da atividade os participantes puderam levar os kits construídos por eles. Vale ressaltar que não foi feita nenhuma revisão de produtos notáveis antes da oficina, haja vista que a finalidade era motivar o ensino deste conteúdo através da geometria. 9

10 Depois da construção dos kits pelos participantes, foram coladas as peças do kit de produtos notáveis de grau 2 no quadro-negro que havia na sala. As mesmas foram manipuladas geometricamente pelos licenciandos em matemática e pela professora coordenadora, de modo a mostrar, através de equivalência de áreas, as fórmulas algébricas dos produtos notáveis de grau 2, como descrito ao longo da seção 3. Após ser apresentada a visualização geométrica dos produtos notáveis, conversou-se com os participantes sobre a opinião dos mesmos a respeito da oficina. No geral, eles comunicaram que consideraram importante a utilização de recursos geométricos para a compreensão do tema abordado. Ao final, recolheu-se o formulário de avaliação, sendo que dos 9 participantes, 8 o entregaram. 5. CONSIDERAÇÕES FINAIS Por meio da análise do formulário de avaliação constatou-se que mais de 85% dos participantes consideraram a atividade desenvolvida como sendo útil para suas práticas em sala de aula, conforme mostra a Figura Péssimo Regular Bom Muito Bom Objetividade do palestrante Abordagem do tema Interação docente e participante Utilidade para atuação profissional O evento atendeu suas expectativas? Os temas foram apresentados na profundidade adequada? Figura 8 - Gráfico da avaliação feita pelos participantes Fonte: Arquivo pessoal 10

11 Neste formulário existia um espaço destinado a sugestões/comentários. Aqui cabe ressaltar a seguinte frase: A oficina foi muito boa e atendeu as minhas expectativas, tendo utilidade nas práticas diárias. A partir do comentário acima, feito pelo professor, pode-se perceber que conseguiu-se atender os objetivos da oficina. Como foi descrito anteriormente, a oficina também teve a participação de professores que não tem formação em Licenciatura em Matemática. A seguir é mostrado um comentário dado por este professor: Não sou profe de matemática, mas gostei do método, visualizado fica mais fácil. Parabéns!. Com base neste comentário, pode-se perceber que a atividade foi compreendida por todos os participantes, incluindo os que não tinham formação e nem atuavam na área de Matemática. Ao longo da oficina, percebeu-se que os participantes não tiveram dificuldades na compreensão das atividades, visto que os cálculos envolviam apenas conceitos de área. Assim pode-se concluir que, por meio desta oficina, possibilitou-se aos professores conhecer uma prática didático-pedagógica que proporciona aos alunos, independentemente de suas diferenças, o uso de material concreto para a compreensão geométrica de uma situação geralmente abordada apenas de forma algébrica. Com formações como esta, os professores têm experiências diferentes daquelas com que estão habituados em sala de aula, tendo novas oportunidades de aperfeiçoarem-se e tornarem-se professores mais criativos, interessados em tornar as aulas mais atrativas para seus alunos. Segundo Lorenzato (2012), o uso de materiais concretos pode ser um excelente estímulo para o aluno construir seu saber matemático. Para os licenciandos em matemática, participantes do projeto de extensão, que atuaram nesta ação como ministrantes da oficina, a atividade foi de extrema importância, pois os mesmos adquiriram experiência ao ministrarem as oficinas, começaram a ter contato com a realidade dos professores e a pensar em suas práticas que serão utilizadas em sala de aula. REFERÊNCIAS BIANCHINI, Edwaldo. Matemática: Bianchini. 7º ano - Livro do Professor. São Paulo: Moderna, BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Terceiro e Quarto Ciclo. Brasília: MEC /SEF, p

12 BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. 8ª série. São Paulo: FTD, (Coleção Matemática hoje é feita assim). DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática. 7ª série. São Paulo: Ática, LORENZATO, Sergio. Laboratório de ensino de matemática e materiais didáticos manipuláveis. In: LORENZATO, Sergio Apparecido (Org.). O laboratório de ensino de matemática na formação de professores. Campinas: Autores Associados, 2012, p RODRIGUES, Salete. Uma análise da Aprendizagem de Produtos Notáveis com o auxílio do Programa Aplusix. São Paulo: PUCSP, Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino da Matemática) Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo,