METODOLOGIA PARA APLICAÇÃO DE CRITÉRIOS DE FALHAS EM MATERIAIS COMPÓSITOS LAMINADOS UTILIZANDO O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

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1 METODOLOGIA PARA APLIAÇÃO DE RITÉRIOS DE FALHAS EM MATERIAIS OMPÓSITOS LAMINADOS UTILIZANDO O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS G. P. de Souza, V. Tita, N.. dos Santos, J. de arvalho Av. Trabalhador São arlense, 400, x. P. 359, São arlos/sp, EP gpsouza@sc.usp.br Universidade de São Paulo - Escola de Engenharia de São arlos - Departamento de Engenharia Mecânica Resumo: O trabalho apresenta uma metodologia para análise de alhas em materiais compósitos poliméricos laminados segundo a abordagem First Ply Failure (FPF), onde se considera a ocorrência da alha da estrutura em compósito laminado imediatamente após a alha da primeira lâmina. Devido à complexidade da análise de tensões em compósitos poliméricos reorçados, utiliza-se o método dos elementos initos. Posteriormente são implementadas rotinas computacionais para alguns dos critérios de alha mais utilizados para análise desse tipo de material (Tsai Wu, Tsai Hill, Hashin e Tensão Máxima). Foram analisados estudos de casos reerentes a ensaios experimentais de lexão três pontos, onde veriicou-se a viabilidade da aplicação da metodologia apresentada e a aplicabilidade dos critérios de alha nesses casos particulares. Palavras-have: ompósitos, ritérios de Falha, Método dos Elementos Finitos INTRODUÇÃO Nas aplicações estruturais dos materiais compósitos, é necessário aplicar-se metodologias de projeto que sejam capazes de estimar sua resistência aos dierentes tipos de esorços. Na análise das propriedades mecânicas desses materiais, uma das complexidades é a predição da alha devido a um estado de tensões especíico. Segundo Hashin (), há duas maneiras de abordar o problema: a utilização de análises micromecânicas ou a utilização de critérios de alha em termos de macrovariáveis, tais como médias de tensões ou deormações. Sendo a primeira alternativa muito complexa, pois esta requer um método analítico, capaz de prever as sucessivas microalhas em termos da análise de microtensões, a segunda alternativa tem sido mais explorada e investigada pelos pesquisadores. O critério de alha objetiva estimar a resistência de materiais sob um determinado estado de tensões, utilizando dados de resistência obtidos através de ensaios uniaxiais e biaxiais. Nos materiais compósitos a complexidade está no ato de que suas tensões de resistência, assim como as constantes de elasticidade, dependem da direção no material. Dessa orma, uma ininidade de valores de resistência pode ser obtida mesmo em testes uniaxiais, dependendo da direção de aplicação do carregamento. Além disso, podem alhar segundo dierentes modos, os quais ocorrem isoladamente ou combinados. Várias teorias de alha têm sido propostas para modelar esta diversidade, porém nenhuma das teorias abrange simultaneamente todos os aspectos envolvidos no enômeno da alha, tais como os modos de alha, anisotropia, heterogeneidade, tipo do material (dúctil ou rágil) e carregamento. Segundo Echaabi, Trochu & Gauvin (), em sua revisão bibliográica sobre critérios de alha aplicados a materiais compósitos, a gama de critérios existentes podem ser classiicados em dois grandes grupos: critérios de alha que não levam em consideração o modo de alha e critérios que consideram o modo de alha. Associado ao critério de alha tem-se dois métodos de abordagem de um problema de alha em compósitos laminados. O primeiro e mais simples de ser aplicado, cuja utilização é bastante usual, é conhecido como FPF (First Ply Failure), que considera a alha completa do laminado quando o carregamento proporcionar a alha da primeira lâmina. É evidente que a alha de uma simples lâmina, segundo um dado critério, não resulta na alha do laminado completo, caracterizando-se assim num método bastante conservador em termos de segurança, porém estes podem ser aplicados utilizando- 857

2 se baixos atores de segurança. O segundo método é chamado de LPF (Last Ply Failure), pois compara as tensões (deormações) em cada lâmina até o máximo carregamento permitido, e o laminado alha quando a última lâmina alhar. O LPF requer conhecimentos mais precisos quanto às condições de carregamento e distribuições de tensões, e utilizam-se atores de segurança mais elevados no projeto. Neste trabalho utiliza-se o programa comercial de elementos initos ANSYS, juntamente com rotinas computac ionais, executadas em linguagem FORTRAN, dos critérios de alha de Tsai Wu, Tsai Hill, Hashin e Tensão Máxima, numa metodologia para análise de alhas em materiais compósitos poliméricos laminados, aplicando-a em casos de testes de lexão três pontos em vigas abricadas com este tipo de material. RITÉRIOS DE FALHA EM MATERIAIS OMPÓSITOS POLIMÉRIOS REFORÇADOS Pelo critério quadrático de Tsai_Wu (3), tomando-se o sistema de coordenadas principal do material, sob um estado plano de tensões, pode-se considerar que o material alhará se: F σ F σ F σ F σ F σ F σ σ () 66 = onde: F =, F =, F =, F =, F66 = ( ), F 6 = F6 = F6 = 0 X X X X Y Y Y Y S T T T T F =. 5 0 F F () Os denominadores X T, X, Y T, Y são as tensões de resistência à tração e compressão nas direções principais do material, e S a resistência ao cisalhamento. O termo remanescente de interação entre as tensões normais σ e σ, F, deve ser obtido através de algum tipo de teste biaxial, ou pode ser estimado através da Equação (). Para um dado estado de tensões numa lâmina ( σ, σ, σ ), pode-se deinir um estado de tensões crítico de alha como sendo ( S σ, S σ, S σ ), onde S é um ator de segurança (4) ou ator de reserva. onsiderando este estado crítico de alha na Equação (), pode-se obter: AS BS = 0 σ F σ F σ F σ σ, 66 A = F B = F σ F σ (3) As soluções da equação quadrática (3) são: B B 4 A B B 4 A S = e S = A A (4) ( σ onde S é o ator de reserva da lâmina para o atual estado de tensões ( σ, σ, σ ), e S, no caso especíico do critério de Tsai Wu, é o ator de reserva da mesma lâmina para um estado de tensões com sinais revertidos σ, σ, ) (4). Num procedimento computacional, determinase o valor de S para cada lâmina do laminado, e o menor valor encontrado é o ator de reserva do laminado, baseado na abordagem FPF. O ritério de Tsai Wu apresenta algumas vantagens sobre o ritério de Tsai Hill, pois o tensor de resistência é invariante sob a rotação dos eixos coordenados e as transormações ocorrem de acordo com as leis tensoriais conhecidas. Seguindo o critério anisotrópico de escoamento de Hill (5) para metais, Azzi & Tsai (6) desenvolveram o critério de alha para materiais especiicamente ortotrópicos transversalmente isotrópicos. Assim, o critério de Hill resultante para um estado de tensões plano, oi simpliicado para 858

3 o caso de compósitos reorçados com ibras, considerando o material sendo transversalmente isotrópico, ou seja: σ X σ σ σ σ = Y X S (5) Vale ressaltar que o critério de Tsai Hill, Equação (5), quantiica a desigualdade em tração e compressão do material, ou seja, conorme a natureza das tensões normais σ e σ sejam de tração ou compressão, as correspondentes tensões de resistência, X e Y, devem ser usadas na Equação (5). O critério de Tsai-Hill considera as interações entre os componentes de tensão, porém ele não é invariante em relação ao sistema de coordenadas. De orma análoga à descrita no critério de Tsai Wu, pode-se obter o ator de reserva S para o caso do critério de Tsai Hill. O critério da tensão máxima consiste de cinco sub-critérios, ou limites (os quais não consideram as interações existentes entre os componentes de tensão), cada um correspondendo a um dos cinco modos de alhas undamentais (tração e compressão nas direções principais do material e cisalhamento). Se um desses limites é excedido, pela correspondente tensão nos eixos principais do material, considera-se a ocorrência da alha, ou seja, se: σ σ S (6) X T ou σ X ou σ YT ou σ Y ou No cálculo das tensões é importante ressaltar a situação em que as ibras não estão alinhadas com a tensão aplicada, ou seja, estando a tensão inclinada de um ângulo (θ) em relação as ibras em um compósito unidirecional. Neste caso obtêm-se as tensões nas direções principais do material através de relações trigonométricas adequadas, em unção do ângulo (θ). (7) Os atores de reserva das lâminas são calculados pela razão entre cada componente de tensão de resistência e a atuante. O menor ator de reserva encontrado determina o modo predominante de alha na lâmi na. Determina-se posteriormente o menor ator de reserva entre todas as lâminas, que é considerado então o ator de reserva do laminado, segundo a abordagem FPF. O ritério de Hashin é dividido em subcritérios, ou seja, um conjunto de ormas suaves capazes de representar dierentes modos de alha do material. Trata-se de um critério de alha para compósitos com ibras unidirecionais, transversalmente isotrópicos, baseado no polinômio quadrático de tensões. A expressão geral do critério apresenta-se em termos de invariantes de tensão, e cada termo que não contribui ao respectivo modo de alha é anulado. Quatro modos de alha são avaliados através deste critério, e para o caso plano de tensões têm-se: tração e compressão das ibras (Equações 7 e 8, respectivamente) e tração e compressão da matriz (Equações 9 e 0, respectivamente), resultando em porções suaves da superície de alha do material. σ X T σ S = (7) σ = (8) X σ σ = Y T S (9) σ S 3 Y S 3 σ Y σ S = (0) Observa-se que na Equação (0), considera-se o valor absoluto de Y, enquanto que mantêm seu sinal. Esta condição é relevante no caso do segundo termo dessa equação. No caso da σ 859

4 alha da matriz por compressão, o critério obtido para o estado de tensões plano inclui a tensão de cisalhamento transversal admissível S 3, o que não é aceitável do ponto de vista ísico, ou seja, temse um critério de alha que não envolve um componente de tensão porém envolve seu valor admissível. Devido à alta de dados sobre esta tensão na literatura e mesmo pela diiculdade em obtê-la experimentalmente, optou-se por considerar S 3 = S neste trabalho. Assim como nos critérios de Tsai Wu e Tensão Máxima, pode-se obter os atores de reserva S reerentes a cada modo de alha, os atores de reserva das lâminas e o ator de reserva do laminado. MATERIAIS E MÉTODOS Os materiais utilizados neste trabalho constituem-se de seqüências de lâminas superpostas ormadas por uma matriz de resina epóxi, reorçado com 65% de ibras de carbono. A orientação das ibras pode variar de lâmina para lâmina, obtendo-se dierentes seqüências de empilhamento. As propriedades mecânicas das lâminas podem ser vistas na Tabela I, onde são encontrados os valores médios para os módulos de elasticidade E e E, módulo de cisalhamento G, coeiciente de Poisson ν, resistência à tração na direção das ibras X T, resistência à compressão na direção das ibras X, resistência à tração na direção transversal as ibras Y T, resistência à compressão na direção transversal as ibras Y, e resistência ao cisalhamento S. Tabela I - Propriedades mecânicas para resina epóxi reorçada com ibras de carbono (8) E (GPa) E (GPa) G (GPa) υ X T (MPa) X (MPa) Y T (MPa) Y (MPa) S (MPa) 48 9,65 4,55 0, O modelo de análise de alha proposto envolve as seguintes etapas: análise de tensões através do método dos elementos initos e análise de alha do laminado, por meio de teorias de alha implementadas sob orma de rotinas computacionais. A análise de tensões oi executada numericamente utilizando o pacote comercial de elementos initos ANSYS, o qual pode ornecer os valores das tensões nodais atuantes, calculados em cada lâmina do laminado, e que são utilizados como dados de entrada na etapa seguinte. A análise de alha em materiais compósitos laminados é muito complexa devido à variedade de mecanismos de alha envolvidos. Assim, existem atualmente numerosos critérios de alhas utilizados nas análises de alhas desses materiais. Neste trabalho a análise de alha oi executada implementando-se, através de rotinas computacionais em FORTRAN, quatro dos mais conhecidos e comumente utilizados critérios de alha: Tsai Wu, Tsai Hill, Hashin e Tensão Máxima. Geração do Modelo Geométrico (sistemas AD) oniguração do Laminado Modelagem omputacional (Elementos Finitos ) -Pré-Processamento - Solução - Pós-Processamento Propriedades Elásticas das Lâminas Tensões Nodais em cada Lâmina (direções, do Material) Parâmetros de Resistência da Lâmina Análise de Falha oeiciente F (Tsai Wu) () ritério de Tsai Wu () ritério de Tsai Hill (3) rit. Tensão Maxima (4) ritério de Hashin Fatores de Reserva das Lâminas Fator de Reserva do Laminado Figura - Fluxograma de análise de alha em materiais compósitos (abordagem FPF ) Fim O processo de análise, mostrado no luxograma da Figura, pode ser descrito da seguinte orma: ) Geração do modelo geométrico do laminado, através de sistemas AD; 860

5 ) Discretização do modelo através do método dos elementos initos (ANSYS ), ornecendo-se as propriedades do material da lâmina, coniguração do laminado, condições de contorno e o carregamento aplicado; 3) Análise linear elástica das tensões e cálculo das tensões nodais atuantes nos eixos do material para cada lâmina; 4) Através de uma rotina computacional criada em linguagem APDL (9), as tensões nodais atuantes nos eixos do material, em cada lâmina, são armazenadas em um arquivo; 5) Análise nodal de alha no laminado, aplicando-se os critérios de alha implementados em linguage m FORTRAN, utilizando-se os dados de tensões do arquivo criado no passo 4, e inserindo-se os dados de resistência da lâmina e o coeiciente de interação entre as tensões normais atuantes (F critério de Tsai Wu); 6) álculo dos Fatores de Reserva das lâminas; 7) álculo do Fator de Reserva do Laminado (é o menor Fator de reserva encontrado entre todas as lâminas). ESTUDOS DE ASO Tendo-se como reerência resultados obtidos experimentalmente em testes de lexão três pontos em corpos de prova do compósito lami nado, oi possível a avaliação do modelo de análise de alha proposto. Para isso, a modelagem geométrica oi executada conorme os corpos de prova ensaiados em laboratório. Utilizou-se a norma ASTM D790-96a (0) como reerência para os ensaios de lexão. Foram executados ensaios em corpos de prova com dierentes seqüências de empilhamento, como pode ser visto na Tabela II, a qual apresenta também os valores de comprimento, largura, espessura total e span. Tabela II Especiicação dos corpos de prova dos testes de lexão três pontos Empilhamento Largura omprimento Espessura Total Span [0] 0 4,95 80,73 58 [90] 0 4,98 80,75 58 [45/-45/45/0/90] s 5,04 80,76 58 Figura Modelo do Laminado discretizado em elementos initos Os modelos analisados são constituídos de lâminas com ibras unidirecionais, do material compósito cujas propriedades mecânicas são mostradas na Tabela I, e as seqüências de empilhamento e geometrias segundo a Tabela II. ada modelo oi discretizado em 70 elementos, conorme é mostrado na Figura. O elemento utilizado nas simulações oi o SHELL 99, que é um elemento do tipo casca, possui 8 nós, e cada um desses nós possui 6 graus de liberdade (deslocamento e rotação em torno dos eixos x, y e z), sendo um dos elementos adequados para análise linear elástica de materiais compósitos laminados, uma vez que permite a deinição da seqüência de empilhamento das lâminas. Especiicou-se então as propriedades ortotrópicas do material (Tabela I), os ângulos de orientação das ibras (seqüências de empilhamento) bem como a espessura das lâminas, mostrados na Tabela II. Foram aplicadas restrições nos nós correspondentes às regiões de apoio determinadas pelo span (deslocamento na direção z e rotação em torno do eixo x iguais a zero). O deslocamento correspondente ao ensaio de lexão oi aplicado progressivamente 86

6 na direção z dos nós centrais da malha de elementos initos, segundo a Figura, nos quais oram também aplicadas restrições impondo-se deslocamento na direção x e rotação em torno dos eixos x e y iguais a zero.obteve-se assim para cada modelo o deslocamento máximo causador da alha numa primeira lâmina ( First Ply Failure ). RESULTADOS E DISUSSÕES De acordo com o desenvolvimento teórico dos critérios de alha, apresentados no item deste trabalho, o limiar da alha ocorre quando o menor Fator de Reserva do laminado apresenta valores próximos de um. Através da metodologia apresentada pôde-se avaliar, para cada laminado, os Fatores de Reserva (segundo os dierentes critérios de alha), correspondentes aos deslocamentos aplicados no ensaio de lexão, e assim determinou-se o deslocamento crítico (D max ) no qual ocorreu a alha do laminado (segundo a abordagem FPF). Os deslocamentos críticos obtidos dessa orma são mostrados na Tabela III. São apresentados também, segundo cada critério de alha, a primeira lâmina a alhar em cada laminado, e, quando possível, o modo de alha predominante. Tabela III Análises teóricas de alha Laminado ritério [0] 0 [90] 0 [45/-45/45/0/90] S D max Falha D max Falha D max Falha Tsai Wu,80 lâmina,50 lâmina,9 lâminas e 0 Tsai Hill,80 lâminas e 0,50 lâmina,9 lâminas e 0 Hashin 3,00 -tração ibras lâmina -compressão ibras lâmina 0,50 tração matriz lâmina,00 -tração matriz e ibras lâm. -comp. matriz lâm. 0 Tensão Máxima 3,00 -tração ibras lâmina -comp. ibras lâmina 0,50 tração matriz lâmina,0 cisalhamento axial, lâminas e 0 As análises teóricas de alha, segundo o modelo proposto, oram comparadas aos resultados dos ensaios experimentais, conorme mostram os gráicos da Figura 3, reerentes a cada laminado. arga [KN] TSAI WU TSAI HILL HASHIN TENSÃO MÁXIMA Deslocamento arga [KN] Deslocamento TSAI WU TSAI HILL HASHIN TENSÃO MÁXIMA arga [KN] TSAI WU TSAI HILL HASHIN TENSÃO MÁXIMA Deslocamento (a) Laminado [0] 0 (b) Laminado [90] 0 (c) Laminado [45/-45/45/0/90] S Figura 3 - omparação entre resultados experimentais dos testes de lexão três pontos e análises teóricas de alha Na Figura 3a tem-se a ocorrência de uma alha catastróica sob carregamento de aproximadamente kn, sob um deslocamento aproximado de 4 mm. Observou-se nos ensaios que várias ibras localizadas na base do laminado (lâmina ) alharam por tração, havendo assim uma perda acentuada da rigidez do laminado. Nota-se no entanto que próximo de 0.8 kn (deslocamento em torno de 3 mm), a curva carga-deslocamento passa a não ter linearidade, o que pode ser indícios da ocorrência de alguns mecanismos de alha. om relação à previsão da alha segundo os critérios aplicados, estes apresentaram resultados satisatórios, sendo que Hashin e Tensão Máxima apresentaram-se ser os menos conservadores e cujos resultados mais se aproximaram dos resultados experimentais (D max = 3 mm). Quanto a estimativa do modo de alha, estes critérios estimaram ser por compressão na direção das ibras, no topo do laminado (lâmina 0), como mostra a Tabela III, porém observou-se que o ator de reserva da lâmina (base do laminado) já indicava o limiar da alha nessa lâmina por tração na direção das ibras. Na Figura 3b tem-se a ocorrência de uma alha catastróica em aproximadamente 0,037 kn para um deslocamento em torno de,7 mm, 86

7 sendo o comportamento do material, predominantemente da matriz epóxi, rágil. Todos os critérios de alha aplicados apresentaram o mesmo valor para o deslocamento crítico (D max =,5 mm) mostrando a eiciência desses critérios na análise de materiais com tal comportamento. A Figura 3c mostra nitidamente o comportamento não-linear das tensões de cisalhamento no plano da lâmina da amostra, devido a presença de camadas a /-45, e evidencia a ineiciência neste caso particular dos critérios de alha utilizados. ONLUSÕES Neste trabalho utilizou-se o método dos elementos initos para análise de tensões em um modelo geométrico, juntamente com teorias de alhas para materiais compósitos poliméricos laminados implementadas através de rotinas computacionais, a im de executar a análise de alha, segundo a abordagem First Ply Failure, em componentes compostos deste tipo de material. omo estudos de caso oram analisadas vigas do material submetidas a carregamentos de lexão três pontos, e então comparados os resultados teóricos com os experimentais. Observou-se a eicácia dos dierentes critérios de alha implementados segundo a seqüência de empilhamento do laminado, sendo que no caso onde houve comportamento não linear do material tais critérios não produzem bons resultados, sendo necessário assim a aplicação de outros critérios mais apr opriados. Finalmente, veriicou-se a viabilidade da aplicação da metodologia mostrada, sendo que ela pode ser estendida à análise de alhas em componentes com geometria e carregamento mais complexos. Ressalta-se ainda que as implementações computacionais executadas possibilitam que outros critérios de alha sejam incorporados conorme as necessidades das aplicações. REFERÊNIAS. Hashin, Z., Failure riteria or Unidirectional Fiber omposites, Journal o Applied Mechanics, v.47, June 980, p Echaabi, J.; Trochu, F.; Gauvin, R., Review o Failure riteria o Fibrous omposite Materials, Polymer omposites, v.7, n.6, December 996, p Tsai, S.W. & Wu, E.M., A general theory o strength or anisotropic materials, Journal o omposite Materials, v.5, January 97, p Daniel, I.M. & Ishai, O., Engineering Mechanics o omposite Materials, Oxord University Press, New York, Hill, R.,The mathematical theory o plasticity, Oxord University Press, London, Azzi, V.D. & Tsai, S.W., Anisotropic Strength o omposites, Experimental Mechanics, September 965, p Hyer, M.W., Stress analysis o iber -reinorced composite materials, McGraw -Hill, Boston, Tsai, S.W., omposites design, Think omposites, Dayton, USA, ANSYS APDL Programmer s Guide, SAS IP Inc., nd edition, September ASTM D a, Standard test methods or Flexural Properties o Unreinorced and Reinorced Plastics and Electrical Insulating Materials,

8 METHODOLOGY FOR APPLIATION OF FAILURE RITERIA IN LAMINATE OMPOSITE MATERIALS APPLYING THE FINITE ELEMENT METHOD G. P. de Souza, V. Tita, N.. dos Santos, J. de arvalho Av. Trabalhador São arlense, 400, x. P. 359, São arlos/sp, EP Universidade de São Paulo - Escola de Engenharia de São arlos - Departamento de Engenharia Mecânica Abstract: This work presents a methodology or ailure analysis in laminate polymer composite materials according to the First Ply Failure approach (FPF), where the laminate ailure is considered to occur immediately ater the irst ply ailure. Due to the complexity o the stress analysis in reinorced polymer composites, the Finite Element Method is used. Ater, computer routines are implemented or some widely used ailure criteria or analysis o this type o material (Tsai Wu, Tsai Hill, Hashin and Maximum Stress). Analysis o case studies reerred to experimental three point lexural tests were done to veriy the easibility o the proposed methodology and the applicability o the implemented ailure criteria in this cases. Key-words: omposite, Failure riteria, Finite Element Method. 864