IMPLEMENTAÇÃO E ANÁLISE DE ALGORITMOS PARA COLORAÇÃO DE ARESTAS

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1 IMPLEMENTAÇÃO E ANÁLISE DE ALGORITMOS PARA COLORAÇÃO DE ARESTAS

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3 TIAGO DE OLIVEIRA JANUARIO IMPLEMENTAÇÃO E ANÁLISE DE ALGORITMOS PARA COLORAÇÃO DE ARESTAS Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Ciência da Computação do Instituto de Ciências Exatas da Universidade Federal de Minas Gerais como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre em Ciência da Computação. Orientador: Sebastián Alberto Urrutia Belo Horizonte Março de 2011

4 c 2011, Tiago de Oliveira Januario. Todos os direitos reservados. J35i Januario, Tiago de Oliveira Implementação e Análise de Algoritmos para Coloração de Arestas / Tiago de Oliveira Januario. Belo Horizonte, 2011 xx, 47 f. : il. ; 29cm Dissertação (mestrado) Universidade Federal de Minas Gerais Orientador: Sebastián Alberto Urrutia 1. Computação. 2. Teoria dos Grafos-Teses. I. Orientador. II. Título. CDU 519.6*62 (043)

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7 Agradecimentos Agradeço a Deus pela vida. Agradeço a meus pais por cuidarem de mim mesmo de longe e por estarem sempre presentes e acompanhando meus passos. Agradeço por ter duas irmãs tão lindas que sempre estão disponíveis quando eu preciso de uma orelha para puxar. Agradeço ao meu orientador Sebastián, pela amizade, confiança, paciência, incentivos, compreenção nos momentos difíceis, ensinamentos e pela oportunidade de desenvolver este trabalho. Ao Zilton, pelas noites em claro jogando conversa fora e tomando tereré, por todas as vezes em que saímos juntos e gastei todo o meu dinheiro, pelo show do a-ha que eu não vi, e pela honra de ter morado com um baiano tão gente fina. Ao Mayron, que foi uma das pessoas que me motivou a estar aqui, com quem passei boa parte da graduação trabalhando, que sempre foi para mim um exemplo de dedicação e disciplina. Aos professores do Departamento de Informática da Universidade Federal de Viçosa, que me forneceram uma forte base de conhecimento que me ajudou a chegar até aqui, em especial, aos professores André Gustavo e José Elias, pela amizade, companherismo e confiança em mim depositada. Aos meus companheiros do LaPO, com quem passei maior parte do meu tempo ao longo desses dois anos de estrada. A todos os amigos que fiz em Belo Horizonte, por todos os momentos de alegria e também a todos os amigos que fiz nos eventos dos quais participei durante o mestrado. Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq), à Universidade Federal de Minas Gerais e ao Departamento de Ciência da Computação, pelo apoio financeiro, por terem me acolhido e me proporcionado uma excelente infraestrutura de estudo e pesquisa. A todos vocês, muito obrigado. T.O.J. vii

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9 Resumo O problema de Coloração de Arestas, extensivamente estudado em Teoria dos Grafos, consiste em colorir as arestas de um grafo de tal forma que arestas incidentes em um mesmo vértice tenham cores distintas e que o número de cores utilizadas seja o menor possível. O resultado mais importante a respeito do problema de coloração de arestas surgiu em 1964 com o Teorema de Vizing, que definiu que o número mínimo de cores necessárias para colorir um grafo, denominado de índice cromático χ, está limitado entre os valores e + 1, onde é o grau máximo do grafo. Neste trabalho são apresentados duas implementações eficientes para coloração de arestas de grafos simples, baseados no Teorema de Vizing, utilizando não mais que + 1 cores. Várias adaptações em estruturas de dados e na ordem de processamento das arestas e cores foram propostas com o intuito de reduzir o tempo de execução das operações realizadas com maior frequência. Também foram desenvolvidas duas estratégias de pré-processamento que fornecem um grafo parcialmente colorido como entrada para o algoritmo de coloração de arestas. Os resultados experimentais mostram que as estratégias desenvolvidas permitem uma redução de 63,92% no tempo de execução das implementações dos algoritmos de coloração de arestas aqui estudados. Palavras-chave: Teoria dos Grafos, Coloração de Arestas, Teorema de Vizing, Implementações eficientes. ix

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11 Abstract The Edge Coloring Problem, extensively studied in Graph Theory, concerns coloring the edges of a graph such that edges incident on the same vertex have distinct colors and the number of used colors is minimized. The most important result on the edge coloring problem was proposed in 1964 with Vizing s Theorem, which established that the minimum number of colors needed to color a graph, the chromatic index χ, is limited between the values and + 1, where is the maximum degree of the graph. This work presents two efficient edge coloring implementations for simple graphs based on Vizing s Theorem using no more than + 1 colors. Several adaptations in data structures and in the processing order of edges and colors have been proposed in order to reduce the runtime of the operations more frequently performed. We also developed two preprocessing strategies that provide a partially colored graph as input to the edge coloring algorithm. Experimental results show that the proposed strategies allow gains up to 63.92% in terms of performance in the edge coloring algorithms studied here. Keywords: Graph theory, Edge coloring, Vizing s Theorem, Efficient implementations. xi

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13 Lista de Figuras 1.1 Solução ótima para o exemplo do problema de agendamento de reuniões modelado através de coloração de arestas Critérios de parada na construção do fan maximal Exemplo de rotação do fan em n = k passos Figura à esquerda: o fan maximal é encontrado, visto que, uma cor α k, disponível em v k, também está disponível em w. Figura à direita: resultado após a rotação do fan em k passos Figura à esquerda: P termina em um vértice diferente de vj ou w. Figura à direita: resultado após alternar o caminho P e rotacionar o fan em k passos Figura à esquerda: caso no qual P termina no vértice vj. Figura à direita: resultado após alternar o caminho P e rotacionar o fan em j passos Figura à esquerda: caso no qual P termina no vértice w. Figura à direita: resultado após alternar o caminho P e rotacionar o fan em j + 1 passos Diferentes cenários para a construção do caminho alternado α/β path partindo do vértice v Obtendo uma cor disponível em um vértice utilizando estruturas de dados em bits Exemplo da obtenção de uma cor disponível para a coloração da aresta e(v 2, v 7 ) com a representação em bits. As cores disponíveis para a coloração, obtidas através da operação AND, são F ree(v 2 ) F ree(v 7 ) = {2, 4, 7} Grafos DENSOS: razão de coloração e tempos de execução Grafos GRANDES: razão de coloração e tempos de execução Grafos REGULARES: razão de coloração e tempos de execução Grafos DENSOS: comparando as estruturas de dados que representam o conjunto F ree(v), para analisar a razão de coloração e tempos de execução. 33 xiii

14 4.5 Grafos GRANDES: comparando as estruturas de dados que representam o conjunto F ree(v), para analisar a razão de coloração e tempos de execução Grafos REGULARES: comparando as estruturas de dados que representam o conjunto F ree(v), para analisar a razão de coloração e tempos de execução Grafos DENSOS: comparação com os algoritmos disponíveis na literatura Grafos GRANDES: comparação com os algoritmos disponíveis na literatura Grafos REGULARES: comparação com os algoritmos disponíveis na literatura Grafos DENSOS: comparação entre as implementações básicas dos algoritmos estudados Grafos GRANDES: comparação entre as implementações básicas dos algoritmos estudados Grafos REGULARES: comparação entre as implementações básicas dos algoritmos estudados Grafos DENSOS: novos resultados obtidos com o auxílio da estratégia de pré-processamento a priori Grafos GRANDES: novos resultados obtidos com o auxílio da estratégia de pré-processamento a priori Grafos REGULARES: novos resultados obtidos com o auxílio da estratégia de pré-processamento a priori Grafos DENSOS: novos resultados obtidos com o auxílio do préprocessamento embutido Grafos GRANDES: novos resultados obtidos com o auxílio do préprocessamento embutido Grafos REGULARES: novos resultados obtidos com o auxílio do préprocessamento embutido xiv

15 Lista de Tabelas 2.1 Principais contribuições de algoritmos para coloração de arestas disponíveis na literatura Valores das médias de redução no tempo de execução obtidos pelas estratégias de pré-processamento para os algoritmos estudados xv

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17 Lista de Algoritmos 1 Algoritmo de Coloração de Arestas Tradicional Algoritmo de Coloração de Arestas Proposto Utilizando o pré-processamento a priori Utilizando o pré-processamento embutido xvii

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19 Sumário Agradecimentos Resumo Abstract Lista de Figuras Lista de Tabelas Lista de Algoritmos vii ix xi xiii xv xvii 1 Introdução Objetivos e Resultados desta Dissertação Organização do Texto Coloração de Arestas e o Teorema de Vizing Definições em Teoria dos Grafos Trabalhos Relacionados O Teorema de Vizing Algoritmo para Coloração de Arestas Algoritmo de Coloração de Arestas Proposto Estruturas de Dados Implementação e Atualização das Estruturas de Dados Estratégias de Execução Pré-processamento Outras Implementações para o Problema de Coloração de Arestas Análises Experimentais 29 xix

20 4.1 Descrição do Ambiente Computacional e Instâncias de Teste Resultados Conclusão 43 Referências Bibliográficas 45 xx

21 Capítulo 1 Introdução O problema de Coloração de Arestas, extensivamente estudado em Teoria do Grafos, consiste em colorir as arestas de um grafo de tal forma que arestas incidentes em um mesmo vértice tenham cores distintas e que o número de cores utilizadas seja o menor possível. Soluções para problemas reais podem ser obtidas com o auxílio da coloração de arestas, de tal forma que os vértices podem representar: processadores, professores e alunos, sensores, equipes esportivas, etc., enquanto as cores das arestas podem representar: processos a serem executados, salas de aula, proximidades, estádios, etc. O seguinte exemplo, ilustrado pela Figura 1.1, pode ser modelado através de coloração de arestas: suponha que seja necessário organizar uma série de pequenas reuniões, entre duas pessoas, em um grupo com dez pessoas. Com o objetivo de eliminar qualquer conflito de horários, todas as entrevistas poderiam ser agendadas em momentos distintos, no entanto, menos recursos serão desperdiçados (salas de reuniões, Figura 1.1. Solução ótima para o exemplo do problema de agendamento de reuniões modelado através de coloração de arestas. 1

22 2 Capítulo 1. Introdução horários, etc.) se várias entrevistas forem realizadas ao mesmo tempo. Neste caso, seja um grafo cujos vértices são as pessoas e cujas arestas representam as reuniões a serem agendadas. Uma coloração de arestas deste grafo define a agenda de reuniões, tal que as diferentes cores representam diferentes horários no cronograma, com todas as reuniões da mesma cor acontecendo simultaneamente. A Figura 1.1 apresenta uma solução ótima para o problema, onde nesse resultado, são necessários quatro horários, representados pelos números de 1 a 4, para agendar as reuniões entre as dez pessoas em questão, tomadas duas a duas. O resultado mais importante a respeito do problema de coloração de arestas surgiu em 1964 com o Teorema de Vizing, que definiu que o número mínimo de cores necessárias para colorir um grafo, denominado de índice cromático χ, está limitado entre os valores e + 1, onde é o grau máximo do grafo. A partir do Teorema de Vizing é possível classificar os grafos em Classe 1 ou Classe 2. Um grafo é dito Classe 1 se χ =, e dito Classe 2 se χ = + 1. O Teorema de Vizing impõe claramente que não existe outra possibilidade. Decidir a qual classe um grafo pertence é um problema de classificação. Para determinar se o grafo G pertence à Classe 1, primeiro procura-se uma coloração que utilize apenas cores para G. Se esta coloração é encontrada, então G pertence à Classe 1. No entanto, encontrar uma coloração que utilize + 1 cores não garante que o grafo G pertença à Classe 2, uma vez que qualquer grafo que pertence à Classe 1 também pode utilizar uma cor extra em sua coloração e assim ser colorido com + 1 cores. Portanto, para provar que um grafo pertence à Classe 2, é preciso provar que este grafo não pertence à Classe 1. Holyer [1981] demonstra que o problema de classificação é N P-Completo, o que torna a busca por algoritmos polinomiais cada vez mais eficientes na obtenção de uma coloração com + 1 cores, um tema de interesse para a comunidade acadêmica. A demonstração construtiva do Teorema de Vizing utiliza indução na coloração das arestas do grafo. Essa demonstração serviu como base para vários algoritmos polinomiais de coloração de arestas que utilizam no máximo + 1 cores. Gabow et al. [1985] apresentam uma revisão da bibliografia sobre o tema, com os melhores algoritmos de coloração de arestas, suas evoluções e um estudo teórico quanto à análise de suas complexidades assintóticas. Porém, mesmo após vários anos de pesquisa a respeito desse tema, até o momento não se conhecem resultados experimentais expressivos para o problema de coloração de arestas de grafos simples que utilize no máximo + 1 cores, ilustrando os reais desempenhos dos algoritmos encontrados na literatura. Tão pouco se tem conhecimento a respeito de publicações de estratégias de execução ou heurísticas que poderiam ser utilizadas para se obter melhores resultados com relação aos tempos de execução de suas implementações. Além disso, não há sinais de que

23 1.1. Objetivos e Resultados desta Dissertação 3 os algoritmos propostos na literatura tenham sido testados para grafos com grandes valores de número de vértices ou arestas. Este trabalho apresenta propostas de adaptações em estruturas de dados utilizadas para o armazenamento de informações sobre as cores, vértices e arestas dos grafos. Diversas análises experimentais realizadas consideraram a ordem de escolha das arestas e das cores para investigar a influência destas variáveis no tempo de execução dos algoritmos. Também foram desenvolvidas duas estratégias de pré-processamento que fornecem um grafo parcialmente colorido como entrada para o algoritmo de coloração de arestas. 1.1 Objetivos e Resultados desta Dissertação Nesta dissertação, o problema de coloração de arestas com + 1 cores para grafos simples é estudado e tem-se como objetivo propor uma implementação mais eficiente de algoritmo de coloração de arestas para resolver este problema. Foram propostas várias versões de um algoritmo de coloração de arestas baseadas no Teorema de Vizing. Com o objetivo de executar as operações mais frequentes com maior eficiência, foram projetadas estruturas de dados adaptadas para o problema a fim de reduzir o tempo de execução dessas operações em várias etapas do algoritmo implementado. Também foram desenvolvidas duas estratégias de pré-processamento para obter um grafo parcialmente colorido como passo inicial do algoritmo de coloração. Os resultados obtidos pelas implementações apresentadas neste trabalho foram experimentalmente comparadas com os resultados das implementações disponíveis na literatura e obtiveram um desempenho expressivo em termos de tempo de execução. Os resultados experimentais mostram que a combinação das estratégias de préprocessamento e o projeto das estruturas de dados para resolver o problema em questão permitem uma redução de 63,92% no tempo de execução das implementações dos algoritmos de coloração de arestas aqui estudados. 1.2 Organização do Texto Neste capítulo foi apresentada uma breve introdução do assunto a ser tratado no restante desta dissertação. O Capítulo 2 apresenta as principais definições necessárias para o bom entendimento do texto, uma revisão bibliográfica atualizada do problema de coloração de arestas com diversas variações da formulação do problema e, finalmente, a demonstração tradicional do Teorema de Vizing.

24 4 Capítulo 1. Introdução O Capítulo 3 apresenta todos os detalhes do algoritmo de coloração de arestas proposto, a implementação das estruturas de dados e seus métodos de atualização, as estratégias de execução e de pré-processamento e, por fim, um comentário a respeito das implementações disponíveis na literatura. Resultados computacionais, descrição das instâncias de teste e análises experimentais do algoritmo proposto são apresentadas no Capítulo 4. Conclusões a respeito das principais contribuições deste trabalho, juntamente com propostas para atividades futuras, são apresentadas no Capítulo 5.

25 Capítulo 2 Coloração de Arestas e o Teorema de Vizing Este capítulo apresenta os principais conceitos em Teoria dos Grafos, necessários para o entendimento do trabalho apresentado nesta dissertação, relacionados ao problema de coloração de arestas, incluindo a demonstração do Teorema de Vizing que, além do principal resultado para os limites de coloração, foi utilizada como base para o desenvolvimento dos algoritmos aqui estudados. Este capítulo também expõe uma revisão dos trabalhos mais importantes relacionados ao problema clássico de coloração de arestas e suas diversas variações. 2.1 Definições em Teoria dos Grafos As definições apresentadas abaixo, que serão utilizadas ao longo do texto, podem ser encontradas em West [2001] e Diestel [2005]. Definição 1 G(V, E), ou simplesmente G, denota um grafo simples, sem laço, sem múltiplas arestas, não direcionado e finito. V (G) e E(G) representam os conjuntos de vértices e arestas de G, respectivamente. Dois vértices são ditos adjacentes quando existe uma aresta que os conecta. Para fins de simplicidade, serão utilizados os termos V e E quando o grafo em questão estiver implícito. Será utilizada a letra n para representar a cardinalidade do conjunto de vértices V e a letra m para representar a cardinalidade do conjunto de arestas E. Definição 2 Um multigrafo é um grafo que pode possuir até µ arestas conectando cada par de vértices, onde a letra µ é denominada multiplicidade do grafo. Em um grafo simples, µ = 1. 5

26 6 Capítulo 2. Coloração de Arestas e o Teorema de Vizing Definição 3 Um subgrafo de G é um grafo G com V (G ) V (G) e E(G ) E(G). Definição 4 Para cada vértice v V, Adj(v) denota o conjunto de vértices que são adjacentes a v. Definição 5 O grau de um vértice v é δ(v) = Adj(v). O grau máximo de um vértice é (G) = max v V (G) {d(v)}, ou simplesmente quando o grafo em questão estiver implícito. Um vértice é dito universal se este vértice está conectado a todos os demais vértices do grafo. Definição 6 Uma atribuição de cores às arestas de um grafo G, ou simplesmente coloração, é uma função de coloração λ : E C. Os elementos do conjunto C são chamados de cores. Definição 7 Uma cor c C incide em um vértice v se existe um vértice w Adj(v) tal que a aresta e(v, w) é colorida com a cor c, ou seja, λ(e(v, w)) = c, caso contrário a cor encontra-se disponível no vértice v. Um conflito em uma atribuição de cores ocorre quando duas cores incidem em um vértice comum. Definição 8 Um vértice u é dito ser satisfeito quando λ(uv) = λ(uw) implica em v = w, para todas as arestas em Adj(u). Uma coloração de arestas é uma atribuição de cores de forma que todo vértice é satisfeito, ou de forma equivalente, que não existam conflitos. Definição 9 Uma coloração válida de G é um atribuição de cores a todas as arestas, sem conflitos. Uma coloração parcial é uma coloração válida onde algumas arestas de G se encontrarão descoloridas. Um grafo é dito parcialmente colorido se esse possui uma coloração parcial. Definição 10 O número mínimo de cores necessárias para produzir uma coloração de arestas válida para G é chamado de índice cromático, definido por χ (G). Definição 11 H G é um subgrafo induzido pelo conjunto de arestas E(H) E(G), se o seu conjunto de vértices é dado pelos vértices que são extremidades das arestas em E(H), e o seu conjunto de arestas é dado por E(H). O grafo H(α, β) G é um subgrafo induzido pelas arestas coloridas com as cores α e β. Definição 12 Um α/β path H(α, β) é um caminho simples ou um ciclo de tamanho par formado pelas arestas de cores α e β. A troca das cores ao longo desse caminho (β por α e α por β) é chamada de inversão. Se a coloração inicial de G é válida, a mesma continua válida após a inversão de um α/β path Misra & Gries [1992].

27 2.2. Trabalhos Relacionados 7 Tabela 2.1. Principais contribuições de algoritmos para coloração de arestas disponíveis na literatura. Autores Classes de Grafos Número de Cores Complexidade Skulrattanakulchai [2002] Planares O(n) Gabow et al. [1985] Planares + 1 4, 5, 6, 7 O(n log n) Cole & Kowalik [2008] Planares + 2 4, 5, 6, 7 O(n) Gabow et al. [1985] Planares 8 O(n 2 ) Cole & Kowalik [2008] Planares O(n) Cole & Kowalik [2008] Planares 9 O(n) Chrobak & Yung [1989] Planares 19 O(n) Gabow et al. [1985] Simples O(m n log n) Takabatake [2005] Bipartidos - O(m log + ( m )log( m )) Kirkman [1847] K n, n é par n 1 O(m) Kirkman [1847] Januario [2011] K n, n é ímpar + 1 n 1 O(m) Com nó universal + 1 n 1 O(m) 2.2 Trabalhos Relacionados Como provado por Holyer [1981], determinar o índice cromático de um grafo é um problema N P-Completo, e assim é incerto dizer se existe um algoritmo em tempo polinomial que o computa. Portanto, um algoritmo polinomial que dê um bom limite superior para χ pode ser muito útil, uma vez que a busca por algoritmos computacionais eficientes e de baixa complexidade para problemas em grafos é muito importantes e tem sido tema de pesquisa há vários anos. De acordo com Scheide & Stiebitz [2010], a grande maioria dos limites superiores 1 para o índice cromático, são dados pelos próprios algoritmos de coloração de arestas. Em geral, esses algoritmos são projetados para classes específicas de grafos. Shannon 1 O limite inferior para a coloração de arestas de um grafo G é dado por. A prova deste limite inferior é trivial, pois são necessárias diferentes cores para colorir as arestas incidentes nos vértices de maior grau do grafo.

28 8 Capítulo 2. Coloração de Arestas e o Teorema de Vizing [1949] provou que as arestas de qualquer grafo, incluindo multigrafos, podem ser coloridas com no máximo 3 2, ou seja χ 3 2. Vizing [1964] provou que χ + µ para qualquer grafo. Neste trabalho, os grafos estudados são todos simples, ou seja, um caso particular de multigrafos onde µ = 1. Um grafo simples é dito da Classe 1 se χ = e da Classe 2 se χ = + 1. O Teorema de Vizing define que não existe outra possibilidade: todo grafo pertence ou à Classe 1, ou à Classe 2. A Tabela 2.1 apresenta os trabalhos mais importantes e suas contribuições quanto aos valores do número de cores utilizadas na coloração para várias classes de grafos e as complexidades assintóticas dos seus algoritmos de coloração de arestas. Como pode ser visto pela Tabela 2.1, a coloração de arestas em grafos planares tem sido alvo de estudo por muitos pesquisadores. Vários investigações já foram desenvolvidas para esses grafos, com o objetivo de classificá-los quanto à sua classe de coloração. É sabido que existem grafos planares com {2, 3, 4, 5}, que pertencem à Classe 2. Sanders & Zhao [2001] provaram que todos os grafos planares com = 7 pertencem à Classe 1. Determinar a existência de um grafo planar com = 6 que pertença à Classe 2 é um problema que permanece em aberto. A classificação desses grafos permite guiar as pesquisas em direção à busca de algoritmos mais eficientes, considerando os novos valores de limites inferiores e superiores para χ. Por outro lado, em certas aplicações, é necessário escolher entre eficiência ou qualidade da solução. Para grafos planares com = 8, Gabow et al. [1985] propuseram um algoritmo de coloração de arestas utilizando cores, enquanto Cole & Kowalik [2008] propuseram, para o mesmo tipo de grafo, um algoritmo de coloração de arestas mais eficiente mas que utiliza no máximo + 1 cores. Para um caso particular de grafos planares, grafos Teia, Sharebaf [2009] apresenta um algoritmo de coloração de arestas que utiliza cores, sem verificar as cores das arestas incidentes em qualquer vértice do grafo. Este algoritmo tem como base a soma dos índices associados aos vértices conectados por uma aresta que será colorida. Esta soma é calculada em módulo k, onde k é o número de pernas do grafo Teia 2. Para grafos bipartidos, Takabatake [2005] propôs um algoritmo de coloração de arestas com complexidade O(m log +( m)log( m )), a menor complexidade conhecida. Gabow et al. [1985] apresentaram um algoritmo para coloração de arestas de grafos 2 Uma árvore T = (V, E) é uma Teia Base quando existe no máximo um vértice de grau maior do que dois, denominado raiz. Uma perna da Teia Base é um caminho da raiz a um vértice de grau 1. Um Grafo Teia, T k, com k 3, é uma teia base T com k pernas p 1,..., p k, sendo que cada perna p i, i = 1,..., k, tem tamanho pelo menos igual a dois. Além disso, dois vértices em pernas distintas, v p i e u p j, com i = j, são adjacentes quando i j {1, k 1} e a distância d(v, c) = d(u, c), onde c é a raiz do grafo T.

29 2.2. Trabalhos Relacionados 9 simples com no máximo + 1 cores de complexidade O(m n log n), no entanto até o momento nenhuma implementação desse algoritmo é relatada na literatura. De acordo com Froncek [2010], o Método do Polígono, descoberto por Kirkman [1847], é o método mais conhecido e amplamente aplicado no planejamento de tabelas de jogos esportivos (ainda que não tenha sido desenvolvido para esse fim). Com esse método é possível obter uma coloração de arestas para grafos completos, K n, onde n representa o número de vértices do grafo, utilizando cores, quando n é par, bem como obter uma coloração de arestas para grafos K n, utilizando + 1 cores, quando n é ímpar. Nesta dissertação é apresentado um método capaz de colorir as arestas de qualquer grafo, que possua um vértice universal, em tempo O(m). Esse método utiliza uma estratégia semelhante àquela apresentada por Sharebaf [2009], fazendo uso das informações dos índices associados vértices adjacentes para determinar a cor da aresta que os conecta. Maiores detalhes podem ser encontrados na Seção 3.4. Também é importante ressaltar a vasta literatura sobre as generalizações do problema de coloração de arestas. O problema de Coloração de Arestas Generalizado em multigrafos, ou f-coloração, proposto por Hakimi & Kariv [1986], é similar ao tradicional problema de Coloração de Arestas apresentado nesta dissertação, com a diferença de que uma cor pode incidir em um vértice até f vezes. No trabalho de Hsu et al. [2006], alguns novos limites inferiores para o número de cores utilizadas neste problema são definidos. Uma Coloração Generaliza das arestas de G necessita de no mínimo f cores. Assim também tem-se o número mínimo de cores necessárias para colorir as arestas incidentes em um vértice, dado por δ(v). A discrepância global é a diferença f entre o número de cores utilizadas pela coloração de G e o limite inferior, ou seja f C. Da mesma forma é definido o conceito de discrepância local de um nó v f como a diferença entre o número de cores incidentes no vértice e o limite inferior δ(v), f ou seja C(v) δ(v), onde C(v) é o número de cores incidentes no vértice v. Um f algoritmo, que utiliza no máximo +µ cores, de complexidade O(m m log n) foi f proposto por Shin-ichi et al. [1993]. Esse limite superior é naturalmente obtido do resultado do Teorema de Vizing para grafos de multiplicidade µ. Na Coloração de Arestas Acíclica, onde não é permitida a existência de ciclos de duas cores em um grafo G, α (G) representa o número mínimo de cores utilizadas para a coloração e para qualquer grafo, α (G) (G) + 2. Dong & Xu [2010] provam que qualquer grafo planar que atenda a determinados valores do grau máximo e do comprimento do menor ciclo g(g) G possui α (G) = (G) Em Liang et al. [1996] são estudados dois problemas de coloração de arestas: concluir a coloração das arestas de um grafo parcialmente colorido após a adição de

30 10 Capítulo 2. Coloração de Arestas e o Teorema de Vizing um novo vértice a este grafo; e colorir as arestas de um grafo utilizando no máximo +1 cores. Os autores propuseram algoritmos paralelos para a resolução deste problema, mas sem qualquer análise experimental. Até o momento, poucos trabalhos deram ênfase a uma análise profunda das implementações dos algoritmos baseados na prova do Teorema de Vizing. Tem-se conhecimento de três implementações disponíveis. Uma delas Dong s [2010] não é competitiva com as outras duas. O código disponível em UTA [2010a] é baseado no algoritmo apresentado em Hu & Blake [1997] enquanto UTA [2010b] é inspirado em Misra & Gries [1992]. Estas implementações estão disponíveis online e foram desenvolvidos por alunos da University of Texas at Arlington. 2.3 O Teorema de Vizing O principal resultado sobre o estudo de coloração de arestas surgiu com o Teorema de Vizing [1964]. Este teorema mostra que todo grafo G pode ser colorido com no máximo + 1 cores. A demonstração deste teorema, encontrado em Nakano et al. [1995], é baseada no aumento da coloração do grafo G, colorindo uma nova aresta a cada iteração. Esta prova mostra como colorir uma aresta de um grafo parcialmente colorido (o que pode exigir a recoloração de algumas arestas para garantir que todos os vértices sejam mantidos satisfeitos ao longo do processo de coloração) nunca utilizando mais que + 1 cores diferentes. Esse procedimento é repetido até que todas as arestas do grafo sejam coloridas. Dentre as diversas provas disponíveis na literatura, escolheuse a demonstração a seguir devido à sua clareza e simplicidade 3. Teorema 1 Para todo grafo G simples, tem-se que: (G) χ (G) (G) + 1 (2.1) Prova. A inequação da esquerda é facilmente provada, uma vez que qualquer vértice de grau precisa de uma cor diferente para cada uma de suas arestas incidentes. O restante da prova depende da estrutura de dados chamada fan. Seja e 0 (w, v 0 ) uma aresta não colorida de um grafo parcialmente colorido. Um f an F é uma sequência de arestas distintas e 0 (w, v 0 ), e 1 (w, v 1 ),..., e k (w, v k ), onde o vértice w é considerado o 3 Misra & Gries [1992] apresentam uma interessante discussão a respeito da evolução da prova do Teorema de Vizing. O estudo da atual versão do teorema iniciou com Edsger Wybe Dijkstra e ATAC (Austin Tuesday Afternoon Club) a pedido de Robert Tarjan, que considerava a prova deste teorema confusa e complexa. A demonstração do teorema tornou-se mais clara somente após a introdução dos elementos: f an, inversão e rotação.

31 2.3. O Teorema de Vizing 11 centro do fan e os vértices v i são suas folhas, tal que dada uma sequência de cores distintas α 0, α 1,..., α k 1, as seguintes condições são satisfeitas: 1. A cor α i encontra-se disponível no vértice v i, 0 i k 1; e 2. Toda aresta e i, 1 i k, encontra-se colorida com a cor α i 1. A construção do fan inicia-se pela aresta descolorida e 0 (w, v 0 ), onde w é chamado de vértice central do fan. A seguir, adiciona-se a aresta e 1 (w, v 1 ), colorida com a cor α 0 disponível no vértice v 0. Este procedimento repete-se para as arestas e i (w, v i ), coloridas com as cores α i 1, até a construção do fan maximal, ou seja, até que não se possa mais adicionar uma aresta no fan de modo que as condições apresentadas anteriormente mantenham-se satisfeitas. 1) α k disponível em v k e w. 2) α k = α j, incide no vértice w. Figura 2.1. Critérios de parada na construção do f an maximal. Um fan é dito maximal quando uma das seguintes condições for satisfeita (ver Figura 2.1): a cor α k, disponível no vértice v k, é uma cor disponível no vértice w; ou, a cor α k = α j, 0 j < k, onde α j é uma cor disponível em um vértice v j e colore a aresta e j+1 (w, v j+1 ). Rotacionar o fan em n passos é um procedimento onde cada aresta e i F é colorida com a cor α i, para todo i, 0 i n k, e a cor α n 1 é removida da aresta e n, fazendo com que esta aresta fique descolorida. Com a rotação de F em n passos, é possível obter uma outra coloração de arestas para G em que a aresta e n, ao invés da aresta e 0, aparece descolorida (ver Figura 2.2). Considere um grafo G parcialmente colorido com, no máximo, + 1 cores. Dada uma aresta descolorida e(w, v 0 ) E(G), esta prova mostra como aumentar a coloração de G colorindo essa aresta, sem ultrapassar o limite de +1 cores diferentes, o que pode

32 12 Capítulo 2. Coloração de Arestas e o Teorema de Vizing exigir a troca das cores de algumas arestas já coloridas para garantir que a coloração permaneça válida. 1) fan antes da rotação. 2) fan após a rotação em n = k passos. Figura 2.2. Exemplo de rotação do fan em n = k passos. Inicialmente, busca-se uma cor que esteja disponível tanto no vértice w quanto no vértice v 0, ou seja, busca-se uma cor β F ree(w), e uma cor α 0 F ree(v 0 ), tal que α 0 = β, onde F ree(v) representa o conjunto de cores disponíveis em um vértice v. Se essa cor existe, então ela será usada para colorir a aresta e 0 (w, v 0 ) e aumentar a coloração do grafo G. Porém, suponha α 0 β. Seja o fan maximal F de tamanho k, tendo w como vértice central, começando pela aresta descolorida e 0 (w, v 0 ) até a aresta e k (w, v k ), e seja também a cor α k disponível no vértice v k. Se a cor α k também é uma cor disponível em w, basta rotacionar F em k passos, fazendo com que α k seja uma cor disponível em ambas as extremidades da aresta descolorida e k (w, v k ). Consequentemente, colorir e k com α k aumentaria a coloração do grafo G, como ilustrado pela Figura 2.3. Porém, suponha que a cor α k não é uma cor disponível no vértice w. Neste caso, α k = α j, tal que 0 j < k, uma vez que sabemos que F é maximal. Seja β uma cor disponível no vértice w, e seja P o caminho maximal (α k, β)-path que parte do vértice v k. Se P termina em qualquer vértice diferente de w ou v j, inverte-se o caminho P, fazendo com que a cor β torne-se uma cor disponível nas extremidades da aresta e k (w, v k ). Então, rotaciona-se F em k passos, tornando a aresta e k (w, v k ) descolorida, bem como permitindo que e k seja recolorida com a cor β, e assim aumentando a coloração de G, como ilustrado pela Figura 2.4.

33 2.3. O Teorema de Vizing 13 Figura 2.3. Figura à esquerda: o fan maximal é encontrado, visto que, uma cor α k, disponível em v k, também está disponível em w. Figura à direita: resultado após a rotação do fan em k passos. Figura 2.4. Figura à esquerda: P termina em um vértice diferente de vj ou w. Figura à direita: resultado após alternar o caminho P e rotacionar o fan em k passos. Se P termina no vértice v j, por uma aresta de cor β, inverte-se o caminho P, fazendo com que a cor β torne-se uma cor disponível nas extremidades da aresta e j (w, v j ). Então, rotaciona-se F em j passos, tornando a aresta e j (w, v j ) descolorida, bem como permitindo que e j seja recolorida com a cor β, aumentando a coloração de G, como ilustrado pela Figura 2.5. Se P termina no vértice w, por uma aresta de cor α k = α j, inverte-se P, fazendo com que a cor α k = α j torne-se uma cor disponível nas extremidades da aresta e j+1 (w, v j+1 ). Então, rotaciona-se F em j + 1 passos, tornando a aresta e j+1 (w, v j+1 ) descolorida, bem como permitindo que e j+1 seja recolorida com a cor α k, aumentando a coloração de G, como ilustrado pela Figura 2.6.

34 14 Capítulo 2. Coloração de Arestas e o Teorema de Vizing Figura 2.5. Figura à esquerda: caso no qual P termina no vértice vj. Figura à direita: resultado após alternar o caminho P e rotacionar o fan em j passos. Figura 2.6. Figura à esquerda: caso no qual P termina no vértice w. Figura à direita: resultado após alternar o caminho P e rotacionar o fan em j + 1 passos. Haja visto que não existem outros casos a serem tratados, o aumento da coloração fica provado, sem que se faça necessário utilizar mais que + 1 cores. Os passos dessa demonstração construtiva podem ser aplicados repetidas vezes a partir de um grafo completamente descolorido até que todas as arestas do grafo sejam coloridas. O Algoritmo 1 foi obtido a partir da demonstração apresentada, com base no texto de Nakano et al. [1995]. A partir do passos 1 e 2, nota-se que o algoritmo de coloração de arestas aumenta o número de arestas coloridas no grafo em uma unidade a cada iteração. Nos passos 3 e 4, procura-se uma cor α 0 disponível tanto no vértice w quanto no vér-

35 2.3. O Teorema de Vizing 15 Algoritmo 1: Algoritmo de Coloração de Arestas Tradicional 1 enquanto e Edge(G) e.color = faça 2 e 0 (v 0, w) {e 0 Edge(G) e 0.color = } 3 se α 0 F ree(v 0 ) F ree(w) então 4 Colorir a aresta e 0 utilizando a cor α 0 5 senão 6 Construa o fan maximal F = e 0 (w, v 0 ), e 1 (w, v 1 ),..., e k (w, v k ) 7 Seja α k F ree(v k ) 8 se α k F ree(w) então 9 Rotacionar(F, k) 10 Colorir a aresta e k utilizando a cor α k 11 senão 12 Seja β F ree(w) e j, tal que α j = α k 13 Construa o caminho maximal P = (α k, β) path partindo de v k 14 se P termina em v j então 15 Inverter as cores no caminho P 16 Rotacionar(F, j) 17 Colorir a aresta e j utilizando a cor β 18 senão se P termina em w então 19 Inverter as cores no caminho P 20 Rotacionar(F, j + 1) 21 Colorir a aresta e j+1 utilizando a cor α k 22 senão /* P não termina nem em w ou em v j */ 23 Inverter as cores no caminho P 24 Rotacionar(F, k) 25 Colorir a aresta e k utilizando a cor β tice v 0. Se essa cor existe, a mesma é atribuída à aresta e 0 (w, v 0 ). Se não existe uma cor na interseção F ree(w) F ree(v 0 ) (passo 5), no passo 6 o fan maximal F = e 0 (w, v 0 ), e 1 (w, v 1 ),..., e k (w, v k ) é construído. No passo 7, se a cor α k encontra-se disponível no vértice v k, e se α k também é uma cor disponível no vértice w, rotaciona-se o fan F e então utiliza-se a cor α k para colorir a aresta e k (w, v k ), de acordo com os passos de 8 a 10. Caso a cor α k, disponível no vértice v k, seja igual a uma cor α j atribuída a uma aresta pertencente ao fan, ou seja α k = α j, para 0 j < k (passo 11), no passo 12 uma cor β é escolhida dentre as cores disponíveis no vértice w. No passo 13 é construído o caminho maximal P = α k /β path começando pelo vértice v k. As próximas operações do algoritmo seguem as operações apresentadas nos três casos do Teorema de Vizing. Os passos 14 a 17 correspondem ao Caso 1, onde o caminho P termina no vértice v j.

36 16 Capítulo 2. Coloração de Arestas e o Teorema de Vizing Os passos 18 a 21 correspondem ao Caso 2, onde o caminho P termina no vértice w e os passos 22 a 25 correspondem ao caso 3, onde o caminho P termina em qualquer vértice diferente de w ou v j. A corretude do algoritmo é omitida uma vez que segue a prova do Teorema de Vizing. A complexidade assintótica do algoritmo é facilmente demonstrada. Uma vez que o algoritmo aumenta a coloração do grafo, colorindo uma nova aresta a cada iteração, sua complexidade é dada por Θ(m), pois é necessário percorrer todas as arestas do grafo para obter uma coloração. O Teorema de Vizing garante que no máximo arestas são selecionadas para a construção e rotação do fan, adicionando o custo para construir a alternar as cores no caminho P = α/β path, que é O(n). Em consequência, a complexidade assintótica do algoritmo é dada por O(m ( + n)) que é equivalente a O(m n). No próximo capítulo, será apresentado um algoritmo de coloração de arestas baseado na demonstração do Teorema de Vizing disponível em Gould [1988]. Este algoritmo difere do algoritmo apresentado neste capítulo em algumas características que serão detalhadas no Capítulo 3.

37 Capítulo 3 Algoritmo para Coloração de Arestas Este capítulo descreve o algoritmo de coloração de arestas proposto, que utiliza não mais que + 1 cores, considerando suas estruturas de dados e procedimentos de atualização, estratégias utilizadas na obtenção de ganhos de desempenho, estudo do préprocessamento das arestas e as suas diferentes formas de aplicação no algoritmo. 3.1 Algoritmo de Coloração de Arestas Proposto O Algoritmo 2, que colore um grafo G com não mais que + 1 cores, é baseado na prova do Teorema de Vizing, disponível em Gould [1988]. Para garantir que o algoritmo obtenha uma coloração válida para G, em um número de passos finito, é definida uma variável auxiliar chamada de taboo para representar uma cor que tem o seu uso temporariamente proibido ao longo da coloração do grafo. Inicialmente inicializa-se a cor taboo com o elemento vazio. Esta cor possuirá um valor diferente de vazio em uma iteração i do algoritmo quando, na iteração i 1, para i > 1, o caminho alternado α/β path, partindo de v 0, terminar no vértice w. Uma vez que a cor taboo nunca possui um valor diferente de vazio na primeira iteração do algoritmo, em cada iteração, como pode ser visto através do passo 6, uma aresta e 0 (w, v 0 ) é escolhida dentro do conjunto de arestas não coloridas de G. No passo 7, busca-se uma cor γ F ree(v 0 ) F ree(w). Se essa cor existe, utiliza-se γ para colorir a aresta e 0 (w, v 0 ) (passo 8) e atualiza-se a informação da cor taboo. Nos passos de 10 a 13, Se não existe uma cor disponível na interseção F ree(v 0 ) F ree(w), as cores α F ree(v 0 ) e β F ree(w) são escolhidas para construir o caminho alternado maximal α/β path começando por v 0. Pode-se afirmar que a cor α F ree(v 0 ) incide 17

38 18 Capítulo 3. Algoritmo para Coloração de Arestas Algoritmo 2: Algoritmo de Coloração de Arestas Proposto 1 taboo nill 2 enquanto e Edge(G) e.color = faça 3 se taboo nil então 4 e 0 (v 0, w) e 1 (v 1, w) 5 senão 6 e 0 (v 0, w) {e 0 Edge(G) e 0.cor = } 7 se γ F ree(v 0 ) F ree(w) então 8 Colorir a aresta e 0 utilizando a cor γ 9 taboo nil 10 senão 11 Escolha α F ree(v 0 ) α taboo 12 se taboo nill então 13 Escolha β F ree(w) β taboo 14 se P = (α, β) path começando em v 0 não termina em w então 15 Inverter as cores no caminho P 16 Colorir a aresta e 0 utilizando a cor β 17 taboo nill 18 senão 19 e 1 T able(w, α).e 20 Remover a cor α da a aresta e 1 21 Colorir a aresta e 0 utilizando a cor α 22 taboo α no vértice w, caso contrário seria possível utilizar essa cor para colorir a aresta e 0 (v 0, w). Da mesma forma a cor β F ree(w) incide no vértice v 0, caso contrário seria possível utilizar essa cor para colorir a aresta e 0 (v 0, w). Se, no passo 14, o caminho alternado α/β path partindo do vértice v 0 não termina em w, as cores α e β são invertidas ao longo do caminho (passo 15), e a aresta e 0 (v 0, w) é colorida com β (passo 16), que agora também está livre no vértice v 0 graças à inversão das cores no caminho α/β path (ver Figura 22a). Quando o caminho α/β path termina em w, inverter as cores do caminho apenas irá trocar as posições das cores disponíveis nos vértices terminais de e 0, fazendo com que α fique disponível em w, mas não em v 0 e fazendo com que a cor β fique disponível em v 0, mas não em w (ver Figura 22b). Nesse caso, nos passos 19 e 20, a aresta e(v 1, w), que é uma aresta colorida com a cor α e incide no vértice w, tem a sua cor α removida e, no passo 21, esta mesma cor será utilizada para colorir a aresta e 0 (v 0, w). Na próxima iteração, a aresta e 1 (v 1, w) (passos 3 e 4), será colorida com uma cor ψ diferente de taboo = α. A cor ψ

39 3.1. Algoritmo de Coloração de Arestas Proposto 19 a) Caminho alternado α/β path não terminando no vértice w. b) Situação onde o caminho alternado α/β path encontra o vértice w. Figura 3.1. Diferentes cenários para a construção do caminho alternado α/β path partindo do vértice v 0. existe, pois há pelo menos duas cores disponíveis nos vértices v 0 e w, já que em todo vértice incidem, no máximo, arestas de cores diferentes e, além de sempre existirem + 1 cores disponíveis, a aresta e 1 (v 1, w) encontra-se descolorida. Essa última etapa é importante para manter a validade do algoritmo. Note que o algoritmo proposto não constrói a estrutura fan utilizada pelo algoritmo tradicional, no entanto a idéia do fan aparece de forma implícita, onde w é o vértice central. Observe que quando a cor taboo assume um valor diferente de nill na iteração atual, a aresta a ser colorida na próxima iteração incide no vértice fixo w, que anteriormente estava colorida com a cor α. Neste caso, o vértice w e a cor β F ree(w) permanecem inalterados de uma iteração para a próxima até que a aresta incidente no vértice w seja finalmente colorida. A demonstração do Teorema de Vizing, apresentada em Gould [1988], garante que são necessárias, no máximo, iterações de trocas de cores das arestas ao redor do vértice w para encontrar uma coloração válida para todas as suas arestas incidentes já coloridas. Uma vez que o algoritmo apresentado aumenta a coloração de uma aresta a cada vez (em uma ou mais iterações), sua complexidade pode ser dada por Θ(m) vezes a complexidade para colorir uma única aresta para aumentar a coloração parcial do grafo. No algoritmo principal, a operação mais cara a ser executada em cada iteração é a construção e a inversão do caminho alternado maximal α/β path onde

40 20 Capítulo 3. Algoritmo para Coloração de Arestas sua complexidade computacional é dada por O(n) uma vez que esse caminho é simples. Em consequência, o tempo de execução do algoritmo pode ser dado por O(m n). Ainda que a complexidade do algoritmo proposto seja superior à complexidade do algoritmo de coloração de arestas tradicional, espera-se que na prática esses algoritmos apresentem desempenhos similares, ou ainda, que com o uso das estratégias de execução e de pré-processamento apresentadas, o algoritmo proposto apresente desempenho superior. Esse tipo de resultado não é inédito na ciência da computação. De acordo com Matouek & Gärtner [2006], o método de resolução de problemas de programação linear Simplex, que possui complexidade assintótica exponencial, na prática possui um comportamento polinomial para a maioria dos problemas reais em que é aplicado. Além disso o método Simplex é, em geral, mais eficiente que o método dos Pontos Interiores e o método dos Elipsóides, que são algoritmos de complexidades polinomiais, mas que na prática tendem a apresentar comportamentos muito próximos aos resultados de pior caso das suas respectivas análises de complexidade. 3.2 Estruturas de Dados A eficiência de um procedimento está fortemente associada à forma como os dados são organizados e manipulados. A escolha das estruturas de dados para a implementação do algoritmo de coloração de arestas proposto neste trabalho foi baseada nas análises das operações mais caras e realizadas com maior frequência, buscando obter menor complexidade em termos de espaço e tempo computacional. Inicialmente, se faz necessário definir três estruturas de dados desenvolvidas para otimizar as operações realizadas com maior frequência durante a execução do algoritmo: F ree(v), Edge(G) e T able(v, α). A estrutura F ree(v) armazena o conjunto de até + 1 cores disponíveis para colorir as arestas incidentes a um dado vértice v. A estrutura de dados Edge(G) = {e E(G)} é um conjunto de tamanho m onde cada elemento é uma abstração de uma das arestas do grafo G e possui as seguintes variáveis: v, w e cor. As variáveis e.v e e.w representam os vértices conectados pela aresta e e a variável e.cor armazena a informação referente à cor atribuída a esta aresta. T able(v, α) é uma matriz em que cada uma das suas linhas está associada a um vértice v V (G) e cada uma das suas colunas está associada a uma cor α C, C = + 1. Cada elemento de T able(v, α) que associa o vértice v com a cor α possui as seguinte variáveis: status, adj, e, e cindex. A variável booleana T able(v, α).status

41 3.2. Estruturas de Dados 21 assume o valor 1 (verdade) sempre que uma aresta de cor α incide no vértice v, e assume o valor 0 (falso) caso esta cor encontre-se disponível no vértice v. A variável T able(v, α).adj representa o vértice adjacente a v que está conectado pela aresta de cor α, T able(v, α).e é um apontador que referencia a aresta e, que conecta os vértices v e T able(v, α).adj, na estrutura Edge(G). Finalmente, o campo T able(v, α).cindex armazena a informação sobre localização da cor α no conjunto F ree(v) Implementação e Atualização das Estruturas de Dados Neste trabalho, foram propostas duas implementações para a estrutura de dados que representa o conjunto F ree(v). A primeira delas utiliza efetivamente uma lista de números inteiros para a representação das cores. Caso a cor α seja selecionada para colorir uma aresta incidente no vértice v, o inteiro que a representa deve ser removido da lista F ree(v). Neste caso, a variável T able(v, α).cindex indicará a posição desta cor na estrutura F ree(v). Por outro lado, se a cor α está sendo adicionada em F ree(v) (por que essa cor foi removida de alguma aresta incidente em v), basta apenas inseri-la no fim da lista F ree(v). As operações de inserção e remoção são elementares no algoritmo de coloração de arestas e são executadas em tempo O(1). Para determinar uma cor não incidente em um vértice v, basta acessar uma posição válida na lista que representa F ree(v). No entanto, para determinar uma cor α F ree(v) F ree(w) é necessário consultar cada elemento de F ree(v) e verificar se o mesmo está na lista de cores disponíveis de w em tempo O(1) utilizando a variável T able(w, α).status. A operação completa é executada em tempo O(min{ F ree(v), F ree(w) }), que, no pior caso, é O( ). Esta metodologia utilizada para determinar uma cor disponível em um par de vértices foi primeiramente proposta em Cole & Kowalik [2008]. Na segunda implementação de F ree(v), utiliza-se um vetor de tamanho + 1 palavra, onde cada elemento é um número inteiro do tamanho da palavra1 da arquitetura do computador onde o algoritmo está sendo executado. O j-ésimo bit do i-ésimo inteiro do vetor representa a disponibilidade da cor palavra (i 1) + j, onde palavra representa o número de bits em uma palavra. Nesta estrutura, uma cor disponível em um vértice é definida por um bit 1, caso contrário o bit é definido como 0. Neste trabalho, foi utilizada uma arquitetura com palavras com 32 bits. 1 O termo palavra (em inglês: word) é a unidade de informação natural usada por um tipo de computador particular. É um grupo de bits de tamanho fixo que é processado em conjunto numa máquina. O número de bits em uma palavra, ou o tamanho ou comprimento da palavra, é uma característica específica de cada arquitetura de computador.