ANÁLISE DE SISTEMAS HIDROELÉCTRICOS POR MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR E DE PROGRAMAÇÃO QUADRÁTICA

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1 ANÁLISE DE SISTEMAS HIDROELÉCTRICOS POR MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR E DE PROGRAMAÇÃO QUADRÁTICA ANTÓNIO JOSÉ DOS SANTOS MARTINS DISSERTAÇÃO PARA OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA E DE COMPUTADORES Júri: Presidente: Professor Paulo Jose da Costa Branco Orientador: Professor Célia Maria Santos Cardoso de Jesus Orientador: Professor Luís António Fialho Marcelino Ferreira Vogal: Professor José Manuel Dias Ferreira de Jesus Julho de 2012

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3 Agradecimentos Ao Professor Luís António Fialho Marcelino Ferreira, Professor Catedrático, principal responsável como orientador científico, desejo expressar o meu agradecimento por me possibilitar desenvolver este tema e elaborar a tese aqui apresentada. À Professora Célia Jesus, por ser a coorientadora deste trabalho e pelo empenho que sempre demonstrou, no ensino e transmissão de conhecimentos no conjunto das unidades curriculares que frequentei, e das quais fez parte do corpo docente. A todos os Docentes do Departamento de Engenharia Eletrotécnica, ramo de Energia, do Instituto Superior Técnico, desejo expressar profundo agradecimento, pelo apoio e incentivo. Agradecimentos especiais à Paula, à Beatriz e aos meus pais. iii

4 Resumo Nesta dissertação, é estudada a representação de sistemas de energia hidroelétricos, usando duas modelações matemáticas distintas. Estas modelações recorrem a simulações computacionais, que permitem analisar de forma aproximada a evolução e o comportamento dos sistemas reais. Este trabalho, pretende solucionar as atuais necessidades referentes à exploração de curto prazo de centrais hidroelétricas. Permitindo gerar os dados necessários para a venda de energia gerada, num mercado liberalizado como é o MIBEL, assegurando a melhor valorização dos recursos hídricos disponíveis e em simultâneo maximizando os resultados económicos da venda da energia elétrica produzida. As modelações apresentadas, para os sistemas hidroelétricos, são determinísticas e distinguem-se mutuamente, pelo tipo de aproximação matemático usado. Assim, temos uma modelação que usa uma aproximação linear, baseada em métodos algébricos simples e com o intuito de encontrar uma solução ótima em torno de uma variável. Por outro lado, temos a segunda modelação que descreve o sistema real de uma forma não linear, onde o algoritmo usado é bastante mais complexo e usa como referência a altura de queda bruta e o caudal turbinado para otimizar a solução. Palavras-chave Modelação linear Modelação Quadrática Otimização de recursos Sistemas de Energia Hidroelétricos Reservatórios em Cascata iv

5 Abstract In this thesis, the subject of study is the representation of hydroelectric energy systems. There for, two different modelling methods are employed. These modelling methods use computational tools to analyze and simulate closely the behaviour of real systems. The aim of this work is to generate a working solution that answers the needs of short term hydro scheduling. Thus providing data to enable the production and selling of electrical energy in electricity markets, such as the MIBEL. Complementary, it is assured that available natural resources are best managed in order to achieve optimal economic results and energy production. The modelling methods, presented here are deterministic in nature. However, their mathematical approaches differ. In one case it is utilized a linear strait forward methodology, in which the search for optimal solutions is set around one variable parameter. On the other case, the algorithm used is non linear implying a higher complexity analysis. It also provides a closer representation of real hydro plants, by combining water discharge and head variation as optimizing parameters. Keywords Linear Modelling Quadratic Modelling Optimization Hydroelectric Power Systems Cascade Reservoirs v

6 Índice Capítulo Introdução Apresentação e Enquadramento Perspetiva histórica da investigação Notação Usada Capítulo Modelação de um sistema hidroelétrico Recursos energéticos Horizonte temporal Valor da água Variáveis e equações Considerações sobre a modelação Funções objectivo Capítulo Métodos de modelação Modelação Linear Modelação não linear - quadrática Determinação da potência gerada Comparação e Robustez dos Modelos: Linear vs. Quadrático Capítulo Estruturação de problemas para simulação e estudo Estruturação de um caso de estudo Condicionamentos e restrições estruturais Apresentação e exemplificação de simulação Capítulo Análise e comparação de resultados Gestão de reservatórios cheios Gestão de reservatórios vazios Comparação de resultados económicos Gestão de volume de água e cotas Bombagem vi

7 Capítulo Conclusão Síntese do estudo efetuado Otimização de uso dos recursos disponíveis Dimensionamento de cascatas Horizonte Temporal alargado Referências Bibliográficas Anexo A Preço da energia e caudal natural afluente Anexo B Rotinas usadas nas simulações vii

8 Lista de figuras e quadros Figura 1.1: Aproveitamentos hidroelétricos na zona norte de Portugal 3 Figura 1.2: Aproveitamentos hidroelétricos na zona centro de Portugal. 4 Figura 1.3: Aproveitamentos hidroelétricos na zona centro/sul de Portugal. 4 Figura 1.4: Aproveitamentos hidroelétricos na zona sul de Portugal. 5 Figura 1.5: Diagrama de carga diário de 8 de Fevereiro de 2006 (Ano Seco) (REN). 9 Figura 1.6: Diagrama de carga diário - Janeiro de 2001 (Ano húmido) (REN) [14]. 9 Figura 1.7: Conjunto de tecnologias usadas para fornecer energia à rede elétrica. 10 Figura 2.1: Variação do valor total da água armazenada e do valor unitário, 17 Figura 2.2: Rendimento uniformizado de um grupo turbina gerador 18 Figura 2.3 Sistema hidroelétrico genérico, inserido numa cascata 20 Figura 3.1: Diagrama de fluxos de um reservatório 26 Figura 3.2: Balanço de fluxos de água 27 Figura 3.3: Relação linear entre a potência gerada e o caudal turbinado 29 Figura 3.4: Curva de potência vs. caudal turbinado 30 Figura 3.5: Diagrama de fluxos de três reservatórios em cascata 31 Figura 3.6: Balanço de fluxos de água 32 Figura 3.7: Curvas características de desempenho de uma central hidroelétrica 38 Figura 3.8: Evolução dos volumes de água armazenada 41 Figura 4.1: Afluência natural à central do início da cascata 44 Figura 4.2: Valores de energia usados ao longo do horizonte temporal, para cada ensaio 44 Tabela 4.1: Limites máximos e mínimos das grandezas usadas 45 Tabela 4.2: Limites máximos e mínimos adicionais 46 Figura 4.3: Evolução horária dos caudais turbinados 47 Figura 4.4: Evolução horária dos caudais turbinados 48 Figura 4.4: Evolução idêntica dos caudais turbinados 49 Tabela 4.3: Comparação de resultados obtidos 49 Figura 5.1: Afetação horária e de quantidade de água turbinada 51 viii

9 Figura 5.2: Afetação horária e de quantidade de água turbinada 51 Figura 5.3: Afetação da central produtora de energia no final da cascata 52 Figura 5.4: Descargas efetuadas por otimização linear 52 Figura 5.5: Descargas efetuadas por otimização quadrática 52 Figura 5.6: Volume de água armazenada em cada reservatório 53 Figura 5.7: Tal como na figura imediatamente acima 54 Figura 5.8: Descargas efetuadas na simulação 55 Figura 5.9: Diagrama de evolução de descargas 55 Figura 5.10: Neste diagrama, é mostrada a solução obtida 56 Figura 5.11: Caudal de água a turbinar na central mais a jusante da cascata 56 Figura 5.12: Solução encontrada para o caudal de água a turbinar 57 Figura 5.13: Simulação de armazenamento máximo de água 59 Figura 5.14: Encontro das curvas da oferta e procura de energia no mercado diário 61 ix

10 Lista de abreviações EDP Energias de Portugal S.A. ERSE Entidade Reguladora dos Serviços Energéticos Mercado Spot Mercado de transações diárias e intradiárias (OMEL) MIBEL Mercado Ibérico de Eletricidade OMEL Operador do Mercado Ibérico de Energia (Transações diárias e intradiárias). OMIP Operador da Bolsa de Derivados do MIBEL PNBEPH Programa Nacional de Barragens com Elevado Potencial Hidroelétrico. PRODE Aplicação Computacional para a Otimização do Programa Diário de Exploração SEN Sistema Elétrico Nacional SLIT Sistema Linear e Invariante no Tempo. REN Redes Energéticas Nacionais, SGPS, S.A. RNT Rede Nacional de Transporte de Energia Elétrica x

11 Capítulo 1 Introdução 1

12 1.1 Apresentação e Enquadramento Nesta dissertação, é estudada a representação de sistemas de energia hidroelétricos, usando duas modelações matemáticas distintas. Estas modelações recorrem a simulações computacionais, que permitem analisar de forma aproximada a evolução e o comportamento dos sistemas reais. Este estudo envolve a construção modelação de um sistema composto por várias centrais hidroelétricas em cascata, com o intuito de efetuar uma simulação computacional do funcionamento conjunto, ao longo de um período de tempo pré-determinado. Nestas simulações, são tomadas decisões para determinar a afetação ótima das centrais envolvidas e consequentemente é maximizada a produção de energia e o resultado económico do exercício, em função dos recursos hídricos naturais disponíveis e das restrições estruturais do empreendimento. As modelações apresentadas, para os sistemas hidroelétricos, são determinísticas e distinguem-se mutuamente, pelo tipo de aproximação matemático usado. Assim, temos uma modelação que usa uma aproximação linear, baseada em métodos algébricos simples e com o intuito de encontrar uma solução ótima em torno de uma variável. Por outro lado, temos a segunda modelação que descreve o sistema real de uma forma não linear, onde o algoritmo usado é bastante mais complexo e usa como referência a altura de queda bruta e o caudal turbinado para otimizar a solução. Este trabalho, pretende solucionar as atuais necessidades referentes à exploração de curto prazo de centrais hidroelétricas. Permitindo gerar os dados necessários para a venda de energia gerada, num mercado liberalizado como é o MIBEL, assegurando a melhor valorização dos recursos hídricos disponíveis e em simultâneo maximizando os resultados económicos da venda da energia elétrica produzida. Para isso, é considerado o período de tempo de uma hora como tempo mínimo de estados de decisão, em consonância com as regras do mercado, o que implica um horizonte temporal de muito 2

13 curto prazo e possibilita um detalhe de simulação das variáveis usadas e de operacionalidade, muito elevado e preciso. As aplicações decorrentes deste estudo são extremamente versáteis e flexíveis, permitindo analisar a totalidade dos empreendimentos hidroelétricos existentes atualmente, independentemente de serem constituídos por reservatórios de albufeira ou a fio de água. No entanto, as centrais a fio de água são as que apresentam maior complexidade operacional, devido à variação da altura de queda bruta. Sendo para estes casos que se conseguem obter maiores vantagens pelo uso desta tecnologia. Como ilustração do enorme potencial de aplicação, das modelações estudadas neste documento, é mostrado de seguida o conjunto de aproveitamentos hidroelétricos em Portugal continental: Figura 1.1: Aproveitamentos hidroelétricos na zona norte de Portugal

14 Figura 1.2: Aproveitamentos hidroelétricos na zona centro de Portugal. Figura 1.3: Aproveitamentos hidroelétricos na zona centro/sul de Portugal. 4

15 Figura 1.4: Aproveitamentos hidroelétricos na zona sul de Portugal. Neste trabalho, tal como referido, são utilizadas duas modelações e em ambos os casos, o objetivo a atingir é o de otimizar o aproveitamento dos recursos naturais para produção de energia elétrica. Ou seja, num intervalo de tempo definido, correspondente a quarenta e oito horas, são maximizadas as receitas provenientes da utilização da água disponível pelo caudal afluente ou armazenada em albufeira. Os resultados obtidos são analisados, sendo então comparados os desempenhos dos diferentes modelos. Para implementar as modelações mencionadas e demonstrar as respetivas capacidades de análise e simulação funcional de sistemas hídricos de produção de energia hidroelétrica, é concebido um conjunto virtual de centros produtores que partilham o mesmo caudal afluente, constituindo uma cascata hídrica. Então, são aplicadas as duas modelações matemáticas e computacionais para simularem o comportamento conjunto dos aproveitamentos hidroelétricos. Determinando assim a afetação ótima das unidades hídricas consideradas, maximizando a produção de energia elétrica e o resultado económico da venda da mesma em mercado. É no entanto de referir que neste trabalho, não é considerada a carga existente, uma vez que em ambiente de mercado liberalizado é suposto que toda a energia vendida seja entregue à rede. Com este pressuposto, a produção de energia elétrica é efetuada apenas em função dos recursos naturais existentes, sem considerar limitações resultantes do que se convenciona ser o despacho. As 5

16 limitações estruturais, ou dos recursos disponíveis, implicam nestas modelações que a energia seja produzida preferencialmente nas horas em que o preço da mesma no mercado é mais elevado. Com este planeamento, a produção de energia no período de ponta, está relacionada com o preço da mesma que nestas horas costuma ser mais elevado. Ou seja, a produção está indiretamente relacionada com a procura, como tradicionalmente acontecia, mas sim com o preço horário de energia praticado. Desta forma, as otimizações efetuadas estão orientadas para a maximização das receitas provenientes da exploração dos recursos hídricos. É ainda de salientar que não são considerados os custos de operação das centrais, tal como por exemplo os custos de arranque e de manutenção. Estes custos são considerados como fixos e independentes do modo como as centrais são operadas. Por este motivo não serão considerados neste estudo. No contexto de produção de energia elétrica em ambiente de mercado liberalizado, a aplicação prática deste estudo pode ter diversas implicações, tal como por exemplo aumentar a racionalização de recursos hídricos. Esta otimização também pode ser considerada, para o estudo de instalação de novas unidades de produção bem como a sua localização, em especial se forem hídricas a fio de água. Pode ainda ser referido que com esta gestão de recursos o consequente aumento de produção não aumenta a produção de dióxido de carbono, devendo mesmo levar a uma diminuição do mesmo. Ou seja, com a implementação de uma gestão otimizada de recursos naturais e consequente aumento de produção de energia elétrica, é melhorado o retorno financeiro da empresa produtora, devido ao aumento da capacidade de produção de energia e consequente satisfação da procura no mercado de energia elétrica. Também é interessante realçar que apesar do aumento de produção, continuam a não existir emissões de carbono. As emissões de carbono estão enquadradas num mercado distinto do mercado de energia elétrica, não sendo alvo direto deste estudo. 6

17 1.2 Perspetiva histórica da investigação Este estudo surge inserido no atual conceito de produção de energia, englobado num contexto de mercado liberalizado. Anteriormente a 1996, em Portugal o sector de produção e distribuição de energia elétrica encontrava-se centralizado num único operador. Por este motivo, a produção de energia era planeada e condicionada pelo despacho, visando estabelecer a afetação direta de centros produtores para colmatar a procura [1] [11]. Nesta forma planeada de operação, as centrais hidroelétricas eram coordenadas em conjunto com as térmicas. Esta coordenação era implementada de acordo os seguintes conceitos: A potência hídrica instalada é superior ao consumo em todos os períodos: (Eq. 1.1) A energia hídrica disponível não é suficiente para satisfazer o consumo em todos os períodos: (Eq. 1.2) O déficit energético é coberto pelas centrais térmicas: (Eq. 1.3) As centrais térmicas podem ser desligadas em certos períodos. Ou seja, era conhecida a energia total a fornecer pelas centrais térmicas através da diferença entre a energia consumida e a energia disponibilizada pelas centrais hídricas. Naturalmente, a implementação deste modelo visava a diminuição dos custos associados ao consumo de combustíveis, minimizando a entrega de energia pelas centrais térmicas 2. 2 Título :Power Generation, Operation, and Control,Autores: A.J. Wood, B.F. Wollenberg, Editora: John Wiley 7

18 Com a liberalização deste sector e ainda com a introdução no mercado da produção em regime especial, esta forma de efetuar o despacho já se encontra desajustada. Atualmente, na península Ibérica, existem diversos operadores e diferentes produtores a competir simultaneamente em ambiente de mercado. Para além disso o preço da energia varia de acordo com a procura e por isso as diferentes tecnologias de produção, com diferentes custos marginais associados, também competem entre si para entrar no mercado. Neste contexto, compete referir que a produção de energia com base hídrica não apresenta custos marginais, o que a torna extremamente competitiva e com elevado interesse sob o ponto de vista comercial. Por estes motivos, este trabalho aqui apresentado assume um interesse acrescido, uma vez que se destina a gerir de forma independente esta tecnologia e permite efetuar uma gestão eficaz dos recursos disponíveis, que como se sabe são finitos e variam consoante a hidraulicidade de cada ano. Nas figuras seguintes são exemplificadas as consequências da variação anual deste recurso, na produção de energia: Título :Redes de Energia Eléctrica, Autor(es): J.P. Sucena Paiva, Editora: IST Press 8

19 Consumo Albufeiras Importação Fios de água Gás natural Fuel PRE Carvão Figura 1.5: Diagrama de carga diário de 8 de Fevereiro de 2006 (Ano Seco) (REN). Figura 1.6: Diagrama de carga diário - Janeiro de 2001 (Ano húmido) (REN) [14]. 9

20 Durante os anos secos o perfil de produção de energia hidroelétrica estava associada à ponta de consumo, enquanto nos anos de elevada hidraulicidade esta produção entrava na base do consumo. Estes perfis tradicionais, também estão a sofrer alterações devido à produção em regime especial, que sempre que é disponibilizada, ocupa a base da produção. Estas alterações introduzem ainda um fator de imprevisibilidade adicional, devido à sua intermitência característica o aumenta a oscilação do valor da energia no mercado, tanto a nível diário como anual. Como consequência da intermitência e oscilações referidas, o valor associado à água também varia, mas a produção de energia hidroelétrica assume uma importância acrescida uma vez que graças à sua rápida disponibilidade permite regular a produção. Tornando assim, o conjunto da produção do Sistema Elétrico Nacional (SEN) mais facilmente controlável. Para finalizar esta apresentação é mostrada na figura seguinte, sem ordenação específica, o conjunto de tecnologias que constituem o sistema ibérico de produção de energia: Figura 1.7: Conjunto de tecnologias usadas para fornecer energia à rede elétrica. 3 3 Referência - (09 de Junho 2011) 10

21 1.3 Notação Usada i Índice do reservatório ou central produtora associada; Valor máximo do conjunto de índices de reservatórios; k Índice do período ou estado de decisão, englobado no horizonte temporal; Valor máximo do conjunto de índices de estados de decisão; Caudal afluente, para o reservatório i, no estado ou hora k [m 3 /s]; Volume inicial de água, no reservatório i [m 3 ]; Cota de água no reservatório i, no estado ou hora k [m]; Cota de água no reservatório i, no estado ou hora k [m]; Altura bruta de queda no reservatório i, no estado ou hora k [m]; Volume de água armazenado no reservatório i, no final do estado ou hora k [m 3 ]; Caudal descarregado a partir do reservatório i, durante o estado ou hora k [m 3 /s]; Rendimento da central produtora i, durante o estado ou hora k; Caudal turbinado, pela central i, no estado ou hora k [m 3 /s]; Potência activa instantânea, gerada na central i, no estado ou hora k [MW]; Valor unitário da energia por MWh, na hora k; Limite inferior de volume de água armazenado no reservatório i; Limite superior de volume de água armazenado no reservatório i; Limite inferior de caudal turbinado pela central i; Limite superior de caudal turbinado pela central i; Limite inferior de potência ativa, gerada pela central i; Limite superior de potência ativa, gerada pela central i; Limite inferior de caudal descarregado pela central i; Limite superior de caudal descarregado pela central i; Número total de nós, do balanço de fluxos ; Número total de ramos, do balanço de fluxos; A Matriz de incidências nodais; Z Vetor de variáveis de estado; B Vetor de condições iniciais de volume hídrico armazenado e afluência horária; Vetor que caracteriza computacionalmente a função objetivo; H Matriz Hessiana usada na simulação computacional; 11

22 Capítulo 2 Modelação de um sistema hidroelétrico 12

23 2.1 Recursos energéticos O Mercado Ibérico de Energia é gerido e orientado para a compra e venda de energia elétrica, de forma a satisfazer a procura da mesma, no dia seguinte ao da negociação. Ou seja, é elaborada uma previsão horária de procura de energia por um agregado de consumidores. Esta previsão horária deve ir ao encontro da oferta agregada sendo assim determinado o preço horário da energia. Para além disso, a energia produzida com base em fontes renováveis é introduzida na base da oferta devido às normas de produção em regime especial. Os recursos energéticos derivados de fontes naturais, como o vento e a água dos rios, são inerentemente incertos, pelo que também o será a produção de energia associada aos mesmos. Apesar disso, num sistema hidroelétrico mesmo que seja a fio de água, existe sempre alguma capacidade de armazenamento de água, diminuindo assim o grau de incerteza. O mesmo não sucede com a energia eólica. Para além disso, quando é efetuada a modelação de um sistema de produção de energia, interessa conhecer o valor unitário da energia produzida. Este valor também não é acessível até ao fecho do mercado e ainda assim está sujeito a acertos posteriores. Perante o exposto acima, nomeadamente a forma de variação do preço de energia, é fácil intuir que as decisões associadas ao uso de água para produzir energia, devem ser tomadas com base horária. É precisamente devido a estas dificuldades de previsão, tanto na geração como no consumo, que é apresentada esta modelação. Pretende-se aqui gerir o recurso natural usado na produção de energia hidroelétrica que é o caudal dos rios onde existem centros produtores. Sabendo que os recursos hídricos disponíveis são limitados, pretende-se otimizar a produção de energia em conjunto com o retorno económico devido. Este estudo poderá adicionalmente gerir outros aproveitamentos possíveis para os caudais, como por exemplo: Armazenamento de água para abastecimento; Gestão da cota da albufeira; Controlo de cheias. 13

24 No entanto, estes aspetos são considerados secundários relativamente à produção de energia elétrica e por isso não serão desenvolvidos. A classificação de centrais hidroelétricas varia com o volume de armazenamento e o tipo de aproveitamento, sendo subdividido em tipos distintos: Centrais a fio de água; Centrais de albufeira; Centrais com capacidade de bombagem. As centrais com albufeira são caracterizadas pala elevada capacidade de armazenamento de água. Em Portugal, esta classificação implica que com caudal afluente nulo e com a albufeira completamente cheia, a central pode gerar energia a plena carga durante pelo menos 100 horas. Ou seja, estas centrais têm uma elevada capacidade de regulação do caudal. O mesmo não acontece nas centrais a fio de água, em o reservatório tem uma capacidade de armazenamento menor e serve geralmente para compensar eventuais falhas no caudal. Esta restrição leva a que seja necessário utilizar a água afluente de forma mais continuada. Adicionalmente, a altura de queda bruta varia substancialmente podendo ser atingida a cota máxima e eventualmente desperdiçar os recursos disponíveis. Em Portugal, na bacia hidrográfica do Rio Douro são essencialmente usadas este tipo de centrais. O terceiro tipo de centrais tem a capacidade de reutilizar a água quer a central seja a fio de água ou de albufeira. Este reaproveitamento é interessante porque permite aumentar a capacidade de produção de energia para além do permitido pelos recursos hídricos disponíveis. É no entanto de referir que a bombagem implica uma diminuição de eficiência na produção, na ordem de 30 a 40%. Esta diminuição do rendimento global de produção, leva a que esta operação seja normalmente efetuada durante as horas de vazio, uma vez que a energia elétrica necessária para proceder a esta operação é mais barata. No âmbito desta tese, todos os tipos de centrais mencionados são considerados e revestem-se especial interesse quando se encontram dispostos em cascata ao longo do leito de um rio. A gestão do caudal afluente e consequente produção de energia é otimizada para o conjunto de sistemas hidroelétricos. Esta otimização permite melhorar o rendimento total do conjunto, em vez de tratar do rendimento isolado. Para terminar, é referido que este estudo está vocacionado para empreendimentos de média ou grande dimensão. Os aproveitamentos hidroelétricos de dimensão mais reduzida ( MW), também designados por centrais mini-hídricas, estão englobados nas normas de Produção em Regime Especial. Desta forma, podem produzir energia de forma continua e sem que isso acarrete 14

25 alteração no preço por unidade de energia produzida. Pelo que de forma natural, deixa de ser necessário efetuar qualquer gestão ou otimização dos recursos energéticos disponíveis. 2.2 Horizonte temporal Os sistemas de energia hidroelétricos, tal como tal como todas as unidades de produção de energia estão, em Portugal, sujeitos ao MIBEL. Ou seja, o planeamento da produção deve ser efetuado com um horizonte temporal mínimo de 1 dia, com intervalos típicos de 1 hora. No entanto, pode ser interessante considerar tempos de planeamento consideravelmente maiores em especial nas centrais de albufeira. Nas centrais a fio de água, também é interessante analisar o planeamento de produção durante um período de vários dias. Para se entender esta necessidade, é conveniente visualizar o cenário comum nos mercados desregulados, em que se pretende maximizar os resultados operacionais das empresas produtoras. Ora, durante o fim-de-semana e feriados o preço de mercado das unidades de energia transacionada costuma ser menor, do que nos dias úteis. Por este motivo, o planeamento semanal pode ser interessante para a obtenção do ótimo em termos de gestão de recursos e de receitas. No entanto, a simulação de planeamento operacional ao longo de um período de vários dias acarreta uma elevada margem de erro devido aos erros associados às quantidades usadas. Como por exemplo, previsão de quantidade de água afluente e preços de mercado estimados. Para se conseguir o planeamento ótimo, considerando a minimização de erros de estimação acumulados, seria necessário usar o tempo de planeamento no intervalo menor possível. Num ambiente de mercado, com as transações a serem efetuadas na véspera, este tempo corresponde a dois dias. O primeiro dia corresponde ao período de tempo em que é efetuada a licitação e onde podem ocorrer alterações de planeamento de produção devido às operações intradiárias no mercado. O segundo dia corresponde à parcela de tempo em que é produzida a quantidade de energia licitada no mercado de energia. Para o problema associado aos dias com menor consumo, é de salientar que esta modelação permite gerir a quantidade de água em cada período horário nos reservatórios considerados, em detrimento da maximização de produção. Ou seja, mesmo considerando um período de dois dias, pode-se 15

26 maximizar o volume final de água em cada reservatório. Com esta medida, é esperado que a produção seja minimizada em detrimento uma reserva de recursos hídricos. Esta reserva pode servir como garante de potência e não implica desperdício de energia potencial. De acordo com a otimização global do valor de produção hidroelétrica, pode ser usada como opção de produção futura. Para a análise de casos reais, sempre muito específicos, é aconselhado que sejam usadas e comparadas em simultâneo as simulações para períodos de dois e sete dias. Com este método é seguramente obtida uma estratégia sequencial de decisões ótimas admissíveis, são minoradas as incertezas inerentes e é conhecido com maior segurança o comportamento previsional do sistema. Neste estudo, é dada ênfase na construção de um modelo comportamental dos sistemas hidroelétricos pelo que as grandezas usadas são consideradas como determinísticas. Assim, é formulado um problema com um horizonte temporal de dois dias e três centrais hidroelétricas em cascata. O planeamento operacional de médio e longo prazo, não é abrangido por esta modelação. Um horizonte temporal com a duração de um ou mais meses acarreta um elevado grau de incertezas modelativas, nomeadamente em relação às condições meteorológicas. Para além disso a complexidade da representação computacional dos sistemas aumenta quadraticamente com o número de horas ou estádios intermédios usados. Ou seja, para além do incremento de complexidade do problema, as soluções encontradas poderão não ter uso prático. 2.3 Valor da água Pretende-se nesta secção estudar a possibilidade de atribuir um valor à quantidade de água armazenada em reservatório. No período anterior ao estabelecimento do MIBEL, o valor da água refletia a poupança de energia primária usada em centrais térmicas. Este critério era usado, porque o planeamento operacional das centrais hidroelétricas era feito em conjunto com as centrais térmicas. Atualmente este modelo caiu em desuso, estando este valor diretamente associado à capacidade de produção e venda de energia elétrica pela central a que pertence o reservatório. No caso de sistemas hidroelétricos em cascata, o volume disponível é usado por todas as centrais envolvidas multiplicando assim o valor deste recurso. 16

27 Assim, qual será o valor total da água armazenada em reservatório? A água armazenada corresponde a um potencial de produção de energia. Este potencial depende das características de cada central produtora, como por exemplo a potência nominal instalada e a altura de queda. Por isso, é fácil concluir que o mesmo volume de água terá valores distintos em reservatórios diferentes, mesmo em condições similares de venda da energia produzida. Ou seja não é possível atribuir um valor uniformizado para este recurso. No entanto, é fácil intuir que uma maior quantidade de água armazenada será sinónimo de uma maior produção de energia e consequentemente do aumento de resultados operacionais. Da mesma forma, um volume de água mais reduzido, se for turbinado nas horas de ponta corresponderá a um valor unitário de volume (m 3 ) mais elevado. Se efetuarmos a derivada da função de produção de energia pela quantidade de água armazenada, obtêm-se uma nova função que corresponde ao valor unitário da água. Este assunto é ilustrado na figura seguinte: Custo 0 Volume usado 0 Figura 2.1: Variação do valor total da água armazenada e do valor unitário, em reservatórios de aproveitamentos hidroelétricos. 17

28 rend Neste estudo pretende-se otimizar a geração de energia nas condições que permitem obter o melhor resultado económico, em quaisquer condições de volume no reservatório. Por isso, com o auxílio da modelação computacional é obtida a solução ótima da escolha da quantidade de água a turbinar, em todos os intervalos de tempo considerados. Refere-se que neste estudo é considerado o critério de rendimento característico dos grupos turbina - gerador em centrais hidroelétricas, uma vez que este rendimento varia consideravelmente com a quantidade de caudal turbinado [12] [13]. No gráfico seguinte, este comportamento pode ser visualizado: Rendimento - η 1 0,9 0,8 0,7 Rendimento Máximo 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Figura 2.2: Rendimento uniformizado de um grupo turbina gerador vulgarmente usado em empreendimentos hidroelétricos, em relação à quantidade de água turbinada e para altura de queda constante (valores em por unidade). [12] [13] Q [pu] Caudal Turbinado [p.u.] Como demonstrado acima, cada grupo turbina - gerador é concebido e dimensionado para funcionar com a máxima eficiência, na proximidade da região nominal de funcionamento. Se também for considerado o efeito de queda, conclui-se que o máximo de produção de energia acontece quando o reservatório se encontra próximo da cota máxima. Portanto, pode-se inferir que o resultado económico máximo de um período é alcançado com o reservatório cheio. Em regime dinâmico de funcionamento, é sabido que o preço da energia varia, tal com o volume total de água armazenada devido à limitação de recursos naturais. Em especial nas centrais de fio de água. Assim, uma abordagem mais interessante será a de conhecer para que preços de energia é que vale a pena turbinar a água disponível. Para isso é necessário conhecer o volume inicial de água armazenado em conjunto com o caudal afluente esperado. Uma vez conhecido o volume total disponível ao longo de um período de tempo de por exemplo de alguns dias, se for usado o critério de produção de energia com o máximo 18

29 rendimento, pode-se determinar o número de intervalos de tempo de 1 hora em que se pode efetuar a turbinação. O número de horas de funcionamento, em conjugação com a variação esperada do preço da energia, no período total de tempo considerado, permite saber qual o valor da energia no mercado, a partir do qual vale a pena turbinar. Ou seja, supondo que o ao longo de uma semana o preço da energia varia entre os 20 e os 60 por MWh, com uma pequena quantidade de água armazenada, pode ser apenas interessante produzir energia nas horas em que o preço atinge o máximo valor. Em qualquer outro caso, é sempre possível conhecer o valor a partir do qual vale a pena iniciar a produção de energia. Desta forma simples, também é conhecida a quantidade de horas em que o caudal afluente é usado para encher o reservatório e pode ser determinada a cota final no reservatório. Tal como referido na secção anterior, a decisão de não produzir energia durante o vazio ou mesmo durante um período mais alargado de tempo como o fim-de-semana, pode ser tomada com base no conhecimento do valor de energia a partir do qual interessa produzir. Este método decisional, de forma implícita leva-nos á gestão da quantidade final de água armazenada em reservatório. E tal como exposto otimizará o rendimento global se estiver próximo da cota máxima. No caso de existirem várias centrais produtoras a partilhar o mesmo curso de água, configurando uma cascata, esta abordagem é demasiado simplista e não deve ser usada. A melhor forma de avaliar o valor total da água, é através do uso dos algoritmos de modelação que serão expostos nos capítulos seguintes. Como aproximação simplificada, é referido que cada central poderá ter o seu preço alvo de venda, mas o caudal afluente estará sempre condicionado pelas centrais a montante. Ou seja, de cada vez que uma central a montante não estiver a produzir, o caudal a jusante pode ser nulo. Se a isto juntarmos um volume pequeno de armazenamento, concluímos que a produção de energia por centrais a jusante fica seriamente condicionada. Com esta consideração, é possível perceber que este problema assume uma dimensão elevada. O valor total da água deixa de assim de estar diretamente associado ao preço horário da energia, uma vez que a mesma é turbinada em várias centrais e em alturas diferentes. O valor unitário atribuído a este recurso deverá ser encontrado com recurso a métodos computacionais e iterativos, como é efetuado neste estudo. 19

30 2.4 Variáveis e equações É mostrada uma representação de uma central hidroelétrica, com o respetivo reservatório na figura seguinte: Volume morto Δ Cota Reservatório i H max Reservatório (i +1) Figura 2.3 Sistema hidroelétrico genérico, inserido numa cascata em que estão representadas as grandezas usadas na sua caracterização. Nesta ilustração é apresentada a nomenclatura usada, neste estudo, na modelação do sistema hidroelétrico. Tal como no modelo de estado para um SLIT, estas variáveis podem ser subdivididas como variáveis de entrada, variáveis de estado e de saída. Assim, as variáveis de entrada, são as afluências naturais nos cursos de água em conjunto com o estado inicial do reservatório: Caudal afluente, para o reservatório i, no estado ou hora k [m 3 /s]; Volume inicial de água, no reservatório i, no estado ou hora k [m 3 ]; 20

31 As variáveis de estado são agrupadas num conjunto com a designação Z: Cota de água no reservatório i, no estado ou hora k [m]; Altura bruta de queda no reservatório i, no estado ou hora k [m]; Volume de água armazenado no reservatório i, no final do estado ou hora k [m 3 ]; Caudal descarregado a partir do reservatório i, durante o estado ou hora k [m 3 /s]; Rendimento da central produtora i, durante o estado ou hora k; De seguida, enumeram-se as variáveis de saída: Caudal turbinado, no reservatório i, no estado ou hora k [m 3 /s]; Potência ativa instantânea, gerada na central i, no estado ou hora k [MWh]; Os índices i e k, representam respetivamente o número de centrais (reservatórios) em análise e a quantidade de estados de decisão escolhidos, ao longo do horizonte temporal. O modelo de estado [3] de um sistema hidroelétrico, assume por conseguinte a configuração canónica: (Eq. 2.1) Em que A é uma matriz que depende dos dados dimensionais da central hidroelétrica, e variável de estado associada ao volume de água armazenada. é uma De seguida são mostradas as constantes de dimensionamento necessárias para construir este modelo: Limite superior de volume de água armazenada, no reservatório i [m 3 ]; Limite inferior de volume de água armazenada, no reservatório i [m 3 ]; Limite superior de volume de água descarregada, do reservatório i, por estado [m 3 ]; Limite inferior de volume de água descarregada, do reservatório i, por estado [m 3 ]; Limite superior de rendimento, da central i; Limite inferior de rendimento, da central i; Limite superior de queda bruta, na central i [m]; Limite inferior de volume de queda bruta, na central i [m]; Limite superior de cota de água, na central i [m]; Limite inferior de cota de água, na central i [m]; 21

32 Com este conjunto de variáveis e constantes de dimensionamento, é possível caracterizar o comportamento de todo o sistema hidroelétrico, ao longo dos vários estados durante o horizonte temporal considerado. Para exemplificar, é apresentada a equação que permite determinar o volume de água em cada estado (k), de um reservatório (i) [4] [7]: (Eq. 2.2) Se o sistema a analisar for mais complexo, e forem considerados mais reservatórios e barragens formando um sistema em cascata, ficam também caracterizadas os caudais em trânsito entre reservatórios. Para isto, é no entanto necessário estabelecer o tempo de duração de cada percurso entre centrais. É conveniente, estipular esse tempo em múltiplos de duração de cada estado. Ou seja, neste estudo, o tempo mínimo de percurso é de uma hora. 2.5 Considerações sobre a modelação A modelação de um sistema hidroelétrico é feita neste estudo com base em parâmetros de modelação, anteriormente designados por constantes de dimensionamento. A determinação e eventual calibração destes valores assume uma elevada importância, especialmente para o uso do algoritmo de otimização não linear. Por exemplo, na modelação de uma barragem, os limites superior e inferior de queda bruta podem ser facilmente encontrados se supusermos que o leito do rio a jusante nunca se altera. No caso de um sistema em cascata, é provável que isto nem sempre se verifique. Aqui é importante aferir se a cota de água do reservatório jusante, influência a altura de queda do reservatório a montante. Este caso, verifica-se por exemplo nas barragens de Miranda e de Picote, no douro internacional. Assim, o primeiro passo em qualquer modelação elaborada com base nesta metodologia, deverá começar precisamente pela obtenção de parâmetros de modelação fidedignos, com base no sistema real. De seguida, é necessário aferir os constrangimentos mútuos entre valores, bem como as incertezas relativas ao processo de medição, para finalmente quantificar as constantes de dimensionamento. 22

33 È referido, que durante neste estudo foram efetuados várias simulações com base em dados de barragens existentes. Para justificar este ponto de vista, foram alterados valores de altura de queda bruta, de forma a que sejam introduzidos erros intencionais na formulação do problema. Como consequência disto, foi verificado que o algoritmo de otimização quadrática rapidamente se torna instável e indica soluções que saem fora do conjunto de soluções possíveis. Com este processo, são simultaneamente modeladas as limitações e restrições de exploração do empreendimento hidroelétrico, sendo obtidos os dados iniciais que devem ser usados para ambos os algoritmos de otimização, linear e quadrático. No entanto, a verificação destes dados, deve ainda ser comparada recorrendo à emulação de casos reais, para analisar a discrepância de desempenhos e a testes adicionais para verificação de resultados admissíveis. Para terminar, é constatado que com esta modelação é também possível simular o comportamento de um hipotético reforço de potência num sistema atualmente existente. Esta funcionalidade é de fácil implementação, bastando alterar por exemplo os limites máximos de caudal turbinado e de potência instantânea gerada. 2.6 Funções objectivo Nesta secção é apresentado o objetivo da gestão de recursos hídricos, limitados. Em ambiente de concorrência num mercado desregulado, este objetivo é o de implementar uma solução funcional que otimize o retorno financeiro do uso dos referidos recursos. Assim, é estabelecida uma função objetivo que maximize o desempenho da produção de energia em relação ao preço de venda da mesma, por todas as centrais produtoras consideradas e durante a totalidade do horizonte temporal. Na modelação linear esta função depende do preço horário de energia ( ), e de uma variável de estado, o caudal turbinado ( ) em cada hora pelas centrais envolvidas [4] [7]. Esta função toma a forma: (Eq. 2.3) 23

34 Esta modelação, não considera a altura de queda bruta, sendo necessário assumir como aproximação um valor constante para a mesma ao longo de todo o horizonte temporal. No entanto, na modelação quadrática, a altura de queda bruta é uma das variáveis de estado usadas, pelo que a função objetivo é ligeiramente diferente [4] [7]: (Eq. 2.4) Estas funções estão sujeitas a restrições convencionadas nas constantes de dimensionamento: (Eq. 2.5) Adicionalmente, estas funções estão sujeitas à modelação dos fluxos transitados entre reservatórios. Este trânsito pode ser representado por um conjunto de equações onde são relacionadas as variáveis de volume de água armazenada, o volume de água turbinada e a água descarregada. Este conjunto de equações é apresentado de seguida na forma matricial: (Eq. 2.6) Nesta representação, o vetor B representa as entradas do sistema, como os volumes iniciais e os caudais afluentes. O vetor Z representa o conjunto de variáveis envolvidas em cada estado de decisão, ou seja o volume de água armazenada, turbinada e descarregada. A matriz A é obtida com recurso ao fluxograma de relações entre trânsitos de caudal, apresentado no próximo capítulo. A altura de queda bruta, não é usada neste conjunto (Eq. 2.5), uma vez que pode ser determinada como função do volume de água armazenada em conjunto com a restante modelação do sistema analisado. 24

35 Capítulo 3 Métodos de modelação 25

36 3.1 Modelação Linear Sistema com um reservatório A representação de um sistema hidroelétrico depende fundamentalmente da definição das características técnicas reais do próprio aproveitamento. É sempre de realçar, que é com base nestes dados que assentam as decisões dos algoritmos de otimização. Estas características foram mencionadas anteriormente como variáveis e constantes do sistema analisado. Para além disso considera-se simplificadamente que cada central é constituída por um grupo turbina - gerador. Como o objetivo deste estudo é o obter a otimização do potencial hidroelétrico da bacia hidrográfica, todo este modelo é focado no controlo dos caudais e no volume de água armazenado. Por isso, a estrutura da modelação linear, assenta numa rede de fluxos que entra e sai do reservatório pertencente à central considerada. Na figura seguinte é mostrado o fluxograma respetivo, sendo notado que o seu funcionamento é muito intuitivo e similar ao do modelo real: - Caudal afluente Volume de água armazenada - Caudal turbinado - Caudal descarregado Grupo Turbina Gerador Figura 3.1: Diagrama de fluxos de um reservatório - central hidroelétrica. Este tipo de abordagem revela um modelo extraordinariamente simples e de fácil implementação, através de uma abordagem computacional. Para além disso, este modelo é linear e invariante no 26

37 tempo, pelo que existem ferramentas amplamente desenvolvidas e testadas pela teoria do controlo, que permitem estudar e otimizar o desempenho deste sistema. Desta forma, o modelo matemático obtido pode ser considerado robusto e o algoritmo necessário para o representar é eficiente. Neste modelo é de salientar que o caudal de água turbinada é a única variável responsável pela energia produzida. Esta é uma simplificação inerente a este método, onde não se considera a variação na altura de queda da água. Ainda assim, é possível com modelação linear representar o balanço dos fluxos de água, em todos os estados de decisão os limites de volume máximo e mínimo de cada reservatório, bem como os caudais turbinados ou descarregados. É também possível incluir neste modelo, restrições de funcionamento, devido a características das centrais produtoras de energia elétrica. Por exemplo, zonas de funcionamento lineares por troços, caso existam vários grupos turbina gerador em simultâneo. De seguida, é mostrado o modelo em termos de balanço de fluxos de água ao longo de 48h de funcionamento [3]: Hora 1 Hora 2 Hora Figura 3.2: Balanço de fluxos de água (Lei dos nós). Nesta figura, a numeração associada a cada seta escura é indicativa do número de nós balanço de fluxos. O conjunto total de numerações representa o número de ramos., deste Com base no balanço dos fluxos de água neste sistema, e com recurso à equação, apresentada no capítulo anterior ( ) é possível determinar as grandezas envolvidas em cada estado de decisão. Esta afirmação é exemplificada no seguinte conjunto de equações: 27

38 (Eq. 3.1) Este sistema de equações, modela linearmente o funcionamento do sistema estudado. No entanto, as variáveis relativas ao volume armazenado, turbinado e descarregado, podem ser transformadas numa única variável de decisão, sendo obtido um novo conjunto de equações: (Eq. 3.2) Nota: Os volumes iniciais de cada reservatório são conhecidos, bem como as afluências naturais, sendo estas as condições iniciais do problema. Com esta transformação na representação das variáveis de estado, é possível construir a função objetivo e assim usar o algoritmo de otimização linear. A função objetivo, toma a forma: (Eq. 3.3) Em que, é a variável correspondente ao valor horário da energia ao longo do horizonte temporal. Tal com referido anteriormente, no algoritmo associado à modelação linear, as decisões associadas à obtenção do volume de água turbinada não dependem diretamente da altura de queda. Esta variável é no entanto importante para determinar a quantidade de energia produzida ao longo de cada hora ou estado de funcionamento. Com base no volume de água armazenada no reservatório em cada estado, e supondo que a jusante o nível de água se mantém constante, a altura de queda, torna-se determinável. Com este dado, é ainda possível estabelecer uma relação entre o caudal turbinado e a potência gerada pelo grupo turbina gerador. Esta relação deve ser estabelecida por aproximações lineares, com base na equação: (Eq. 3.4) Em que p corresponde á potência ativa instantânea, t é o caudal turbinado e α, é uma constante. Consequentemente, podemos mostrar o gráfico associado à relação entre estas variáveis: 28

39 Potência (p.u.) 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0, ,2 0,4 0,6 0,8 1 Caudal turbinado (p.u.) Figura 3.3: Relação linear entre a potência gerada e o caudal turbinado. Desta forma, é assumida a simplificação de que a altura de queda tem um valor constante, permitido usar a constante α, como expresso na equação anterior. No entanto, para se obter uma maior aproximação ao sistema modelado, podemos usar uma relação linear por troços, entre a potência e o caudal turbinado. Assim, os troços de funcionamento linearizados são descritos por um conjunto de equações do tipo: (Eq. 3.5) Onde representa o conjunto finito de valores que pode assumir em cada zona de funcionamento linearizada. Os limites de cada um destes troços são indicados pelas constantes e a definir com base no caudal turbinado e as características inerentes a cada grupo turbina gerador modelado. No gráfico seguinte, é exemplificada de forma simplificada a linearização em dois troços do modo obtenção da potência como função exclusiva do caudal turbinado: 29

40 Potência máxima Potência mínima P Figura 3.4: Curva de potência vs. caudal turbinado, em zonas de funcionamento linear por troços. Com esta relação estabelecida, é possível determinar a potência ativa gerada com base apenas no caudal turbinado. No entanto, com este método nunca é conhecida a altura de queda bruta em cada hora de funcionamento dos grupos turbina-gerador. Por isso, os valores de potência obtidos serão sempre imprecisos, mesmo assumindo uma altura de queda constante. Para diminuir os erros associados à determinação da potência gerada é sempre necessário conhecer a altura de queda e o caudal turbinado em cada instante. Com base no volume de água armazenada no reservatório em cada estado, e supondo que a jusante o nível de água também é conhecido, a altura de queda, torna-se determinável e depende apenas dos volumes armazenados nestes dois reservatórios. Com estes dados, é então possível estabelecer que a altura de queda é uma função do tipo: (Eq. 3.6) Com base nesta premissa, é possível determinar a altura de queda associada a cada estado de decisão. Por este motivo, no subcapítulo 3.3, é apresentada a metodologia conjunta a ambos os métodos para determinar a potência gerada e da mesma forma a energia produzida. 30

41 3.1.2 Sistema com três reservatórios em cascata Na modelação com vários reservatórios está implícita a otimização conjunta de um grupo de unidades produtoras de energia, que partilham em comum os mesmos recursos naturais. Ou seja, é efetuada uma otimização de toda uma cascata de barragens, instalada no mesmo curso de água. A estrutura do novo modelo linear é apresentada em fluxograma de seguida: - Caudal afluente Volume de água armazenada - Caudal descarregado - Caudal turbinado - Caudal afluente - Caudal descarregado - Caudal turbinado - Caudal afluente - Caudal descarregado - Caudal turbinado Figura 3.5: Diagrama de fluxos de três reservatórios em cascata. Este tipo de abordagem revela um modelo simples e de fácil implementação, através de uma abordagem computacional. Para além disso, este modelo é linear e invariante no tempo, pelo que existem ferramentas amplamente desenvolvidas e testadas pela teoria do controlo, que permitem estudar e otimizar o desempenho deste sistema. Desta forma, o modelo matemático obtido pode ser considerado robusto e o algoritmo necessário para o representar é eficiente. 31

42 Neste modelo, é de referir que o caudal de água turbinada, será a única variável responsável pela energia produzida. Esta é uma simplificação inerente a este método, onde não se considera a variação na altura de queda da água. Ainda assim, é possível com modelação linear representar o balanço dos fluxos de água, em todos os estados de decisão os limites de volume máximo e mínimo de cada reservatório, bem como os caudais turbinados ou descarregados. É também possível incluir neste modelo, restrições de funcionamento, devido a características das centrais produtoras de energia elétrica. Por exemplo, zonas de funcionamento lineares por troço, caso existam vários grupos turbina gerador em simultâneo, ou um gerador com curva de funcionamento representada linearmente por troços. De seguida, é mostrado o modelo em termos de balanço de fluxos de água, para três centrais hidroelétricas, ao longo de 48h de funcionamento: Hora 1 Hora 2 Hora Figura 3.6: Balanço de fluxos de água (Lei dos nós). Com base no balanço dos fluxos de água neste sistema e com recurso à equação 3.1 é possível determinar as grandezas envolvidas em cada estado de decisão. Esta afirmação é exemplificada nos seguintes sistemas de equações: 32

43 (Eq. 3.7) (Eq. 3.8) As grandezas usadas nestas equações, podem assumir apenas um conjunto de valores finito e compreendido dentro dos limites construtivos dos sistemas modelizados. Ou seja, cada uma destas variáveis está restringida a uma gama de valores, que pode ser representada da seguinte forma: (Eq. 3.9) Os sistemas de equações 3.6 e 3.7, servem para descrever linearmente o funcionamento de um sistema com três centrais hidroelétricas, tal como representado na figura 3.6. No entanto, as variáveis relativas ao volume armazenado, turbinado e descarregado, podem ser transformadas numa única variável de decisão, sendo obtidos todos os dados relativos à dinâmica dos fluxos de água, em cada estado de decisão com os sistemas de equações 3.10 e Representação da dinâmica dos fluxos no conjunto dos empreendimentos, durante a 1ª hora: (Eq. 3.10) Para as horas seguintes, esta representação pode ser apresentada na forma genérica: (Eq. 3.11) Os volumes iniciais de cada reservatório são conhecidos, bem como as afluências naturais dos mesmos. Estes valores formam o conjunto de dados iniciais do problema. Com esta transformação na representação das variáveis de estado, é possível representar de forma matricial o conjunto de restrições de igualdade da dinâmica de fluxos, para cada nó da rede (Eq e 3.11). 33

44 Esta representação é expressa da seguinte forma: (Eq. 3.12) Nesta estrutura matricial, Z e B são vetores que representam respetivamente as variáveis de estado, as afluências horárias naturais e o volume inicial armazenado em cada reservatório. Os dados iniciais que compõem o vetor B são conhecidos e assumem um valor constante. Para relacionar as variáveis de estado com os dados iniciais do problema, é usada a matriz A que traduz a incidência nodal das variáveis no balanço de fluxos acima apresentado. Neste caso apresentado, A tem a dimensão de (144x432) e tanto Z como B têm a dimensão de (1x144). Por este motivo não é aqui possível apresentar estas matrizes na sua totalidade. Opta-se assim por proceder a uma apresentação resumida: (Eq. 3.13) A formulação completa do problema, associado à modelação linear desta cascata, engloba a função objetivo e o conjunto de restrições associadas (Eq. 3.9 e 3.12). A representação matemática deste caso apresentado, toma a seguinte forma: 4 (Eq. 3.14) Com esta formulação, este problema representado por uma função de mérito, construída de forma linear e que deve ser maximizada, respeitando as condições derivadas do balanço de fluxos. Para encontrar o máximo desempenho desta função, é necessário recorrer a um método computacional iterativo. Neste trabalho, é usado o algoritmo iterativo de otimização, designado linprog. 4 A função objetivo apresentada na Eq. 3.14, difere da apresentada na Eq. 3.3 uma vez que se considera o conjunto total de reservatórios da cascata. 34

45 A simulação de casos apresentados ocorre em ambiente Matlab, estando o algoritmo mencionado inserido nas bibliotecas de funções deste programa. 3.2 Modelação não linear - quadrática Ao contrário da modelação linear, este método usa o caudal turbinado e a altura da queda de água, como variáveis para proceder à otimização e gestão. Refere-se que a relação entre a altura de queda e os volumes de água armazenados se mantém como descrito na equação 3.6. O que implica que os parâmetros, correspondentes às alturas de queda bruta sejam necessários não só para a determinação da energia produzida como também têm influência em todo o processo de otimização. Desta forma, o problema torna-se mais complexo, mas a modelação é mais aproximada do sistema modelado. Ou seja mais próxima do sistema real. Na verdade, na quase totalidade dos sistemas hidroelétricos, a variação da altura de queda é um dado usado desde a fase de projeto. O modelo matemático deste sistema, já não pode ser considerado linear, mas ainda pode ser representado de forma determinística. Sendo mantidos os intervalos discretos de tempo (1 hora) entre estados distintos de funcionamento. Este período de uma hora está naturalmente associado ao intervalo considerado para cada valor do preço da energia no mercado de energia elétrica. Esta aproximação, em termos da modelação de um fenómeno real, exige um maior esforço computacional para o cálculo da solução ótima da função objetivo. Acresce ainda dizer que o processo iterativo de busca da solução ótima usado, pode convergir para uma solução com base num máximo local ou ponto de sela. Este fenómeno é explicável porque são usadas duas variáveis distintas, pelo que a ocorrência de um ponto de sela implica que o algoritmo convergiu mais rapidamente numa direção e ainda assim respeitou um intervalo de convergência suficientemente pequeno que engloba um máximo local em função da outra variável. Neste estudo, foram efetuadas várias simulações de teste, tendo sido notado que este fenómeno parece ser corrigido, se for usado um vetor inicial ( ) para dar início ao processo iterativo. Este vetor inicial pode ser obtido a partir de uma solução da modelação linear, numa simulação computacional do mesmo sistema com condições iniciais idênticas. Refere-se adicionalmente que o uso de um vetor inicial, mesmo que obtido a partir do método linear, implica que o algoritmo quadrático necessite de um menor número de iterações, para alcançar a nova solução ótima. Esta diminuição do número de iterações é implícita, uma vez que o intervalo ou vizinhança de busca da nova solução é menor desde o início do processo computacional. Com estas considerações e tomando por base as várias 35

46 simulações de teste realizadas, pode-se afirmar que a probabilidade de encontrar uma solução maximizada apenas localmente, se torna diminuta. Formulação matemática do problema: Nesta modelação, a dinâmica de fluxos é idêntica à usada na modelação exposta no subcapítulo anterior. Da mesma forma, para a cascata composta por três quedas de água, cujos diagrama e balanço de fluxos são ilustrados nas figuras 3.5 e 3.6, serão usadas neste método, bem como as equações 3.9, 3.13 e 3.14 delas derivadas. Por este motivo, são apresentadas de seguida a dedução das relações necessárias à determinação da altura de queda para o reservatório i e período de tempo k. Para isso, é recordada a equação 3.6 em que é demonstrado que a altura de queda da barragem i é determinada como função dos volumes de água armazenados no reservatório i e no reservatório imediatamente a jusante deste. (Eq. 3.6) Convém aqui referir que esta relação pode não ser sempre aplicável, nomeadamente para a ultima central da cascata em que se considera que a cota a jusante é constante. Nestes casos, a altura de queda pode ser considerada como sendo apenas dependente do volume do reservatório correspondente. A equação 3.6 pode ainda assim ser escrita no sentido lato: 5 (Eq. 3.14) A formulação não linear deste problema pode ser descrita da seguinte forma: (Eq. 3.15) (Eq. 3.16) A otimização da função objetivo pode ser obtida com recurso ao algoritmo quadprog que tal como no caso anterior está incluída na biblioteca do programa de análise MATLAB. Para se proceder à obtenção de resultados é necessário transformar a função objetivo descrita nas equações 3.15 e 3.16 da seguinte forma: (Eq. 3.17) 5 Referência : Scheduling of Head-Sensitive Cascaded Hydro Systems: A Nonlinear Approach 36

47 (Eq. 3.18) A matriz H é a matriz hessiana da função objetivo, cuja construção é a característica neste tipo de matrizes e da qual se dá o seguinte exemplo: (Eq. 3.19) 3.3 Determinação da potência gerada A potência gerada em cada central hidroelétrica está relacionada com o caudal turbinado pela mesma, pela altura bruta de queda e pelo rendimento associado a esta operação. As modelações apresentadas indicam-nos os valores de caudal e de queda bruta em cada instante, pelo que é ainda necessário determinar o rendimento associado à geração. Esta variável depende das características construtivas de cada barragem, incluindo os grupos turbina-gerador, da altura de queda e varia também com a quantidade de caudal turbinado, tal como mostrado na figura 2.1. Estas considerações, implicam que cada barragem tenha uma forma característica exclusiva de converter potência mecânica em energia elétrica. No entanto, mesmo tendo em conta as características de cada central produtora, é possível construir uma família de funções que de forma determinística nos permitem calcular a potência que é gerada num dado ponto de funcionamento. Estas funções assumem um comportamento similar a curvas de nível e no gráfico seguinte, é mostrado o desempenho característico de um empreendimento em função da altura de queda e do caudal turbinado [4] [5] [7]: 37

48 Figura 3.7: Curvas características de desempenho de uma central hidroelétrica, na geração de potência, em função do caudal turbinado e da altura de queda bruta. [4] [5] [7] Uma forma genérica e simples de descrever a relação entre as variáveis apresentadas no gráfico acima pode ser a que é apresentada na próxima equação: (Eq. 3.20) Nesta equação, o rendimento depende diretamente da altura de queda, pelo que se torna necessário estabelecer uma correspondência entre ambos: (Eq. 3.21) Esta equação é linear, ou seja os parâmetros e são constantes e podem ser determinadas, como se exemplifica: (Eq. 3.22) (Eq. 3.23) De forma similar podemos considerar que a representação do nível de água num reservatório também pode ser descrita de forma suficientemente precisa, por uma relação linear. De forma análoga, é apresentada a seguinte equação: (Eq. 3.24) 38

49 As constantes e, são determinadas de forma idêntica: (Eq. 3.25) (Eq. 3.26) Com estas considerações, podemos reformular as equações 3.20 e 3.21 que assim tomam a forma: (Eq. 3.20) Como o cálculo, da altura de queda é conseguido com recurso às equações 3.14, 3.24, 3.25 e 3.26, torna-se assim possível determinar a potência ativa instantânea gerada numa barragem. Ou seja, usando este conjunto de equações, torna-se desnecessário usar a consideração inicialmente assumida na modelação linear de que a altura de queda é uma constante. Por isso, para ambos os métodos esta metodologia é considerada suficientemente precisa e é a usada na determinação da potência ativa instantânea gerada e consequentemente da energia produzida em cada hora. 3.4 Comparação e Robustez dos Modelos: Linear vs. Quadrático A modelação linear é concebida a partir de uma formulação baseada em equações lineares, pelo que qualquer sistema modelado se pode considerar um sistema linear e invariante no tempo (SLIT). Estes sistemas são muito usados em engenharia, uma vez que com base na teoria do controlo, ao longo dos últimos sessenta anos se foram construindo variadíssimas ferramentas de análise e simulação comportamental. Apesar de os sistemas reais modelados serem não lineares na sua natureza, são regularmente usadas aproximações linearizadas dos mesmos para permitir o seu estudo e caracterização. Isto significa que esta modelação pode ser implementada sob a forma de um problema computacional, uma vez que as atuais ferramentas de análise permitem que sejam encontradas soluções de forma eficaz e robusta. Durante este estudo, foi possível confirmar esta robustez tendo sido notado que a convergência iterativa é conseguida em todas as simulações e solução otimizada obtida encontra-se sempre dentro 39

50 do conjunto de soluções possíveis para o problema dado. Também foi notado que o número de iterações necessário bem como o tempo de simulação computacional é sempre similar. Com este raciocínio, é logico assumir que este método é extraordinariamente robusto e fiável. O método quadrático características distintas do anterior, nomeadamente pela otimização em função de duas variáveis distintas (eq. 3.15) e pelo recurso a um algoritmo computacional não linear (eq. 3.17). Por este motivo, existe a possibilidade de que o método iterativo usado convirja para uma solução que é apenas ótima localmente, também designada por ponto de sela. Isso acontece porque o algoritmo pode encontrar as condições necessárias de convergência na vizinhança de um ponto que apenas é um máximo local. Uma medida de uso aconselhável é o uso de um vetor inicial de funcionamento, obtido por exemplo a partir de uma simulação similar com a modelação linear, tal como foi referido no subcapítulo 3.2. Com esta medida, são reduzidas as iterações necessárias uma vez que estamos mais próximo da solução globalmente otimizada. Da forma consequente, com a diminuição de iterações, também são diminuídas as possibilidades de ocorrência de erros ou mesmo divergência. A partir da implementação desta medida, este método provou ser bastante robusto e manteve sempre a mesma resposta em todas as simulações efetuadas com condições similares. No entanto, foi notado que numa das simulações especificamente concebidas para condicionar até ao limite da exequibilidade a busca de soluções, o algoritmo quadrático divergiu. Refere-se apesar disso que a própria rotina devolve o código de erro Exiting: the constraints are overly stringent; no feasible starting point found o que permite ao utilizador rejeitar a solução encontrada. Apesar de este evento ter ocorrido de forma singular devido a limitações do algoritmo usado, para evitar a sua repetição poderá ser incluída nesta modelação uma forma auxiliar de valorizar os recursos disponíveis. Como exemplo é sugerida a concepção de uma função objetivo que também valorize o volume armazenado final. Esta alternativa pode ser muito útil tanto para o caso limite apresentado, como para casos em que os conjuntos de condições funcionais não são exequíveis. Ou seja, sempre que se pretende uma solução mesmo que esta não seja exequível e implique a violação de restrições, pode ser conseguida uma resposta alternativa, funcional e próxima do objetivo desejado. Com esta consideração, as aplicações computacionais derivadas destas metodologias, ganham robustez de funcionamento. A simulação que levou à divergência do método iterativo consiste em condições iniciais onde os reservatórios estão vazios, e no final do horizonte temporal devem encontrar-se completamente 40

51 cheios. Para além disso, o caudal afluente natural na cascata, apenas flui para a barragem mais a montante. Estas condições são extremas e não se verificam na prática, uma vez que não é desejável que os reservatórios se encontrem completamente cheios, porque se corre o risco de se ter de turbinar caudal de forma forçada ou mesmo recorrer às descargas. Antes de ser exemplificada esta simulação, é referido que a divergência deixa de ser verificada se por exemplo a água armazenada nos reservatórios no final do exercício for de 99% da capacidade máxima. Exemplificação da simulação, com recurso à otimização quadrática em que os reservatórios estão inicialmente vazios e deverão estar completamente cheios no final do horizonte temporal. Na figura seguinte é mostrada a evolução dos volumes de água armazenada, sendo notado que os reservatórios se encontram quase cheios no final do horizonte temporal: Figura 3.8: Evolução dos volumes de água armazenada em todos os reservatórios da cascata, para a simulação considerada. 41

52 Capítulo 4 Estruturação de problemas para simulação e estudo 42

53 4.1 Estruturação de um caso de estudo Na elaboração de um caso de estudo para aplicações práticas das metodologias de modelação apresentadas, é de todo o interesse que estas reúnam características que permitam explorar na totalidade as capacidades de cada modelação. Pretende-se também que o sistema analisado seja verosímil, ou seja que apresente semelhanças tais como altura de queda ou volumes de água armazenados verificadas em centrais já instaladas. Desta forma, o caso de estudo deve englobar características pouco desfasadas de sistemas reais existentes. Para explorar convenientemente as possibilidades apresentadas por qualquer das modelações usadas, o caso de estudo deve incluir mais do que uma central produtora de energia hidroelétrica que partilhem o mesmo curso de água. Ou seja, os reservatórios constituem no seu conjunto uma cascata hídrica. Pelo mesmo motivo, os tipos de centrais usadas, deverão ser a fio de água. Neste tipo de barragens, os reservatórios são de dimensão reduzida, o que implica que a altura de queda seja fortemente variável de acordo com o caudal afluente e o caudal turbinado. Com este conceito, a simulação computacional terá que solucionar um problema de maior complexidade devido ao conjunto de não linearidades implícitas. Assim, foi decidido construir um sistema hidroelétrico com três barragens tal como mostrado no diagrama de fluxos (figura 3.5). Adicionalmente, foi também considerado que o posicionamento sequencial das centrais, implica que a afluência natural do curso de água explorado natural apenas é direcionada para o reservatório mais a montante. Os restantes reservatórios apenas recebem recursos hídricos quando estes são disponibilizados pela barragem anterior. É considerado ainda que a quantidade de água evaporada ou derivada de chuvas é desprezável, face à afluência natural e às capacidades de armazenamento nos reservatórios. Neste caso de estudo, é ainda considerado que o trânsito dos fluxos de água entre reservatórios consecutivos tem uma duração inferior a uma hora. Ou seja, cada fluxo ocorre na totalidade durante o menor período de tempo considerado nestes ensaios. Acrescenta-se que o horizonte temporal é semelhante para todas as situações sendo na totalidade de 48h. Da mesma forma, também é considerado que o caudal natural afluente é o mesmo, em todos os ensaios o que permite uniformizar o conjunto de simulações e facilitar a comparação entre as 43

54 mesmas. No anexo A deste documento é apresentada uma tabela com os valores singulares deste caudal, sendo de seguida mostrado um gráfico para representar a variação do mesmo em cada simulação: Figura 4.1: Afluência natural à central do início da cascata. Este é o caudal afluente, usado em todos os ensaios efetuados. Na sequência da normalização das condições dos ensaios, também é usado um único vetor contendo todos os valores unitários da energia, ao longo de todas as simulações. Estes valores são apresentados no Anexo A, e de seguida é ilustrada a variação temporal dos mesmos: Figura 4.2: Valores de energia usados ao longo do horizonte temporal, para cada ensaio. 44

55 4.2 Condicionamentos e restrições estruturais Uma vez que a resolução dos problemas apresentados é realizada com recurso a algoritmos computacionais, os dados iniciais são introduzidos em forma de vetor, designado por B. No capítulo anterior, já foi exemplificada na equação 3.13 a forma de construir este vetor. Assim, é apenas acrescentado que para um horizonte temporal de 48h, B terá a dimensão de (1x144). De seguida é necessário estabelecer os limites superiores e inferiores de volumes armazenados ( ), caudal turbinado ( e capacidade de descarga (, para cada reservatório. Estes limites deverão ser introduzidos sob a forma de duas matrizes que se designam respetivamente LB ( Lower Bound ) e UB ( Upper Bound ). Com estes vetores, são estabelecidos os limites de funcionamento do algoritmo ou seja representam o conjunto de restrições do problema. A construção destes vetores é exemplificada de seguida, referindo-se ainda que ambos têm neste caso de estudo, a dimensão de (432x1). Nestes vetores, cada conjunto de valores limite é representado em 48 sequências, o que corresponde número de estados temporais de decisão nos casos apresentados. Os valores limite de LB e UB pertencentes às centrais e reservatórios que formam o conjunto da cascata, são apresentados na tabela 4.1. Os restantes limites funcionais necessários para o cálculo da totalidade das grandezas, são mostrados na tabela 4.2. Tabela 4.1: Limites máximos e mínimos das grandezas usadas como restrições inerentes às modelações linear e quadrática. 45

56 Tabela 4.2: Limites máximos e mínimos adicionais de variáveis necessárias à determinação da totalidade de grandezas, do conjunto solução das modelações linear e quadrática. Uma vez reunidos os dados já apresentados neste capítulo, é possível iniciar uma simulação computacional. Desta simulação deverá resultar um conjunto de valores que incluirá os volumes horários em cada reservatório, a quantidade horária de caudais turbinados em cada central e ainda o caudal descarregado. Com estes dados, é então possível determinar a evolução horária da altura de queda em cada barragem, a potência instantânea e consequentemente a energia produzida pelas centrais hidroelétricas. Naturalmente, é ainda possível conhecer o resultado económico do exercício e o valor da água durante o período do ensaio. 46

57 4.3 Apresentação e exemplificação de simulação Neste subcapítulo, é apresentado um exemplo contendo simulações operacionais de ambas as modelações. Este exemplo é realizado com o intuito de introduzir a apresentação gráfica, a notação usada, resultados obtidos e conceitos envolvidos neste estudo. O conjunto de grandezas envolvidas, condições iniciais e de funcionamento, usados neste exemplo, são os descritos no sistema hidroelétrico anteriormente modelado. A apresentação dos resultados das simulações e conjunto de soluções obtidas, é efetuada com recurso a gráficos normalizados para facilitar a análise e comparação das mesmas. Para ilustrar as capacidades de gestão operacional das modelações, foram adicionadas as seguintes condições: todos os reservatórios estão inicialmente cheios e na última hora do período de funcionamento deverão estar exatamente a metade da cota. Desta forma, são apresentados de seguida os caudais turbinados obtidos por cada algoritmo: Figura 4.3: Evolução horária dos caudais turbinados, na primeira barragem da cascata, recorrendo aos algoritmos de otimização linear e quadrática. Nestes gráficos observam-se diferenças de desempenho nomeadamente na 25ª e 48ª horas. Com os mesmos recursos hídricos, o algoritmo quadrático optou por armazenar o caudal turbinado na hora nº 25 pelo outro método de modelação e apenas efetuou a turbinagem do mesmo no final do horizonte 47

58 temporal. Esta decisão revela a influência da inclusão da otimização da variação da altura de queda, o que se traduz no aumento de água armazenada. Para além disso, foi também notado ao longo deste estudo que como consequência da inclusão desta variável de decisão, os caudais horários turbinados são menos dispersos ao longo do exercício e apresentam-se mais próximos da capacidade máxima de turbinagem. Na próxima figura são mostrados os caudais turbinados na barragem do meio da cascata, sendo possível notar novamente diferenças subtis entre as modelações, tal como na figura anterior. Figura 4.4: Evolução horária dos caudais turbinados, na segunda barragem da cascata, recorrendo a ambos os algoritmos de otimização. De seguida, são apresentados os caudais turbinados na barragem mais a jusante. Neste caso a evolução horária dos caudais turbinados idêntica. Ou seja, os algoritmos apesar de distintos, apresentam a mesma solução: 48

59 Figura 4.4: Evolução idêntica dos caudais turbinados, obtida para a ultima barragem da cascata por ambos os algoritmos de otimização. Durante estes ensaios, nenhum algoritmo descarregou caudal, o que atesta a eficiência das soluções obtidas. É ainda referido que não é mostrada a evolução horária dos volumes de água armazenada, uma vez que face à capacidade total dos reservatórios são quase impercetíveis as diferenças entre as duas soluções. Para terminar, é apresentado um quadro com os valores finais de energia produzida e do resultado económico esperado. Por comparação dos valores mostrados, pode notar-se o efeito gerado pelas subtis diferenças nas decisões tomadas pelos algoritmos. Tabela 4.3: Comparação de resultados obtidos para simulações em condições idênticas, através de ambas as modelações. 49