ALGORITMOS GENÉTICOS APLICADOS EM RESTAURAÇÃO DE IMAGENS DE MICROSCOPIA DE FORÇA ATÔMICA (AFM)

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1 ALGORITMOS GENÉTICOS APLICADOS EM RESTAURAÇÃO DE IMAGENS DE MICROSCOPIA DE FORÇA ATÔMICA (AFM) Simone de Jesus Machado Ribeiro 1 - simone@biof.ufrj.br Carlos Eduardo Marques Hill 1 - hill@biof.ufrj.br Geraldo Antônio Guerrera Cidade 1 - gcidade@biof.ufrj.br Francisco José da Cunha Pires Soeiro 2 - soeiro@uerj.br Antônio J. Silva Neto 3,4 - ajsneto@iprj.uerj.br, ajsneto@lmn.con.ufrj.br 1 Instituto de Biofísica Carlos Chagas Filho, Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ, CEP , Rio de Janeiro, RJ, Brasil. 2 Departamento de Engenharia Mecânica, Faculdade de Engenharia, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, UERJ, CEP , Rio de Janeiro, RJ, Brasil. 3 Instituto Politécnico, IPRJ, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, UERJ, CP 97282, CEP , Nova Friburgo, RJ, Brasil. 4 Programa de Engenharia Nuclear, COPPE, Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ, CP 68509, CEP , Rio de Janeiro, RJ, Brasil. Resumo. Os microscópios de Força Atômica (AFM) (Binnig et al., 1986) comerciais incorporam tratamentos de imagens baseados principalmente na Transformada Rápida de Fourier (FFT) - uma técnica muitas vezes não adequada ao tratamento das imagens desta natureza, devido à presença freqüente de estruturas aperiódicas e não-estacionárias contidas na amostra. Neste sentido, os Algoritmos Genéticos (AGs) podem ser empregados na restauração de imagens de AFM, pois fazem parte de uma classe de algoritmos de otimização capazes de resolver problemas complexos e que envolvam discontinuidades, de forma simples e eficiente. O objetivo desse trabalho é desenvolver e implementar computacionalmente uma metodologia para a restauração de imagens de AFM em escala nanométrica, que conjugue a capacidade de obtenção do mínimo global dos AGs com a velocidade de convergência de um método baseado no gradiente, para a minimização do funcional de regularização de Tikhonov (Silva Neto e Soeiro, 2001). Com o advento das técnicas de paralelização, espera-se que, para imagens de dimensões significativas, somente a utilização dos AGs seja suficiente para alcançar a imagem-solução ótima de forma rápida e eficiente. Palavras-chave : Algoritmos Genéticos, Restauração de imagens, AFM, Regularização de Tikhonov, Computação paralela.

2 1. INTRODUÇÃO Os Algoritmos Genéticos (AGs) (Holland, 1975) fazem parte de uma classe de técnicas utilizadas para resolver problemas de busca complexos e problemas de otimização que não podem ser resolvidos através de métodos analíticos ou de mera enumeração (Goldberg, 1989). Por essa razão, os AGs são incluídos numa classe mais abrangente de métodos, conhecida como Computação Evolucionária. A idéia de um AG é justamente simular o processo de evolução dos organismos na natureza, baseando-se na Teoria de Seleção Natural de Darwin (Darwin, 1859). Segundo essa teoria, organismos mais adaptados às condições de seu meio ambiente possuem maiores chances de sobreviver e de se reproduzirem, perpetuando seu material genético através das próximas gerações de organismos. Isto significa que os indivíduos competem pelos recursos disponíveis e os mais fortes (ou melhor adaptados ao ambiente) conseguem sobreviver e gerar descendentes. E, do ponto de vista dos AGs, um indivíduo é melhor adaptado, em relação aos outros, caso ele possua características que o aproxime mais de uma solução ótima para um dado problema, onde o ótimo depende do critério estabelecido a priori pelo analista. Na natureza, os processos genéticos são responsáveis pela criação de novas populações de indivíduos, atuando naquelas já existentes através da reprodução e consecutiva troca de genes. No âmbito computacional também existem operadores que são responsáveis pela criação de novas populações de indivíduos (novas possíveis soluções para um problema). A correspondência entre os dois enfoques pode ser visto na Tabela 1. Tabela 1 : Correspondência entre os elementos naturais e os utilizados em um Algoritmo Genético. Natureza Computador competição cega Seleção cega (aleatória) genética operadores populações populações cromossomos strings organismos soluções sobrevivência alcançar objetivo O escopo de aplicações dos AGs é bastante amplo, incluindo problemas biológicos como os de modelagem molecular de proteínas (Dandekar e Argos, 1994), folding de RNA (Gultyaev et al., 1995) e restauração de imagens (Jiang e Evans, 2001; Li et al., 2000). Entretanto, mesmo sendo implementados de forma relativamente simples, sem a necessidade de funções matemáticas complexas ou que exijam muitos recursos computacionais, ainda é necessário definir uma função de avaliação para o AG. Essa função de avaliação servirá para atribuir a cada solução intermediária encontrada pelo AG um valor, que servirá como parâmetro de escolha para a melhor solução/indivíduo encontrado. É nesse sentido que o método de regularização de Tikhonov (Cidade et al., 2000) se conjugará com o AG, guiandoo no sentido de melhorar seu desempenho local no problema de restauração de imagens.

3 2. FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO PROBLEMA Diferentemente dos métodos de processamento freqüentemente empregados para o tratamento de imagens digitais, o principal objetivo da restauração é aproximar, matematicamente, o conteúdo da imagem adquirida do verdadeiro formato do objeto que a originou, segundo modelos determinados a priori. No caso das imagens de AFM, isto dependerá da dimensão de varredura da amostra, das características do operador de borramento e da relação sinal-ruído (SNR) da imagem. Neste sentido, o método de regularização de Tikhonov (Tikhonov e Arsenin, 1977) propõe a criação de uma base de tratamento local, assumindo como operador de borramento uma função do tipo gaussiana, cujos efeitos poderiam ser descritos pela expressão y = Bx+ n (1) em que y representa a imagem real, x a imagem relativa às características originais da amostra, B um operador compacto, descrito por uma matriz de borramento, e n o ruído aditivo, geralmente do tipo gaussiano. Este problema seria considerado bem-posto (bem-colocado) se, para cada imagem y, existisse uma imagem-solução única x, que dependesse continuamente nos dados observados. De outra forma, o problema seria considerado mal-condiciondo, sem solução aparente, se o operador B for uma matriz quadrada, com det(b)=0. Baseado neste argumento, o problema inverso 1 x = B y (2) seria considerado mal-condicionado. Como os auto-valores acumulam em zero, uma pequena perturbação nos dados amostrados (y) conduz a uma grande variação na solução (x). Entretanto, um problema inverso desta natureza pode ser resolvido através de otimização em dimensão finita, em que deseja-se minimizar um funcional do tipo Lx ( ) = y Bx 2 (3) conhecido como método dos mínimos quadrados. O funcional de Tikhonov é construído a partir da Eq. (3), sendo adicionado um termo de regularização S: ^ Q( x) 1 y( i, j) 2 = N N k = N l = N ^ b( k, l). x( i + k, j + l) 2 α S ( a > 0; i, j = 1,2,..., M ) (4) em que y corresponde ao dado de AFM na posição (i,j), b(k,l) à matriz de borramento com dimensão 2N x 2N, xˆ ao valor estimado da imagem original durante a restauração, e α ao parâmetro de regularização. O primeiro termo do lado direito da Eq. (4) também pode ser construído a partir do argumento Bayesiano de probabilidade condicionada. O termo de regularização αs é adicionado, buscando-se um compromisso ideal entre a acurácia e a estabilidade da solução. Quanto maior for a perturbação (ruído) imposta aos dados amostrados, tão maior deverá ser o valor do parâmetro de regularização α, ou seja, 2 α σ ruído (5)

4 O funcional S foi construído utilizando distâncias de Bregman (Bregman, 1967) como uma medida da discrepância entre o dado estimado e o modelo adotado como referência para a regularização (Cidade et al., 2000). 3. MÉTODO BASEADO NO GRADIENTE A estratégia adotada para a minimização do funcional da Eq. (5) consiste na determinação da equação de ponto crítico Q / xˆ = 0, que leva à obtenção de um sistema de equações nãolineares. No caso das imagens de AFM utilizadas neste trabalho (256 x 256 píxeis), deverão ser resolvidas equações, com um número equivalente de incógnitas. Para resolver o sistema de equações não-lineares utilizou-se o método de Newton-Raphson multivariável, sendo incluído adicionalmente um fator de atenuação γ, para estabilizar o processo iterativo em busca da solução. O sistema de equações lineares resultante deste procedimento é resolvido empregando-se o método de Gauss-Seidel. 4. COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS COM A FFT Os programas embarcados nos microscópios de uso comercial freqüentemente disponibilizam filtros baseados na FFT e sua inversa, como os filtros de Wiener, que requerem a estimativa do espectro de potência do ruído e da imagem. Dado o caráter de filtragem passa-baixa imposto pela FFT sobre imagens de AFM com baixa SNR, tanto as freqüências espaciais das informações de contraste da imagem como aquelas referentes ao ruído aditivo passam a ser tratadas indistintamente, distanciando cada vez mais a imagem processada da área de solução provável. Neste caso, tanto o contraste como o ruído aditivo são penalizados dentro de uma mesma faixa dinâmica de freqüências, podendo resultar em perdas significativas de nitidez das estruturas que compõem a amostra. A Figura 1 compara os resultados obtidos a partir da aplicação da FFT em uma implementação passa-baixa e do método de regularização de Tikhonov sobre uma imagem biológica de AFM com (200 x 200) nm (Fig 1a), que representa um aglomerado de filamentos de ssdna. (a) (b) (c) (200 x 200) nm Figura 1. Resultados do tratamento de uma imagem biológica de AFM de 256 x 256 píxeis representando uma densa amostra de filamentos de ssdna (a), processada pela FFT em uma implementação passa-baixa (b) e restaurada através do método de regularização de Tikhonov (c).

5 Pode-se observar o ganho de contraste resultante da restauração obtida através do método de regularização de Tikhonov conjugado ao método de Newton-Raphson multivariável (Fig 1c), quando comparado com o resultado obtido através da FFT (Fig 1b), para uma freqüência de corte espacial de 0,3 píxeis/ciclo. Pode-se observar nitidamente que as imagens das Figs 1b e 1c exibem contornos muito similares em suas estruturas, indicando ser o método de regularização apropriado para o tratamento diferenciado de contraste e ruído aditivo em imagens com tais dimensões. 5. O ALGORITMO GENÉTICO CANÔNICO Os AGs são organizados em gerações, de forma cíclica, onde indivíduos nascem, evoluem e morrem, deixando suas características para seus descendentes. Logo, o primeiro passo para se implementar um AG é criar uma população inicial de indivíduos de forma aleatória. No problema de restauração de imagens, a população inicial é composta pelos píxeis, representados em tons de cinza, de uma imagem borrada contendo ruído aditivo. O método proposto neste trabalho visa à restauração de nitidez das estruturas da amostra presentes na imagem original. Cada píxel-indivíduo é avaliado independentemente dos outros indivíduos, através do método de regularização de Tikhonov, e recebe um valor chamado valor de avaliação ( f i ). Na medida em que os indivíduos estiverem sendo avaliados, são colocados num ranking em relação à média de avaliação de toda a população ( f ), e cada um passa a receber um valor de adaptação ( fi '), onde f i '= fi / f. É esse valor de adaptação que determina quais indivíduos são mais evoluídos (mais próximos da solução ótima para o problema), de forma que aqueles com maior valor de adaptação passam seus dados à geração seguinte. A partir desses indivíduos mais adaptados cria-se uma população intermediária, na qual os operadores de crossover e mutação são aplicados, e a população resultante constituirá a próxima geração. 5.1 Operadores O crossover é um operador que procura imitar a reprodução sexuada na natureza, originando dois novos indivíduos através da troca de dados entre dois outros (originais ou "pais"); ou seja, os dados de um pai são misturados com os do outro de forma aleatória para gerar os "filhos". A mutação é um operador que modifica um único indivíduo com uma dada probabilidade. Através dele é possível criar indivíduos que não são apenas cópias de seus pais, mas ligeiramente diferentes. Assim, a mutação não garante que o indivíduo originado será melhor ou pior do que era anteriormente, mas evita que a busca se torne estagnada, recombinando sempre os mesmos fragmentos de informação. 6. COMBINAÇÃO DOS AGs COM O MÉTODO BASEADO NO GRADIENTE Com a utilização dos AGs combinados ao método que baseia-se no gradiente, espera-se poder determinar com mais exatidão a imagem que melhor represente as estruturas da amostra, beneficiando-se do método de regularização de Tikhonov para o processamento diferenciado do ruído aditivo e das informações de contraste.

6 Partindo-se da experiência previamente adquirida com o método de Newton-Raphson multivariável para a restauração de imagens de AFM (Cidade et al., 2001a,b) com o uso do método de regularização de Tikhonov - método determinístico baseado no gradiente, podendo levar a mínimos locais - o AG será empregado como método estocástico de otimização global para a restauração de imagens (Jiang e Evans, 2001; Li e Evans, 2000). Embora os AGs demandem um alto custo computacional, são incondicionalmente convergentes, possibilitando a determinação de um mínimo global capaz de representar uma solução aceitável para imagens que exibam baixa relação sinal-ruído. Pretende-se, portanto, trabalhar inicialmente com imagens de reduzida dimensão (16x16 píxeis), para avaliar a convergência do método proposto, já que para maiores dimensões o mais adequado seria proceder à paralelização do algoritmo. 7. PARALELIZAÇÃO DO MÉTODO Como as imagens obtidas do AFM possuem dimensões maiores (256x256 píxeis, ou seja, indivíduos), a paralelização do algoritmo proposto torna-se oportuna, já que poderá ser executado nos clusters 1 do Instituto de Biofísica Carlos Chagas Filho-UFRJ e do Instituto Politécnico-UERJ. Os computadores pertencentes a um cluster são chamados nós. Cada nó se comunica usando um sistema de troca de mensagens (Baker e Buyya, 1999). Sua potencial escalabilidade e excelente relação custo-benefício, fizeram dos clusters uma solução para problemas que envolvem cálculos complexos e paralelizáveis com uso intenso de processador (Hargrove et al., 2001). Um dos clusters que será utilizado neste trabalho é composto por computadores padrão Intel x86 com 16 processadores de 1GHz interligados por uma rede Gigabit Ethernet. Alguns problemas naturalmente paralelos podem se benecifiar muito com este tipo de ferramenta distribuída, como aqueles que envolvem redes neurais ou AGs. Como ferramenta de troca de mensagens entre os nós, foi escolhido o Método de Execução Remota da Linguagem Java da Sun Microsystems. Esta escolha se baseia na sua independência de plataforma e na curva de implementação, que para esta tecnologia é muito mais rápida. A conclusão principal é que este tipo de ferramenta vem ao encontro das necessidades de pequenos grupos, que possuem problemas complexos e poucos recursos para investir em equipamentos do tipo SMP (Symetric Multiple Processing), ao mesmo tempo que podem se transformar em verdadeiros super-computadores para grandes grupos com pesados investimentos. 8. RESULTADOS ESPERADOS Tendo em vista os resultados obtidos por Silva Neto e Soeiro (2001), espera-se, numa fase inicial, obter resultados mais satisfatórios do que aqueles que vinham sendo obtidos somente através da utilização do método do gradiente, para imagens de pequenas dimensões. Com o advento das técnicas de paralelização, espera-se que, para imagens de dimensões mais significativas, somente a utilização dos AGs seja suficiente para alcançar a imagemsolução ótima de forma rápida e eficiente. 1 Clusters podem ser definidos como um grupo de computadores interconectados, disponibilizando seus recursos de maneira integrada e criando a ilusão de serem uma única máquina (Stallings, 2001).

7 REFERÊNCIAS Baker, Mark, Buyya, Rajkumar, 1999, High Performance Cluster Computing, Prentice Hall. Binnig, G., Quate, C.F. e Gerber, Ch., 1986, Atomic Force Microscope, Phys. Rev. Lett. 56(9), pp Bregman, L.M., 1967, The Relaxation Method of Finding the Common Point of Convex Sets and its Application to the Solution of Problems in Convex Programming, Zh. vÿchisl. Mat. mat. Fiz. 7(3), pp Cidade, G.A.G., Roberty, N. C., Silva Neto, A. J. e Bisch, P. M., 2001a, The Restoration of AFM Biological Images Using the Tikhonov's Method - the Proposal of a General Regularization Functional for Best Contrast Results, Acta Microscopica, vol. 10, Suppl.1, p Cidade, G. A. G., Roberty, N. C., Silva Neto, A.J. e Bisch, P.M., 2001b, The Evaluation of a General (q-discrepancy) Regularization Functional Applied to the Restoration of Atomic Force Images of Biological Samples, artigo completo submetido ao periódico Journal of Vacuum Science and Technology B. Cidade, G. A. G., Anteneodo, C., Roberty, N. C. e Silva Neto, A. J., 2000, A Generalized Approach for Atomic Force Microscopy Image Restoration with Bregman Distances as Tikhonov Regularization Terms, Inverse Problems in Engineering, Vol. 8, p Dandekar, T. e P. Argos, 1994, Folding the main chain of small proteins with the genetic algorithm, J. Mol. Biol. 236: Darwin, C., 1859, The Origin of Species, England Goldberg, D. E., 1989, Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning, Addison-Wesley Gultyaev, A. P., van Batenburg, F. H. D. e Pleij, C. W. A., 1995, The computer simulation of RNA folding pathways using a genetic algorithm, J. Mol. Biol. 250 : Hargrove, W.W., Hoffman, F.M., Sterling, T., 2001, Scientific American. Holland, J. H., 1975, Adaptation In Natural and Artificial Systems, Ann Arbor, Michigan: The University of Michigan Press. Jiang, T. e Evans, D. J., 2001, Image Restoration by Combining Local Genetic Algorithm with Adaptive Pre-Conditioning; International Japanese Computer Math., Vol 76, Li, X., Jiang, T. e Evans, D. J., 2000, Medical Image Reconstruction using a Multi-Objective Genetic Local Search Algorithm; International Japanese Computer Math., Vol 74, Silva Neto, A.J. e Soeiro, F.J.C.P., 2001, A Combination of Gradient Based and Global Optimization Methods for the Solution of Inverse Heat Transfer Problems, Inverse Problems in Engineering, Aceito para publicação. Stallings, W., 2001, Operatings Systems: Internals and Design Principles, Quarta Edição, Prentice Hall. Tikhonov, A.N., e Arsenin, V.Y., 1977, Solutions of Ill-Posed Problems, Wiley, New York.

8 GENETIC ALGORITHMS APPLIED TO THE RESTORATION OF ATOMIC FORCE MICROSCOPY (AFM) IMAGES Summary. The commercial Atomic Force Microscopes (AFM) (Binnig et al., 1986) incorporate image treatments based mainly in the Fast Fourier Transform (FFT) - a technique that is not always adequate for the treatment of such images, by virtue of the frequent presence of aperiodic and non-stationary structures in the sample. Genetic Algorithms (GAs) could be applied to the restoration of AFM images, because they are included in a class of optimization algorithms that are able to solve complex and discontinuous problems, in a simple and efficient way. The main objective of the present work is to develop and implement computationally a methodology for the restoration of AFM images in the nanometer scale, that combines the capacity of obtaining an approximation for the global minimum of the genetic algorithms with the good rate of convergence of a gradient based method for the minimization of the Tikhonov s regularization functional (Silva Neto and Soeiro, 2001). From the use of parallel computing techniques, it is expected that, for larger images, the GAs approach might be sufficient to achieve the optimal solution-image in a faster and more efficient way. Keywords: Genetic Algorithms, image restoration, AFM, Tikhonov s regularization, parallel computing.