As funções crescendo e decrescendo

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1 Reforço escolar M ate mática As funções crescendo e decrescendo Dinâmica 7 1ª Série 1º Bimestre Professor DISCIPLINA SÉRIE CAMPO CONCEITO Matemática Ensino Médio 1ª ano Algébrico Simbólico Funções DINÂMICA As funções crescendo e decrescendo HABILIDADE Básica H70 - Ler informações e dados apresentados em gráficos, particularmente em gráficos de colunas. HABILIDADE PRINCIPAL H50 - Analisar crescimento/decrescimento, zeros de funções reais apresentadas em gráficos. CURRÍCULO MÍNIMO Analisar gráficos de funções (crescimento, decrescimento, zeros, variação do sinal). Professor, nesta dinâmica, você irá desenvolver as seguintes etapas com seus alunos. 1

2 ETAPAS ATIVIDADE TEMPO ORGANIZAÇÃO REGISTRO 1 Compartilhar Ideias Graficando 15 a 20 min. Grupos de 2 alunos Individual 2 Um novo olhar... Vou de Função 20 a 25 min. Grupos de 2 alunos Individual 3 Fique por dentro! Guerreiro da Função 25 a 30 min. Grupos de 2 alunos Individual 4 Quiz Quiz 10 min Individual Individual 5 Análise das respostas ao Quiz Análise das respostas ao Quiz 10 a 15 min. Coletiva Individual Professor Flex Para Saber + Agora, é com você! Apresentação Esta é uma seção de aprofundamento, para depois da dinâmica. O aluno pode realizar, quando desejar, mas o professor precisa ler antes da aula. Para o aluno resolver em casa ou noutra ocasião e consultar o professor se tiver dúvidas. Historicamente, observar regularidades e reconhecer padrões foi o que motivou o estudo de funções. Muitas situações do cotidiano podem ser modeladas através de funções, como por exemplo: calcular uma dívida, calcular os indicadores de preços, saber em quanto tempo exatamente chegaremos num determinado lugar etc. Outra competência que é construída com o auxílio de funções é a de realizar previsões acerca de um problema e sobre etapas não observadas. No estudo de funções reais, é importante analisar o seu comportamento, ou seja, qual (is) intervalo(s) em que as funções crescem ou decrescem? Ou qual (is) intervalo(s) em que são constantes? Nesse sentido, preparamos essa dinâmica com o intuito de analisarmos o seu comportamento. Vamos começar? Primeira Etapa Compartilhar ideias Atividade Graficando Objetivo 2 Analisar o crescimento e decrescimento de indicadores em gráficos e, portanto, realizar o tratamento da informação.

3 Descrição da atividade A atividade busca refletir acerca do crescimento e decrescimento em duas situações. A primeira relacionada a indicadores de preços e a segunda ao faturamento de empresas. Nessa atividade, cada aluno é convidado a analisar e responder a algumas questões que contribuem para essa compreensão. Professor, veja a seguir a proposta de atividade para o aluno. Atualmente, é imprescindível a interpretação e análise de gráficos, eles auxiliam na tomada de decisão e oferece informação rápida acerca do objeto analisado. É pensando na necessidade do cidadão e na construção da habilidade descrita anteriormente que propomos esta primeira etapa. Vamos à atividade? Leia atentamente as atividades a seguir, observe os gráficos e responda aos itens abaixo. Atividade 1: O gráfico abaixo mostra os principais indicadores de preço dos últimos quatro meses de O eixo Oy representa o percentual de variação de preços. Matemática Fonte: www1.folha.uol.com.br/indicadores/ indicadores-de-precos.shtml Nota: IPCA - Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo ICV - Índice do Custo de Vida INCC - Índice Nacional do Custo da Construção; IBGE - Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística; Dieese - Departamento Intersindical de Estatística e Estudos Socioeconômicos; FGV - Fundação Getúlio Vargas 3

4 A partir dos dados do gráfico, responda aos itens a seguir a. Qual indicador de preço apresentou maior percentual? ICV do Dieese. b. Em que meses o ICV do Dieese foi crescente? E decrescente? No período de outubro até novembro, foi crescente, e no período de agosto até outubro, ele foi decrescente. Professor c. Em que meses o INCC do IGP/FGV foi crescente? E decrescente? No período de agosto até outubro ele foi crescente e no período de outubro até novembro ele foi decrescente. d. Em que mês o IPCA do IBGE atingiu seu máximo? E o seu mínimo? O máximo foi no mês de outubro e o mínimo no mês de agosto. e. Existe algum indicador de preço que não apresentou decrescimento? Se sim qual? Justifique. 4

5 O IPCA do IBGE. Atividade 2: O gráfico abaixo mostra o faturamento real da indústria brasileira de transformação. Este faturamento é o ganho da indústria já descontado todos os custos de produção, inclusive os impostos. Ele representa um índice que demonstra o crescimento de um país. Matemática Fonte: Acesso 17/12/2012. De acordo com os dados do gráfico, responda aos itens a seguir: a. Em que períodos, em mês (es) de 2012, o faturamento da indústria foi crescente? De janeiro até março e depois de abril até maio e em seguida julho até agosto. 5

6 b. Em que períodos de 2012 o faturamento da indústria foi decrescente? De março até abril, depois de maio até julho, e de agosto até setembro. c. Qual o ano e período o faturamento da indústria foi constante? No ano de 2011 no período de maio a junho. Professor Recursos necessários Encarte do Aluno Procedimentos Operacionais A turma deve ser dividida em duplas e em caso de número ímpar de alunos pode-se criar um trio, no entanto, cada estudante deve resolver as atividades propostas. Já o registro é individual. Ao final da execução desta etapa, os integrantes da dupla devem trocar seus encartes e o colega deve rever o procedimento efetuado pelo outro. Intervenção Pedagógica Professor, é importante destacar que os gráficos sugeridos não representam uma função polinomial do primeiro grau. Destaque que eles apresentam informações gerais acerca do tema. Na análise do gráfico da atividade (1), esteja atento às numerações utilizadas e aos seus respectivos índices. 6

7 Na atividade (1), informe aos alunos o que é um indicador de preços, ou seja, eles registram o percentual das variações de preços de matérias-primas agropecuárias e industriais, de produtos intermediários e de bens e serviços finais. Na atividade (2), explique o significado do Faturamento real da indústria, ou seja, seu ganho real, já descontada a inflação. Na atividade (2), esteja atento às dificuldades de visualização da informação devido às múltiplas linhas. Matemática Segunda Etapa Um novo olhar... Atividade Vou de Função Objetivo Analisar e calcular resultados em uma função polinomial do 1º grau. Identificar variáveis, crescimentos e decrescimentos de funções. Expressar uma função por sua expressão algébrica e geométrica. Auxiliar na tomada de decisão acerca de problemas que envolvem função polinomial do 1 o grau. Descrição da atividade Nesta etapa, cada aluno terá oportunidade de vivenciar e analisar situações onde há, ou não, a proporcionalidade de variáveis, bem como representar graficamente a situação descrita no problema. Em seguida, os dados irão auxiliá-los na tomada de decisão acerca da problemática da questão. Atividade 1 1. Para ir de sua casa até o cinema mais próximo, Luiz decidiu pegar um táxi. Luiz é uma pessoa que gosta de poupar seu dinheiro e, por isso, antes de sair de casa, decidiu pesquisar melhor sobre o custo da tarifa de táxi em sua cidade. Descobriu que a bandeirada, valor inicial, era R$ 4,70 e que cada kilômetro rodado custaria R$ 1,70, no dia em que ele precisaria. De acordo com as informações, responda: Para facilitar o desenvolvimento das atividades propostas, inicialmente preencha a tabela a seguir e responda aos primeiros questionamentos, de acordo com as informações anteriores. 7

8 Distância Percorrida em Km Valor final pago em reais. 4,70 + 1,70 = 6,40 4, ,70 = 8,10 4, ,70 = 9,80 4, ,70 = 18,3 4, ,70 = 21,7 Quem são as grandezas envolvidas? Distância em Km e preço final a ser pago em reais. Professor Elas são proporcionais? Sim, considerando apenas o quilômetro rodado, ou seja, quanto maior for o número de quilômetros percorridos na corrida de taxi, maior será o valor a ser pago no final. Sem construir o gráfico, é possível afirmar que esta representação é crescente ou decrescente? Por quê? Sim é possível. Como o preço varia de acordo com a quilometragem, então o aumento de uma proporciona o aumento da outra variável. a. Quanto custará a corrida, sabendo que o cinema fica a 5 km de sua casa? 8

9 R$ 13,20. b. Qual a função que representa o cálculo do preço a ser gasto? (chame y o valor total a pagar e x o quilômetro rodado) Matemática y = 4,70 + 1,70 x c. Utilizando a tabela e a malha quadriculada a seguir, monte o gráfico que representa essa função: Km rodado(x) Total a pagar em R$ (y) 1 6,40 2 8,10 3 9, , ,20 9

10 Professor d. É possível pagarmos um valor negativo de reais para esta corrida? Por quê? Não a função é definida apenas para x 0. e. Qual valor mínimo que Luiz pagara nesse táxi? R$ 4,70 Atividade 2 2. Considere que você está escolhendo um novo plano de telefonia celular. Na sua busca por informações e fazendo uma seleção inicial das principais propostas, você fica em dúvida acerca de duas propostas de uma mesma empresa. Veja as condições das propostas no quadro a seguir. 10

11 Proposta 1 Proposta 2 Assinatura mensal de R$ 35,00. Tarifa de R$ 0,35 por minuto. Assinatura mensal: isenta. Tarifa de R$ 1,65 por minuto. Para podermos tomar a decisão mais acertada, vamos começar a analisar as possibilidades. Para facilitar nosso trabalho, devemos responder a algumas questões, são elas: a. Tomando y como o valor a ser pago e t como o tempo de ligação, escreva a expressão algébrica que corresponde a cada proposta. Proposta 1 Proposta 2 Matemática y = ,35t Y = 0 + 1,65t b. Agora você deve construir, em um mesmo plano cartesiano, os gráficos de cada uma das propostas. 11

12 c. Para ajudar nos questionamentos posteriores, vamos construir uma tabela. Preencha os valores que faltam. Proposta 1 Tempo em minutos Custo final em reais 35, (0,35) = 45, (0,35) = 56, (0,35) = 77, (0,35) = 140,00 Proposta 2 Tempo em minutos Custo final em reais 0,00 1,65 (30) = 49,50 1,65 (60) = 99,00 1,65 (120) = 198,00 1,65 (300) = 495 d. Tomando as propostas 1 e 2, qual a melhor opção se você optar por um tempo de: 20 min., 30 min. e 60 min.? Professor 20 min.: Proposta 2 (proposta 1: 35 + (0,35)20 = 42; proposta 1: (1,65)20 = 33,00) 30 min.: Proposta 1 (verifique na tabela anterior) 60 min.: Proposta 1 (verifique na tabela anterior) e. Em qual das propostas há proporcionalidade no preço que é pago no final do mês em relação ao tempo de ligação? Proposta 2. Há proporcionalidade no caso em que o gráfico da função passa pela origem. f. Podemos afirmar que a quantia a ser paga mensalmente, nas duas propostas, é uma função do tempo de ligação? 12

13 Sim. Há variação de crescimento do preço a ser pago em relação ao tempo de ligação. É uma função, pois há uma correspondência biunívoca entre o tempo e o preço pago ao final. g. Qual das propostas você acha que é mais vantajosa? Por quê? Matemática pessoal. Recursos necessários: Encarte do aluno. Procedimentos Operacionais Em duplas, cada aluno deverá resolver a atividade proposta, fazendo o seu registro individual. A seguir, os componentes da dupla devem trocar seus encartes e cada um deve rever o procedimento efetuado pelo outro colega. Intervenção Pedagógica Caro professor, de acordo com o desenvolvimento da atividade você pode apresentar a expressão algébrica de cada resposta, sem perder a conexão com o cotidiano apresentado. Professor, esteja atento que ao responder cada questão, o aluno irá montando o momento vivido pelo personagem do problema e chegando a solução do problema. Particularmente, no estudo de funções, não se exploram os gráficos. 13

14 Por isso, os alunos não observam que, como o gráfico da Proposta 1 não passa pela origem, não há proporcionalidade entre o que a pessoa paga no final do mês e os minutos gastos em ligações. Terceira Etapa Fique por dentro! Atividade Guerreiro da função! Objetivo Levar o aluno a observar variações de crescimento para as funções, associando a variação dos valores de x e y. Analisar zeros de funções reais apresentadas em gráficos. Descrição da atividade Professor Esta atividade trata de problema sobre um gráfico de uma função a qual não sabemos a sua expressão algébrica. O professor deve fazer as perguntas e cada dupla irá respondê-la. A dupla que acertar a solução ganhará 3 pontos, se houver empate cada dupla ganhará um ponto e a dupla que errar não ganha ponto. Ao final dos itens da atividade, quem somar maior número de pontos será o vencedor e chamado de guerreiro da função! Em seguida, os alunos serão solicitados a registrar as respectivas soluções encontradas. Professor veja a atividade proposta ao aluno a seguir. (UFF Adaptada) A figura abaixo exibe o gráfico de uma função y = f( x ) definida no intervalo [ 6;6]. Observando o gráfico abaixo responda os itens a seguir: 14

15 a. Observando o gráfico de f podemos identificar alguns pontos, quais são eles? (-6; -2), (-4; 0), (-3; 3), (-2; 0), (2; 1), (3; 4), (4; 2), (5; 2) e (6;-1) b. Em toda função chama-se de zero da função ou raiz da função o(s) valor (es) de x que tornam f( x ) = 0, ou seja, no gráfico a raiz ou zero da função são os valores de x onde o gráfico intercepta o eixo O x, ou ainda, no(s) ponto(s) ( x ;0). Observando o gráfico acima, a função possui zeros ou raízes? Quanto(s) e qual (ais) é (são) este(s) zero(s)? Matemática O gráfico intercepta o eixo x em três pontos. (-4;0), (-2;0) e (17/3;0). c. Qual o intervalo de x em que o gráfico não é formado por segmentos de retas? Exceto no intervalo [-4;-2]. d. Você acha que esta função tem ponto de máximo, ou seja, um valor para y que é o maior possível no intervalo analisado? Quantos? Qual (is) é (ou são) ele(s)? Sim, 1 ponto, (2,4). 15

16 e. Você acha que esta função tem ponto de mínimo, ou seja, o menos possível no intervalo analisado? Quantos? Qual (is) é (ou são) ele(s)? Sim, 1 ponto, (-6;-2). f. Quanto vale f (2)? E o valor de f ( 3)? f(2) = 1 e f(-3) = 3 Professor g. Qual é o valor de x, quando f( x ) = 2? O valor de x = -6. h. Qual (is) o(s) intervalo(s) em que a função f é crescente? [-6;-3] e [-2;3]. i. Qual (is) o(s) intervalo(s) em que a função f é decrescente? 16

17 [-3;-2] e [3;4]. j. A função f é constante em algum intervalo? Qual? Matemática É constante no intervalo de [4;5]. k. Qual é o valor de 9 f? 2 9 f 2 =2 l. A função f está definida no intervalo [-6; 6], ou seja, podemos dizer que o domínio dessa função é de [ 6;6]. Assim você conseguiria destacar o conjunto imagem de f? A imagem é de [-2; 4]. m. Quantas soluções distintas possui a equação f( x ) = 1? 17

18 Quatro! n. A função f é crescente no conjunto C = [ 4; 3] [ 2;3] resposta.? Justifique sua Não, pois f(-3) = 3 e f(2) = 1, ou seja, aumentamos o x e os valores de y diminuíram. Professor Recursos necessários: Encarte do aluno. Procedimentos Operacionais As atividades foram organizadas para que a turma seja dividida em grupos de dois alunos que devem discutir e confrontar os resultados, passo a passo. Em caso de número ímpar de alunos, o professor deve montar um grupo com três alunos. O registro das atividades deve ser realizado individualmente. Intervenção pedagógica Caro professor, esperamos que o aluno perceba que a imagem está relacionada ao eixo y e que consiga identificar qual é o seu conjunto. É possível que nesse momento os alunos tenham dificuldade de entender o conceito de domínio e de imagem. Se houver necessidade é pertinente que seja feita a devida intervenção. 18

19 Professor, espera-se que o aluno perceba quais são os valores de x cuja imagem é 1. Para tanto basta eles traçarem uma reta paralela ao eixo x no valor indicado. É possível que nesse momento os alunos tenham dificuldade de entender esse conceito. Faça esta intervenção neste item. Esteja atento quando da solicitação das raízes da função, por muitas vezes os alunos não as interpretam como da forma (a, 0) e sim como (0,b) e acabam respondendo à questão com os pontos que são interseção da função com o eixo Oy, ou apenas invertendo a abscissa com a ordenada. Os alunos tendem a analisar o intervalo de forma separada, enquanto de fato deveriam analisar o conjunto, pois se trata de uma união de dois intervalos. Um onde a função é crescente e outro onde a função é decrescente. Se houver necessidade é pertinente que faça a devida intervenção. Matemática Quarta Etapa Quiz Questão (Saerjinho 1ª Série do Ensino Médio 3º bimestre de 2011) Observe o gráfico da função V( x ), onde x N. Analisando o gráfico dessa função, temos que a. a função é crescente no intervalo de [ 1; 2 ]. 19

20 b. a função é crescente no intervalo de [ 1; 3 ]. c. a função é crescente no intervalo de [ 1;1]. d. a função é decrescente no intervalo de [ 1; 0]. e. a função é decrescente no intervalo de [ 3; 1]. Quinta Etapa Análise das s ao Quiz A resposta correta é o item (A) a função é crescente no intervalo de [1, 2], pois à medida que os valores de x aumentam de 1 para 2 as respectivas imagens também aumentam. Professor Distratores No item (B) a função é crescente no intervalo de [1, 3], o aluno pode não ter visto a função constante definida no intervalo [2, 3] e ter optado por esse item. No item (C) a função é crescente no intervalo de [ 1,1], o aluno pode ter analisado apenas o intervalo de [-1, 0] e ter visto o crescimento, mas não ficou atento ao intervalo seguinte de [0, 1], cuja função é decrescente. Nesse item (D) a função é decrescente no intervalo de [ 1, 0], o aluno poderá ter marcado esse item por ter confundido a definição de crescente com decrescente. No item (E) a função é decrescente no intervalo de [ 3, 1], o aluno pode não ter percebido a função constante no intervalo de [-3, 2] e ter optado por esse item. Etapa Flex. Para saber + Na Etapa Flex, procurou-se outras referências e sugestões de sites educacionais para o ensino de funções. Nesse sentido, esperamos que você navegue um pouco, obtenha novas pistas e descubra novos horizontes. Veja a seguir sugestões de links que possuem aulas e recursos educacionais. Laboratório de Ensino de Matemática EDUMATEC Educação Matemática e Tecnologia Informá tica UFRGS 20 index.php

21 TV ESCOLA Salto para o futuro. Educação Algébrica e Resolução de problemas Agora, é com você! 1. O gráfico da função y = f( x) está representando no plano cartesiano abaixo. a. Complete a a Tabela abaixo, observando e analisando o gráfico da função f(x) acima: Reta Intervalo Comportamento AB [-5,-3[ Decrescente BC ]-3,-2[ Crescente CD ]-1,1[ Constante DE ]1,2[ Decrescente EF ]2,4[ Constante FG ]4,6] Decrescente b. Esta função tem ponto de máximo? Se sim, qual? 21

22 Sim. Ponto A (-5,5). c. Esta funçao tem um valor mínimo? Se sim, qual? Sim. Ponto B(-3,3). Professor d. Qual é o valor de 2 5 f? 2 e. Qual é o valor de f ( 1)? 3 f. A função está definida em qual intervalo? [-5; 6] 22

23 g. Qual é o conjunto imagem da função? [-1; 5] 2. O gráfico da função y = f(x) está representando no plano cartesiano abaixo. Anexo 1 a. Quais são as coordenadas da raizes da função acima? (-3,0) e (1,0) b. Determine o valor de f (2)

24 c. Determine o valor de f ( 4). -5 d. Nesse gráfico, existe um ponto mínimo ou máximo? Qual é a coordenada desse ponto? Máximo. (-1,4) Professor e. Se f( x ) = 3, qual será o valor de x? -2 ou 0 f. Em qual intervalo a função é crescente? ]-,-1] g. Em qual intervalo a função é decrescente? 24

25 ]-1,+ [ Matemática 25

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