A IDENTIFICAÇÃO DE PROPRIEDADES E A HABILIDADE DE PLANIFICAÇÃO DE FIGURAS GEOMÉTRICAS ESPACIAIS

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1 A IDENTIFICAÇÃO DE PROPRIEDADES E A HABILIDADE DE PLANIFICAÇÃO DE FIGURAS GEOMÉTRICAS ESPACIAIS Odaléa Aparecida Viana Universidade Federal de Uberlândia, Brasil RESUMO Questões sobre geometria espacial destinadas a alunos do ensino fundamental costumam avaliar o conhecimento sobre figuras tridimensionais por meio da planificação destas. Este trabalho buscou identificar relações entre a habilidade de planificar e a nomeação e a identificação de propriedades de figuras espaciais, características dos níveis elementares de formação conceitual. Foram sujeitos 147 alunos do sexto e do sétimo de escola pública, que responderam a um questionário tipo lápis e papel. O desempenho foi considerado fraco e as análises estatísticas revelaram que os estudantes se saíram melhor na questão de planificação que na de conceituação. A correlação moderada entre os desempenhos nas duas questões mostra que a habilidade de planificação pode estar relacionada ao conhecimento declarativo dos sujeitos, mas há vários casos em que os desenhos parecem demonstrar manipulação de imagens mentais, independente de níveis mais elevados de formação conceitual. O trabalho sugere atividades que levem o aluno a explorar e descrever propriedades de figuras tridimensionais e a formar e manipular imagens por meio da elaboração de desenhos de planificação destas. Palavras-chave: ensino de geometria, geometria espacial, formação de conceitos, planificação.

2 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 2 ABSTRACT Spatial geometry questions destined to elementary school usually evaluate the knowledge of three-dimensional pictures by means of their planning. This work aimed to identify relations between the ability to plan and the nomination and identification of spatial pictures properties, which are typical of elementary levels of conceptual formation. The subjects were 147 students from sixth and seventh grade of public school, who answered a questionnaire in a pencil and paper type. The performance was considered low and the statistical analysis revealed that the students did better in the planning question than in the conceptualization one. The moderated corelation between the performances in the two questions reveals that the ability of planning can be related to declarative knowledge of the subjects, but there are several cases in which the drawings seems to demonstrate manipulation of mental images, regardless of higher levels of conceptual formation. This work suggests activities that lead the student to explore and describe properties of three-dimensional pictures and to form and manipulate images by means of elaborating planning drawings of these pictures. Keywords: geometry teaching, spatial geometry, concepts formation, planning. 1 Introdução O trabalho com a geometria espacial é proposto pelos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997) para ser iniciado já nos primeiros anos do ensino fundamental a partir da manipulação dos sólidos geométricos e da exploração de suas propriedades e regularidades, com vistas à formação de conceitos. No entanto, pesquisas mostram que alunos do ensino fundamental e do médio têm dificuldades para resolver questões relativas à formação de conceitos e ao desenvolvimento de habilidades em geometria espacial, conforme mostram, entre outros, os trabalhos de Nascimento et al.(2004), Vasconcelos (2004) e Viana (2010). Muitos alunos do ensino médio confundem poliedros com polígonos, conforme pode ser

3 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 3 visto em Proença (2008) e em Proença e Pirola (2011), e outros demonstram estar em um nível de compreensão e de desenvolvimento de habilidades bem aquém do requerido pela série (VIANA, 2005, 2010). São várias as formas de avaliar o conhecimento relativo à geometria espacial, tendo sido encontradas pesquisas que solicitam, entre outros itens, a nomeação e a descrição de propriedades e também o desenho da planificação de figuras (BOIAGO&VIANA, 2010; VIANA, MARIM, FRANCO, 2009). Nos testes de avaliação educacional feitos em larga escala por órgãos governamentais, não é raro encontrar, na área de matemática, questões relativas ao conhecimento em geometria espacial. No enunciado destas questões geralmente é apresentada uma figura geométrica espacial e é solicitada a identificação da planificação correta que deve ser escolhida entre várias alternativas. A justificativa para esse tipo de questão pode ser encontrada nas matrizes de referência dessas provas, em que são apontadas as habilidades para identificar figuras geométricas e suas propriedades a partir das respectivas planificações. Pode-se supor, então, que o conhecimento sobre um conceito em um nível de identificação de propriedades deve estar relacionado à habilidade de planificar a figura que representa o conceito. Assim, por exemplo, o aluno demonstraria estar em um nível de identificação de propriedades do cilindro se pudesse identificar a planificação correta, conforme mostra a questão da Figura 1. Exemplo 1 (Simulado da Prova Brasil 4º série) Observe o bumbo que Beto gosta de tocar. Ele tem a forma de um cilindro Qual é o molde do cilindro? (A) (B) (C) (D) Figura 1. Exemplo de questão de geometria Várias pesquisas (SANTOS, 2003; SANTOS, 2007) buscaram explicar a formação conceitual por meio do modelo de níveis hierárquicos de Van Hiele (1986), mas poucos trabalhos avaliaram a geometria espacial (SOLER, 2004; VIEIRA, 2010). A síntese da literatura internacional sobre o tema, feita por Owness e Outhred (2006), indica muitos trabalhos que tomaram por base a referida teoria e poucos enfatizando a

4 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 4 geometria espacial (KOHANOVÁ, 2007). Não foram encontrados trabalhos que avaliassem a habilidade de planificação. A habilidade para planificar figuras espaciais foi estudada por Viana (2005, 2009) como um item do componente espacial da habilidade matemática. A autora encontrou relações entre esta habilidade e o raciocínio espacial. Sabe-se da importância do raciocínio espacial e da capacidade de visualização no ensino da geometria e há estudos que propõem metodologias diferenciadas para a produção de imagens que favoreçam a aprendizagem nessa área de conhecimento (RITTER, 2011). Apesar da importância da habilidade espacial em geometria, considerou-se que a descrição de propriedades de figuras também devesse fazer parte da avaliação conceitual em geometria. Como não foram encontrados trabalhos que relacionassem a habilidade de planificar figuras espaciais com a identificação ou com a descrição de propriedades dessas figuras características do segundo nível de formação conceitual, questionou-se se haveria relação entre essas variáveis. 2 Avaliação de conceitos e de habilidades As avaliações realizadas pelo Programa de Avaliação da Rede Pública do Sistema Mineiro de Avaliação da Educação Pública Proeb/Simave (Minas Gerais, 2009), pelo Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo Saresp (SÃO PAULO, 2009), pela Prova Brasil (BRASIL, 2008) e pelo Exame Nacional do Ensino Médio - ENEM do Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira INEP (BRASIL, s/d) referência. trazem questões com base em suas matrizes de No bloco Espaço e Forma, alguns descritores relativos à geometria espacial dessas matrizes apontam objetivos com pontos em comum, conforme mostra o Quadro1. Podese observar que vários sistemas de avaliação pesquisados indicam a planificação como forma de o aluno identificar figuras espaciais.

5 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 5 Quadro 1. Descritores das matrizes de referência Sistema de Série/ano Descritor avaliação SARESP 6º série H18 - Identificar figuras espaciais a partir de suas planificações. (7º ano) do EF SAEB 8ª série (9ª ano) do EF D2 Identificar propriedades comuns e diferenças entre figuras bidimensionais e tridimensionais, relacionando-as com suas planificações. SAEB 8ª série (9ª ano) do EF D3 Relacionar diferentes poliedros ou corpos redondos com suas planificações ou vistas. SARESP 8ª série (9ª ano) do EF H23 - Identificar propriedades comuns e diferenças entre figuras bidimensionais e tridimensionais, relacionando-as com as suas planificações. PROEB 8ª série (9ª ano) do EF D2 - Identificar propriedades de figuras tridimensionais, relacionando-as com suas planificações. SARESP 3ª série EM H25 - Relacionar diferentes poliedros ou corpos redondos com suas planificações. PROEB 3ª série EM D1 - Reconhecer a planificação de figuras tridimensionais mais usuais (prismas, pirâmides, paralelepípedo, cubo, cilindro e cone) ENEM EM H7 - Identificar características de figuras planas ou espaciais. Em algumas questões destas provas são apresentadas diferentes planificações para a mesma figura espacial, seja esta apresentada na forma de desenho ou descrita verbalmente. A Figura 2 mostra exemplos de questões de geometria espacial para o quinto ano do ensino fundamental e pode-se supor que elas estejam relacionadas com a formação e a manipulação de imagens mentais. Exemplo 2-5º ano - PROEB/ SIMAVE Marcelo desenhou em seu caderno a planificação de um cubo. Qual das figuras abaixo representa o desenho de Marcelo? Exemplo 3 5º ano -Prova Brasil Os alunos da 4a série estão montando um cubo para fazer um dado para a aula de matemática. Eles utilizam o molde abaixo, onde os números 3 e 4 representam duas de suas faces paralelas 3 Sabendo que no dado a soma dos números em duas faces paralelas quaisquer totaliza sempre 7, que algarismos deverão estar escritos nas faces vazias? (A) (C) (B) (D) Figura 2. Exemplos de questões envolvendo a planificação No Exemplo 2, o aluno deve movimentar mentalmente cada planificação apresentada e decidir qual delas é a que permite a formação do cubo. Todas elas são formadas por seis quadrados e mesmo a alternativa correta (c) apresenta uma planificação diferente das que tradicionalmente aparecem nos livros didáticos. No Exemplo 3, o aluno deve utilizar cada uma das superfícies apresentadas, formar a

6 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 6 imagem mental do cubo e girá-lo de modo a conferir se a soma das faces opostas é igual a sete, conforme indica o enunciado da questão. Assim, considera-se que estas duas questões apresentadas parecem ter pouca relação com o conceito de cubo em um nível de análise de propriedades. A nomeação das figuras, na maioria das vezes, não é avaliada nas questões de planificação das provas analisadas. A Figura 3 mostra exemplos de questões de geometria para o nono ano do ensino fundamental e terceira série do ensino médio. O exemplo 4 da Figura 3 mostra um desenho que sugere um prisma e as alternativas apresentadas já indicam retângulos e triângulos como faces da figura. O Exemplo 5, apesar de o enunciado conter a palavra tetraedro, este já traz a indicação de uma pirâmide de quatro faces triangulares, o que facilita a tomada de decisão acerca da alternativa correta. Exemplo 4-9º ano EF - Prova Brasil É comum encontrar em acampamentos barracas com fundo e que têm a forma apresentada na figura abaixo. Exemplo 5 3ª série EM- Saresp Uma determinada caixa de presentes tem a forma de um tetraedro regular, que nada mais é do que uma pirâmide em que todas as faces são triângulos eqüiláteros. Essa caixa, desmontada, corresponde à planificação descrita em: (A) (B). Qual desenho representa a planificação dessa barraca? (A) (B) (C) (D) (C) (D) Figura 3. Exemplos de questões de geometria espacial.. Na maioria das questões analisadas, o aluno pode ser levado a manipular mentalmente cada uma das planificações apresentadas de modo a verificar, em um processo de tentativas, se aquela alternativa poderia montar a figura tridimensional. Supõe-se que essa ação mental seja diferente daquela em que o sujeito, mediante a apresentação do desenho de uma figura espacial, forma a imagem mental, modifica essa imagem abrindo as superfícies e representa graficamente sua planificação. Na presente pesquisa, foi feita a opção por esta última ação, ou seja, considera-se como habilidade de planificação aquela em que o sujeito desenha a planificação a partir da percepção de uma figura espacial na forma de desenho em perspectiva.

7 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 7 Quanto à parte conceitual, as provas oficiais apresentadas utilizam as questões de planificação como uma maneira de verificar se os alunos identificam figuras espaciais, identificam propriedades de figuras e diferenças entre figuras bidimensionais e tridimensionais. Outra forma de avaliar a identificação de propriedades é solicitar que o aluno as descreva, e esta foi a metodologia adotada na presente pesquisa. Identificar propriedades é uma característica referente a um segundo nível de conceituação em geometria, conforme a teoria de Van Hiele (1986). Esta teoria tem sido largamente utilizada por pesquisadores para explicar a formação de conceitos que, segundo o autor, acontece de acordo com níveis hierárquicos de compreensão. Em um Nível 1, do reconhecimento, os sujeitos identificam e nomeiam uma figura geométrica pela sua aparência global, não percebendo características ou atributos. Em um segundo nível, são descritas propriedades das figuras e, no nível seguinte, são estabelecidas relações entre os conceitos. O quarto nível refere-se à capacidade de demonstrar teoremas em uma linguagem formal. E, finalmente, no último nível o sujeito pode comparar outros sistemas geométricos diferentes da geometria euclidiana. Conforme descrito por Pozo (1998), o conhecimento sobre conceitos pode ser avaliado de várias formas; entre elas, pode-se solicitar o reconhecimento da definição, uma exposição temática, a identificação e a categorização de exemplos mediante técnicas de evocação e também a resolução de problemas. Apesar disso, todas as formas de avaliar conceitos apresentam vantagens e perigos potenciais, conforme pondera o autor. Neste trabalho, para avaliar a conceituação dos sujeitos acerca das figuras geométricas espaciais, optou-se por solicitar dos sujeitos o reconhecimento, a nomeação e a descrição de propriedades dos conceitos por meio de um aspecto figural. Assim, ao apresentar o desenho de uma caixa retangular, questionou-se se o estudante consideraria o desenho como representação figural do conceito de paralelepípedo e se conseguiria descrever, por meio de palavras, suas propriedades, relacionando as figuras espaciais com as planas. Conforme definido por Sternberg (2000), o conhecimento declarativo é um corpo organizado de informações sobre objetos, idéias ou eventos e que pode ser expresso em palavras ou em outros símbolos. No campo das figuras geométricas, o conhecimento declarativo pode, nessa perspectiva, ser expresso por meio da nomeação e da descrição de propriedades de figuras tridimensionais.

8 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 8 3 Conceitos e imagens Os conceitos analisados neste trabalho referem-se às figuras geométricas paralelepípedo, pirâmide, prisma e cilindro. De acordo com Fischbein (1993), as figuras geométricas possuem duas naturezas, pois são ao mesmo tempo imagem e conceito, o que as caracterizam como conceito figural. Ao solicitar o nome de uma figura e a descrição de suas propriedades características do Nível 2 de formação conceitual de Van Hiele (1986) avalia-se o que Fischbein (1993) chamou de componente conceitual da figura, já que, segundo o autor, esta pode ser expressa por meio de palavras faladas ou escritas, com maior ou menor grau de formalismo. Assim, ao apresentar o desenho de uma caixa retangular, questionou-se se o estudante consideraria o desenho como uma representação figural do conceito de paralelepípedo e se conseguiria descrever suas propriedades, relacionando a figura espacial com as planas que estão em suas faces, por meio de palavras escritas. Quanto à planificação de figuras espaciais, Viana (2005) identificou a habilidade de planificar figuras como um item do componente espacial da habilidade matemática, na perspectiva de Krutetskii (1976). Para o autor, as habilidades matemáticas são características psicológicas individuais que influenciam o sucesso do indivíduo na disciplina matemática em âmbito escolar e implicam em aspectos como rapidez, facilidade e meticulosidade no domínio dos conhecimentos, destrezas e hábitos, próprios da matemática. O componente espacial dessa habilidade indicaria a facilidade de uma pessoa em lidar com conceitos espaciais, principalmente para seccionar, rotacionar e planificar figuras geométricas. Viana (2008) encontrou relação entre a habilidade de planificação e o raciocínio espacial. Este último, avaliado por meio de testes psicológicos, é definido por Primi e Almeida (2000) como a capacidade de visualização, isto é, de criar representações mentais visuais e de manipulá-las transformando-as em novas representações. A formação de imagens mentais tem sido estudada por Viana (2005, 2009) com base na teoria de Kosslyn (1995), no âmbito da aprendizagem escolar da geometria espacial. Várias atividades e tarefas que são desempenhadas pelos estudantes nesta disciplina demandam ações com figuras geométricas e isto implica na habilidade de formar imagens mentais, manter essas imagens, inspecioná-las, acrescentá-las,

9 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 9 modificá-las e relacioná-las com outras figuras. Uma imagem mental visual é um tipo de ativação do campo visual que pode não ser causada por estímulo sensorial imediato e Kosslyn (1995) defende a hipótese que a imagem mental visual e a percepção visual compartilham mecanismos comuns. Com base em aspectos neurológicos, o autor propõe um modelo para explicar como o organismo processa as informações visuais através de certas áreas do cérebro e de suas conexões. O modelo de Kosslyn estabelece sete subsistemas que são usados para explicar a arquitetura inata que permite ao homem reconhecer o mundo através da visão. Assim, um indivíduo perceberia um objeto, ou seja, um estímulo visual, utilizando os seguintes subsistemas: (1) campo visual; (2) painel de atenção; (3) sistema de codificação de propriedades do objeto (forma, textura, cor); (4) sistema de codificação de propriedades espaciais (localização e tamanho); (5) memória associativa (para reconhecimento ou identificação); (6) sistema mais complexo de procura da informação (depende de conhecimentos, de experiências e de informações contextuais) e (7) sistema de mudança da atenção (e o processo se reinicia). O autor aponta diferenças entre as imagens e os perceptos. A imagem mental desaparece, esvanece rapidamente, o que demanda esforço para mantê-la nítida; ela pode ser criada a partir de informações armazenadas na memória e também pode ser modificada, distendida e movimentada. Apesar dessas diferenças, o autor admite que os mesmos componentes do modelo que explicam a percepção também são usados para explicar os processos de formação e de manipulação de imagens mentais. Viana (2005) considera que a habilidade de planificação consiste nas ações de formar a imagem mental da figura, de inspecioná-la e movimentá-la, mudando o referencial ou o ponto de vista de modo a rebater as faces de um poliedro ou de desenvolver as superfícies de corpos redondos em um único plano e de representar a imagem final pictoricamente. Essa habilidade pode ser explicada por meio do modelo citado, já que o sujeito deve formar a imagem mental da figura (subsistema1), focalizar partes dessa imagem (subsistema 2), codificar e reconhecer propriedades espaciais (subsistemas 3, 4 e 5), tendo por base as informações e conhecimentos adquiridos (subsistema 6). Parece, então, que todos os citados subsistemas devem ser ativados para que o sujeito possa planificar as figuras. Entre eles, destaca-se o subsistema 6, pois este está ligado aos conhecimentos que o individuo possui acerca do objeto. Assim, com base no

10 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 10 modelo, esta pesquisa procura explicar como o conhecimento relativo a figuras espaciais - ao qual se refere o subsistema 6 - deve influenciar na formação e manipulação das imagens mentais envolvidas nas atividades de planificação. Uma das maneiras de avaliar a habilidade de planificar figuras é verificar se o sujeito identifica uma planificação correta entre várias alternativas. Outra forma é analisar o desenho da planificação feito com lápis e papel. Na presente pesquisa, conforme já indicado, optou-se por esta última. 4 Objetivo, sujeitos, materiais e procedimentos Esta pesquisa, de caráter descritivo, teve por objetivo verificar, junto a alunos do ensino fundamental, a existência de relações entre a habilidade de planificação e a conceituação, ou seja, a identificação e a nomeação de propriedades relativas às principais figuras geométricas espaciais: paralelepípedo, pirâmide, prisma e cilindro. Foram sujeitos 147 alunos de sexto e sétimo ano de uma escola da rede municipal de uma cidade de Minas Gerais, o que caracterizou uma amostra de conveniência. Considerou-se que alunos destas séries teriam formado os conceitos elementares da geometria espacial ao longo dos anos iniciais do ensino fundamental e teriam alguma experiência com a planificação de figuras tridimensionais. Os sujeitos responderam ao questionário durante a aula, com autorização do professor. O instrumento era composto por um prova com duas questões, descritas a seguir. 1ª questão: Conceituação Esta questão tinha por objetivo avaliar os conceitos relativos a quatro figuras (cilindro, pirâmide, paralelepípedo e prisma hexagonal) por meio da nomeação e descrição de propriedades. Foram apresentados quatro desenhos em perspectiva das figuras citadas, e foram atribuídos de zero a dois pontos e meio para cada figura, totalizando 10 pontos para essa questão. Foram consideradas como corretas as descrições do tipo: cilindro, duas bases circulares; pirâmide, tem cinco faces, com uma face quadrada e as outras triângulos; paralelepípedo, possui seis faces retangulares, oito vértices e doze arestas etc. Para descrições parciais, por exemplo, as que indicavam o número de faces, ou a forma de algumas faces, atribuiu-se de meio a um ponto e meio. 2ª questão: Planificação Nesta segunda questão eram apresentadas novamente as quatro figuras e eram solicitadas suas planificações. Antes, havia a apresentação e explicação sobre duas planificações distintas de um cubo, como exemplo do que estava sendo solicitado.

11 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 11 Foram atribuídos entre um ponto e meio a dois pontos e meio para as planificações regulares e boas, ou seja, as que apresentavam o número correto de faces e articulação correta entre elas (para os poliedros), mesmo que houvesse erros de medidas. A planificação correta do cilindro era dada pelo retângulo com duas circunferências tangentes e com medidas adequadas. As notas variaram de meio a um ponto para as planificações fracas em que não era observada a proporção entre as medidas das arestas, erros no número de faces ou não se observavam os círculos tangentes ao retângulo que representava a superfície lateral do cilindro. Convém esclarecer que a maioria das planificações foi feita à mão livre, ou seja, sem a utilização de instrumentos de desenho. Assim, não foram considerados os erros de medidas ou a retidão das linhas que dependeriam desses instrumentos. 5 Resultados Os desempenhos dos sujeitos na Conceituação e na Planificação e também na prova como um todo são mostrados na Tabela 1. Tabela 1. Estatísticas do desempenho dos sujeitos Estatísticas Desempenho em Conceituação Desempenho em Planificação Desempenho geral N válido Mínimo 0,0 0,0,00 Máximo 8,3 9,4 15,2 Mediana 0,8 1,3 2,3 Moda 0,0 0,0 0,0 Média 1,3538 2,3986 3,7524 D.padrão 1,4996 2,8768 3,7687 Nota-se que os alunos tiveram baixo desempenho, já que a prova valia 20 pontos. Os sujeitos do sétimo ano tiveram um desempenho médio superior ao do sexto ano, conforme pode ser verificado na Figura 4, mas essa diferença não foi considerada significativa (t 143 = - 0,759, p = 0,449). A análise estatística mostrou também que os sujeitos tiveram melhor desempenho na questão de planificação que na de conceituação (t 144 = - 4,808, p = 0,05).

12 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 12 Figura 4. Desempenho na Planificação e Desempenho na Conceituação por ano. Com o objetivo de verificar relação entre o desempenho na questão de conceitos e na questão da planificação foi calculado o coeficiente de correlação de Pearson, tendo sido encontrada correlação moderada e significativa entre as variáveis (r = 0,426, p = 0,000), o que leva a concluir que houve uma tendência de os sujeitos com melhores desempenhos em planificação tenderem a ter os melhores desempenhos em conceituação; os sujeitos com desempenhos mais fracos em planificação também tenderam a ter desempenhos inferiores em conceituação. Essa relação é ilustrada pela Figura 5. Figura 5. Relação entre Desempenho na Conceituação e Desempenho na Planificação Verificou-se que muitos sujeitos erraram a nomeação das figuras mais comuns e que o prisma não recebeu nenhuma nomeação correta. O paralelepípedo e a pirâmide receberam, respectivamente, os nomes de retângulo e de triângulo, por mais de 80% dos

13 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 13 sujeitos que nomearam essas figuras. Foi possível verificar, na descrição das figuras, a utilização de termos não geométricos, como comprido e redondo, afunilado, e também a de termos relativos à geometria plana, como tem três lados, dois quadrados, retângulo, hexágono, entre outros. Os desenhos das planificações foram classificados em categorias que indicaram a qualidade das representações elaboradas pelos alunos. Foi possível verificar que os sujeitos que elaboraram desenhos considerados como bons e regulares nem sempre conseguiram descrever e nomear as respectivas figuras. O Quadro 2 ilustra esse dado com relação ao cilindro. Da mesma forma, muitos alunos que planificaram corretamente o paralelepípedo sequer conseguiram nomeá-lo (Quadro 3). Situações semelhantes aconteceram com as figuras pirâmide e prisma, conforme ilustram o Quadro 4 e o Quadro 5. Quadro 2. Comparação entre planificação e conceituação do cilindro Categorias de desenho Boas e Regulares N 15 Planificação Conceituação Exemplos Categorias de descrição N Corretas 0 Parcialmente corretas 13 Incorretas/não respondeu 2 Subtotal 15 Fracas 23 Corretas 3 Parcialmente corretas 12 Incorretas /não respondeu 9 Subtotal 23 Incorretas 82 Corretas 0 Parcialmente corretas 26 Incorretas /não respondeu 56 Subtotal 82 Não respondeu 27 Corretas 0 Parcialmente corretas 14 Incorretas/não respondeu 13 Subtotal 27 Total 147 Total 147

14 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 14 Quadro 3. Comparação entre planificação e conceituação do paralelepípedo Planificação Nomeação/descrição Categorias N Exemplos Categorias de descrição N Corretas 1 Parcialmente corretas 13 Boas e 33 Incorretas/não respondeu 19 Regulares Subtotal 33 Fracas Incorretas Corretas 2 Parcialmente corretas 22 Incorretas/não respondeu 9 Subtotal 33 Corretas 2 Parcialmente corretas 6 Incorretas/não respondeu 56 Subtotal 64 Não respondeu 17 Corretas 0 Parcialmente corretas 0 Incorretas/não respondeu 17 Subtotal Total 147 Total 147 Categorias de desenhos Boas e Regulares Quadro 4. Comparação entre planificação e conceituação da pirâmide N 37 Planificação Exemplos Nomeação/descrição Categorias de descrição N Corretas 5 Parcialmente corretas 19 Incorretas /não respondeu 13 Subtotal 37 Fracas 21 Corretas 7 Parcialmente corretas 4 Incorretas / Não respondeu 10 Subtotal 21 Incorretas 59 Não respondeu 30 Corretas 2 Parcialmente corretas 17 Incorretas / Não respondeu 40 Subtotal 59 Corretas 1 Parcialmente corretas 7 Incorretas / Não respondeu 19 Subtotal 30 Total 147 Total 147

15 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 15 Categorias de desenhos Boas e Regulares Quadro 5. Comparação entre planificação e conceituação do prisma Planificação Nomeação/descrição N Exemplos Categorias de descrição N 4 Corretas 0 Parcialmente corretas 1 Incorretas / Não respondeu 3 Subtotal 4 Fracas Incorretas Corretas 0 Parcialmente corretas 9 Incorretas / Não respondeu 29 Subtotal 38 Corretas 0 Parcialmente corretas 5 Incorretas / Não respondeu 68 Subtotal 73 Não respondeu 32 Corretas 0 Parcialmente corretas 2 Incorretas / Não respondeu 30 Subtotal 32 Total 147 Total Discussão dos resultados A análise dos desenhos de planificação feitos pelos sujeitos permitiu estabelecer algumas categorias, com base no trabalho de Viana (2000; 2005), sendo assim possível perceber a dificuldade de muitos alunos em realizar a tarefa. Na categoria chamada de representações fracas, os desenhos parecem indicar que alguns sujeitos teriam formado as imagens com base apenas na percepção; mesmo diante do exemplo dado da planificação do cubo, não conseguiam empreender as ações relativas à inspeção e à manipulação de imagens de modo a rebater as faces de um poliedro ou a desenvolver as superfícies de corpos redondos. O modelo computacional de Kosslyn (1985) explica que as ações citadas são possíveis por meio da ativação de vários subsistemas cerebrais e, entre eles, aquele que fornece as informações e conhecimentos adquiridos acerca do objeto. O conhecimento ao qual se refere Kosslyn (1985) não é, necessariamente, escolar tampouco declarativo. A moderada correlação entre as variáveis, encontrada na análise quantitativa desse estudo, pode evidenciar alguns aspectos dessa afirmação. Mas, também é possível observar, no Quadro 1, o número de sujeitos que planificou o paralelepípedo (representações boas e regulares) e que não respondeu ou errou a descrição da figura. Pode-se atribuir esse resultado ao fato de o paralelepípedo ser a

16 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 16 forma geométrica espacial mais utilizada no cotidiano do aluno. A experiência de manipular objetos com essa forma além daquela decorrente de um trabalho escolar mais especifico pode ter contribuído para a verificação das faces e possibilitado a representação da planificação do paralelepípedo. No entanto, se esta experiência favoreceu a habilidade de planificar, parece que ela não contribuiu da mesma maneira para o sujeito nomear e identificar propriedades do paralelepípedo. Ou, pelo menos, não favoreceu o conhecimento declarativo sobre esse conceito, na forma como este foi avaliado na presente pesquisa. Entre os sujeitos que fizeram representações incorretas do paralelepípedo, a maioria descreveu de forma incorreta as propriedades da figura, o que indica que a formação insuficiente de conceitos parece realmente interferir na manipulação das imagens mentais produzidas a partir da percepção do desenho em perspectiva. Com relação às outras figuras, foram encontradas várias planificações corretas (por exemplo, da pirâmide) sem que os sujeitos tivessem nomeado os conceitos. No caso do prisma, nenhum aluno sequer nomeou-o e poucos descreveram o número de faces. Apesar disso, pode-se notar, até pelos desenhos da categoria representações fracas, a tentativa dos sujeitos de inspecionar a imagem do prisma de modo a identificar suas faces. Dessa forma, a ação de planificar corretamente pode estar demonstrando, em alguns casos, características mais ligadas à habilidade do sujeito em representar e manipular mentalmente a figura que decorrentes do aprendizado escolar relativo a conceitos de geometria. Impressiona, neste trabalho, o número de planificações incorretas, o que pode indicar que a habilidade matemática ligada ao componente espacial conforme estudada por Viana (2005) pode não ter sido desenvolvida pelos sujeitos, no contexto da pesquisa. Mas, impressiona ainda mais o fraco desempenho na questão que solicitava a nomeação e a descrição de propriedades. Alguns alunos tentaram descrever a quantidade de faces, arestas e vértices dos poliedros propriedades avaliadas pelos descritores das matrizes de referência das avaliações dos sistemas de avaliação escolar. Apesar disso, as análises mostraram que a formação conceitual relativa às figuras investigadas, na perspectiva de Van Hiele (1986), encontrava-se ainda, para os sujeitos dessa pesquisa, em um nível inicial, aquém do esperado para estudantes do sexto e do sétimo ano.

17 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 17 7 Considerações finais O trabalho aqui descrito limitou-se a avaliar, por meio da nomeação e descrição das propriedades de figuras elementares, o conhecimento declarativo dos sujeitos sobre conceitos geométricos. Os resultados aqui discutidos conseguem amparar alguns dos pressupostos adotados pelos sistemas de avaliação em larga escala, quando estes incluem questões de planificação em suas provas com base nos descritores de suas matrizes de referência. Ou seja, avaliar a habilidade de planificar pode ser uma forma de verificar se o estudante identifica propriedades das figuras tridimensionais e se relaciona as figuras planas com as espaciais. O fraco desempenho dos sujeitos nas duas questões (conceituação e planificação) permite considerar que a aprendizagem da geometria espacial ainda é um desafio para a educação matemática. Os PCN (BRASIL, 1997) sugerem que devem ser dadas oportunidades que permitam a exploração de propriedades de figuras tridimensionais como forma de favorecer a formação de conceitos. Considera-se que esta descrição seja feita tanto na forma oral como na forma escrita, de modo a facilitar o estabelecimento de relações e o avanço nos níveis de formação conceitual. Além disso, pedir para a criança desenhar a planificação ao contrário de solicitar o reconhecimento de uma planificação pronta pode contribuir para a habilidade de formar, inspecionar e manipular imagens mentais, um dos objetivos da geometria no que diz respeito ao desenvolvimento da habilidade visual. A discussão aqui iniciada deve fomentar novas pesquisas, com mais sujeitos e pertencentes a outras séries do ensino fundamental, de modo a tornar o estudo mais abrangente e explicativo. Agradecimentos Os autores agradecem ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico e à Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais pelo auxilio financeiro. Referências BOIAGO, C. E. P. ; VIANA,O.A. Uma análise da formação conceitual em geometria espacial dos alunos do curso de pedagogia. In: X Encontro Nacional de Educação Matemática. Anais... Salvador. X ENEM, 2010.

18 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 18 BRASIL.MEC/Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais. Matemática. Brasília, BRASIL. Ministério da Educação. PDE: Plano de Desenvolvimento da Educação: Prova Brasil: ensino fundamental: matrizes de referência, tópicos e descritores. Brasília: MEC, SEB; Inep, BRASIL. Ministério da Educação. Matriz de referência para o ENEM Disponível em < > Acesso em: 10 mai FISCHBEIN, E. The theory of figural concepts. Educational Studies in Mathematics. Dordrecht, Holanda: Kluwer Academic Publisher, 1993, p KOHANOVÁ, I. Comparison of observation of new space and its objects by sighted and non-sighted pupils. Proceedings of the Fifth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education. Larnaca, 2007 KOSSLYN, S. M. Image and brain: the resolution of the imagery debate. Cambridge, Mass.: MIT Press, KRUTETSKII, V. A. The Psychology of Mathematical Abilities in Schoolchildren. Chicago, IL: University of Chicago Press, MINAS GERAIS. Secretaria de Estado de Educação. Matrizes de Referência para Avaliação. Sistema Mineiro de Avaliação da Educação Pública. Matemática (Simave). Juiz de Fora: CAEd, Faculdade de Educação, Universidade Federal de Juiz de Fora, NASCIMENTO, H. L.; BRITO, A. A. S. B.; PIROLA, N. A.; CARVALHO, A. B. MARIANI, J.M.; MONGER, W. O abandono do ensino de geometria e suas implicações no ensino fundamental. In: VII EPEM Encontro Paulista de Educação Matemática - Matemática na Escola: Conteúdos e Contextos. Anais OWNESS, K. OUTHRED. The complexity of learning geometry and measurement. In: GUTIÉRREZ, A. BOERO, P. Handbook of research on the Psychology of Mathematics Education. Sense Publishers, POZO, J. I. Aprendizagem e o Ensino de Conceitos In: Coll, C; Pozo, J. I; Sarabia, B & Valls, E. Os Conteúdos na Reforma. Ensino e Aprendizagem de Conceitos, Procedimentos e Atitudes. Tradução de Beatriz Affonso Neves. Porto Alegre: Artes

19 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 19 Médicas, PRIMI, R.; ALMEIDA, L. S. Estudo de validação da Bateria de Provas de Raciocínio (BPR-5). Psicologia: Teoria e Pesquisa. V.16. N.2, 2000, , PROENÇA, M. C. Um estudo exploratório sobre a formação conceitual em geometria de alunos do ensino médio. Dissertação de Mestrado. Universidade Estadual Paulista Julio de Mesquita Filho. Bauru, PROENÇA, M. C.; PIROLA, N. A. O conhecimento de polígonos e poliedros: uma análise do desempenho de alunos do ensino médio em exemplos e não-exemplos. Ciência&Educação. V.17, N.1, 2011, RITTER, A. M. A visualização no ensino de geometria espacial: possibilidades com o software Calques 3D. Dissertação de Mestrado. Universidade Federal do Rio Grande do Sul, SANTOS, A. C. C. Recursos didáticos e representações da geometria espacial da 4ª série do ensino fundamental de uma escola de Campo Grande- MS. Dissertação de Mestrado. Universidade Federal de Mato Grosso do Sul, Campo Grande, SANTOS, M. R. Teoria de Van Hiele: Uma alternativa para o ensino da geometria no 2ºciclo. In: IX Encontro Nacional de Educação Matemática. Anais...Belo Horizonte, MG, SÃO PAULO (Estado) Secretaria da Educação. Matrizes de referência para a avaliação Saresp: documento básico. Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini. São Paulo: SEE, SOLER, G.G. El modelo de Van Hiele aplicado a la geometria de los sólidos describir, clasificar, definir y demonstrar como componentes de la actividad matemática. Educacion Matemática, v.16, n.3, 2004, p STERNBERG, R. J. Psicologia Cognitiva. Tradução de Maria Regina Borges Osório- Porto Alegre: Artes Médicas Sul, VAN HIELE, P.M. Structure and Insight - A Theory of Mathematics Education, Orlando: Academic Press, VASCONCELOS, M. Figuras geométricas não-planas: a aprendizagem de alunos da 4ª série e as concepções de seus professores. Dissertação de mestrado. UCDB,

20 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 20 Campo Grande, MS, VIANA, O. A. O componente espacial da habilidade matemática e as relações com o desempenho escolar e as atitudes em relação à matemática e a geometria de alunos do ensino médio. Tese de doutorado. Universidade Estadual de Campinas, VIANA, O. A. Conceitos e habilidades espaciais requeridos pelas questões de geometria do ENC/ENADE para a Licenciatura em Matemática. Bolema. Boletim de Educação Matemática (UNESP. Rio Claro. Impresso), v. 34, p , VIANA, O. A. A avaliação em geometria espacial feita pelo Simave. Estudos em Avaliação Educacional (Impresso), v. 21, p , VIANA, O. A; MARIM, V. ; FRANCO, K. O.. Uma análise da formação conceitual em geometria espacial de alunos do 9º ano do ensino fundamental. In: V Encontro Mineiro de Educação Matemática. Anais... Lavras. V Encontro Mineiro de Educação Matemática, VIEIRA, C. R. Reinventando a geometria no ensino médio: uma abordagem envolvendo materiais concretos, softwares de geometria Dinâmica e a teoria de Van Hiele. Dissertação de Mestrado. Universidade Federal de Ouro Preto, 2010.

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