CONVOLUÇÃO. O que é a Convolução? o Significado. o Conceito Físico. o Definição Matemática. o Será benéfico ou prejudicial o efeito de. convolução?

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Eduardo Barreto Aldeia
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1 CONVOLUÇÃO O que é a Convolução? o Significado o Conceito Físico o Definição Matemática o Será benéfico ou prejudicial o efeito de convolução? O que é a Desconvolução? Propriedades Matemáticas Visualização Gráfica o Visualização Gráfica da aplicação de propriedade Exemplos Exemplo Gráfico FAC, Alexandre Manuel da Fonseca Trindade 1/5

o efeito de convolução? O que é a Desconvolução?

2 Definição O que é a convolução? Convolução - Acto de enrolar ou de se enrolar. Mas também Convolar Mudar repentinamente de partido ou de ideias. Conceito Física Sempre que existirem transformações lineares e invariantes de um determinado sinal, pode-se falar em convolução, ou seja, um sinal ao passar por um dispositivo qualquer, vai certamente sofrer uma transformação e é a essa transformação que chamamos convolução. Esta característica justifica plenamente o interesse existente no estudo dessa operação matemática, pois ela é essencial para sabermos o sinal que está na origem ou, pelo contrário, transformar o sinal original naquele que desejamos obter no final Definição Matemática Sejam f 1 (x) e f 2 (x) duas funções nulas para x<0. A convolução dessas duas funções f 1 (x) e f 2 (x) será representada pela notação f 1 (x) * f 2 (x) e é definida, no caso unidimensional, pelo integral: + f 1 (x) * f 2 (x) = - f 1 (x-á) f 2 (á) dá Obs.: Recomenda-se a comparação desta expressão com a da definição de correlação. No caso bidimensional, a função é definida pelo seguinte integral: + f 1 (x,y) * f 2 (x,y) = - f 1 (x-á,y-â) f 2 (á,â) dá dâ Convolução: benéfica ou prejudicial? É necessário sabermos do que estamos a tratar para sabermos se estamos a perder ou a ganhar com este efeito. Sempre que queremos FAC, Alexandre Manuel da Fonseca Trindade 2/5

certamente sofrer uma transformação e é a essa transformação que chamamos convolução.

3 observar um sinal na sua forma original, o efeito de convolução é negativo. Nessas situações convém, e se possível, utiliza-se uma função de desconvolução. Por vezes, ao sinal inicial, se utilizarmos uma função de convolução, o efeito passa a ser benéfico. Deixo para o fim exemplos. O que é a desconvolução? Sempre que a convolução tem um efeito negativo, tenta-se desconvoluir, ou seja, tenta-se anular esse efeito, para melhor sabermos qual o sinal original. Esta técnica, é muito importante, pois é quase impossível obter sinais puros sem terem sofrido qualquer efeito de desconvolução. Assim, quanto mais se evoluir nos processos de desconvolução, mais se tem a ganhar na pureza dos sinais. Propriedades - f 1 (t) * f 2 (t) = f 2 (t) * f 1 (t) - f 1 (t) * [f 2 (t) + f 3 (t)] = f 1 (t) * f 3 (t) + f2(t) * f 3 (t) - Transformada de Fourier, F F [f 1 (t) * f 2 (t) ] = F [f 1 (t)] F [f 2 (t)] FAC, Alexandre Manuel da Fonseca Trindade 3/5

Sempre que a convolução tem um efeito negativo, tenta-se desconvoluir, ou seja, tenta-se anular esse efeito, para melhor sabermos qual o sinal original.

4 Visualização Gráfica Usando a Propriedade da transformada de Fourier FAC, Alexandre Manuel da Fonseca Trindade 4/5

5 Exemplos Exemplos de situações onde a convolução não é benéfica : - A voz que se ouve de uma pessoa que está atrás de uma parede. Esse som vem distorcido, pois a parede funciona como um filtro (uma função de convolução) que trata diferentemente as diferentes frequências. - Quando se tiram espectros de energia, eles não mostram picos perfeitamente definidos (riscas) mas sim alargados, devido à convolução com a função resposta do detector. Exemplos de situações onde a convolução é benéfica : - A utilização de filtros para optimizar a qualidade do som (eliminação de ruídos) ou das imagens (fotografia, filmes, microscópios, etc.). - A utilização de lentes para corrigir defeitos da vista, tais como miopia e astigmatismo. Exemplo de uma situação onde a desconvolução é essencial: - Observações astronómicas. Exemplos em que se usam, sucessivamente, uma convolução e uma desconvolução: - O funcionamento do rádio, onde depois de se modelar a frequência(fm) ou a amplitude (AM) função de convolução o rádio usa uma função de desconvolução para o sinal voltar aquilo que era inicialmente (onda sonora). - Um canal de televisão codificado. FAC, Alexandre Manuel da Fonseca Trindade 5/5

- Quando se tiram espectros de energia, eles não mostram picos perfeitamente definidos (riscas) mas sim alargados, devido à convolução com a função resposta do detector.

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