Palavras-chave: Sistema de numeração decimal. Teoria Antropológica do Didático. T4TEL. Praxeologias. Atividades de estudo e pesquisa.

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1 XVIII Encontro Baiano de Educação Matemática A sala de aula de Matemática e suas vertentes UESC, Ilhéus, Bahia de 03 a 06 de julho de 2019 PROPOSTA PARA ANÁLISE DE UM MODELO EPISTEMOLÓGICO-DIDÁTICO DE REFERÊNCIA (MER) PARA SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL POR MEIO DO T4TEL Anderson Souza Neves 1 Universidade Federal da Bahia andersonsneves@gmail.com Luiz Márcio Santos Farias 2 Universidade Federal da Bahia lmsfarias@ufba.br Resumo: A noção de sistema de numeração decimal (SND) é fundamental para a aquisição e o desenvolvimento dos saberes na matemática. Ao verificar como os estudantes compreendem o SND, nos aspectos posicional e decimal e suas relações, percebemos que eles apresentam dificuldades na compreensão da relação entre esses aspectos na educação infantil e que persistem até o ensino superior Nesse sentido, este trabalho tem por objetivo analisar o desenvolvimento de Modelo epistemológicodidático de referência, por meio de Atividades de Estudo e Pesquisa (AER), para formação de professores sobre SND para as séries iniciais do Ensino Fundamental utilizando como recurso materiais concretos que passarão por (re)construções praxeológicas. Durante a pesquisa é possível que identificaremos fenômenos didáticos, como o vazio didático, uma das incompletudes da atividade institucional no que tange a atividade docente, fenômeno que pode indicar uma lacuna no ensino desse saber. Esta pesquisa está alicerçada na base teórica da Teoria das Situações para a elaboração das AER`s aproximando o professor do saber de referência e da forma como este saber deve ser modificado aproximando-o do estudante, a Teoria da Antropologia Didática como suporte para a construção e análise das AER`s, por meio das condições e restrições nas instituições e a T4TEL para a investigação da construção de praxeologias completas nas instituições. Esta proposta de investigação é de natureza qualitativa, numa perspectiva clínica, com observação direta e registros das praxeologias dos participantes. Palavras-chave: Sistema de numeração decimal. Teoria Antropológica do Didático. T4TEL. Praxeologias. Atividades de estudo e pesquisa. 1 Mestrando no Programa de Pós-graduação em Ensino, Filosofia e História das Ciências na UFBA. 2 Professor Adjunto da Universidade Federal da Bahia (UFBA), docente do Programa de Pós-Graduação em Ensino, Filosofia e História das Ciências (Campus Ondina/UFBA) In: Anais do XVIII Encontro Baiano de Educação Matemática. pp.xxx. Ilhéus, Bahia. XVIII EBEM. ISBN:

2 INTRODUÇÃO A necessidade de representar os números levou os homens à criação de diversos sistemas com essa finalidade, chamados sistemas de numeração. O desenvolvimento de um sistema que fosse eficiente demorou centenas de anos até o surgimento do Sistema de Numeração Decimal (SND). A compreensão do sistema de numeração SND desempenha um papel vital na Matemática por mostrar que o conjunto de técnicas de cálculo como efetuar cálculos, prova real do cálculo; multiplicações e divisões por 10, 100, etc. e as relações entre esses cálculos é fundamental para o avanço da aprendizagem em matemática (CHAACHOUA, 2016; CHACHOUAA e BESSOT, 2012). A questão do número tem sido estudada em vários campos disciplinares, como a matemática, filosofia, psicologia, didática, neuropsicologia, dentre outros (RODITI, 2010). Para entender melhor essas questões envolvidas, será necessário primeiro esclarecer alguns elementos epistemológicos sobre a noção de número. Nesse sentido, vamos nos ater aos aspectos históricos-epistemológicos sobre SND que entendemos como resultado de uma articulação entre dois aspectos importantes: decimal e posicional. O primeiro associa cada unidade de número a um nome específico e informa o valor de cada dígito no número de acordo com sua posição, iniciando pela direita, de forma que o primeiro posto é o das unidades, o segundo é o das dezenas e assim por diante. Já o aspecto posicional explica as relações entre as diferentes ordens de um número, ou seja, é uma relação de dez, dez unidades de uma certa ordem são iguais a uma unidade da ordem imediatamente superior. Nesse contexto, os alunos conseguem compreender o SND no aspecto posicional, mas tem dificuldade de compreender o aspecto decimal, como mostram as pesquisas de Tempier (2010, 2013) e Chaachoua (2016). No entanto, a compreensão do SND é condicionada do entendimento do aspecto decimal (TEMPIER, 2010, 2013). Portanto, entender o funcionamento desse sistema tem um papel fundamental na compreensão do desenvolvimento de cálculos, conversões entre as unidades de medidas, decimais, dentre outros. É possível observar que há uma lacuna nesse processo, e podemos verificar isso nos exemplos a seguir, sobre decomposição dos números. É a partir da visualização sobre a decomposição que possibilita o estudante compreender o aspecto posicional. Exemplo1: 10 = 1 dezena = 10 unidades (unidade completa) 100 = 1 centena = 10 dezenas = 100 unidades.

3 (unidade completa) (10 unidades de dez completas) Exemplo 2: 347 = 347 unidades = 3 C 4 D e 7U = 34 D e 7 U Tempier (2013) afirma que esta última interpretação é mais difícil, pois a numeração falada não auxilia, pois não se fala: trinta e quatro dezenas ou trinta quatro e sete. Para verificar essa afirmação de Tempier, estamos investigando como os estudantes carregam essa falta de relação ao longo da sua vida estudantil. Diante disso, podemos afirmar que o conhecimento do professor sobre a epistemologia de SND é essencial para o ensino desse saber. Sendo assim, há dois elementos essenciais que justificam essa pesquisa: o primeiro no aspecto profissional, ao perceber a dificuldade dos estudantes em compreender o SND já no 6º ano do Ensino Fundamental II; o segundo, por existir uma lacuna na literatura sobre o processo transpositivo sobre SND por meio de materiais concretos que passaram por construções de uma praxeologia. Nesse sentido, formulamos o seguinte problema didático 3 : Como podemos lidar com as dificuldades apresentadas pelos professores sobre os aspectos da numeração decimal no 5º ano do ensino fundamental I? Observando esse problema didático, percebemos que os professores têm dificuldades para transmitir um saber institucionalizado ao longo dos seriados diante da falta de compreensão tanto da epistemologia sobre SND quanto dos currículos vigentes, seja os mais antigos, como os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) e as Orientações Curriculares para o estado da Bahia (OCEB), ou o mais atual, a Base Nacional Curricular Comum (BNCC). Nesse sentido, podemos observar que esses problemas no ensino evidenciam os resultados insatisfatórios dos estudantes em avaliações de larga escala como o PISA - Programa Internacional de Avaliação de Estudantes (OCDE, 2016, p. 177) e a Prova Brasil (BRASIL, 2016). Em geral, os resultados dessas avaliações apontam que houve avanços, mas que ainda são insatisfatórios em comparação com o mesmo saber trabalhado em outros países. No caso do PISA, há uma indicação que, normalmente, os estudantes só resolvem problemas com informações evidentes que envolvem operações básicas por meio de técnicas, em geral, do senso comum. (OECD, 2015). 3 Também conhecido como questão de pesquisa.

4 OBJETIVOS Diante disso, propomos como objetivo central dessa pesquisa: analisar o desenvolvimento de um modelo epistemológico-didático de referência (MER) de uma proposta de ensino sobre sistema de numeração decimal para o 5º ano do ensino fundamental I utilizando como ferramenta a elaboração de tarefas por meio de materiais concretos (BOAS e BARBOSA, 2011, 2013) que passarão por reconstruções praxeológicas. Nesse contexto, podemos elencar os objetivos específicos: verificar aspectos epistemológicos e históricos do saber SND; analisar as condições e restrições das tarefas sobre o SND (CHEVALLARD, 2002); elaborar as OMs e ODs sobre SND; analisar os efeitos da experimentação das tarefas elaboradas e experimentadas; elaborar um material que possa auxiliar as práticas docentes. METODOLOGIA Diante desse contexto, esta pesquisa empírica está alicerçada na modalidade do Percurso de Estudo e Pesquisa por ser uma metodologia de pesquisa baseada em duas perspectivas: investigação e ensino, mais especificamente à construção de Atividade de estudo e pesquisa (AER) 4, segundo alguns princípios propostos por Chevallard (2009), Almouloud e Silva (2012). Esta metodologia também utiliza alguns elementos da Engenharia Didática usada para a pesquisa em ensino e realizações de sala de aula em forma de sequências de Praxeologias 5 (ARTIGUE, 1988), utilizada em 4 momentos: Analise a priori, experimentação, análise posteriori e confrontação. A análise a priori definem os antecedentes para a fase de concepção do processo, sob três diferentes dimensões: análise histórico-epistemológica do saber, a fim de auxiliar os pesquisadores a identificar possíveis obstáculos epistemológicos a serem enfrentados. É nesse momento em que deve ser organizado as organizações matemáticas 6 (OM) e organizações didáticas 7 (OD) sobre SND para elencar as situações fundamentais 8 ; 4 AER vem do francês: Activité d Enseignement et d Étudde. 5 As praxeologias é um conjunto que promove a mobilização do saber, formado por dois blocos: as tarefas (T) que necessitam de certas técnicas (τ) para resolvê-las (bloco prático), informada por teoria (Θ) e colocando à prova argumentos ou explicações dessa teoria (θ), (bloco teórico). 6 Podemos compreender como o currículo completo sobre SND, perpassando pelas definições, propriedades, teoremas e aplicações. 7 São as formas como os professores devem organizar o ensino do saber que devem ser divididos em momentos designados pelo professor. 8 É uma situação que determina o conhecimento ensinado a um dado momento e o significado particular que esse conhecimento vai tomar tendo em vista as variáveis didáticas e as restrições e formulação sofridas em seu processo de organização e reorganização. (ALMOULOUD, 2007, p. 34)

5 análise institucional cujo objetivo é identificar as condições e restrições das tarefas sobre o SND, que estão situados em diferentes níveis hierárquicos chamados de níveis de codeterminação didática, na Teoria Antropológica da Didática (TAD) (Chevallard, 2002), ligados a escolhas curriculares em relação a SND e às práticas de ensino associadas aos curriculares relativos ao ensino do saber, a tecnologia (θ) (recursos acessíveis), as práticas de avaliação e a organização escolar. Nesse momento, faremos o estudo dos programas oficiais de ensino por meio dos documentos oficiais (BNCC e OCEB), avaliações (PISA e Prova Brasil) e o Livro Didático, para ver como o ensino do aspecto decimal da numeração 9 é apoiado pela instituição e quais são as margens de manobras deixadas para os professores. Essa análise pode ser compreendida por alguns aspectos do Modelo Epistemológico Dominante MED (BOSCH & GASCÓN, 2010; LUCAS, 2010; FARRAS, BOSCH, GASCÓN, 2013) com o qual está imbricado o saber de referência. Sendo assim, para aprofundarmos o estudo do fenômeno e diminuir essa lacuna desse saber, delimitamos o objeto matemático para abordagem decimal do SND, por acreditar que as dificuldades são aumentadas, como informado por Tempier (2010, 2013), Chaachoua (2016), Mounier (2010) e Lerner e Sadovsky (1996). Para ele, essas dificuldades, relacionadas ao aspecto decimal do número, não se devem a falta de conhecimento dos professores sobre o objeto em si, mas estão relacionadas às suas práticas. No entanto, as práticas dos professores estão sujeitas às condições e restrições da instituição. Essas dificuldades pode evidenciar a incompletude da atividade institucional (FARIAS, CARVALHO, 2016) uma vez que há privilégio por procedimentos técnicos, geralmente, do senso comum, para a resolução de situações didáticas de aprendizagem; análise didática cujo objetivo é analisar o que a pesquisa tem a oferecer em relação ao ensino e a aprendizagem, ou seja, como o ensino por meio do instrumento jogo pode dirimir as dificuldades apresentadas pelos estudantes. Ao desenvolver esse modelo didático, podem surgir, pelo menos, dois novos questionamentos; 1º: Em que condições pode o jogo ser um instrumento a serviço da aprendizagem de matemática, em particular, do ensino de sistema de numeração, na Educação Básica? 2º: Como fazer para que os professores possam explicitar os impactos produzidos devido a esta proposta de ensino de matemática em sua prática didática? 9 Este aspecto deverá ser desenvolvido com os estudantes por meio de situações ensino (por exemplo, composição e decomposição de números em potências de 10) evidenciando ambos os blocos práticos (tipos de exercícios e técnicas) e teóricos (técnica e teoria).

6 Discussões iniciais Uma resposta didática ao problema apontado surge por meio de um Modelo Epistemológico de Referência MER (BOSCH, GASCÓN, 2009; LUCAS, 2010; FARRAS, BOSCH, GASCÓN, 2013), modelo este relativo, a partir do qual retemos elementos que dão alicerce a uma OD e OM para um trabalho de elaboração e utilização de tarefas nessa investigação. É por meio de um Modelo Didático de Referência (MDR), também relativo, a forma como essa resposta surge nesse contexto, porém de acordo com a especificidade do estudo materializando-se por um dispositivo didático que denominamos nessa investigação por Percurso de Estudo e Pesquisa (PEP). Esse PEP consiste em uma OD para criar e resolver problemas matemáticos, a partir de uma OM inicial proposta pelo investigador. Esse dispositivo didático tem como eixo norteador a Teoria das Situações Didáticas (TSD) (BROUSSEAU, 1986), que aborda a construção de situações de aprendizagem e suas relações em um determinado meio, mas as reflexões empreendidas surgem de elementos da Teoria Antropológica do Didático TAD (CHEVALLARD, 1999), que tem como referência o objeto, e suas formas de propor tarefas e justificativas teóricas considerando um currículo vigente e as possibilidades do trabalho do professor, e do T4TEL (CHAACHOUA e BESSOT, 2012), braço teórico da TAD que abre as tarefas gerais em tarefas mais específicas (sub-tarefas) agrupando as variáveis (epistemológicas, institucionais e didáticas) em termos das condições e restrições de uma atividade matemática em torno de um determinado objeto e a razão de ser desse objeto na instituição no qual existe. Nesse sentido, buscamos investigar como os estudantes de matemática do 5º ano integram em suas escolhas para a resolução de tarefas à luz do T4TEL (CHAACHOUA e BESSOT, 2012). Para dar conta da questão de pesquisa, usaremos uma pesquisa do tipo empírica, visto que as pesquisas em Didática das Ciências, não concebe investigações sem intervenções, numa perspectiva qualitativa devido a descrição e interpretações tanto das várias perspectivas dos estudantes participantes quanto das variações das análises relatadas pelo pesquisador. Essas intervenções que ocorrerá em 02 escolas de Salvador que possuem estrutura física, mas possuem índices opostos perante ao IDEB e serão mediadas pela observação e entrevista (LICHTMAN, 2010), durante o processo de experimentação. A observação será natural, pois será realizada nos espaços de vivência dos participantes desses grupos; participante, pois o pesquisador vai interagir com os participantes; grupo formal, visto que os professores participantes possuem vínculo permanente; semiestruturada, pois o professor levará em consideração as propostas realizadas na análise a priori; e através de vídeo, pois dessa forma é

7 possível verificar o processo de construção da epistemologia desses professores. Já as entrevistas de acordo com, serão fundamentais para a compreensão de como os professores concebem o a epistemologia sobre SND. Ela será semiestruturada por meio de gravação, em que o pesquisador o entrevistador pode intervir com perguntas conforme a situação exigir. Nas pesquisas atuais há uma grande preocupação em relação a ética do pesquisador. Nesse sentido, essa pesquisa deve respeitar os princípios éticos a serem utilizados, como das análises relatadas pelo pesquisador e por tornar inseparável o eu pessoal do eu pesquisador (CRESWELL, 2007); a proteção contra plágios pelo uso de aplicativos e a inscrição do trabalho no comitê de ética, usando a Plataforma Brasil. (AMARAL FILHO, 2017). Considerações finais O projeto está em desenvolvimento, mas já é possível perceber que a compreensão sobre sistema de numeração decimal é fundamental tanto nos processos de assimilação e transmissão quanto na identificação de possíveis incompletudes nas instituições, pois estas podem representar as dificuldades por qual passam os estudantes em um ensino que privilegia a apresentação de técnicas impossibilitando as diversas relações entre os aspectos decimal e posicional, que estruturam a epistemologia sobre SND. Diante disso, observamos que esse estudo é relevante por possibilitar uma aproximação dos professores para a compreensão da elaboração de situações de aprendizagem que possibilite aos estudantes fazer as relações tanto no aspecto decimal quanto posicional, por meio de atividades de estudo e pesquisa, que utilizem elementos didáticos (exercícios, técnicas e tecnologias diferentes agrupadas a SND) proporcionando um novo contexto para o ensino. REFERÊNCIAS: ALMOULOUD, S. A. Fundamentos da Didática da Matemática. Curitiba. Ed. UFPR ALMOULOUD, S.; SILVA, M. J. F. da. Engenharia didática: evolução e diversidade. Revista Eletrônica de Educação Matemática. Florianópolis, v. 07. n. 2. p Disponível em: < Acesso em 25 jan AMARAL FILHO, F. dos S. Ética e pesquisa nas Ciências Humanas e Sociais: um caso a ser pensado. Práxis Educativa. Ponta Grossa. v. 12. n. 1. p jan./abr Disponível em: Acesso em: 14 out

8 ARTIGUE, M. Ingénierie Didactique. Recherches en Didactique des Mathématiques. Grenoble: La Pensée Sauvage-Éditions, v p BOSCH, M., GASCÓN, J. (2009). Aportaciones de la Teoría Antropológica de lo Didáctico a la formación del profesorado de matemáticas de secundaria. En M.J. González, M.T. González & J. Murillo (Eds.), Investigación en Educación Matemática XIII p ). Santander: SEIEM. BOSCH, M. GASCÓN, J. Fundamentación antropológica e las organizaciones didácticas: de los talleres de prácticas matemáticas a los recorridos de estudio e investigación, IN: Bronner, Alain et al. Apports de la théorie anthropologique du didactique: Diffuser les mathématiques (et les autres savoirs) comme outils de connaissance et d action. IUFM de l académie de Montpellier 2010, p BRASIL. Base Nacional Comum Curricular (BNCC). Educação é a Base. Brasília, MEC/CONSED/UNDIME, Disponível em: < Acesso em: 02 jun BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática, Ensino de 5ª a 8ª série / Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC / SEF, BROUSSEAU, G. Fondements et Méthodes de la Didactique des Mathématiques. Recherches en Didactiques des Mathématiques, v.7, n.2, pp Grenoble, CHAACHOUA, H., BESSOT, A. (à paraitre) Introduction de la notion de variable dans le modele praxéologique. Actes du 5e congrès pour la Théorie Anthropologique du Didactique. Castro-Urdiales, Espagne CHEVALLARD, Y. El análisis de las prácticas docentes en la teoría antropológica de lo didáctico. Recherches en Didactique des Mathématiques. Vol. 19, nº 2, CHEVALLARD, Y. Organiser l étude 3. Ecologie & Regulation Disponível em: Acesso em: 20 de fevereiro de CHEVALLARD, Y. La notion d ingénierie didactique, un concept à refonder. Questionnement et élémentos de réponses à partir de la TAD. in Margolinas et all.(org.) : En amont et en aval des ingénieries didactiques, XVª École d Été de Didactique des Mathématiques Clermont-Ferrand (Puy-de-Dôme). Recherches em Didactique des Mathématiques. Grenoble : La Pensée Sauvage, v. 1, p , CRESWELL, J. W. Projeto de Pesquisa: Métodos qualitativo, quantitativo e misto. Tradução Luciana de Oliveira da Rocha. 2 ed. Porto Alegre: Artmed, 2007.

9 FARIAS, L. M. S.; CARVALHO, E. F. Uma proposta de investigação acerca das incompletudes nas atividades institucionais. III SEMINÁRIO do NIPEDICMT. Salvador. V. 2, p FARRAS, B. B., BOSCH, M. GASCÓN, J. Las tres dimensiones del problema didáctico de la modelización matemática. Educ. Matem. Pesq., São Paulo, v.15, n.1, pp.1-28, LERNER, D.; SADOVSKY, P. O sistema de numeração: um problema didático. In: Didática da Matemática: reflexões psicopedagógicas. Parra, C. Saiz, I.; et. al. (Org.). Tradução Juan Acuña Llorens. Porto Alegre: Artmed P LICHTMAN, M. Qualitative research in educacion: a user's guide. Thousand Oaks: Sage, LUCAS, C. Organizaciones matemáticas locales relativamente completas (Memoria de investigación, Diploma de Estudios Avanzados). Universidad de Vigo, MOUNIER, E. Une analyse de l enseignement de la numération :Vers de nouvelles pistes. niversité Paris-Diderot - Paris VII, French Consulté à l'adresse. Disponível em :< Acesso em 20 set OECD (2015), PISA 2012 Results: creative problem solving Students skills in tackling real-life problems. (Volume V), PISA, OECD Publishing. OECD (2016), PISA 2015 Results: excellence and equity in education. (Volume I), PISA, OECD Publishing. RODITI, E. Des synthèses pour approfondir les dossiers. In : Documents pour la préparation de l'épreuve de mathématiques du CRPE Concours de Recrutement des Professeurs des Écoles Disponível em : < Acesso em 21 jun Tempier, F. Une étude des programmes et manuels sur la numération décimale au CE2. Grand N, (86), p Tempier, F. La numération décimale à l'école primaire: une ingénierie didactique pour le développement d'une ressource. Paris-Diderot - Paris VII, French Consulté à l'adresse. Disponível em :< Acesso em 20 set