COTEJAMENTO DO MODELO MATEMÁTICO DE QUADRICOPTEROS COM TOPOLOGIA POSITIVA E TOPOLOGIA CRUZADA. ALCEDIR LUIS FINKLER

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1 COTEJAMENTO DO MODELO MATEMÁTICO DE QUADRICOPTEROS COM TOPOLOGIA POSITIVA E TOPOLOGIA CRUZADA. ALCEDIR LUIS FINKLER. Dissertação de Mestrado submetida ao Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul - Unijuí - como parte dos requisitos necessários para a obtenção do Grau de Mestre em Modelagem Matemática Prof. Dr. Manuel Martín Pérez Reimbold Orientador Profa. Dra. Airam Sausen Coorientadora Ijuí, RS, Brasil, março de 2019

2 COTEJAMENTO DO MODELO MATEMÁTICO DE QUADRICOPTEROS COM TOPOLOGIA POSITIVA E TOPOLOGIA CRUZADA. ALCEDIR LUIS FINKLER Dissertação apresentada em março de Dr. Prof. Manuel Martín Pérez Reimbold Orientador Dra. Profa. Airam Sausen Coorientadora Ijuí, RS, Brasil, março de 2019

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4 Agradecimentos À Deus por estar presente a cada dia garantindo a serenidade para condução das atividades a cada novo desafio. Aos meus pais, José Finkler e Maria Sueli Krombauer Finkler por apoiar em todos momentos e incentivar a seguir em frente sem desanimar diante a obstáculos. À minha esposa, Adriane Denise Kalinowski Finkler que a mais de 15 anos acompanha cada nova etapa dessa caminhada sempre motivando e auxiliando em todos momentos de dificuldade. Ao meu filho Matheus Henrique Finkler que apesar da pouca idade sempre demonstrou uma grande maturidade para compreender e apoiar nos momentos de maior carga de trabalho expressando claramente a torcida pelo bom desempenho a cada novo desafio. Ao professor orientador Dr. Manuel Martín Pérez Reimbold que sempre soube conduzir os trabalhos dosando nas quantidades certas, de acordo com cada momento dos estudos, semeando novas ideias e questionamentos produzindo uma busca constante pelo conhecimento sendo mais que um orientador para o trabalho de dissertação, um orientador para a vida. Aos demais professores do mestrado que se empenharam ao máximo na formação de todos alunos. À UNIJUI pela estrutura física.

5 Resumo Dentre os VANTs (Veículos Aéreos Não Tripulados), do tipo RPAs (Naves Remotamente Tripuladas), multirrotores com quatro propulsores, conhecidos como quadricopteros ou quadrirrotores, tem se destacado em diversas aplicações. Dependendo da forma como são posicionados os propulsores no frame em relação aos eixos referenciais, surgem diferentes topologias apresentando diferente desempenho comportamental. Na literatura técnica prevalecem duas topologias, a positiva e a cruzada. Entretanto, cabe questionar seu uso, vantagens e desvantagens. Essa dissertação desenvolve uma investigação e obtém os modelos matemáticos de cada uma das topologias. Descreve o procedimento de construção de um algoritmo que permite simular ambos modelos em Matlab-Simulink implementados em S-Function. Utilizando-se desse algoritmo, é realizado o cotejamento do desempenho entre as topologias. São descritas as diferenças existentes na construção do algoritmo para uma ou para outra topologia e são apresentados os resultados obtidos para desempenho entre ambas. Palavras-chave: VANTs. RAPs. Multirrotores. Quadricopteros.

6 Abstract Among the VANs (Unmanned Aerial Vehicles), of the type RPAs (Remotely Manned Ships), multi-rotors with four propellers, known as quadricopteros or quadrirrotores, have excelled in several applications. Depending on the way the propellers are positioned in the frame in relation to the reference axes, different topologies arise presenting different behavioral performance. In the technical literature two topologies, the pluss and the cross, prevail. However, it is worth to wonder their use, advantages and disadvantages. This dissertation develops a research and obtains the mathematical models of each of the topologies. Describes the procedure of constructing an algorithm that allows simulating both models in Matlab- Simulink implemented in S-Function. Using this algorithm, performance is compared between topologies. The differences in the construction of the algorithm for one or the other topology are described and the results obtained for performance between the two are presented. Palavras-chave: VANTs. RAPs. Multi-rotors. Quadricopters.

7 Lista de Símbolos Símbolo Descrição a Aceleração (m/s 2 ); arcsin arctan cq ct cos Função trigonométrica inversa arco seno; Função trigonométrica inversa arco tangente; Coeficiente de torque (N.m/RPM); Coeficiente de empuxo (kg/rpm); Função trigonométrica cosseno; d + Distância do centro geométrico da aeronave ao centro do propulsor (m); d x Distância do centro geométrico da aeronave ao centro do propulsor (m); d m1i d m1e Dp Força de arrasto produzida pela rotação do propulsor 1 na região próxima ao centro da aeronave (interna); Força de arrasto produzida pela rotação do propulsor 1 na região afastada ao centro da aeronave (externa); Coeficiente de arrasto; F Força (N/m); F X, F Y, F Z Força atuando nos eixos X, Ye Z (N/m); g b Matriz que representa a aceleração gravitacional calculada para cada eixo (m/s 2 ); J COM Momento de inércia em relação a origem (kg.m 2 );

8 J b Matriz de inércia do quadricoptero (kg.m 2 ); J m Momento de inércia em relação ao eixo central do propulsor (kg.m 2 ); J xx Momento de inércia em relação ao eixo x (kg.m 2 ); J yy Momento de inércia em relação ao eixo y (kg.m 2 ); J zz Momento de inércia em relação ao eixo z (kg.m 2 ); m Massa (kg); M b Matriz dos momentos atuando no frame do quadricoptero (N.m); M X, M Y, M Z Momento atuando em torno dos eixos X, Y e Z (N.m); (M1, M2, M3 e M4) Motores 1, 2, 3 e 4; N Rotação do propulsor (RPM); P Aceleração angular em torno do eixo x (rad/s 2 ); Q Aceleração angular em torno do eixo y (rad/s 2 ); r Raio (m); R Aceleração angular em torno do eixo z (rad/s 2 ); sin tan T Função trigonométrica seno; Função trigonométrica tangente; Força de empuxo produzida pelo propulsor (kg); [T] AB Matriz de transformação de coordenadas de B para A;

9 [T] BA Matriz de transformação de coordenadas de A para B; U V Velocidade de translação sobre o eixo X (m/s); Velocidade de translação sobre o eixo Y (m/s); V B Velocidade de translação sobre o eixo y (m/s); W x X y Y z Z Velocidade de translação sobre o eixo Z (m/s); Eixo de coordenadas em relação ao frame do corpo do quadricoptero; Eixo de coordenadas em relação ao frame inercial; Eixo de coordenadas em relação ao frame do corpo do quadricoptero; Eixo de coordenadas em relação ao frame inercial; Eixo de coordenadas em relação ao frame do corpo do quadricoptero; Eixo de coordenadas em relação ao frame inercial; Ω b Matriz intermediária para adequação as equações de Newton; π ω Constante; Matriz da velocidade angular (rad/s); ω pairado Rotação em que os propulsores precisam operar para manter a aeronave em voo pairado; ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 Velocidade dos propulsores 1, 2, 3 e 4 (RPM); ω Matriz da aceleração angular (rad/s 2 ); ω b Vetor de velocidade translacional em relação ao frame da terra (U, V, W) (rad/s); ω i Velocidade dos propulsores (RPM);

10 ρ Densidade do ar (kg/m 3 ); τ φ Momento em torno do eixo x (N.m); τ φgiro Momento em torno do eixo x causado pelo efeito giroscópico (N.m); τ ψ Momento em torno do eixo z (N.m); τ θ Momento em torno do eixo y (N.m); τ θgiro Momento em torno do eixo y causado pelo efeito giroscópico (N.m); φ Ângulo de Rolagem (rad); ψ Ângulo de Guinada (rad); θ Ângulo de Arfagem (rad); ω Variação da velocidade dos propulsores.

11 Lista de Tabelas Tabela 1 - Variáveis utilizadas no modelo matemático Tabela 2 - Resumo dos sistemas de referência Tabela 3 - Parâmetros utilizados na construção do modelo Tabela 4 - Etapas a seguir para realizar a simulação Tabela 5 - Dados para sistema de propulsão TigerMotor MN5212 KV340 com hélice 15x5CF Tabela 6 - Parâmetros utilizados nas simulações

12 Lista de Abreviaturas Abreviatura Termo em Inglês Termo em Português CCW Counter Clock Wise Sentido anti-horário DCM Direct Cosine Matrix Matriz de cossenos diretos DOF Degrees Of Freedom Graus de liberdade ESC Electronic speed control Controle eletrônico de velocidade GPS Global Positioning System Sistema de posicionamento Global LIPO Lithium polymer Polímero de Lítio MEMS Microelectromechanical systems Sistemas microeletromecânicos RAPS Remote Piloted Aerial Systems Naves remotamente tripuladas VANT - Veículo aéreo não tripulado VTOL Vertical Take Off and Landing Decolagem e aterrisagem vertical

13 Lista de Figuras Figura 1.3.1: Transporte de sangue utilizando VANT DJI S Figura 1.3.2: The Flying Machine Arena Figura 1.3.3: Atividades desenvolvidas na The Flying Machine Arena Figura 1.3.4: VANTs aplicados em obras de construção civil: (a) Visibilidade total da obra, (b) Interação de voz com trabalhadores, (c) Supervisor interage utilizando tablet Figura 2.3.1: Tipos de aeronaves quanto ao movimento das asas: (a) Asa fixa, (b) Helicoptero e (c) Multirrotor Figura 2.4.1: Braço de um multirrotor Figura 2.4.2: Trem de pouso Figura 2.4.3: Suporte para fixação da unidade de controle Figura 2.4.4: Motor Figura 2.4.5: Controlador eletrônico de velocidade Figura 2.4.6: Hélices utilizadas em multirrotores: (a) Duas lâminas, (b) Três lâminas, (c) Quatro lâminas Figura 2.4.7: Bateria: (a) Bateria de LIPO, (b) Ligação em série, (c) Ligação mista Figura 2.4.8: Sistemas de controle: (a) Ardupilot, (b) OpenPilot, (c) Paparazzi, (d) Pixhawk Figura 2.4.9: Controle via rádio: (a) transmissor, (b) receptor Figura : Estação de controle em solo: (a) Misson Planer, (b) Openpilot, (c) Paparazzi Figura : Topologias de multirrotores: (a) Quadrirotor com topologia positiva, (b) Quadrirotor com topologia cruzada, (c) Hexarotor com topologia positiva, (d) Hexarotor com topologia cruzada, (e) Hexarotor com topologia Y, (f) Octorotor com topologia positiva, (g) Octorotor com topologia cruzada

14 Figura : Modelos de frame: (a) topologia H, (b) topologia positiva estendida, (c) topologia quadrada Figura : Topologias de quadricopteros: (a) Topologia positiva, (b) Topologia cruzada Figura : Movimento do quadricoptero: arfagem, rolagem e, guinada Figura : Movimento de arfagem para topologias positiva e cruzada Figura : Movimento de rolagem para topologias positiva e cruzada Figura : Movimento de guinada para as topologias positiva e cruzada Figura : Identificação de variáveis Figura : Precessão giroscópia Figura : Força de arrasto da hélice apresentado em quadricopteros Figura 2.5.1: Propulsores montados para cima ou propulsores montados para baixo Figura 2.5.2: Quadricoptero com propulsores coaxiais Figura 2.5.3: Deslocamento de ar em propulsor coaxial Figura 2.5.4: Quadricoptero com motores inclinados Figura 2.5.5: Quadricoptero com propulsores montados em ângulo dihedral Figura 2.5.6: Vórtices reduzidos próximo ao solo Figura 2.5.7: Rendimento do propulsor em função da variação de carga.. Erro! Indicador não definido. Figura 3.4.1: Frame A e sistema de coordenadas A Figura 3.5.1: Frame geocêntrico Figura 3.5.2: Frame do corpo: (a) topologia cruzada; (b) topologia positiva Figura 3.5.3: Coordenadas geográficas em relação ao frame da terra Figura 3.6.1: Coordenadas do corpo em relação as coordenadas geográficas Figura 3.7.1: Equações 15 e 16 implementadas em Simulink Figura 3.7.2: Equação 17 implementada em Simulink Figura 3.7.3: Equação 18 implementada em Simulink Figura 3.7.4: Equações 19 e 20 implementadas em Simulink... 63

15 Figura 3.7.5: Forças e momentos atuando no quadrirrotor na topologia Positiva Figura 3.7.6: Forças e momentos atuando no quadrirrotor na topologia cruzada Figura 3.8.1: Diagrama implementado em Simulink utilizando bloco S-Function Figura 3.8.2: Diagrama implementado em Simulink utilizando bloco 6DOF Figura 3.8.3: Inclusão dos parâmetros no bloco 6DOF Figura 4.2.1: Cotejamento da altitude nas topologias positiva e cruzada Figura 4.3.1: Cotejamento da guinada nas topologias positiva e cruzada Figura 4.4.1: Cotejamento do movimento de arfagem Figura 4.4.2: Erro no comando de guinada durante arfagem e rolagem Figura 4.5.1: Erro no comando de guinada durante arfagem e rolagem... 81

16 Sumário 1 Introdução Objetivos Geral Específicos Aplicações de VANTs Veículos aéreos não tripulados Introdução Breve resenha histórica Classificação Componentes de um multirrotor A Estrutura Sistema de Propulsão Sistema de controle Sistema de comando Topologia de multirrotores Controle de movimentos Arfagem... 37

17 2.4.8 Rolagem Guinada Altitude Variáveis a serem controladas Precessão giroscópica Forças de arrasto das hélices Contribuições encontradas na bibliografia Simulação de quadricopteros Introdução Mecânica Clássica Notações utilizadas na identificação das equações Introdução aos sistemas de coordenadas Frames e sistemas de coordenadas Frame geocêntrico ou inercial Frame do corpo Sistema de coordenadas geográficas Coordenadas do Corpo Transformação de Euler ou matriz de cossenos diretos Equações utilizadas na construção do modelo Obtenção das forças e momentos atuando no quadrirrotor Determinação da velocidade angular Determinação dos ângulos de inclinação da aeronave... 66

18 3.7.4 Determinação da velocidade de translação da aeronave Determinação da posição da aeronave Implementação da simulação Simulação utilizando S-Function Simulação utilizando bloco 6DOF Validação da simulação Cotejamento topologia positiva e cruzada Introdução Movimento de subida Movimento de guinada Movimentos de arfagem e rolagem Efeito giroscópico durante arfagem e rolagem Considerações finais Conclusão Trabalhos futuros Referência Bibliográfica Apêndice A Obtenção dos parâmetros Apêndice B Código implementado em S-Function Apêndice C Bloco do sistema de controle... 94

19 19 Capítulo 1 Introdução 1.1 Considerações iniciais Os Veículos Aéreos Não Tripulados, VANTs, são aeronaves que podem realizar voos com fins de transporte, monitoração, entre outras aplicações, nas quais são controlados remotamente. Entre os VANTs estão os multirrotores, naves com capacidade de realizar pouso e decolagem vertical sem a necessidade de uma pista especialmente construída para esse fim. Os multirrotores são classificados de acordo com critérios como o número de propulsores eletromecânicos: tricopteros (3 propulsores), quadricopteros (4 propulsores), pentacopteros (5 propulsores), hexacopteros (6 propulsores), etc. (QUAN, 2017). Desses, os modelos de multirrotores com quatro propulsores se destacam, conhecidos como quadricopteros ou quadrirrotores. Cabe destacar que conforme a estrutura física e o posicionamento dos propulsores eletromecânicos, sejam referenciados no espaço cartesiano xyz, apresentam diferentes topologias. Na literatura técnica se destacam a topologia positiva e a topologia cruzada (LIEW, 2017), (QUAN, 2017). Diversas propostas têm sido apresentadas para melhorar o desempenho de quadrirrotores como a inclusão de ângulo dihedral, a inclinação dos propulsores, a modificações na posição do centro de massa em relação ao centro geométrico, porém, sem deixar claro se são válidas apenas uma topologia específica ou para todas as topologias. A compreensão de possíveis mudanças no comportamento dos quadricopteros de cada topologia passa pela compreensão detalhada do modelo matemático, como também de todos os parâmetros envolvidos no projeto de cada nave. Falta na literatura técnica uma análise que apresente detalhadamente um comparativo entre ambos modelos matemáticos e apresente com clareza quais as vantagens e as desvantagens de cada topologia (EFRAIM, 2015) (NEMATI, 2014). Nesse estudo é apresentado o modelo matemático que descreve o desempenho comportamental de um quadricoptero com topologia positiva e na topologia cruzada e, são

20 20 avaliadas as vantagens e desvantagens operacionais de ambas as topologias. Para desenvolvimento das simulações é utilizado um modelo matemático implementado no software Matlab-Simulink que permite manipular os valores das matrizes utilizadas no equacionamento. A validação do modelo utilizado é realizada mediante comparação desse a um modelo matemático implementado utilizando blocos fornecidos pela biblioteca do Simulink que realizam esta função, porém que não permitem a manipulação de suas matrizes. A expectativa deste trabalho é auxiliar projetistas na construção de aeronaves e seu controle. O presente capítulo está organizado da seguinte forma. Na sessão 1.2 são apresentados os objetivos do trabalho. Na sessão 1.3 são descritas aplicações de VANTs. Na sessão 2 é apresentada a evolução dos VANTs até o surgimento dos quadricopteros atuais, a classificação desses, os principais componentes envolvidos em sua estrutura e suas funções, diferentes topologias apresentadas na literatura, seu princípio de funcionamento e demais contribuições. Na sessão 3 é descrito o desenvolvimento do modelo matemático utilizado para realização das simulações e o procedimento a ser utilizado para realizar a simulação de voo de um quadricoptero utilizando Matlab-Simulink. Na sessão 4 são apresentados os resultados obtidos pela comparação de ambas topologias. Na sessão 5 é apresentada conclusão do trabalho e na sessão 6 a referência bibliográfica. 1.2 Objetivos Nesta seção são apresentados os objetivos deste trabalho. Para melhor compreensão, encontram-se divididos em Objetivo Geral e Objetivos Específicos, detalhados a seguir Geral O objetivo do estudo é obter o modelo matemático que descreve o desempenho comportamental de um quadricoptero com topologia positiva e topologia cruzada e, avaliar as vantagens e desvantagens operacionais de ambas as topologias mediante comparação dos respectivos modelos matemáticos obtidos e de suas simulações.

21 Específicos Obter o modelo matemático para representar o comportamento do quadricoptero na topologia positiva. Obter o modelo matemático para representar o comportamento do quadricoptero na topologia cruzada. Analisar a resposta de ambos os modelos matemáticos no MATLAB-Simulink a um sinal degrau para os principais movimentos. Cotejar os modelos matemáticos supracitados. Cotejar os resultados obtidos das simulações com ambos modelos. 1.3 Aplicações de VANTs Na atualidade os VANTs (Veículos Aéreos Não Tripulados) são utilizados em tarefas que colocam em risco a vida humana como a visualização de locais de difícil acesso e vigilância (tanto para cidades quanto no seu uso militar). As vantagens dos VANTs sobre os pilotados por humanos é o menor custo de fabricação, sua resistência para missões de longa duração (ausência da fadiga do piloto) e a descartabilidade (apenas perda material). Um estudo apresentado em 2016 realizado pela equipe de patologia do hospital Johns Hopkins introduziu o uso de VANTs para transporte de bolsas sanguíneas entre unidades hospitalares. A Figura ilustra o modelo DJI S900 com o recipiente para transporte de bolsas sanguíneas. Nesse estudo são descritos os cuidados a serem tomados com o transporte. Parâmetros como variação de temperatura, variação na pressão atmosférica, aceleração e desaceleração durante o transporte, vibração do reservatório são importantes para a preservação do sangue durante o trajeto. A aeronave realizou voo de 26 minutos a altitude de 100 metros. Os ensaios realizados com o produto ao final do percurso demonstraram que não houve dano comprovando a viabilidade técnica dessa utilização. Os autores apresentam as vantagens na utilização de multirrotores para o transporte de itens entre hospitais ou unidades hospitalares e a chegada em locais de acidentes evitando problemas com trânsito (AMUKELE, 2017).

22 22 Figura 1.3.1: Transporte de sangue utilizando VANT DJI S900. Fonte: (AMUKELE, 2017) Um projeto que demonstra as capacidades dos VANT s é o The Flying Machine Arena, que consiste em um espaço onde são demonstrados novos conceitos de controle. A Figura ilustra a estrutura da arena. Ela é equipada com câmeras, que por meio de um processamento das imagens obtidas estima a posição das aeronaves. Figura 1.3.2: The Flying Machine Arena Fonte: (SCHÖLLIG, 2012)

23 23 A Arena tem uma grande capacidade de processamento, envolvendo de 4 a 6 computadores, possibilitando que as aeronaves realizem movimentos com um maior grau de dificuldade, como ilustrado na Figura 1.3.3: (a) rebater a bola de volta para quem a arremessou, (b) acrobacias, (c) movimento interativo de aprendizagem, (d) uso do sensor Kinect do console Xbox 360 para o controle da aeronave por meio de gestos, (e) três aeronaves que pegam a bola utilizando uma rede e a arremessam de volta para a pessoa que jogou e em (f) o pêndulo invertido (LUPASHIN, HEHN, et al., 2014). Figura 1.3.3: Atividades desenvolvidas na The Flying Machine Arena Fonte: (LUPASHIN, HEHN, et al., 2014). No segmento da construção civil os VANTs têm facilitado as atividades dos responsáveis pela segurança dos locais de trabalho bem como dos supervisores de obra para acompanhar a realização das tarefas. A Figura 1.3.4a ilustra a possibilidade de deslocamento de um VANT em todo percurso da obra e visualização de diferentes ângulos. Em grandes edifícios o deslocamento dos técnicos de segurança e mestres de obras dispende muito tempo de suas atividades. O uso desse tipo de equipamento para essas aplicações permite que um mesmo técnico de segurança inspecione uma maior área de trabalho no mesmo período de tempo. A implementação de sistemas de comunicação nos VANTs possibilita a interação de voz com os trabalhadores durante a inspeção sem a necessidade dos trabalhadores manusear

24 24 sistemas de rádio ou telefones, Figura 1.3.4b. Inspetores podem acompanhar trabalhos realizados em locais de difícil acesso sem a necessidade de ingressar nesses ambientes, Figura 1.3.4c (IRIZARRY, 2012). Figura 1.3.4: VANTs aplicados em obras de construção civil: (a) Visibilidade total da obra, (b) Interação de voz com trabalhadores, (c) Supervisor interage utilizando tablet. Fonte: (IRIZARRY, 2012) O mercado dos VANTs tende a crescer. O valor da receita com as vendas aumentará de 1,57 bilhões de dólares registrados em 2017 para 5,41 bilhões de dólares projetados para O aumento do seu uso militar e civil são fatores que levam a esse crescimento. As aplicações incluindo detecção térmica lideram o mercado industrial (RESERCHANDMARKETS, 2018).

25 25 Capítulo 2 Veículos aéreos não tripulados 2.1 Introdução Para melhor compreender o funcionamento das aeronaves descritas nesse trabalho bem como seu desenvolvimento ao longo dos últimos anos é importante realizar um apanhado histórico descrevendo como evoluíram estes equipamentos até chegar aos modelos atuais e onde estão sendo utilizados. Na sessão 2.2 é descrito o histórico de como surgiram e evoluíram essas aeronaves até os modelos atuais. Na sessão 2.3 são apresentadas as classificações dos VANTs. Na sessão 2.4 são apresentados os principais componentes que compõe os multirrototes descrevendo seu princípio de funcionamento e sua função na aeronave. Na sessão 2.5 são descritas propostas que vem sendo apresentadas pela comunidade acadêmica para melhorar as condições de voo dessas aeronaves. 2.2 Breve resenha histórica As primeiras referências às ideias de máquinas voadoras datam de 400 A.C. propostas por Arquitas de Tarento procurando desenvolver dispositivos mecânicos que imitam movimento de pássaros (OLIVEIRA, 2016). Anos depois, por volta de 1505, surgem novas propostas associadas a Leonardo da Vinci. Ele demonstrava o desejo de desenvolver equipamentos com a capacidade de decolar ou aterrissar em qualquer tipo de terreno (EMILIAVACA, 2016). Essa funcionalidade é referenciada na literatura como VTOL (Vertical Take Off and Landing). Entretanto, projetos desse tipo de equipamento não tiveram evoluções significativas até meados de Surgem nesse período diversas propostas de equipamentos. Em 1924 o Dr. George de Bothezat encaminhou projeto de patente de uma nave constituída de quatro propulsores isometricamente distribuídos em relação ao ponto central (BOTHEZAT,

26 ), convertendo-se num dos primeiros esboços dos atualmente conhecidos quadricopteros. Uma das grandes limitações para essa época era a quantidade de controles que deveriam ser executados pelo piloto do equipamento. Por este motivo surgiram várias propostas de modelos diferentes de equipamentos com a capacidade de VTOL em vários países do mundo. O primeiro modelo de equipamento com a capacidade de VTOL a voar comercial foi o Focke-Wulf Fw 61 inaugurado em Esse constituía-se de dois conjuntos de propulsores montados em cada asa, sendo um conjunto responsável pelo movimento vertical e o outro responsável pelo movimento horizontal. Esse modelo de equipamento com um rotor principal acabou tomando o mercado pela facilidade de o piloto realizar o controle utilizando-se de sistemas mecânicos de alavancas. Por outro lado, sua construção é bastante complexa envolvendo diversas peças mecânicas que requerem um cuidado enorme quanto a manutenção e tornam esse equipamento pouco confiável (OLIVEIRA, 2016). Bryzek (1996), descreve o impacto na sociedade científica causado pelo surgimento dos MEMS (Sistemas Microeletromecânicos) que permitiram o desenvolvimento de sensores em pequenas dimensões e assim, realizar o controle de equipamentos móveis e autônomos utilizando pequenos circuitos eletrônicos. A investigação por alternativas que permitissem a implementação de equipamentos de voo com a capacidade de VTOL compactos, com baixa necessidade de manutenção e baixo custo associada ao desenvolvimento dos MEMS em meados de 1990 fez com que ressurgissem os projetos de equipamentos utilizando quatro propulsores com princípio de funcionamento semelhante ao apresentado por George de Bothezat em 1924, porém, em menor escala. Esses equipamentos são conhecidos como quadricopteros ou quadrirrotores (OLIVEIRA, 2016). Resumindo, Quan (2017), divide o desenvolvimento dos quadricopteros em cinco estágios, sendo o primeiro estágio até 1990 caracterizado como período de dormência. O segundo estágio definido com período de nascimento é datado entre 1990 e Os principais pontos desse período são o surgimento dos MEMS e a evolução dos microcontroladores que permitiram a implementação de sistemas de controle complexos em pequenos circuitos. O terceiro estágio, entre 2005 a 2010 é definido como período de desenvolvimento quando diversos fabricantes em diversos países começaram a produzir multirrotores. De 2010 a 2013 definido como quarto período é conhecido como período de atividade onde o desenvolvimento dos multirrotores começa a ser associado ao desenvolvimento e redução de custo de smart fones e a viabilização de diversos tipos de aplicações. De 2013 em diante é definido como quinto período denominado período de crescimento. Esse período se destaca pelas pesquisas para

27 27 tornar os multirrotores mais autônomos e melhorar as características como desempenho e controlabilidade. 2.3 Classificação Quan (2017), divide as aeronaves em: asa fixa, helicópteros e multicopteros conforme ilustrado na Figura Aeronaves de asa fixa, Figura a, são o tipo de aeronave onde as partes responsáveis pela sustentação da nave são presas à estrutura. Nesse tipo de aeronave os propulsores causam uma força de empuxo no sentido de deslocar o equipamento a frente enquanto a sustentação é realizada pelas asas fixas. As asas desse tipo de aeronave são construídas em um formato que faz com que o ar que circula na face superior da asa precise percorrer um caminho maior que o ar que se desloca na face inferior da asa. Com isso ocorre uma redução de pressão na face superior suspendendo a aeronave do solo. Uma desvantagem desse tipo de aeronave é o fato de precisar um longo deslocamento horizontal tanto para decolar como para aterrissar. Por outro lado, possui a vantagem de atingir elevadas velocidades podendo chegar a valores superiores a velocidade do som. Figura 2.3.1: Tipos de aeronaves quanto ao movimento das asas: (a) Asa fixa, (b) Helicoptero e (c) Multirrotor. Fonte: (QUAN, 2017) Helicopteros, Figura 2.3.1b, são equipamentos onde a sustentação é realizada pelo movimento rotacional das asas. Esse tipo de equipamento consegue decolar ou aterrissar verticalmente em qualquer tipo de terreno. Alguns tipos de propulsores a jato conseguem realizar aterrisagem e decolagem vertical, porém ainda estes são diferenciados pelo movimento do ar realizado pelos propulsores. Nos helicópteros o deslocamento de ar é realizado sempre com deslocamento laminar. Pode conter um ou dois propulsores responsáveis pela sustentação. Nas naves com um propulsor responsável pela sustentação utilizasse um segundo propulsor

28 28 para compensar o efeito da força de arrasto produzido pelo rotor principal. O terceiro tipo de aeronave o constituem os multicopteros ou multirrotores, Figura c, esses podem ser constituídos de três ou mais rotores responsáveis pela sua sustentação. 2.4 Componentes de um multirrotor Um multirrotor simples é constituído por blocos principais sendo: estrutura, sistema de propulsão, sistema de controle e sistema de comando (QUAN, 2017) A Estrutura É composta por braços, cujo número depende do número de motores, trem de pouso e, suporte para fixação da unidade de controle. O braço ilustrado na Figura 2.4.1, tem a função de conectar os motores a estrutura central do multirrotor. O correto dimensionamento do comprimento dos braços tem fundamental importância para obter um melhor desempenho dos multirrotores. Devem ser observados o formato do braço e o material a ser utilizado para obter uma boa relação entre rigidez e massa da estrutura (QUAN, 2017). Figura 2.4.1: Braço de um multirrotor Fonte: (QUAN, 2017) O trem de pouso, Figura 2.4.2, tem a função de suporte para o quadricoptero quando este estiver em solo. Devem ter comprimento suficiente para impedir que as hélices do

29 29 propulsor toquem acidentalmente a superfície onde este estiver aterrissando. Para aplicações com uso de câmeras, o trem de pouso precisa ser projetado de forma a protegê-las sem obstruir a visibilidade. Figura 2.4.2: Trem de pouso Fonte: (QUAN, 2017) A unidade de controle abrangerá todos sensores dedicados a estimar a posição e orientação do multirrotor. Vibrações causadas pelos propulsores podem interferir nas medidas realizadas por esses sensores. O suporte para fixação da unidade de controle tem uma função de reduzir eventuais vibrações. A Figura ilustra um suporte com sistema de amortecimento de vibrações. Figura 2.4.3: Suporte para fixação da unidade de controle Fonte: (QUAN, 2017)

30 Sistema de Propulsão Quan (2017), descreve como os responsáveis por converter energia elétrica em energia mecânica. Apresenta estes como um conjunto formado pelo motor, o sistema eletrônico de controle de velocidade, as hélices e as baterias. Os motores são geralmente de corrente contínua e sem escovas. Sua identificação é feita por um conjunto de 4 dígitos onde os primeiros dois dígitos indicam o diâmetro do motor e dois últimos dígitos indicam a altura do motor. Outro parâmetro importante nos propulsores é a relação entre a tensão aplicada e a rotação produzida no eixo quando estiver operando sem carga. O eixo é fabricado com rosca para prender as hélices, e, poderá ser produzido para operar girando em sentido horário ou anti-horário. No motor da Figura a especificação 2205 indica um diâmetro de 22 mm e altura de 5 mm. A especificação 2300 kv indica que para uma tensão de 1V a rotação a vazio será de 2300 RPM. A especificação CCW indica que este motor foi fabricado para operar em sentido anti-horário (Counter Clock Wise) (QUAN, 2017). Figura 2.4.4: Motor Fonte: (QUAN, 2017) Os motores são energizados através dos controladores eletrônicos de velocidade, ESC (Electronic Speed Control). Sua função é amplificar o sinal vindo da unidade de controle. Podem fornecer sinais de saída para os motores com onda quadrada ou senoidal. Os modelos com sinal senoidal apresentam como vantagem menor vibração nos motores. Os modelos com onda quadrada têm como vantagem o menor custo. Podem operar em laço aberto ou em laço fechado utilizando técnicas de monitoração da tensão e corrente para estimar a posição do motor. Os principais parâmetros se referem a tensão de operação e a máxima capacidade de corrente. O valor da tensão é referenciado em relação ao número de baterias de LIPO (polímero

31 31 de Lítio) que podem ser utilizadas para energizá-lo. A descrição 2S-6S em um ESC indica que este pode operar sendo energizado por duas ou seis células de baterias de LIPO ligadas em série. Cada célula da bateria de LIPO opera com uma tensão de 3,7 V a 4,2 V. Nesse caso um ESC 2S-6S pode operar com uma tensão entre 7,4 V a 25,2 V. A Figura ilustra um modelo de ESC (QUAN, 2017). Figura 2.4.5: Controlador eletrônico de velocidade Fonte: (RAJPOOT, 2016) As hélices são os componentes responsáveis por produzir as forças de empuxo e torques necessários para sustentação e realização de manobras com os multirrotores. A Figura ilustra 3 modelos de hélices (QUAN, 2017). Figura 2.4.6: Hélices utilizadas em multirrotores: (a) Duas lâminas, (b) Três lâminas, (c) Quatro lâminas Fonte: (QUAN, 2017) O rendimento dos multirrotores está diretamente relacionado com o ângulo de incidência das hélices e a rotação em que estas operam. O ângulo de incidência da hélice é

32 32 alterado no percurso partindo de eixo central a sua extremidade de forma a compensar a variação da velocidade que ocorre com o aumento do raio e proporcionar um movimento de ar uniforme. Podem ser produzidas com diferentes números de lâminas de acordo com a aplicação. Hélices com um maior número de lâminas operam com menor rotação e produzem menos ruído comparado a hélices de duas lâminas. Por outro lado, as hélices com duas lâminas apresentam maior rendimento. São identificadas em função do seu diâmetro e do passo de deslocamento da hélice. A energia necessária para acionamento do motores e funcionamento dos demais circuitos em multirrotores é fornecida por baterias. O modelo de LIPO, Polímero de Lítio, Figura a, vem sendo utilizado devido a sua performance e custo (capacidade de armazenar uma maior quantidade de energia com menor peso se comparada as demais opções na mesma faixa de preços). Podem ser utilizas associadas em série, Figura b, ou em configurações mista Figura c. Na especificação das baterias haverá a indicação quanto ao número de células conectadas em série e o número de células conectadas em paralelo. A especificação 3S2P indica uma bateria com 6 células sendo 2 conjuntos conectados em paralelo com cada conjunto formado por 3 células em série. Um maior número de células conectadas em série resulta em um maior valor de tensão e um maior número de células conectadas em paralelo resulta em uma maior capacidade de corrente. Figura 2.4.7: Bateria: (a) Bateria de LIPO, (b) Ligação em série, (c) Ligação mista Fonte: (QUAN, 2017) Sistema de controle Tem a função de manter a posição do multirrotor ou, fazer com que este siga um determinado percurso definido pelo sistema de comando. Nessa unidade estão os MEMS, os quais são responsáveis pelo sensoriamento da inclinação, da velocidade angular, da altitude, além dos microcontroladores responsáveis pela execução dos programas que deverão realizar a

33 33 leitura dos sensores e enviar os sinais elétricos aos ESC. Alguns fabricantes têm desenvolvido módulos que incluem em uma única placa os microcontroladores, sensores, GPS (Sistema de Posicionamento Global), controladores de carga de bateria, sistemas de comunicação via bluetooth, wifi, fornecendo uma solução completa para pesquisadores que desejam implementar técnicas de controle em equipamentos de voo de forma a facilitar a construção destes equipamentos na prática. Segue ilustrado na Figura quatro modelos de sistemas de controle de voo (QUAN, 2017). Figura 2.4.8: Sistemas de controle: (a) Ardupilot, (b) OpenPilot, (c) Paparazzi, (d) Pixhawk Fonte: (QUAN, 2017) Sistema de comando O movimento a ser executado pelos multirrotores pode seguir um trajeto pré-definido em sua programação ou ser comandado remotamente. Uma forma de realizar o comando remotamente é via rádio controle. A Figura ilustra um modelo de controlador via rádio. Figura 2.4.9: Controle via rádio: (a) transmissor, (b) receptor Fonte: (QUAN, 2017)

34 34 Outra forma de realizar o controle é através das Ground Control Station, estações de controle em solo. Existem diversos softwares dedicados a realizar planos de voo criando um percurso pré-estabelecido ou permitir que o operador visualize as imagens obtidas de uma câmera conectada ao multirrotor e envie os comandos de movimento. A comunicação entre os computadores, tablets, celulares com estes softwares instalados e os multirrotores pode ser feita via Wifi ou Bluetooth. A Figura ilustra a tela de três softwares de estação de controle (QUAN, 2017). Figura : Estação de controle em solo: (a) Misson Planer, (b) Openpilot, (c) Paparazzi Fonte: (QUAN, 2017) Topologia de multirrotores Os multirrotores são classificados de acordo com o número de propulsores e a orientação em que esses são posicionais em relação aos eixos de referência utilizados para seu deslocamento. As configurações de multirrotores suportadas pelos modelos de sistema de controle de voo anteriormente descritas estão ilustradas na Figura Figura : Topologias de multirrotores: (a) Quadrirotor com topologia positiva, (b) Quadrirotor com topologia cruzada, (c) Hexarotor com topologia positiva, (d) Hexarotor com topologia cruzada, (e) Hexarotor com topologia Y, (f) Octorotor com topologia positiva, (g) Octorotor com topologia cruzada. Fonte: (QUAN, 2017)

35 35 Os quadricopteros se destacam entre as demais topologias devido a características como simplicidade, robustez e agilidade (LUPASHIN, HEHN, et al., 2014). Além das configurações apresentadas na Figura a e Figura b, os quadricopteros podem ser construídos utilizando diferentes formas de frame. Na Figura são apresentadas variações de estrutura possíveis de serem implementadas em quadricopteros. Figura : Modelos de frame: (a) topologia H, (b) topologia positiva estendida, (c) topologia quadrada Fonte: (Página Oscarliang 1 ) A Figura ilustra o posicionamento dos propulsores em relação aos eixos de referência para as topologias positiva e cruzada. Figura : Topologias de quadricopteros: (a) Topologia positiva, (b) Topologia cruzada. Fonte: (Prabha, 2016) Nessas topologias todos os braços possuem o mesmo comprimento e estão simetricamente distribuídos em relação ao centro do quadricoptero o que as torna mais atrativa 1 Disponível em: < >. Acessado em: 01 de novembro 2018

36 36 em relação as demais para projetos de controladores pois o equipamento tem a mesma dinâmica de voo em qualquer direção. Não haverá diferenças na estrutura física dos quadricoptero para movimentos a frente ou para os lados. O mesmo não é valido para os quadricopteros na topologia positiva estendida onde os propulsores laterais estão a uma distância menor um do outro se comparados aos propulsores da frente e de trás. A diferença entre as topologias positiva e topologia cruzada consiste na posição em que os propulsores são montados em relação ao sentido de deslocamento dos quadricopteros. Na topologia positiva os propulsores são montados sobre os eixos de referência X e Y. Nesse modelo de quadricoptero, durante o deslocamento em direção positiva de X, um propulsor está posicionado a frente, dois nas laterais e um atrás. Na topologia cruzada, durante o deslocamento em direção positiva de X, dois propulsores estão igualmente posicionados a frente do quadricoptero formando ângulo de 45 graus em relação ao eixo X Controle de movimentos Em quadrirrotores as quatro principais variáveis de controle são a altitude, e os ângulos de arfagem, rolagem e guinada apresentados na Figura Figura : Movimento do quadricoptero: arfagem, rolagem e, guinada. Fonte: (KUMAR, 2014) A velocidade de deslocamento dos quadricopteros será definida em função desses ângulos. O ângulo de arfagem corresponde a uma rotação do quadricoptero em torno do eixo Y

37 37 de referência. A modificação desse ângulo em sentido negativo provoca a aceleração do quadricoptero à frente de forma que este irá percorrer o trajeto paralelo ao eixo X em direção a X+. O ângulo de rolagem corresponde a rotação do quadricoptero em torno do eixo X. Um ângulo negativo provoca movimento do quadricoptero a esquerda em sentido negativo de Y enquanto que um ângulo positivo provoca deslocamento do quadricoptero a direita em sentido positivo de Y. A Figura ilustra esses movimentos para um quadricoptero na configuração positiva. Para um quadricoptero na configuração cruzada é preciso considerar que os eixos de referência estão rotacionados 45 graus Arfagem Para a topologia positiva, conforme apresentado na Figura , o movimento de arfagem ocorre mantendo a rotação de M2 e M4 constante, aumentando M3 e reduzindo a rotação de M1 para obter um ângulo de inclinação negativo, dessa forma provocando um movimento a frente em sentido positivo de X, ou aumentando a rotação de M1 e reduzindo M3 para obter um ângulo de inclinação positivo, obtendo um movimento de recuo no quadricoptero, ou seja, no sentido negativo de X. Figura : Movimento de arfagem para topologias positiva e cruzada Fonte: (DO AUTOR) Na topologia cruzada para obter o movimento de arfagem com ângulo negativo e deslocar o quadricoptero a frente é reduzido proporcionalmente a rotação de M1 e M2 e

38 38 aumentado proporcionalmente a rotação de M3 e M4. Para obter um movimento de arfagem com ângulo positivo e recuar o quadricoptero é aumentado proporcionalmente a rotação de M1 e M2 e reduzidos proporcionalmente a rotação de M3 e M4. Em ambas topologias para esse movimento será realizado um giro em torno do eixo Y de referência Rolagem Na topologia positiva, conforme apresentado na Figura , o movimento de rolagem ocorre de forma semelhante ao movimento de arfagem, considerando a mudança dos propulsores que serão atuados. Para rolagem é necessário manter a rotação de M1 e M3 constante, aumentando M4 e reduzindo a rotação de M2 para obter um ângulo de inclinação negativo, dessa forma provocando um movimento a direita em sentido positivo de Y, ou aumentando a rotação de M2 e reduzindo M4 para obter um ângulo de inclinação positivo, obtendo um movimento a esquerda do quadricoptero, ou seja, no sentido negativo de Y. Na topologia cruzada para obter o movimento de rolagem com ângulo negativo e deslocar o quadricoptero a direita é reduzido proporcionalmente M2 e M3 e aumentado proporcionalmente M1 e M4. Para obter um movimento de rolagem com ângulo positivo e deslocar o quadricoptero a esquerda é aumentado proporcionalmente M2 e M3 e reduzidos proporcionalmente M1 e M4. Em ambas topologias para esse movimento será realizado um giro em torno do eixo X de referência. Figura : Movimento de rolagem para topologias positiva e cruzada Fonte: (DO AUTOR)

39 Guinada No movimento de guinada ocorre de forma semelhante em ambas topologias. Os propulsores serão atuados aos pares elevando a rotação de M1 e M3 e reduzindo M2 e M4 ou elevando a rotação de M2 e M4 e reduzindo a rotação de M1 e M3. A Figura ilustra a atuação dos propulsores em ambas configurações. Figura : Movimento de guinada para as topologias positiva e cruzada Fonte: (DO AUTOR) Altitude O controle da altitude atua elevando ou reduzindo proporcionalmente a velocidade dos quatro propulsores tanto na topologia positiva quanto na topologia cruzada Variáveis a serem controladas Para executar determinado percurso definido ou manter a posição dos quadricopteros em voo pairado, são projetados algoritmos de controle que serão implementados no controlador de voo apresentado anteriormente. Além do controle de altitude e dos ângulos de arfagem, rolagem e guinada descritos, é necessário controlar a velocidade angular, e a velocidade de translação do quadricoptero em cada sentido. São as variáveis que serão utilizadas na construção do modelo matemático. A Tabela 1 ilustra os parâmetros e símbolos que serão

40 40 utilizados para identificar cada uma das variáveis. Na Figura são ilustradas as variáveis descritas na Tabela 1. Tabela 1 - Variáveis utilizadas no modelo matemático Ângulo de rotação Velocidade angular Velocidade no Deslocamento entorno do eixo (x, y e z ) entorno dos eixos (x, y, z) sentido longitudinal do eixo Phi (ϕ) P U X The (θ) Q V Y Psi (Ψ) R W Z Fonte: (DO AUTOR) Figura : Identificação de variáveis Fonte: (Prabha, 2016) Para cada sentido de deslocamento do quadrirrotor será considerado um eixo do sistema de referências. Os parâmetros de velocidade longitudinal, velocidade angular e aceleração angular do quadricoptero serão referenciados a cada eixo do sistema de coordenadas conforme Figura Alguns autores apresentam o modelo considerando o eixo Z apontando para parte superior da aeronave, enquanto outros apresentam o modelo apontando para parte inferior da aeronave.

41 Precessão giroscópica O pião pode ser descrito como um brinquedo, geralmente de madeira, em formato de uma peça cônica com base pontiaguda, envolto por uma corda. Ao ser jogado a corda é puxada, aplicando ao pião uma velocidade angular. Após ser corretamente lançado o pião gira por algum tempo na posição vertical e, ao perder rotação, esse começa a inclinar-se devido a força gravitacional. Esse brinquedo desenvolve uma trajetória que exige um bom conhecimento da cinemática de translação de corpos rígidos para poder descreve-lo. O motivo do pião não cair, ou demorar a cair, é devido a existência momento angular. Quando uma força é aplicada ao corpo, a exemplo da força peso, surgirá um torque deslocado 90 graus em relação ao sentido em que essa força está sendo aplicada. Para compreensão desse fenômeno é necessário um estudo aprofundado sobre precessão giroscópica. A Figura ilustra uma experiencia comumente utilizada em disciplinas de física para apresentar esse fenômeno (MULLER,1992) Figura : Precessão giroscópia Fonte: (DO AUTOR) Muller (1992), apresenta em seu artigo Thomas precession: Where is the torque? uma modelagem matemática descrevendo os motivos do torque resultante estar deslocado 90 graus em relação ao sentido em que ocorre a aplicação da força. Em quadrirrotores esse efeito ocorre no momento em que é dado um comando de arfagem ou rolagem. No momento em que os propulsores são ajustados para realizar um movimento de arfagem, devido a precessão giroscópica surgira um torque no sentido de desenvolver um movimento de rolagem. Da mesma forma ao aplicar um comando de rolagem surge um torque no sentido de desenvolver um movimento de arfagem.

42 Forças de arrasto das hélices A força de arrasto consiste em uma oposição ao movimento das hélices dos propulsores e exerce uma influência importante no funcionamento dos quadricopteros. É um dos parâmetros mais importantes na determinação do coeficiente de torque que relaciona o torque em torno do eixo do propulsor a sua rotação. Devido ao torque de arrasto, surge, em cada braço do quadricoptero um momento, fazendo com que este gire em torno do eixo Z. Na Figura são ilustradas as forças de arrasto (drag) atuando em cada propulsor (QUAN, 2017). Figura : Força de arrasto da hélice apresentado em quadricopteros Fonte: (DO AUTOR) As forças de arrasto das hélices serão responsáveis por produzir o movimento de rotação em torno do eixo Z das aeronaves. Considerando o motor M1 é possível observar que haverá uma força atuando no braço do quadricoptero na região entre o motor e o centro do equipamento (dm1i) e uma força atuando no braço do quadricoptero na região posterior ao motor (dm1e). Ambas forças atuando no braço do quadricoptero produzirão um torque entorno do eixo Z. Como o torque é o produto entre força e distância, apesar das forças externas e internas possuírem mesmo módulo, as externas estão situadas a uma maior distância em relação ao centro do equipamento fazendo com que

43 43 ambas forças não se tornem nulas. Cada configuração de multirrotor precisa prever uma forma de compensar esses efeitos para conseguir manter sua posição em voo pairado. Nos multirrotores com 4 propulsores a compensação é obtida fazendo os motores M1 e M3 girar em um sentido e os propulsores M2 e M4 girar em sentido contrário. A Figura ilustra o sentido de rotação dos propulsores e o sentido das forças de arrasto produzidas em cada propulsor. Dessa forma multirrotores possuem hélices com sentido de montagem opostos permitindo que ambas hélices que giram em sentido horário e anti-horário produzam força de empuxo com mesma direção. 2.5 Contribuições encontradas na bibliografia. Theys (2016), descreve a importância da melhor escolha da configuração de propulsores para obter o melhor desempenho. Em seu artigo são comparadas as topologias com propulsor montado para cima ou propulsores montados para baixo, ilustrados na Figura 2.5.1, bem como a configuração com duplo propulsor. Também, Theys (2016), realiza um comparativo entre propulsores com duas ou três hélices. Figura 2.5.1: Propulsores montados para cima ou propulsores montados para baixo Fonte: (QUAN, 2017) Theys (2016), apresenta os resultados de ensaios onde a configuração com rotor para cima apresenta 3% de eficiência sobre a configuração com rotor para baixo. Por outro lado, a configuração com rotor para baixo teria uma vantagem como a possibilidade de voar na chuva ou em ambientes com elevado índice de poeira sem que estes danificassem os propulsores. No comparativo entre duas ou três hélices, Theys (2016) apresenta que o modelo com duas hélices possui uma eficiência 4% maior que o modelo com 3 hélices, porém o modelo com 3 hélices

44 44 por atuar com uma menor rotação apresenta menor ruído. O melhor rendimento é obtido com duas hélices na configuração voltada para cima. Theys (2016), apresenta um estudo sobre o desempenho de quadricopteros com único propulsor por braço ou com dois propulsores coaxiais por braço ilustrado na Figura Em seu experimento demonstra que o modelo com único propulsor apresenta melhor desempenho para baixos valores de carregamento enquanto que para condição de máxima carga o modelo com dois propulsores coaxiais por braço apresenta melhor desempenho. Figura 2.5.2: Quadricoptero com propulsores coaxiais Fonte: (YOON, 2017) Bondyra (2016), realiza um estudo sobre os propulsores coaxiais analisando a influência da distância entre os propulsores, a relação entre o diâmetro das hélices superior e inferior e a relação entre os ângulos de incidência das hélices superior e inferior. Apresenta que o ângulo de incidência e o diâmetro das hélices são os principais parâmetros onde a eficiência aumenta quando o propulsor inferior possui menor diâmetro e maior ângulo de incidência das hélices. Yoon (2017), apresenta o modelo matemático de um quadricoptero com quatro pares de motores coaxiais. Uma observação importante na análise desse modelo se refere ao sentido de rotação dos eixos. O autor apresenta uma proposta onde os quatro propulsores superiores giram em um sentido e os quatro propulsores inferiores giram em sentido contrário de forma a balancear o efeito da força de arrasto. Para o controle do movimento de guinada em um sentido o sistema deverá aumentar a velocidade dos quatro propulsores superiores e reduzir a rotação dos 4 propulsores inferiores igualmente. Para rotacionar no sentido contrário o sistema reduz a velocidade dos quatro propulsores superiores e aumenta a dos quatro inferiores, assim, o empuxo permanece constante, porém o quadrirrotor irá girar em função da força de arrasto. O

45 45 autor apresenta a utilização desse modelo como uma vantagem em relação ao modelo com um único propulsor para a eventual condição de falha de um dos motores. Nesse caso o quadrirrotor segue com 7 motores ainda conseguindo manter o controle de altitude estável. Leishman (2006), desenvolve uma análise sobre o comportamento do deslocamento de ar nos propulsores coaxiais e investiga formas de modelar esses propulsores para obter o melhor desempenho. A Figura ilustra o comportamento do deslocamento de ar nos propulsores. Figura 2.5.3: Deslocamento de ar em propulsor coaxial Fonte: (LEISHMAN, 2006) Nemati (2014), propõem a inclusão de um sistema de acionamento que permita rotacionar os braços do quadrirrotor obtendo assim a inclusão de um ângulo no vetor de empuxo. A inclusão desse ângulo de inclinação permite ao quadricoptero no momento de voo obter uma melhor dinâmica para o movimento de guinada, por outro lado acarreta em perda de rendimento quando o quadricoptero estiver em voo pairado. Um bom rendimento em voo pairado e um bom desempenho em voo pode ser obtido com um sistema que consiga modificar esse ângulo de rotação dependendo da condição necessária. Na Figura é ilustrada a inclinação do vetor de empuxo em função da rotação dos braços. No artigo é proposta a implementação de um sistema mecânico com engrenagens cônicas que atua simultaneamente os quatro braços com mesmo ângulo. A proposta é realizada apresentando os eixos do

46 46 quadricoptero na topologia positiva, porém não descreve se os mesmos resultados seriam obtidos na topologia cruzada ou se poderia surgir algum comportamento inesperado. Figura 2.5.4: Quadricoptero com motores inclinados Fonte: (NEMATI, 2014) Efraim (2015), propõe a inclusão de um ângulo dihedral conforme ilustrado na Figura Esse ângulo facilita o controle de estabilidade em voo pairado, porém, têm como inconveniente uma redução no rendimento. Em seu artigo é descrita a interação entre o ângulo dihedral com o ângulo de inclinação do corpo do quadricoptero em relação a terra e são apresentadas as mudanças a ser feitas nas matrizes do modelo matemático. O artigo não descreve se essas mudanças teriam o mesmo desempenho nos quadricopteros na configuração positiva e cruzada. Figura 2.5.5: Quadricoptero com propulsores montados em ângulo dihedral Fonte: (EFRAIM, 2015)

47 47 Bouabdallah (2007), descreve o comportamento do quadricoptero em voo próximo ao solo. Para voo próximo ao solo será mais intensa a recirculação de ar entorno dos propulsores criando uma instabilidade no momento de decolagem ou aterrisagem. Esse efeito é chamado efeito do solo. O autor apresenta um modelo matemático para estimar a força de empuxo na zona do efeito de solo. Oliveira (2016) descreve o comportamento de helicópteros e quadricopteros em voo na região afetada pelo efeito do solo e o comportamento dos vórtices reduzidos. Na Figura é ilustrada a condição de voo próximo ao solo com vórtices reduzidos. Figura 2.5.6: Vórtices reduzidos próximo ao solo Fonte: (OLIVEIRA, 2016) No presente capítulo foi realizada uma revisão sobre os principais componentes que compõe os multirrotores com ênfase nas topologias de quadrirrotores. Foram descritos os principais componentes e suas funções. Apresentados estudos já desenvolvidos sobre rendimento de propulsores e diferentes propostas para melhorar as características de desempenho das aeronaves.

48 48 Capítulo 3 Simulação de quadricopteros 3.1 Introdução. Simulações de voo de aeronaves são utilizadas no planejamento de percursos com objetivo de analisar a capacidade de realizar determinadas manobras. Com isso, é possível verificar, por exemplo, se uma dada aeronave terá condições de transportar determinada carga ou aterrissar em determinada pista diante a condições de voo pré-estabelecidas como tempo de subida ou descida, a influência de correntes de ar entre outros fatores. Projetistas de aeronaves utilizam-se de simuladores para validar seus projetos antes de partir para implementação física dispendendo recursos financeiro. Simulações podem ser realizadas pela construção de protótipos em escala reduzida ou computacionalmente utilizando-se de modelos que reproduzam o comportamento da aeronave dadas as condições externas e comandos recebidos. Simulações computacionais podem ser realizadas por meio de softwares específicos. O software Matlab-Simulink tem sido utilizado em universidades devido a características como variedade de bibliotecas e possibilidade de utilização para implementar soluções em diferentes áreas de conhecimento. Para simulação de aeronaves o Matlab-Simulink apresenta o módulo, Aerospace Blockset, com funções dedicadas a modelagem aeroespacial. Dentre as opções podese citar o grupo Equation of Motion (equações de movimento), com blocos que permite determinar a posição e orientação de aeronaves no espaço com até seis graus de liberdade dos movimentos. Para simulações em quadrirrotores e análise do comportamento das aeronaves diante a mudanças construtivas como inclusão de inclinação nos propulsores ou de um ângulo diedral, torna-se interessante o uso de alternativas que permitam a manipulação das matrizes utilizadas na construção das equações de movimento. Uma alternativa para contornar esse problema é a utilização de blocos como S-Function que permitem construir modelos de acordo com a necessidade. Para construir um bloco que represente as equações de movimento é necessário inicialmente definir quais as equações serão utilizadas, quais parâmetros são

49 49 utilizados e como obter esses parâmetros. A validação de um bloco construído utilizando S- Funtion pode ser realizada comparado aos resultados obtidos simulados com os blocos fornecidos pelo Matlab-Simulink para equações de movimento considerando os mesmos parâmetros de entrada para ambas simulações. Na presente sessão é descrita uma forma de implementar um modelo matemático no software Matlab-Simulink utilizando S-Function e como implementar o mesmo modelo utilizando os blocos específicos do Simulink da biblioteca Equation of Motion para simulação de aeronaves. A validação do modelo implementado em S- Function será realizada por comparação entre os dados obtidos com o modelo utilizando os blocos da biblioteca Aerospace Blockset do Simulink. Esse modelo será utilizado posteriormente para realizar o cotejamento entre as topologias positiva e cruzada. Para as análises computacionais os parâmetros como as posições, velocidade e aceleração das aeronaves são apresentados na forma de vetores. A construção de um modelo matemático para representar a dinâmica de voo de uma aeronave que permita a implementação de simulações passa por (ZIPFEL, 2007): 1. Compreensão das notações utilizadas nas equações, dos conceitos de frames de referência, sistemas de coordenadas e transformações de coordenadas utilizados para analisar os movimentos; 2. Compreensão de quais leis da física são utilizadas na formulação das equações matemáticas que regem o movimento dos corpos livres no espaço e equações utilizadas na modelagem de quadrirrotores; 3. Organização do modelo obtido em forma de matrizes e implementação do algoritmo que permita realizar a simulação computacional. Essa sessão está organizada iniciando por: em 3.2 a 3.6 são descritos os conceitos básicos necessários para compreensão das equações matemáticas. Na sessão 3.7 são apresentadas as equações utilizadas na construção de um algoritmo para representar o modelo de um quadricoptero. Na sessão 3.8 é descrita a implementação do modelo no software Matlab- Simulink. Na sessão 3.9 é descrita a validação do modelo.

50 Mecânica Clássica. Mecânica clássica é um termo utilizado para se referir a estudos desenvolvidos por Galileo, Newton, Bernoulli, D Alembert, Euler e Lagrange. A terminologia foi utilizada para diferenciar a exemplo da mecânica quântica. Alguns termos utilizados na mecânica clássica como corpo rígido, forças, espaço euclidiano, precisam ser revisados antes de evoluir na construção do modelo matemático (ZIPFEL, 2007). Corpo rígido: um material é definido como um conjunto de elementos chamados partículas. Se as partículas não se movem uma em relação as outras, esse material será definido como um corpo rígido (ZIPFEL, 2007). Forças: podem representar ações realizadas por algo externo ao corpo atuando nesse, as quais serão chamadas de forças de superfície, ou forças que atuam entre partes internamente dentro do corpo que serão chamadas de força central. De acordo com a primeira lei de Newton se um corpo não estiver sujeito a nenhum esforço este permanece em equilíbrio ou em movimento retilíneo uniforme. As forças produzidas pelos propulsores serão definidas como forças de superfície, enquanto a força gravitacional será definida como uma força central (ZIPFEL, 2007). Espaço Euclidiano, na mecânica clássica o espaço e o tempo são entidades diferentes. O espaço é formado por três dimensões indo do negativo ao positivo enquanto que o tempo é uma unidade que apenas cresce uniformemente. Para os estudos aqui desenvolvidos as teorias de Albert Einstein sobre relatividade são desconsideradas (ZIPFEL, 2007). Os princípios da mecânica clássica que a diferencia dos estudos que a sucederam podem ser citados: Tempo e espaço são homogêneos e isotrópicos não havendo diferenças no comportamento dos corpos em função do lugar onde esses situam no espaço ou do tempo que determinada ação é analisada. A direção em que os efeitos são analisados também não apresenta variação no resultado. Determinado movimento poderá ser analisado considerando a terra como ponto de observação ou o sol como o ponto de observação sem haver alteração no resultado da análise (ZIPFEL, 2007). Todo efeito parte de uma causa única e determinada. Como exemplo, a ação de realizar um comando de subida no controle de um quadricoptero causa uma elevação na rotação dos propulsores e a aeronave ganha altitude (ZIPFEL, 2007).

51 Notações utilizadas na identificação das equações. Existem diferentes formas de apresentar uma determinada notação e referenciar vetores. Um vetor de velocidade pode ser apresentado como: v, v, v ou v. O Draper Laboratory do instituto de tecnologia de Massachusetts, utiliza a representação (1) para indicar a transformação de um vetor velocidade partindo de um sistema de coordenada i para um sistema de coordenadas j. O vetor t corresponde a um tensor que será utilizado para realizar a conversão entre ambos sistemas de coordenadas. A letra subscrita em t indica o sistema de coordenadas de origem enquanto a letra sobrescrita indica o sistema de coordenadas de destino (ZIPFEL, 2007). v i = t j i v j ; j = 1,2,3; i = 1,2,3; (1) Zipfel (2007), utiliza as letras subscritas para representar vetores e as sobrescritas para representar os sistemas de coordenada de referência. Apresenta como exemplo a utilização da representação S CD para indicar os vetores de comprimento que relacionam os pontos C e D I (relaciona dois pontos dentro do mesmo sistema de coordenadas). Utiliza v B para representar o vetor de velocidade situado no ponto B, observado apartir do sistema de referência inercial I (a exemplo a velocidade durante o voo da estrutura de um quadrirrotor vista por um observador no solo). A velocidade angular com que o sistema de coordenadas B que tem como ponto de referência os eixos de um quadrirrotor está se deslocando em relação ao sistema de coordenadas fixa que tem como referência o solo, I, será representada por ω BI ( lê-se velocidade angular de B em relação a I). Um vetor que apresenta a distância entre dos pontos C e D com seus valores apresentados utilizando o sistema de coordenadas com referência em um ponto fixo no solo, E, será representado por [S CD ] E. No presente trabalho será utilizado o sistema de notações adotado por Zipfel. 3.4 Introdução aos sistemas de coordenadas. Para compreender o sistema de coordenadas é necessário introduzir alguns conceitos, começando pela definição de coordenadas. Coordenadas é um conjunto formado por números algébricos ordenados. São organizados como números em uma matriz. Sistema de coordenadas estabelece uma relação entre as coordenadas e o espaço euclidiano tridimensional. Os eixos de

52 52 um sistema de coordenadas são uma imagem dos números algébricos. Um exemplo do uso de coordenadas utilizado para representar a velocidade em um corpo B é apresentado em (2) (ZIPFEL, 2007): v 1 v I B = [ v 2 ] v 3 (2) Zipfel (2007), descreve como um erro comum confundir o sistema de coordenadas com a estrutura física das aeronaves. A estrutura das aeronaves, conhecida com frame, é uma entidade física que consiste de pontos sem movimento relativo entre estes. O sistema de coordenadas é algo abstrato sem existência física. A um único frame podem ser atribuídos mais de um sistema de coordenadas. É preciso ter uma compreensão clara entre o conceito de mudança de frame e transformação entre sistemas de coordenadas. A Figura ilustra um sistema de coordenadas A, com eixos 1 A, 2 A e 3 A. Figura 3.4.1: Frame A e sistema de coordenadas A Fonte: (ZIPFEL, 2007) Este sistema de coordenadas está relacionado a um frame A que contém dois pontos sendo A1 e A2. A distância entre esses pontos corresponde ao vetor S A1 A 2 (ZIPFEL, 2007). Uma matriz pode ser construída para representar este vetor conforme (3): S 1 A [s A1 A 2 ] A A = [ S 2 ] A S 3 (3)

53 53 No estudo do movimento de aeronaves não é necessário especificar a origem do sistema de coordenadas. Um exemplo simples pode ser dado considerando 3 alunos em uma sala de aula. Ao solicitar que os alunos se movam um metro a frente, um metro a direita, recuem um metro e se movam um metro a esquerda, os 3 alunos terão desenvolvido o mesmo movimento na forma de quadrado e retornado ao ponto inicial. Para isso não foi preciso identificar a que distância os alunos estavam em relação a algum ponto de referência da sala (ZIPFEL, 2007). Na construção da equação (3) é dito que os eixos de coordenadas 1, 2 e 3 estão associados com o frame A. É possível imaginar no entorno da região do frame A outros observadores que poderiam ser nomeados como C, D, E... Para cada observador poderia ser definido um sistema de coordenadas diferente que tivesse origem na posição onde esse observador está localizado. A conversão dos vetores de um sistema de coordenadas para outro, chamada de remarcação, pode ser feita por meio de uma matriz de transformação t conforme (4) (ZIPFEL, 2007): S 1 C t 11 t 12 t 13 C [ S 2 ] = [ t 21 t 22 t 23 ] [ C S t 31 t 32 t 33 3 A S 1 A S 2 A S 3 ] (4) Essa matriz de transformação pode ser representada por conforme (5): [s A1 A 2 ] C = [T] CA [s A1 A 2 ] A (5) É preciso observar que é feita a referência indicando que a matriz de transformação apresentará os vetores da matriz C partindo dos valores da matriz A e que o comprimento do vetor s A1 A 2 não será modificando, apenas mudando os valores de suas componentes para adaptar a um novo sistema de coordenadas. 3.5 Frames e sistemas de coordenadas. Frame, é o termo que será utilizado para denominar um conjunto de quatro pontos físicos sobre os quais será considerado um plano euclidiano sendo um ponto a referência e mais três pontos aos quais será considerada a construção de um espaço tridimensional. Zipfel (2007), descreve como mais importantes no estudo da dinâmica de aeronaves o frame inercial e o frame

54 54 do corpo. Para identificar um frame é preciso definir pelo menos 3 pontos distintos e não colineares. O sistema de coordenadas se difere dos frames principalmente por não haver a necessidade de especificar um ponto de origem e ser um sistema abstrato, sem uma relação física direta. A seguir serão descritos os frames e sistemas de coordenadas (ZIPFEL, 2007) Frame geocêntrico ou inercial Esse sistema de referências é utilizado para análise de movimentos de aeronaves próximos da terra ilustrado na Figura Também é conhecido com frame inercial. O centro de referência é considerando o ponto central I. O eixo de coordenadas i1 é definido no ponto onde o plano elíptico cruza a linha do equador durante a primavera, chamado de equinócio vernal. O eixo de coordenadas i3 é definido sob o eixo de rotação da terra e o eixo i2 é usado para completar o sistema de coordenadas tridimensional (ZIPFEL, 2007). Figura 3.5.1: Frame geocêntrico Fonte: (ZIPFEL, 2007) Frame do corpo O posicionamento dos eixos de referência muda de acordo com a aeronave a ser analisada. Em quadricopteros o eixo de coordenadas b1 é posicionado no alinhamento em que ocorrerá o deslocamento a frente da aeronave. O eixo de coordenadas b2 está posicionado no eixo onde ocorre os deslocamentos laterais e o eixo de coordenadas b3 no eixo onde ocorrem

55 55 os movimentos de subida e descida. O centro de referência é considerando o centro de massa. A Figura ilustra o posicionamento dos eixos para quadricopteros nas topologias positiva e topologia cruzada (ZIPFEL, 2007). Figura 3.5.2: Frame do corpo: (a) topologia cruzada; (b) topologia positiva Fonte: (FINKLER, 2019) A tabela 2 apresenta um resumo dos frames de referência utilizados no desenvolvimento de modelos matemáticos de aeronaves. Tabela 2 - Resumo dos sistemas de referência Frame Ponto central Vetores Primeira direção Terceira direção Inercial I Centro da terra i1, i2, i3 i1 Equinócio vernal i3 eixo rotacional da terra Corpo B Centro de massa. b1, b2, b3 b1 frente da aeronave b3 para baixo Fonte: (ZIPFEL, 2007)

56 Sistema de coordenadas geográficas São apresentadas em relação ao frame da terra. Nesse sistema a terra é dividida em um formato de grade e as coordenadas são divididas em longitude e latitude. Para simulações usualmente é utilizado o ponto zero indicando para a intersecção do Meridiano de Greenwich com a linha do equador, permitindo um deslocamento na longitude de π a π e um deslocamento na latitude indo de π/2 a π/2. Para realizar a transformação das coordenas apresentadas em relação ao frame da terra para o sistema de coordenadas geográficas, será preciso realizar três etapas. Em cada etapa mantem um eixo fixo e rotaciona outros 2. A Figura ilustra a relação entre ambos sistemas de coordenadas (ZIPFEL, 2007). Figura 3.5.3: Coordenadas geográficas em relação ao frame da terra Fonte: (ZIPFEL, 2007) Para realizar a conversão serão utilizados vetores de coordenadas intermediarias. A primeira conversão será do sistema de coordenadas E para Y e em seguida de Y para G. A matriz final que representa a transformação de GE é apresentada em (7). A descrição detalhada de como obter as matrizes intermediárias será apresentada para o próximo sistema (ZIPFEL, 2007). sinλ cosl sinλ sinl cosλ [T] G.E = [ sinl cosl 0 ] cosλ cosl cosλ sinl sinλ (7)

57 Coordenadas do Corpo Corresponde ao sistema de coordenadas que será posicionado junto frame da aeronave. A definição do sentido dos eixos de coordenadas dependerá da topologia utilizada conforme ilustrado na Figura Transformação de Euler ou matriz de cossenos diretos Durante o desenvolvimento do modelo matemático com frequência é necessário realizar a transformação de coordenadas de um frame para outro frame. A força que atua no centro de massa de uma aeronave no sentido de produzir um movimento de subida ou descida será composta pela força peso atuando no corpo da aeronave e a força de empuxo produzida pelos propulsores. A força de empuxo está alinhada com o eixo Z do sistema de coordenadas associado ao corpo da aeronave. A força peso está alinhada com o eixo Z associado ao sistema de coordenadas inercial (da terra). Ou seja, para comparar ambas as forças é necessário identificar em que direção aponta o vetor da força de empuxo quando visto por um observador que tenha como referência o sistema de coordenadas inercial. Quando a aeronave está inclinada e precisa ser identificado em que direção está apontando a força gravitacional em seu corpo será necessário realizar uma transformação de coordenadas. Uma transformação importante no estudo do movimento de aeronaves no espaço corresponde ao sistema de coordenadas do corpo em relação ao sistema de coordenadas geográficas onde a transformação é realizada através dos ângulos de Euler. Para realizar essa transformação serão utilizados dois sistemas de coordenadas intermediários, X e Y. A Figura ilustra os ângulos formados entre os eixos de coordenadas de ambos sistemas de referência (ZIPFEL, 2007). A primeira transformação a ser realizada mantém o eixo 3 do sistema de referência G e o eixo 3 do sistema de referência X alinhados calculando os valores das coordenadas 1 X e 2 X em função dos valores de 1 G, 2 G e do ângulo de guinada ψ apresentado em (8). cosψ sinψ 0 [T] XG = [ sinψ cosψ 0] (8)

58 58 Figura 3.6.1: Coordenadas do corpo em relação as coordenadas geográficas Fonte: (ZIPFEL, 2007) A segunda transformação a ser realizada mantém o eixo 2 do sistema de referência X e o eixo 2 do sistema de referência Y alinhados calculando os valores das coordenadas 1 Y e 3 Y em função dos valores de 1 X, 3 X e do ângulo de arfagem θ apresentado em (9). cosθ 0 sinθ [T] YX = [ ] sinθ 0 cosθ (9) A terceira transformação a ser realizada mantem o eixo 1 do sistema de referência Y e o eixo 1 do sistema de referência B alinhados calculando os valores das coordenadas 2 B e 3 B em função dos valores de 2 Y, 3 Y e do ângulo de rolagem Ø apresentado em (10) [T] BY = [ 0 cosφ sinφ] 0 sinφ cosφ (10) Multiplicando-se as três matrizes obtém-se a matriz de transformação de Euler que também pode ser chamada de matriz de cossenos diretos (DCM) (11): cosψ cosθ sinψ cosθ sinθ [T] BG = [ cosψ sinθ sinφ sinψ cosφ sinψ sinθ sinφ + cosψ cosφ cosθ sinφ] cosψ sinθ cosφ + sinψ sinφ sinψ sinθ cosφ cosψ sinø cosθ cosφ (11) O determinante da matriz de cossenos diretos deve ser sempre igual a 1 positivo, de forma que a matriz é uma ortogonal própria. A sua multiplicação por um vetor apenas faz a

59 59 rotação desse sem provocar expansão, contração ou mudança de sentido do vetor resultante. Quando na simulação é fornecida a matriz de cossenos diretos e é necessário calcular os ângulos de Euler partindo da matriz, isso pode ser feito seguindo as equações (12), (13) e (14): ψ = arctan ( t12 t11 ) (12) θ = arcsin ( t13) (13) φ = arctan ( t23 t33 ) (14) A matriz de cossenos diretos relaciona dois sistemas de coordenadas. Assim tomando o exemplo anterior onde obteve-se o vetor correspondente ao sistema de coordenadas em B pela multiplicação da matriz de cossenos diretos pelo vetor G, o contrário também poderia ser obtido. Conhecendo-se o vetor B, poderia obter-se o vetor G multiplicando B pela inversa da matriz de cossenos diretos. 3.7 Equações utilizadas na construção do modelo O modelo matemático da aeronave tem a função de descrever a posição em que a aeronave se encontra no espaço (X, Y, Z), a velocidade de translação com que essa aeronave está se deslocando no espaço (U, V, W), a orientação em que a aeronave está apontando (φ, θ, ψ) e a velocidade com que a aeronave está mudando a sua orientação (P, Q, R) em função das forças e momentos que atuam sobre essa. Logo, a construção do modelo consiste em: I. Identificar todos os parâmetros que serão necessários para desenvolvimento das equações; II. Identificar as forças e momentos que atuam no corpo da aeronave; III. Determinar a velocidade angular em torno de cada eixo (P, Q, R); IV. Determinar o ângulo de inclinação da aeronave, ou seja, sua orientação (φ, θ, ψ); V. Determinar a velocidade de translação da aeronave (U, V, W); VI. Determinar a posição da aeronave (X, Y, Z). Os parâmetros necessários para construção do modelo estão representados na tabela 3

60 60 Tabela 3 - Parâmetros utilizados na construção do modelo Parâmetro Descrição ct Coeficiente de empuxo cq Coeficiente de torque d+ Distância do centro do braço ao centro do propulsor na topologia positiva dx Jxx Jyy Jzz Jm g m Fonte: (DO AUTOR) Distância do centro do braço ao centro do propulsor na topologia cruzada Momento de inércia calculado em relação ao eixo X Momento de inércia calculado em relação ao eixo Y Momento de inércia calculado em relação ao eixo Z Momento de inércia do propulsor Aceleração gravitacional Massa da aeronave O procedimento para obtenção desses parâmetros está descrito no apêndice A. Conhecidos os parâmetros é possível iniciar na implementação do modelo. Cada uma das etapas anteriormente descritas será detalhada a seguir começando pelo procedimento para obtenção das forças e momentos Obtenção das forças e momentos atuando no quadrirrotor No modelo dos quadrirrotores são consideradas duas forças atuando na aeronave, sendo a força produzida pelos propulsores e a força peso. A força produzida pelos propulsores é determinada em função do coeficiente de empuxo do propulsor e do quadrado da velocidade angular desse. A equação utilizada para determinar a força de empuxo está ilustrada em (15) (PRABHA, 2016). F = [ 0 0 ] ct(ω ω ω ω 2 4 ) (15)

61 61 A força peso é obtida a partir da massa da aeronave e da aceleração gravitacional de acordo com a segunda lei de Newton. Deve ser observado que a força peso é dada considerando o referencial inercial enquanto a força de empuxo é dada considerando o referencial do corpo. Para que ambas sejam comparadas e obtenha-se a força resultante é necessário representa-las utilizando o mesmo sistema de coordenadas. Isso é obtido multiplicando o vetor da força peso pela matriz de cossenos diretos (11) conforme (16). F x 0 [ F y ] = [DCM] [ 0 ] [m] F z 9.8 (16) As equações (15) e (16) são implementadas no Simulink conforme ilustrado na Figura Figura 3.7.1: Equações 15 e 16 implementadas em Simulink Fonte: (DO AUTOR) Os momentos atuando no corpo da aeronave (entorno dos eixos x, y e z) são divididos em momentos produzidos pela força de empuxo e momentos produzidos pela força de arrasto das hélices. Os momentos produzidos pela força de empuxo têm comportamento diferente para as topologias positiva e cruzada. A matriz construída para topologia positiva é apresentada em (17). Sua representação em Simulink está ilustrada na Figura (PRABHA, 2016). 2 ω τ 1 φ 0 d + ct 0 d + ct 2 [ τθ ω ] = [ d + ct 0 d + ct 0 ] 2 2 τ φ cq cq cq cq ω 3 [ ω 2 4 ] (17)

62 62 Figura 3.7.2: Equação 17 implementada em Simulink Fonte: (DO AUTOR) Para a topologia cruzada, é preciso considerar que os propulsores estão deslocados 45 graus em relação aos eixos X e Y. Logo, a equação utilizada para topologia cruzada é apresentada em (18) e sua representação em Simulink está ilustrada na Figura : ω 2 τ 1 φ 0,707 d x ct 0,707 d x ct 0,707 d x ct 0,707 d x ct [ τθ ω 2 ] = [ 0,707 d x ct 0,707 d x ct 0,707 d x ct 0,707 d x ct ] 2 τ φ cq cq cq cq ω 2 3 [ ω 2 4 ] (18) Figura 3.7.3: Equação 18 implementada em Simulink Fonte: (DO AUTOR)

63 63 Além dos momentos produzidos pelo torque dos propulsores, há os momentos produzidos pela ação da precessão giroscópica descrita na sessão É preciso observar que esses momentos surgem no eixo situado no mesmo plano, porém, deslocado 90 graus em relação ao eixo em que está sendo realizado o comando. Os momentos produzidos pela precessão giroscópica são determinados pelas equações (19) e (20) e sua implementação é ilustrada na Figura (PRABHA, 2016) (ZIPFEL, 2007). τ φgiro = Q( 2π 60 )J m(ω 1 ω 2 + ω 3 ω 4 ) (19) τ θgiro = P( 2π 60 )J m( ω 1 + ω 2 ω 3 + ω 4 ) (20) Figura 3.7.4: Equações 19 e 20 implementadas em Simulink Fonte: (DO AUTOR) O momento total exercido na aeronave na topologia positiva será dado pelo somatório das equações (17), (19) e (20) conforme ilustrado na equação (21). A representação completa desta equação implementada no Simulink está ilustrada na Figura ω τ 1 φ 0 d + ct 0 d + ct 2 M b = [ τθ ω ] = [ d + ct 0 d + ct 0 ] [ τ φ cq cq cq cq ω 3 [ ω 2 4 ] Q( 2π 60 )J m(ω 1 ω 2 + ω 3 ω 4 ) P( 2π 60 )J m( ω 1 + ω 2 ω 3 + ω 4 ) 0 ] (21) Para a topologia cruzada será feita pelo somatório das equações (18), (19) e (20). A representação completa desta equação implementada no Simulink está ilustrada na Figura

64 64 Figura 3.7.5: Forças e momentos atuando no quadrirrotor na topologia Positiva Fonte: (DO AUTOR) Figura 3.7.6: Forças e momentos atuando no quadrirrotor na topologia cruzada Fonte: (DO AUTOR)

65 65 Identificadas as forças e momentos que atuam sobre a aeronave, o próximo passo é determinar as variáveis do sistema Determinação da velocidade angular Prabha (2016), apresenta a equação utilizada para obter a aceleração angular em torno dos eixos do corpo do quadricoptero como (22): ω = (J b ) 1 [M b Ω b J b ω b ] (22) Onde o termo Ω b corresponde à matriz apresentada em (23): 0 R Q Ω b = [ R 0 P] Q P 0 (23) Realizando a substituição das matrizes Ω b J b ω b da equação (22) conforme apresentado em (24) e a multiplicação dessas matrizes conforme apresentado de (25) a (27) obtêm-se a equação (28) que corresponde a equação cinemática de Euler. As equações cinemáticas de Euler são equações de primeira ordem que descrevem o movimento de rotação de um corpo rígido. São equações derivadas da segunda lei de Newton que relaciona força, massa e aceleração de um corpo (ZIPFEL, 2007). 0 R Q J xx 0 0 P ω = (J b ) 1 [M b [ R 0 P] [ 0 J yy 0 ] [ Q]] Q P J zz R (24) PJ xx 0 R Q ω = (J b ) 1 [M b [ R 0 P] [ QJ yy ]] Q P 0 RJ zz (25) RQJ yy + QRJ zz ω = (J b ) 1 [M b [ RPJ xx PRJ zz ]] QPJ xx + PQJ yy (26)

66 66 (J zz J yy ) Q R ω = (J b ) 1 [M b [(J xx J zz ) R P]] (J zz J xx ) P R (27) J xx 0 0 P (J zz J yy ) Q R M x [ 0 J yy 0 ] [ Q ] + [(J xx J zz ) R P] = [ M y ] 0 0 J zz R (J zz J xx ) P R M z (28) Conhecida a aceleração angular e possível integra-la e obter a velocidade angular em torno de cada eixo. Assim, com a implementação da equação (22) é possível obter as variáveis P, Q, R. Estas variáveis serão necessárias para determinar os ângulos de inclinação da aeronave φ, θ e ψ (ZIPFEL, 2007) Determinação dos ângulos de inclinação da aeronave Uma vez conhecida as velocidades angulares em torno de cada eixo, é possível, utilizando a matriz de transformação, obter a velocidade angular com que a aeronave está se movendo em relação a cada eixo do sistema de coordenadas inercial. A velocidade corresponde a primeira derivada do deslocamento, logo, conhecendo a posição inicial dos ângulos em cada eixo, é possível integrar o valor da velocidade e obter o valor atual dos ângulos de inclinação. A equação (29) ilustra a aplicação da matriz de transformação para obtenção da velocidade angular em relação ao sistema de coordenadas inercial (ZIPFEL, 2007). 1 sinφ tanθ cosφ tanθ φ 0 cosφ sinφ P [ θ ] = [ ] [ sinφ cosφ Q] ψ 0 R cosθ cosθ (29) Assim obtêm-se as variáveis φ, θ e ψ (ângulos de rolagem, arfagem e guinada). Até o momento foram descritas 6 variáveis utilizadas para identificar a orientação da aeronave. Na sequência será necessário identificar os parâmetros correspondentes a informação de posição, iniciando pela velocidade de translação (ZIPFEL, 2007).

67 Determinação da velocidade de translação da aeronave No estudo do movimento de aeronaves é preciso conhecer parâmetros como deslocamento, velocidade e aceleração. A velocidade corresponde a primeira derivada do deslocamento e a aceleração corresponde a primeira derivada da velocidade. Para compreender a equação utilizada para encontrar a velocidade de translação é necessário revisar o procedimento adotado para derivar um vetor em relação a um sistema de coordenadas diferente ao qual esse está apresentado. Um exemplo pode ser dado considerando um dado vetor de velocidade utilizando as coordenadas do frame do corpo e deseja-se obter um vetor de aceleração, porém em relação ao frame inercial. Nesse caso, seria necessário encontrar a primeira derivada deste vetor, porém, em relação a um frame diferente do que ele está representado. Zipfel (2007), apresenta um exemplo considerando o vetor de velocidade [V] B com suas coordenadas transformadas para o referencial A conforme (30). [v] A = [T] AB [v] B (30) Para obter a aceleração é necessário derivar a equação (30). Derivando ambos lados da igualdade e aplicando a regra da cadeia obtém-se (31) e (32): [ dv dt ] A = [T] AB [ dv dt ] B + [ dt dt ] AB [v] B (31) [ dv dt ] A = [T] AB ([ dv dt ] B + [T ] AB [ dt dt ] AB [v] B ) (32) Substituindo a matriz de transformação do último termo pela sua transposta, a equação pode ser escrita como (33): [ dv dt ] A = [T] AB ([ dv dt ] B BA + [T] BA [ dt dt ] [v] B ) (33) Zipfel (2007), descreve os termos da equação que representam a derivada da matriz de transposição através do vetor [Ω AB ] B conforme (34).

68 68 BA ω = [T] BA [ dt dt ] = Ω b (34) Logo, a equação final é apresentada como (35): dv dt A = dv dt + Ω b v B B (35) Aplicando o exemplo de Zipfel ao modelo do quadrirrotor, o sistema de coordenadas A corresponde ao frame inercial (solo) e o sistema de coordenadas B corresponder ao frame do corpo. De acordo com a segunda lei de Newton, conhecendo as forças externas que atuam sobre o corpo é possível determinar a aceleração em relação ao frame inercial conforme (36). Nesse caso a aceleração provocada pelas forças externas será somada a aceleração gravitacional. 1 m F + gb = dv dt + Ω b v B B (36) Isolando na equação (36) a aceleração no corpo da aeronave essa pode ser escrita como (37). dv dt = 1 B m F + gb Ω b v B (37) Prabha (2016), apresenta a equação (37) para calcular a aceleração de translação do centro de massa do corpo escrita como (38). v = ( 1 U m ) F + gb Ω b v B = [ V ] W (38) A equação (38) apresenta a aceleração de translação da aeronave em relação ao frame do corpo. Integrando a aceleração obtêm-se a velocidade. É preciso observar que essa velocidade não indica o deslocamento para frente, para trás, a direita ou a esquerda da aeronave enquanto essa estiver inclinada em um dado ângulo de arfagem, rolagem ou guinada. Essa velocidade está associada ao sentido dos eixos x, y e z do frame da aeronave ilustrados na Figura Para obter, por exemplo, o valor da velocidade à frente da aeronave, será necessário

69 69 multiplicar o vetor de velocidade em relação ao corpo pela matriz de cossenos diretos (11) e converter os parâmetros de velocidade do corpo em relação ao sistema de coordenadas inercial. Assim obtêm-se as variáveis U, V, W. Até o momento foram descritas 6 variáveis utilizadas para identificar a orientação da aeronave e 3 das 6 variáveis utilizadas para representar a posição da aeronave. Na sequência será necessário identificar os parâmetros correspondentes a informação de posição de deslocamento sobre os eixos XYZ em relação ao frame inercial, ou seja, o percurso desenvolvido pela aeronave (ZIPFEL, 2007) Determinação da posição da aeronave Identificadas as taxas de variação das velocidades em relação ao frame do corpo utilizando-se da equação (38), multiplicando-as pela matriz de cossenos diretos (11), obtêm-se as taxas de variação das velocidades da aeronave em relação ao frame inercial. Integrando os valores dessas velocidades, obtêm-se os deslocamentos nos sentidos dos eixos X,Y,Z em relação ao frame inercial, ou seja, a posição do deslocamento da aeronave (39). e U [ V ] W U b (39) = [DCM] [ V ] W Assim obtêm-se as variáveis X, Y, Z completando as 12 variáveis no sistema. 3.8 Implementação da simulação Obtidas as equações necessárias a construção do modelo é possível organiza-las de forma a facilitar a compreensão e ou construção de um algoritmo computacional que permita realizar a simulação de voo de um quadrirrotor. A Tabela 4, divide em etapas a serem seguidas para construção de um algoritmo. Essa tabela está organizada de forma a permitir a posterior compreensão de como será realizada cada uma das operações durante as simulações.

70 70 Tabela 4 - Etapas a seguir para realizar a simulação Etapa Ação Observação 1 Obter os parâmetros necessários ao desenvolvimento das equações. 2 Definir as condições iniciais para as 12 variáveis e para rotação dos 4 propulsores. 3 Identificar a forças e momentos atuando ct, cq, d + ou d x, m, J XX, J YY, J ZZ, J m. P, Q, R, ϕ, θ, ψ, U, V, W, X, Y, Z, W 1, W 2, W 3, W 4. sobre o corpo [ ] e [ ] F z τ φ 4 Determinar a aceleração angular em torno dos eixos x, y, z em relação ao frame do corpo (P, Q, R). 5 Determinar os ângulos de inclinação da aeronave em relação ao frame inercial (ϕ, θ, ψ). 6 Determinar a velocidade de translação da aeronave em relação ao frame do corpo (U,V,W). 7 Determinar a posição de deslocamento Fonte: (DO AUTOR) da aeronave em relação ao frame inercial (X,Y,Z). F x F y τ φ τθ ω = (J b ) 1 [M b Ω b J b ω b ] 1 sinφ tanθ cosφ tanθ φ p 0 cosφ sinφ [ θ ] = [ ] [ q] sinφ cosφ ψ 0 r cosθ cosθ v = ( 1 U m ) F + gb Ω b v B = [ V ] W e U [ V ] W b U = [DCM] [ V ] W Para realizar a simulação utilizando S-Funcion no Matlab-Simulink as etapas 1 a 7 anteriormente descritas são implementadas na função. Na biblioteca do Matlab-Simulink, em Aerospace Block Set, existe o bloco 6DOF que contempla as equações das etapas de 4 a 7. Para realizar a simulação utilizando este bloco as etapas de 1 a 3 precisar ser desenvolvidas externamente. A validação do bloco de função foi realizada comparando os resultados de ambos modelos implementados em Matlab-Simulink. Na sessão está descrita a implementação utilizando S-Function. Na sessão está descrita a simulação utilizando o bloco 6DOF.

71 Simulação utilizando S-Function O código implementado no bloco S-Function é apresentado Apêndice B. Os parâmetros utilizados no modelo, bem como a forma de obtê-los são apresentadas no Apêndice A. Optouse por trabalhar com esse modelo baseado na proposta apresentada por Hartman (2015), devido a facilidade de realizar modificações nas matrizes. Para facilitar a compreensão, o modelo utilizado na simulação está ilustrado na Figura dividido em blocos. A divisão dos blocos está organizada conforme proposta por Quan (2017), apresentada na sessão 2. O bloco correspondente ao comando contém as entradas onde é possível especificar um dado ângulo de inclinação para os movimentos de arfagem, rolagem e guinada, e comando de altitude. O bloco de controle recebe o sinal do comando e compara aos sinais de posição medidos pelos sensores de forma a determinar o erro existente entre os valores comandados e medidos e assim corrigir a velocidade dos propulsores buscando atingir a rotação correta. Para o modelo ilustrado na Figura 3.8.1, está implementada apenas a malha de controle para os movimentos de orientação da aeronave, ou seja, apenas as variáveis P, Q, R, ϕ, θ, ψ são realimentadas ao controle. Esse circuito não considera a implementação de uma malha externa para receber um comando de velocidade ou posição, logo as saídas U, V, W, X, Y e Z estão desconectadas. A Figura ilustra o controlador considerando a topologia positiva. Para topologia cruzada é preciso observar a modificação no circuito misturador de sinais descrito no Apêndice C. No bloco de propulsão são apresentadas as funções de transferência entre os sinais recebidos e a rotação dos propulsores. O bloco identificado como sensores tem a função de estimar a posição e orientação da aeronave e gerar os sinais correspondentes a velocidade e inclinação. O modelo matemático que representa o comportamento das aeronaves entra na simulação substituindo os sensores utilizados para medir os ângulos de inclinação, velocidade, aceleração. O presente trabalho tem como objetivo descrever o funcionamento desse bloco. Informações adicionais sobre os demais blocos como de controle e de propulsão são descritas no apêndice C. Para realizar a simulação utilizando este modelo, os parâmetros descritos na etapa 1 dessa sessão, bem como as condições iniciais descritas na etapa 2 dessa sessão devem ser carregados no workspace do Matlab. Após executada a simulação com algoritmo descrito no Apêndice B, é gerada uma matriz Yout com o valor das 12 de saída (P, Q, R, ϕ, θ, ψ, U, V, W, X, Y e Z) mais as 4 variáveis de entrada (rotação dos propulsores W1, W2, W3 e W4) em função do tempo, permitindo a geração de gráficos de acordo com a necessidade.

72 72 Figura 3.8.1: Diagrama implementado em Simulink utilizando bloco S-Function Fonte: (DO AUTOR)

73 Simulação utilizando bloco 6DOF A construção do modelo utilizando o bloco 6DOF está descrita passo a passo na sessão 3.5. Os demais blocos são idênticos aos utilizados no modelo considerando a utilização da S- Function. O diagrama completo está ilustrado na Figura Para essa simulação, os parâmetros descritos na etapa 1 são inseridos em cada bloco de ganho conforme descrito na sessão 3.7. Figura 3.8.2: Diagrama implementado em Simulink utilizando bloco 6DOF Fonte: (DO AUTOR)

74 74 O diagrama da Figura ilustra a implementação considerando a topologia positiva. Para simulação considerando a topologia cruzada é preciso observar a modificação no circuito misturador dos blocos de controle descrito no Apêndice C e as modificações nos blocos responsáveis por determinar o momento descritos na sessão Para rodar a simulação utilizando esse bloco é preciso inserir em seus parâmetros os valores correspondentes a matriz de inércia, a massa e, se desejado, atribuir condições iniciais as variáveis conforme ilustrado na Figura Figura 3.8.3: Inclusão dos parâmetros no bloco 6DOF Fonte: (DO AUTOR) 3.9 Validação da simulação Ambos modelos apresentados na Figura e Figura foram implementados utilizando os parâmetros apresentados no Apêndice A. Em ambos modelos foram aplicados sinais degrau com ângulos nas magnitudes de 5, 10, 20 e 30 graus para os movimentos de arfagem, rolagem e guinada. Para todas simulações obteve-se resultados idênticos comprovando que o modelo implementado em S-Function representa a dinâmica de voo das aeronaves conforme o bloco 6DOF fornecido na biblioteca do Matlab-Simulink.