Sugestões de resolução de. algumas atividades do Manual

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1 Sugestões de resolução de algumas atividades do Manual Capítulo 2 Teoria da partilha equilibrada Atividade 1 (pág. 34) Um processo de resolução poderá ser: 1.1 A melhor solução para a divisão do bolo entre dois amigos, sem discussões, é a seguinte: um divide, o outro escolhe! Se assim for, nenhum se pode queixar: o que divide o bolo vai fazê-lo da melhor maneira possível, pois sabe quenão será ele o primeiro a escolher; o outro também não, pois é ele quem escolhe. 1.2 No caso dos três amigos, a solução é semelhante, mas mais elaborada. Consideremos três amigos A, B e C: A divide o bolo em três partes que ele considera iguais (I, II e III). B escolhe uma das partes. Suponhamos que é I. A não pode protestar pois, para ele, as partes eram iguais. Se C não protestar, B tira a parte I e C escolhe entre II e III. A fica com a parte que sobra. Se C protestar (por lhe parecer que I é maior), escolhe entre II e III a parte com que A deve ficar. Depois B e C dividem novamente o conjunto das duas partes restantes com o método anteriormente utilizado para dois amigos. 1.3 Vamos ver o caso de cinco amigos. Consideremos cinco amigos A, B, C, D e E: A parte uma fatia do bolo que lhe pareça ser a quinta parte. Se B achar o bocado grande, tira-lhe um bocado para juntar ao resto do bolo. Senão passa a vez a C. C pode passar a vez ou diminuir ainda mais a parte cortada por A. D e E procedem da mesma forma. No fim desta 1.a volta, o último que retirou alguma coisa da parte inicialmente cortada por A. Se ninguém reduzir o bocado cortado por A, A fica com ele. Editável e fotocopiável Texto MACS 10. o ano 31

2 Os quatro restantes tornam a proceder como no início, começando agora um deles por partir uma parte que lhe pareça 1/4 do bolo. No fim da 2.a volta restam três amigos e o resto do bolo. Podem continuar seguindo o caso dos três amigos que vimos em 1.2 ou seguir até atingir o caso de dois amigos e utilizar o processo descrito em 1.1. Atividade 2 (pág. 35) Os alunos poderão fazer a composição da comissão de vários modos. Talvez o mais natural é utilizarem uma proporção: 3. o Ciclo 10. o Ano 11. o Ano 12. o Ano x 20 x 20 x 20 x 20 x = 6,14 x = 5,68 x = 4,54 x = 3,64 Este exemplo é importante porque o número de alunos de cada nível considerado a integrar a comissão não é um número natural, servindo para os alunos sentirem a necessidade da existência de métodos que lhes permitam ultrapassar esse problema. Atividade 3 (pág. 35) O viajante que tinha contribuído com maior número de pães justificou-se dizendo que, durante a viagem, quando tinham fome, ele tirava um pão que partia em três pedaços, dando um a cada um. Assim: o viajante 1, que contribuiu com 5 pães, deu 15 pedaços; o viajante 2, que contribuiu com 3 pães, deu 9 pedaços, num total de 24 pedaços de pão, que a dividir pelos 3 viajantes dá 8 pedaços a cada um. Então: o viajante 1 comeu 8 pedaços e deu 7 (pois a este pertenciam 15 dos 24 pedaços) deve receber 7 moedas; o viajante 2 comeu 8 pedaços e deu 1 (pois a este pertenciam 9 dos 24 pedaços) deve receber 1 moeda; o viajante 3, que se juntou aos dois anteriores na viagem, comeu 7 (dados pelo viajante 1) mais 1 (dado pelo viajante 2) o que dá também 8 pedaços de pão. Atividade 4 (pág. 35) Justificação do dono da pousada para receber 28 dinares: Valor da Venda Valor da Hospedagem 100 dinares 20 dinares 10 dinares 2 dinares = 140 dinares 14 2 = 28 dinares ou seja, x = 28 dinares. 20 x Justificação do vendedor de joias para pagar 24,5 dinares: 32 Editável e fotocopiável Texto MACS 10. o ano

3 ou seja, x Valor da Venda Valor da Hospedagem 200 dinares 35 dinares 20 dinares 3,5 dinares 7 20 = 140 dinares 7 3,5 = 24,5 dinares x = 24,5 dinares. Justificação do calculista para o pagamento de 26 dinares: Valor da Hospedagem Valor da Hospedagem 200 dinares 35 dinares 100 dinares 20 dinares Diferença 100 dinares 15 dinares Ou seja, a um acréscimo de 100 dinares na venda das joias corresponde um acréscimo de 15 dinares na hospedagem. E se o acréscimo na venda for de 40 dinares? Para um acréscimo na venda de 20 dinares 100 o acréscimo na hospedagem seria de 3 dinares Então, se o acréscimo na venda das joias por de 40 dinares, o acréscimo na hospedagem deverá ser de 6 dinares (2 3), isto é 100 x = 6 dinares (acréscimo). Portanto, o vendedor de joias = x deveria pagar = 26 dinares. Claro que todos estes diferentes valores (24,5; 26 e 28 dinares) se devem à falta de proporcionalidade entre os elementos do problema, isto é: Valor da Venda Valor da Hospedagem 100 dinares 20 dinares 200 dinares 35 dinares (deveria ser 40 para haver proporcionalidade) Atividade 5 (pág. 36) São 35 camelos a dividir por três irmãos da seguinte forma: o irmão mais velho deveria receber 1 x 35 = 17,5 camelos 2 o irmão do meio deveria receber 1 x 35 = 11,6(6) camelos 3 o irmão mais novo deveria receber 1 35 = 3,(8) camelos 9 No entanto, 1 x x = = camelos ou seja, sobram 1 + camelos! Assim, cada irmão poderá receber mais do que estava inicialmente previsto. O que o calculista fez foi juntar o seu camelo aos 35 dos três irmãos fazendo a partilha dos 36 camelos assim obtidos. Então: o irmão mais velho recebeu 1 36 = 18 camelos 2 o irmão do meio recebeu 1 36 = 12 camelos 3 o irmão mais novo recebeu 1 36 = 4 camelos 9 Editável e fotocopiável Texto MACS 10. o ano 33

4 Os três irmãos ficaram satisfeitos por receberem mais do que o inicialmente previsto e como = 34, sobram dois camelos: o do calculista e um outro que os irmãos lhe oferecem em sinal de agradecimento. Existe um problema idêntico, mas em que o número de camelos é 17. A divisão é feita do mesmo modo, acrescentando um camelo aos 17 e no final sobrará apenas o camelo que foi acrescentado. Se o número de camelos aumentar para 53, o processo de divisão é idêntico, utilizando o mesmo artifício, mas sobram 3 camelos. Partilhas no caso discreto Divisão Justa Atividade 1 (pág. 42) Comecemos por atribuir (provisoriamente), a cada uma das partes, os itens que cada um mais valorizou: H pensão e casa: 75 pontos M custódia: 65 pontos Como H tem mais pontos, temos de fazer transferência de pontos de H para M. Vamos calcular as razões entre os pontos distribuídos por H e M, relativamente aos itens que H detém, visto ser este quem tem maior número de pontos: Pensão: r 1 = 60 = 2,4 Casa: r 2 = 15 = 1, Uma vez que 1,5 < 2,4, vamos transferir pontos relativamente à casa. Se transferíssemos a totalidade dos pontos relativos a este item, a situação invertia-se; então, temos de calcular a percentagem de pontos a transferir. Seja p a proporção de pontos de H relativamente à casa; para M será 1 p. Assim: p = (1 p) 15p + 10p = p = 15 p = p = 0,6 Então, no final: M: custódia e 40% da casa H: Pensão e 60% da casa e quanto ao número de pontos, este é igual, como se pretendia: M: ,4 = 69 pontos H: ,6 = 69 pontos Atividade 2 (pág. 48) Podemos organizar os dados numa tabela, calculando sucessivamente: o valor total dos bens para cada interveniente; o valor que cada um considera ser justo (J); quais (ou qual) os bens atribuídos a cada amigo; o valor dos bens atribuídos a cada um (B); 34 Editável e fotocopiável Texto MACS 10. o ano

5 a diferença entre o valor justo e o valor dos bens atribuídos (J B) vai ditar o que cada um dos amigos recebe ou paga (em dinheiro); calcula-se o montante disponível (Md ) e divide-se igualmente pelos quatro; acertam-se os valores em dinheiro a receber ou a pagar no final de todo o processo de partilha. Vejamos: Os «Médicos» Preferências Abel Ivo José Raul Televisor Máquina de lavar louça Máquina de lavar roupa Frigorífico Total J , ,5 Bens atribuídos Frigorífico Televisor Máquina de lavar louça Máquina de lavar roupa B J B 80 (paga) M d 41,25 (paga 0 (não paga nem recebe) ,25 17,5 = 103,75 euros 17,5 (recebe) d/4 25,94 25,94 25,94 25,94 Final Paga 54,06 euros Paga 15,31 euros Recebe 25,94 euros Recebe 43,44 euros Com toda a informação agora disponível podemos concluir que: Abel: Fica com o frigorífico e paga 54,06 euros; José: Fica com a máquina de lavar louça e recebe 25,94 euros; Ivo: Fica com o televisor e paga 15,31 euros; Raul: Fica com a máquina de lavar roupa e recebe 43,44 euros. Também podemos sugerir aos alunos a utilização de uma folha de cálculo na resolução desta atividade; pode ser um trabalho de grupo, com apresentação posterior em sala de aula para desenvolver também a capacidade de comunicação matemática. Fica aqui uma sugestão de parâmetros a avaliar no caso do trabalho de grupo: P 1 Envolvimento e participação dos elementos do grupo na apresentação. P 2 Apresentação estética do trabalho. P 3 Clareza nos conteúdos abordados. P 4 Utilização de uma linguagem matemática correta e adequada. P 4 Resolução correta do problema. P 5 Nível de desenvolvimento do trabalho. Editável e fotocopiável Texto MACS 10. o ano 35

6 Segue-se uma possível grelha de registo: P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 Média Observações Grupo I (1) (2) (2) (2) Na linha (1), o Professor poderá avaliar cada um dos parâmetros do Grupo I, do qual fazem parte os alunos cujos nomes podem ser registados em (2). No final das apresentações, o Professor poderá pedir a cada aluno a sua auto- avaliação e registá-la na linha onde registou o nome do aluno. Atividade 3 (pág. 52) 3.1 Vamos organizar numa tabela os segmentos definidos por cada uma das sobrinhas da tia Gui: 1. o Segmento 2. o Segmento 3. o Segmento 4. o Segmento 5. o Segmento Sofia Tânia Vanda Xana Zita Observando a fila das casinhas, o primeiro marcador é X1; então, a prima Xana fica com o segmento 1 e retiram-se os seus outros marcadores. Procuramos em seguida os segundos marcadores das restantes raparigas; o primeiro a surgir é V2. A prima Vanda fica com o segmento entre V1 e V2 (3 5) e retiram-se os seus outros marcadores. Iniciamos a procura dos terceiros marcadores, sendo S3 o primeiro a aparecer. A prima Sofia fica com as casinhas entre S2 e S3, a que corresponde o segmento e retiram-se os seus outros marcadores. Dos quartos marcadores, T4 é o primeiro a surgir. A prima Tânia retira-se com o segmento entre T3 e T4 (15 17). Por fim, a prima Zita fica com o segmento A distribuição das casinhas pelas quatro primas é a seguinte: Sofia: casinhas números 10, 11 e 12; Xana: casinha número 1; Tânia: casinhas números 15, 16 e 17; Zita: casinhas números 19 e 20. Vanda: casinhas números 3, 4 e 5; 3.3 Sobram as casinhas números 2, 6, 7, 8, 9, 13, 14 e 18. Como são mais casinhas do que primas, pode aplicar-se novamente o método dos marcadores. Esta é uma atividade que pode ser desenvolvida em grupo (ou individualmente, como trabalho de casa) e as várias soluções obtidas podem ser discutidas em sala de aula. 36 Editável e fotocopiável Texto MACS 10. o ano

7 Caso Discreto Divisão Proporcional Atividade 4 (pág. 57) 4.1 Número de votantes: O número de votos obtidos por cada partido foram: Os Reis: 0, = 3648 votos As Damas: 0, = votos Os Valetes: 0, = 2432 votos As Manilhas: 0, = 7904 votos Os Ases: 0, = 6080 votos 4.2 Número de mandatos a atribuir: 12 Divisores Os Reis As Damas Os Valetes As Manilhas Os Ases ,3 810,7 2634,7 2026, ,6 2067,2 486,2 1580, Colocando 12 quocientes por ordem decrescente da sua grandeza obtemos: , , ,2 Assim, a distribuição dos mandatos é a seguinte: As Damas: As Manilhas: Os Ases: Os Reis: Os Valetes: 5 mandatos 1. o, 4. o, 7. o, 10. o e 12. o 3 mandatos 2. o, 5. o e 9. o 2 mandatos 3. o e 8. o 1 mandato 6. o 1 mandato 11. o 4.3 Com o auxílio da calculadora (ou de uma folha de cálculo) podemos verificar que se os Ases tiverem mais 76 votos ( = 6156) e as Damas tiverem menos 76 votos ( = ), a atribuição do último mandato irá beneficiar os Ases e não as Damas. 4.4 O número de mandatos mantém-se, o procedimento é idêntico mas os divisores agora são 1, 3, 5, 7 e 9. Divisores As Damas As Manilhas Os Ases Os Reis Os Valetes , , , , , , ,60 486, , ,14 868,57 521,14 347, ,44 878,22 675,56 405,33 270,22 Editável e fotocopiável Texto MACS 10. o ano 37

8 Colocando 12 quocientes por ordem decrescente da sua grandeza obtemos: ; 7 904; 6 080; 4 445,33; 3 648; 2 634, ; 2 067,20; 2 067,20; 1 580,80; 1 476,57; Assim, a distribuição dos mandatos, por aplicação do método de Sainte-Laguë, é a seguinte: As Damas: 4 mandatos 1. o, 5. o, 9. o e 11. o. As Manilhas: 3 mandatos 2. o, 6. o e 10. o. Os Ases: 2 mandatos 3. o e 8. o. Os Reis: 2 mandatos 4. o e 12. o. Os Valetes: 1 mandatos 7. o. Comparando os resultados obtidos pelos dois métodos verificamos que por aplicação do método de Sainte-Laguë, o partido com maior número de votos (As Damas) teria menos um mandato, enquanto que um dos partidos com menor representatividade (Os Reis) ficaria com mais um mandato. Atividade 5 (pág. 59) Divisor padrão = 1000 = A partir do divisor padrão, e com mais alguns cálculos, podemos construir a seguinte tabela: Grupos Quota padrão Quota inferior Ordem Lugares a acrescentar Distribuição A 7, o 1 8 B 7, o 0 7 C 5, o 1 6 D 4, o lugares (sobram 2). A nova comissão será formada por: 8 alunos do 3. o Ciclo; 7 alunos do 10. o Ano; 6 alunos do 11. o Ano; 4 alunos do 12. o Ano. Atividade 6 (pág. 60) 6.1 Número de alunos = 600 Divisor padrão = 600 = Editável e fotocopiável Texto MACS 10. o ano

9 Obtém-se a tabela seguinte: Colégio Quota Padrão Quota Inferior Ordem Lugares a Acrescentar Distribuição Nortenho 5, o 0 5 Central 9, o 0 9 Algarvio 0, o lugares (sobra 1). A distribuição é a seguinte: 5 professores para o Nortenho; 9 professores para o Central; 1 professor para o Algarvio. 6.2 Divisor Padrão = = 37,5 A partir do cálculo do novo Divisor Padrão podemos construir a seguinte tabela: Colégio Quota Padrão Quota Inferior Ordem Lugares a acrescentar Distribuição Nortenho 5, o 1 6 Central 9, o 1 10 Algarvio 0, o lugares (sobram 2). A nova distribuição é a seguinte: 6 alunos para o Nortenho; 10 alunos para o Central; 0 alunos para o Algarvio. Com o aumento de um professor a colocar, o Colégio Algarvio perde o lugar que lhe havia sido atribuído. Atividade 7 (pág. 61) Total de candidatos = Divisor padrão = = Com alguns cálculos podemos obter a tabela seguinte: Zona Quota padrão Quota inferior Norte 16, Centro 23, Sul 10,0 10 Como o número de lugares distribuídos é inferior a 50, temos que encontrar um divisor modificado (D.M.). Consideremos o (D.M.) = 465. Editável e fotocopiável Texto MACS 10. o ano 39

10 A comissão deverá ter a seguinte distribuição: 17 representantes da zona Norte; 23 representantes da zona Centro; 10 representantes da zona Sul. Atividade 8 (pág. 63) 8.1 Total de candidatos = Divisor padrão = 50 Zona Quota padrão Quota inferior Norte 17, Centro 23, Sul 10, = 475 Com alguns cálculos, podemos obter a tabela seguinte: Zona Quota Padrão Quota Inferior Norte 16, Centro 23, Sul 10,0 10 Como o número de lugares distribuídos é inferior a 50, temos de encontrar um Divisor Modificado (maior do que o divisor padrão). Consideremos o D.M. = 485 Zona Quota Padrão Quota Inferior Norte 16, Centro 22, A comissão deverá ter a seguinte distribuição: 17 representantes da zona Norte; 23 representantes da zona Centro; 10 representantes da zona Sul. Sul 9, Embora se tenham utilizado métodos diferentes, os resultados obtidos foram os mesmos. Atividade 9 (pág. 64) Número de habitantes = Divisor padrão = = 8969, Com alguns cálculos, podemos obter a tabela seguinte: 40 Editável e fotocopiável Texto MACS 10. o ano

11 Estado População Quota padrão Quota arredondada M ,780 1 N ,578 7 P , Q , R , > 130 Como o número de lugares distribuídos é superior a 130, temos de encontrar um divisor modificado. Consideremos o D.M. = Estado Quota Modificada Quota Modificada Arredondada M 0,773 1 N 6,519 7 P 9, Q 106, R 5,525 6 A comissão deverá integrar: 1 representante de M; 106 representantes de Q; 7 representantes de N; 6 representantes de R. 10 representantes de P; Atividade 10 (pág. 66) Total da população = Divisor padrão = 200 = Com alguns cálculos, podemos obter a tabela seguinte: Planeta Quota Padrão Média Geométrica Quota Arredondada Terra 93,039 93, Marte 63,497 63, Saturno 29,202 29, Úrano 11,205 11, Neptuno 3,056 3, < 200 Como o número de lugares distribuídos é inferior a 200, é necessário um divisor modificado. Consideremos o D.M. = Editável e fotocopiável Texto MACS 10. o ano 41

12 Planeta Quota Modificada Quota Modificada Arredondada Terra 93, Marte 63, Saturno 29, Úrano 11, Neptuno 3,061 3 A comissão deverá integrar: 93 representantes da Terra; 64 representantes de Marte; 29 representantes de Saturno; 11 representantes de Úrano; 3 representantes de Neptuno. Partilhas no Caso Contínuo Atividade 1 (pág. 68) Alex e Tó Zé selecionam ambos os mesmos quartos Q1 e Q2. Assim, podem juntar novamente essas duas partes, Alex (ou Tó Zé) divide em dois e Tó Zé (respetivamente Alex) escolhe uma delas, ficando Alex (respetivamente Tó Zé) com a outra. Jorge escolhe um dos quartos Q3 e Q4 que selecionou inicialmente, ficando o Divisor, Pedro, com o quarto que Jorge não escolher. Atividade 2 (pág. 69) Aleatoriamente, os três irmãos devem decidir qual deles fica com o papel de selecionador. Suponhamos que a Joana é o selecionador e Marco e Filipe são os divisores. Estes decidem entre si quem vai dividir o pudim em dois e quem vai escolher. Se for Marco a dividir, então, Filipe escolhe uma das metades e o irmão fica com a outra. Se for Filipe, Marco escolhe uma das metades e o irmão fica com a outra. Em seguida, Marco e Filipe dividem cada um a sua parte em três pedaços que julguem serem iguais. Joana entra em jogo e escolhe um dos pedaços dividido por Marco e outro por Filipe. Deste modo, cada um dos três irmãos fica com = 1 do pudim, como seria de esperar O professor poderá aqui sugerir, como atividade, que os alunos reflitam e descrevam como aplicar este método ao caso de quatro jogadores. Por exemplo: Atividade: Antes de terem acabado a partilha do pudim, tocam à campainha. É a prima Susana. É preciso voltar ao início e efetuar a divisão do pudim, desta vez por quatro pessoas. Aplicando o método do selecionador único, descreva a sua aplicação nesta situação. É necessário começar pela escolha do selecionador, que é feita aleatoriamente. Vamos continuar com a Joana a ocupar essa posição. Os outros três jogadores têm agora de proceder à divisão do pudim em três partes, o que podem fazer recorrendo ao mesmo método para três jogadores (que os alunos já utilizaram na atividade do Manual). Agora que Susana, Marco e Filipe têm cada um a sua parte de pudim (todas supostamente iguais) vão, cada um deles, dividir a sua parte em quatro pedaços que julguem serem iguais. A Joana, que foi apenas espetadora até este ponto, começa a jogar escolhendo uma das 1 quatro partes de cada irmão e da prima, ficando com = 1 do pudim. Os outros três Editável e fotocopiável Texto MACS 10. o ano

13 jogadores ficam, cada um, com os seus três pedaços, isto é, cada um fica com 3 Cada um dos quatro jogadores fica com 1 4 sejam considerados «iguais»). Bom apetite! Atividade 3 (pág. 69) 12 = 1 4 do pudim. do pudim, o que é justo (desde que todos os pedaços Para a aplicação deste método é de toda a conveniência fazer um esquema do que se passa em cada volta vai auxiliar nas conclusões a tirar. No caso concreto desta atividade, temos 6 estudantes que jogam pela seguinte ordem: E 1, E 2, E 3, E 4, E 5 e E 6. Como na 1. a volta ninguém diminui, a fatia cortada por E 1 não sofre alteração, pois todos os jogadores passam (P), isto é: E 1 E 2 E 3 E 4 E 5 E 6 P P P P P Assim, E 1 fica com a primeira fatia, sai do jogo e na 2.a volta é E 2 quem parte a fatia, pois está a seguir a E 1. Nesta segunda volta, E 4 e E 4 diminuem (D), isto é: E 2 E 3 E 4 E 5 E 6 P D D P ficando a segunda fatia para E5 porque foi o último a diminuir a fatia de piza na 2.a volta, saindo do jogo. Ficamos agora com quatro jogadores E 2, E 3, E 4, e E 6. Na 3. a volta, E 2 corta uma fatia e sairá um jogador, ficando ainda três em jogo. Na 4. a volta, sairá outro jogador, ficando dois em jogo. Estes últimos pegam no pedaço de piza que sobra, um divide em dois e o outro escolhe. Assim, são necessárias quatro voltas para que cada um dos estudantes obtenha a sua fatia de piza. O professor poderá propor, ainda dentro desta atividade, mais duas condições que permitam determinar qual a ordem de saída de cada jogador do jogo. Por exemplo: na 3. a volta, apenas E 3 diminui; na 4. a volta, ninguém diminui. Para estas duas novas condições, e supondo ser para a continuação da atividade do Manual, temos: E 2 E 3 E 4 E 6 D P P ficando E 3 com a terceira fatia de piza e abandonando o jogo. Na 4. a volta, E 2 parte a fatia e: E 2 E 4 E 6 P P e acaba por ficar com ela, saindo do jogo. E 4 e E 6 são, neste caso, os jogadores que vão dividir entre si o último pedaço de piza (um parte e o outro escolhe). Atividade 4 (pág. 70) A descrição seguinte é apenas uma das várias hipóteses de aplicação. Primeiro, os quatro intervenientes decidem, aleatoriamente, quem será o divisor e qual a ordem de jogada. Será: Editável e fotocopiável Texto MACS 10. o ano 43

14 Isa, o divisor. Beta, Nando e Tó jogam, por esta ordem. Isa começa por dividir a página em cinco partes, que julga serem iguais, J 1, J 2, J 3, J 4 e J 6. Beta retifica (ou apara) J 2 e J 3 e, em seguida, Nando retifica J 4. É a vez de Tó, que escolhe J 4. Nando joga depois e, como a parte de página que ele retificou foi escolhida por Tó, ele pode escolher qualquer uma das restantes e decide-se por J 1. Beta terá obrigatoriamente de escolher J 2 ou J 3, porque foram por ela retificadas, e opta por J3. Finalmente o divisor, Isa, tem ao seu dispor J2 e J 5 e escolhe J 2. O pedaço de página que sobrou pode ser novamente dividido, pelo mesmo método ou por outro, pelos quatro jogadores. Esta é apenas uma das hipóteses de aplicação do método a esta situação porque as opções dos jogadores podem ser várias. A(s) parte(s) extra com que se inicia este método serve(m) para garantir que no final o último a escolher, o divisor, tenha ao seu dispor, pelo menos, uma parte que não foi retificada e que se mantém exatamente como ele próprio a dividiu. Como atividade extra, o professor poderá propor a divisão de, por exemplo, um bolo por cinco jogadores. O número inicial de partes terá de ser = 9. Os raciocínios que envolve são muito interessantes, as soluções variadas e os alunos aprendem que há decisões que, para serem tomadas, têm de ser asseguradas algumas condições iniciais, às quais têm de estar atentos. É fascinante. Divirtam-se! 44