- TUTORIAL - MAXIMA Para Windows. Por Bruno F. Milaré de Macêdo RA MA111 Turma A

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1 - TUTORIAL - MAXIMA 5.9. Para Windows Por Bruno F. Milaré de Macêdo RA 0490 MA111 Turma A 1

2 - INTRODUÇÃO Este tutorial tem como objetivo fornecer informações para que iniciantes possam aprender a manipular o software MAXIMA, desde a instalação e a primeira impressão até manipulação de funções, assim aqui só serão vistos conteúdos que apareceram no curso de Cálculo I, porém não se intimidem com o software, pois ele tem grandes recursos, sendo capaz de realizar a maior parte dos cálculos matemáticos. Como no curso, aqui serão abordadas manipulações do MAXIMA em relação a Limites, Derivadas e Integrais, assim como suas propriedades e representações gráficas em duas e três dimensões.

3 - ÍNDICE O MAXIMA Dowload e instalação Iniciando o uso do MAXIMA Funções Limites Derivadas Integrais Gráficos em duas dimensões Gráficos em três dimensões

4 - O MAXIMA O MAXIMA é um sistema para a manipulação de expressões simbólicas e numéricas, incluindo diferenciação, integração, equações diferenciais ordinárias, sistemas de equações lineares, vetores, matrizes, entre outros. O MAXIMA produz resultados de precisão elevada, e pode traçar funções e dados em duas e três dimensões. O código de fonte do MAXIMA pode ser compilado em muitos sistemas, incluindo Windows (no caso desse tutorial), Linux, e MacOS X. O MAXIMA é um descendente de Macsyma, o sistema legendário de álgebra do computador desenvolvido nos anos de 1960 no Instituto de Tecnologia de Massachusetts. É o único sistema baseado em Macsyma ainda publicamente disponível e com uma comunidade de usuários ativa. A filial do MAXIMA de Macsyma foi mantida por William Schelter. Em 1998 obteve a permissão liberar o código fonte sob a GNU General Public License (GPL). Eram seus esforços e habilidade que fizeram a sobrevivência do MAXIMA possível. Desde então um grupo dos usuários e de colaboradores deu forma para trazer o MAXIMA a uma maior audiência. Assim sendo o MAXIMA é considerado um software livre, podendo então ser usado sem necessidade de registro e pagamento, isto é, um software gratuito. Um dos poucos nessa área. 4

5 - DOWLOAD E INSTALAÇÃO A versão do MAXIMA utilizada neste tutorial é a versão 5.9. para Windows e seu download pode ser feito através do seguinte link: - Tamanho do arquivo: 1. MB - Espaço necessário em disco: 60.7 MB Caso se interesse mais pelo software ou deseja ele para outras plataformas, como Linux, acesse o site oficial do MAXIMA: Site Oficial: Instalando. Após o download ter sido concluído dê um duplo clique no arquivo baixado (maxima-5.9.), e você vai se deparar com uma tela desse tipo: 5

6 Prossiga atendendo as recomendações do programa, clicando em Next, não se esqueça de verificar o local de instalação, mude se não for de seu agrado. Ao finalizar a instalação a seguinte mensagem surgirá determinando que a instalação foi concluída com êxito: Clicando em Finish um arquivo readme.txt será aberto contendo informações sobre o MAXIMA,e o próprio também será aberto. Após o término da instalação você poderá acessar o MAXIMA a qualquer hora a partir do menu Iniciar. 6

7 - INICIANDO O USO DO MAXIMA Primeira impressão: 7

8 Logo que iniciado o MAXIMA possui na parte inferior um sistema de ajuda, que poderá ser bem útil, mas não vamos entrar em detalhes nesse tutorial, por isso vamos escondê-lo, clicando em Options > Toggle Browser Visibility. Ficando assim apenas com o terminal, onde serão digitadas as operações. No terminal, a parte superior acima do (%i1) pode ser desconsiderada, pois se tratam de informações sobre o programa. O (%i1) representa a posição na memória de cada operação a ser realizada, para recomeçar a memória basta acessar File > Restart. Iniciando o trabalho com operações. Você sempre digitará a operação a frente do (%ix), esse i no meio significa INPUT, portanto sempre será entrada de informações. Logicamente a saída do programa será representada por (%ox), com o sendo OUTPUT. Depois de digitada a operação, para indicar ao 8

9 programa que a expressão já pode ser resolvida é necessário digitar um ; (ponto e vírgula) no fim da expressão, por exemplo: (%i1) 1 + ; (INPUT representada em azul no MAXIMA). (%o1) 3 (OUTPUT representada em preto no MAXIMA). As operações básicas são facilmente representadas por: Adição (+), Subtração (-), Multiplicação (*), Divisão (/), Exponenciação(^). Os espaços não são necessários, apenas auxiliam na leitura. As funções vistas neste tutorial deverão ser escritas em letras minúsculas assim como seus parâmetros, por exemplo: (%i1) cos (%pi); (%o1) 1 Obs. : como é possível observar o número pi deve ser escrito desta forma %pi, como acontece com a maioria das constantes, por exemplo: O número e = exp(1) = %e A constante imaginária i = sqrt(-1) = %i (%i1) cos(%pi); (%o1) - 1 (%i) sqrt(-1); (%o) %i (%i3) exp(1); (%o3) %e Para obter mais informações sobre determinados comandos, basta você digitar: (%i1) describe (assunto a ser pesquisado); E seguir as instruções do programa, o resultado será um breve texto sobre o termo procurado, com exibição de funções relacionadas. 9

10 Outros comandos úteis: abs(x) retorna o valor absoluto de x. log(x) logaritmo natural de x. sqrt(x) raiz quadrado de x. Como naturalmente usado a ordem de preferência das operações deve ser demonstrada através de parênteses ( ). (%i1) (0+10) * 3; (%o1) 90 Um comando bastante usado é o %, que sozinho, representa o último resultado apresentado. (%i1) 4 * 5; (%o1) 0 (%i) % - 5; (%o) 15 O MAXIMA tenta tornar os resultados mais exatos possíveis, porém em alguns casos isso não é possível, pois o resultado é um tipo flutuante, como por exemplo: (%i1) log(10); (%o1) log(10) Porém se mesmo assim você deseja saber esse valor, basta você forçar o MAXIMA a retornar um ponto flutuante, assim: (%i1) float (log (10)); (%o1) Para atribuir valores a variáveis, basta apenas declarar da seguinte forma: (%i1) x : ; (%o1) ; 10

11 (%i) y : 10; (%o) 10; (%i3) x ^ y; (%o3) 104; Para resolver alguma equação, basta utilizar a função solve, da seguinte maneira: (%i1) solve (3*x^ 6*x-9=0); (%o1) [x = 3, x = - 1] Esta função é bastante útil e pode ser usada de várias maneiras, como, por exemplo, resolver uma equação de duas incógnitas e deixar em função de uma delas, caso só exista uma equação. (%i1) solve(x+y-=0, y); (%o1) [y = - x] Caso contrário se o número de equações for igual ao número de incógnitas, a função solve pode dar conta do trabalho também, como por exemplo: (%i) solve([x+y+4*z=0, y-z+*x=8, z+3*x-*y=4]); (%o) [[z = - --, y = --, x = --]] Acima foram descritos os principais comandos para a manipulação dados no MAXIMA, assim sendo a partir daqui abordaremos assuntos mais específicos. 11

12 - FUNÇÕES É muito simples definir funções no MAXIMA, é muito parecido com o modo normal de se escrever, mudando somente o símbolo de atribuição que no caso é :=, como pode se observar o exemplo : (%i1) f(x):=x+; (%o1) f(x) := x + (%i) f(5); (%o) 7 Pode-se definir também funções de n variáveis, respeitando a mesma sintaxe da anterior, somente colocando as variáveis entre vírgulas, do seguinte modo: (%i1) g(x,y,z) := x * y + * z; (%o1) g(x, y, z) := x y + z (%i) g(1,,3); (%o) 8 1

13 - LIMITES Limites são facilmente interpretados pelo MAXIMA, e possui uma sintaxe bastante simples, observe o exemplo: limit(função, variável, valor que tende a variável); Aplicação: (%i1) limit( (*x+1)/(3*x+), x,inf ); (%o1) - 3 (%i1) limit(((z^(/3))/(z - sqrt( * z))), z, 8); (%o1) 1 (%i) limit((t^ + 6*t + 9)/(9 - t^), t, -3); (%o) 0 Limites trigonométricos: (%i1) limit(sin(x)/x, x, 0); (%o1) 1 (%i) limit((1 - cos(3*x))/(*x^), x, 0); 9 (%o) - 4 Limites Laterais: Pela esquerda, basta adicionar um quarto parâmetro minus : (%i1) limit(sqrt(x * (5-x)), x, 5, minus); (%o1) 0 (%i1) limit(1/x, x, 0, minus); (%o1) minf Obs. : minf = menos infinito. 13

14 Pela direita, basta adicionar o quarto parâmetro plus : (%i1) limit(sqrt((4*x)/(x-4)), x, 4, plus); (%o1) inf (%i) limit(1/x, x, 0, plus); (%o) inf Obs. : inf = infinito. Como a definição mais rudimentar de derivada provém da aplicação de limites, vamos realizar algumas operações, como introdução às derivadas. Tendo conhecimento de que : f (x) = lim ( f(x + h) f(x) ) / h x->0 Podemos obter, a derivada de uma função, utilizando apenas limites, no caso g(x) = f (x), veja: (%i1) f(x):= * x^ + 3 * x; (%o1) f(x) := x + 3 x (%i) g(x) = limit((f(x + h)- f(x)) / h, h, 0); (%o) g(x) = 4 x + 3 Outro exemplo: (%i1) f(x):=x - 1/x; 1 (%o1) f(x) := x - - x 14

15 (%i) g(x) = limit((f(x + h)- f(x)) / h, h, 0); x + 1 (%o) g(x) = x Assim, visto como implementar limites no MAXIMA, passaremos então as derivadas. 15

16 - DERIVADAS A diferenciação de uma função pode ser rapidamente obtida pela função diff : diff ( função, variável ); Aplicação: (%i1) diff((*x^+3*x), x); (%o1) 4 x + 3 (%i) diff((x - 1/x), x); 1 (%o) x (%i3) diff(sin(x), x); (%o3) cos(x) Um exemplo prático envolvendo máximos e mínimos. Determinar as dimensões do cilindro circular reto de maior volume que pode ser inscrito em um cone circular reto de raio R e altura h: Primeiramente temos que fazer uma visualização do cilindro inscrito no cone (I), e representá-lo de forma a surgir uma semelhança de triângulos (II). 16

17 (I) (II) Portanto r/d = R/D. Como: (%i1) D : sqrt(r^ + H^); (%o1) sqrt(r + H ) (%i) d : sqrt((h-h)^ + r^); (%o) sqrt((h - h) + r ) Temos: r^/((h-h)^ + r^) = R^/(R^ + H^); Isolando r^ : (%i3)eq1:solve((r^*(r^+h^))=r^*(hh)^+r^*r^,r^); (H - h H + h ) R (%o3)[r = ] H Conhecido que o volume de um cilindro é (%pi*r^)*h. (%i4) V(h):= (%pi * R^ * (H-h)^ * h)/h^; 17

18 %pi R (H - h) h (%o4) V(h) := H Para obtermos o volume máximo, devemos derivar V(h), e igualar a zero. (%i5) eq:solve(diff(v(h),h)=0,h); H (%o5)[h = H, h = -] 3 Surgiram duas soluções para h, porém a partir de um h positivo, a solução a ser adotada é h = H/3. (%i8) eq1:solve (eq1, r); (H - h) R (H - h) R (%o8) [r = , r = ] H H Assim substituindo a eq em eq1, temos: (%i9) r : R*(H-H/3)/H; R (%o9) Com isso, podemos concluir que o raio que gera o maior cilindro é: R r = --- (resposta) 3 Para obter a segunda derivada, ou a n-ésima derivada basta adicionar um terceiro parâmetro na função indicando quantas vezes a função deve ser diferenciada. diff(função, variável, n); 18

19 Por exemplo: Achar a primeira e a quarta derivada de: f(x) = * ( x ^ 3 ) + 1 / ( x ^ ) + 16 * ( x ^ ( 7 / ) ) (%i1) f(x) := *(x^3)+1/(x^)+16*(x^(7/)); 3 1 7/ (%o1) f(x) := x x x (%i) diff(f(x), x); 5/ (%o) 56 x + 6 x - -- (primeira derivada) 3 x (%i3) diff(f(x), x, 4); (%o3) (quarta derivada) sqrt(x) 6 x 19

20 - INTEGRAIS Para integrar uma função basta utilizar a função: integrate(função, variável) ; para integrais indefinidas integrate(função, variável, início, fim); para integrais com intervalos definidos. Exemplos: - Integrais indefinidas (%i1) integrate(x^3*((1 + x^4)^5), x); 4 6 (x + 1) (%o1) (%i) integrate(x^*cos(4*x^3), x); 3 sin(4 x ) (%o) Integrais definidas (%i1) integrate((1+sqrt(t))^/sqrt(t), t, 1, 4); 38 (%o1) -- 3 (%i) integrate(6 - x^ -x, x, -3, ); 15 (%o)

21 No caso de funções descontínuas no intervalo dado, o programa acusará o seguinte erro: (%i6) integrate(1/x, x, -1, 0); Integral is divergent -- an error. Quitting. To debug this try debugmode(true); Nesse caso utilize os recursos de limites para verificar a condição de continuidade. 1

22 - GRÁFICOS EM DUAS DIMENSÕES Os gráficos gerados pelo MAXIMA aparecem em um programa anexo ao MAXIMA o gnuplot graph. A função mais conhecida para traçar gráficos em duas dimensões é a plotd, que deve ser implementada da seguinte forma: plotd(função, [eixo,início,final]); Exemplos: (%i1) plotd(sin(x),[x,0,*%pi]); (%o1)

23 Caso você não goste da escala sugerida pelo programa, ou de uma série de outros fatores como cores, a maioria dessas coisas você pode alterar. Por exemplo, as cores das linhas, basta desativar o sistema de manuseio por mouse, pressionando m, depois disso clique com o botão direito em qualquer parte do gráfico e surgirá um menu com diversas opções, cores das linhas, tipo de fonte, copiar a imagem do gráfico, etc. Se você deseja realizar maiores operações com os gráficos basta pressionar Espaço, e você acessará a janela principal do gnuplot, com todas as suas opções disponíveis. Ou senão, na própria linha de comando podem ser feitas algumas operações, veja: - nticks : Número de pontos iniciais usado pela rotina adaptativa de montagem do gráfico. [nticks, 0] O padrão para nticks é adapt_depth: O número máximo de quebras usada pela rotina adaptativa de montagem do gráfico. [adapt_depth, 5] O padrão para adapt_depth é grid: Escolhe o número de pontos da grade para usar nas direções x e y para montagem de gráficos tridimensionais. [grid, 50, 50] Escolhe a grade para 50 por 50 pontos. A grade padrão é 30 por 30. Voltando as funções mais básicas, você pode colocar duas funções em um mesmo gráfico, da seguinte forma: (%i1) plotd([sin(x), cos(x)], [x, -*%pi, *%pi]); (%o1) 3

24 1 sin(x) cos(x) (%i1) plotd([cos(*x),x^3],[x,-%pi,%pi]); (%o1) cos(*x) x^

25 - GRÁFICOS EM TRÊS DIMENSÕES Para implementação de gráficos em três dimensões a função a ser usada é a plot3d, que se assemelha muito com a plotd. O programa gerador de gráficos, o gnuplot, permite que em gráficos de três dimensões, possa ser feito o manuseamento do gráfico gerado de acordo com o usuário, bastando apenas clicar em cima do gráfico e girá-lo ao seu gosto. Você pode também remanejar a escala de acordo com seu gosto bastando apenas clicar com o botão 3 do mouse, isto é, o do meio. plot3d(função,[eixo1,início1,fim1],[eixo,início, fim]); Assim, temos: (%i1) plot3d(x^-y^,[x,-,],[y,-,]); (%o1) x^-y^

26 (%i1) plot3d(sin(x)*sin(y), [x, 0, *%pi], [y, 0, *%pi]); (%o1) sin(x)*sin(y) Um outro famoso exemplo é o toro: (%i1) expr_1: cos(y)*(10.0+6*cos(x)); expr_: sin(y)*(10.0+6*cos(x)); expr_3: -6*sin(x); plot3d ([expr_1, expr_, expr_3], [x, 0, *%pi], [y, 0, *%pi], [grid, 40, 40]); (%o1) (%i) (%o) (6 cos(x) ) cos(y) (%i3) (%o3) (6 cos(x) ) sin(y) (%i4) (%o4) - 6 sin(x) 6

27 Function