Matemática Elementar e Investigação De Conceito: Estabelecendo Relações

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1 ANAIS DO VI SIPEM Matemática Elementar e Investigação De Conceito: Estabelecendo Relações Elementary Mathematics And Concept Study: Establishing Relationships 1 Victor Girald, 2 Letícia Rangel, 3 Wellerson Quintaneiro, 4 Diego Matos 1 Universidade Federal do Rio de Janeiro Brasil victor.giraldo@ufrj.br 2 Universidade Federal do Rio de Janeiro Brasil leticiarangel@ufrj.br 3 Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca Brasil profmatwellerson@gmail.com 4 Colégio Pedro II Brasil diego_matos_p@hotmail.com Palavras-chave: Elementarização, investigação de conceito, matemática para o ensino, conhecimento pedagógico de conteúdo, formação de professores, número racional. RESUMO Neste trabalho, traçamos alguns paralelos teóricos entre as ideias de Felix Klein, especialmente a dupla descontinuidade e a elementarização como um processo de translação histórica (Klein, 2009; Schubring, 2014), e a literatura de pesquisa recente em saberes docentes e formação de professores (e.g. Shulman, 1986; Ball, Thames e Phelps, 2008), com destaque especial para a noção de investigação de conceito proposta por Davis e seus colaboradores (e.g. Davis e Renert, 2012). Os paralelos traçados constituem um referencial teórico com base no qual desenhamos um modelo de estudo coletivo, proposto como uma estratégia de formação continuada de professores articulada com a experiência emergente de sua própria prática de sala de aula. O modelo foi aplicado com um grupo de professores em exercício, tendo como tema central o conceito de número racional. Os resultados sugerem que a experiência contribuiu para a reconstrução coletiva de conhecimentos de matemática para o ensino e, em particular, para a produção de metassaberes pelos participantes. Keywords elementarizaton, concept study, mathematics for teaching, pedagogical content knowledge, teachers education, rational number ABSTRACT In this paper, we drawn some parallels between the ideas of Felix Klein, especially double discontinuity and elemetarization as a historical shifting process (Klein, 2009; Schubring, 2014), and recent research literature in teachers knowledge and teachers education (e.g. Shulman, 1986; Ball, Thames and Phelps, 2008), with special highlight to the notion of concept study, proposed by Davis and his collaborators (e.g. Davis and Renert, 2012). These parallels constitute a theoretical framework, on which we design a model of collect study, proposed as a strategy for inservice teachers education, integrated with the experience that emerges from their own classroom practice. This model has been applied with a group of teacher, with focus on the concept of rational number. Results suggest that the experience contributed to the reconstruction of mathematical knowledge for teaching and, in particular, with the production of meta-knowledge by the participants. 15 a 19 de novembro de 2015 Pirenópolis - Goiás - Brasil

2 Introdução A literatura de pesquisa recente em educação matemática, tanto no cenário brasileiro (e.g. FIORENTINI e OLIVEIRA, 2013) como no internacional (e.g. EVEN e BALL, 2008; BALL, THAMES e PHELPS, 2008), tem discutido largamente concepções sobre saberes e conhecimentos necessários para o ensino e suas repercussões nos modelos de formação inicial e continuada e no desenvolvimento profissional de professores que lecionam matemática na educação básica. Em particular, essa literatura tem constatado a falta de conexão entre as estruturas dos cursos de formação de professores e a prática de sala de aula. Tais constatações não são recentes nem geograficamente situadas. Em sua obra hoje clássica Matemática Elementar de um Ponto de Vista Superior, publicada pela primeira vez há mais de um século, o matemático alemão Felix Klein (2009) denuncia uma ruptura entre a matemática escolar e a matemática acadêmica. O autor identifica essa ruptura como uma dupla descontinuidade na formação inicial do professor de matemática: por um lado, ao iniciarem o curso universitário, os futuros professores são confrontados com uma matemática completamente diferente daquela que aprenderam anteriormente, como alunos da escola básica; e, por outro lado, ao concluírem o curso o universitário, a matemática com que devem lidar na prática de sala de aula tem poucas relações com aquela estudada na universidade. Klein não compreende a Matemática sob uma ideia de descontinuidade ao contrário, qualifica a concepção hierárquica entre a matemática escolar e matemática acadêmica como um obstáculo a ser vencido. Diversos autores têm discutido propostas de ações visando integrar os saberes que emergem da prática de sala aula na formação inicial e continuada de professores que ensinam matemática. Dentre estas, encontra-se o modelo de investigação de conceito (concept study, no original) proposto por Davis e seus colaboradores (e.g. DAVIS e RENERT, 2012) baseia-se na discussão coletiva, com foco no conteúdo, entre grupos de professores, que compartilham os conhecimentos que emergem de sua prática, visando a (re)construção de seus conhecimentos de matemática para o ensino. Neste artigo, apresentamos resultados de um estudo coletivo com foco em números racionais, desenvolvido segundo o modelo de investigação de conceito com um grupo de professores em exercício na educação básica brasileira. Discutimos ainda alguns paralelos teóricos entre as ideias de Felix Klein e a literatura de pesquisa mais recente sobre formação de professores, em particular o trabalho de Davis e seus colaboradores. O presente trabalho tem como base um desdobramento dos resultados da tese de doutorado da segunda autora, 2

3 orientada pelo primeiro autor (ver também RANGEL, GIRALDO e MACULAN, 2014, 2015). Na próxima seção, destacamos alguns pontos importantes das ideias de Klein. Na terceira seção, fazemos uma breve revisão da literatura brasileira e internacional sobre conhecimento de matemática para o ensino e formação de professores. Em seguida, apresentamos resumidamente o modelo de Investigação de Conceito (e.g. DAVIS e RENERT, 2012). As questões de pesquisa e os procedimentos metodológicos são relatados na quinta seção. As duas últimas seções são dedicadas aos resultados, às considerações finais e a perspectivas do trabalho. As Ideias de Felix Klein A contribuição do matemático Felix Klein para a pesquisa em matemática é inquestionável. Em uma época anterior ao próprio estabelecimento da Educação Matemática como um campo de pesquisa acadêmica, Klein preocupou-se com a especificidade do conhecimento de conteúdo do professor de matemática e com o papel da escola para o desenvolvimento da Matemática como ciência. Sua obra, Matemática Elementar de um Ponto de Vista Superior (KLEIN, 2009, 2011) originou-se de notas de aulas dadas por Klein para cursos de formação de professores na Universidade de Göttingen. Nesta seção, destacamos algumas das ideias do autor, cuja atualidade revela-se em relações com a literatura de pesquisa recente em Educação Matemática. Na introdução de sua obra, Klein denuncia um problema da formação dos professores na sua época uma ruptura entre a matemática escolar e a matemática acadêmica. Os jovens estudantes universitários são confrontados com problemas que nada têm a ver com as coisas estudaram na escola e, naturalmente, esquecem-nas rapidamente. Quando, depois de completarem o curso, se tornam professores são confrontados com a necessidade de ensinar a matemática elementar na forma adequada ao grau de ensino, primário ou secundário, a que se dedicam, e como não conseguem estabelecer praticamente nenhuma relação entre essa tarefa e a matemática que aprenderam na universidade, facilmente aceitam o ensino tradicional, ficando os estudos universitários como uma memória mais ou menos agradável que não tem influência na sua forma de ensinar. (KLEIN, 2009, p.1) Com a identificação dessa ruptura, Klein aponta uma dupla descontinuidade na formação do professor poucas relações são estabelecidas entre a matemática ensinada nos cursos universitários de formação de professores e a matemática praticada na sala de aula da educação básica. É essa ruptura que motiva Klein a desenvolver seu trabalho. O autor defende que o professor deve construir uma visão ampla e panorâmica da matemática escolar (isto é, uma visão da matemática elementar de um ponto de vista superior), que o permita não apenas ter conhecimento sobre os conceitos e as teorias que ensina, mas também relacionar e articular diferentes conceitos e teorias e compreender sua natureza científica e evolução histórica. Klein enfatiza, ainda, a importância de um metassaber do professor, isto é, um saber sobre o saber. Para Schubring (2014), esse 3

4 metassaber tem um caráter essencialmente epistemológico, indicando que o saber do professor deve alcançar a dimensão da natureza dos conceitos, indo além dos conceitos e teorias a serem ensinados. O autor compreende a Matemática como um corpo orgânico, e qualifica a percepção hierárquica e estanque entre matemática escolar e matemática acadêmica como um obstáculo a ser vencido (KILPATRICK, 2008; SCHUBRING, 2014). Sob essa perspectiva, Klein identifica como matemática elementar aquela que congrega as partes essenciais que sustentam e estruturam a Matemática como ciência. Assim, não há diferença de valor entre o que é elementar e o que é superior essas são partes que se articulam compondo, com a mesma importância, a matemática como ciência (SCHUBRING, 2014). Segundo Schubring, Klein estabelece a relação entre matemática elementar e matemática superior mediante o entendimento de uma variável histórica, admitindo um processo de elementarização, por meio do qual a Matemática vai sendo gradativamente mais bem compreendida e se organizando em partes essenciais, ou elementares, que constituirão a estrutura com base na qual novos conhecimentos serão produzidos. Klein se refere à elementarização como um processo de translação histórica (historical shifting, no original). Klein considera ainda que a escola desempenha um papel central no processo histórico de elementarização. Para Klein, a escola assume um papel de autoridade e independência na avaliação das necessidades do ensino e na determinação de condições de formação. Cabe à Escola a constituição do conhecimento matemático em um âmbito cultural, estabelecendo condições culturais que influenciarão a produção de novos conhecimentos. Isto é, a forma como a matemática é ensinada estabelece culturalmente rumos segundos os quais novos conhecimentos serão produzidos. Segundo Schubring (2014), a perspectiva epistemológica de Klein se opõe diretamente às perspectivas teóricas que atribuem à Escola apenas do papel de adaptar passivamente e de difundir o conhecimento científico, que é produzido exclusivamente na Academia. Para Klein, a Escola tem um papel tão importante quanto a Academia na produção de conhecimento matemático e, portanto, no desenvolvimento histórico da Matemática como ciência. Conhecimento Matemático para o Ensino e Formação de Professores Uma referência central para a pesquisa em formação de professores é o trabalho de Shulman (1986), que propõe categorias para o conhecimento do professor. Em particular, o autor destaca a noção de conhecimento pedagógico de conteúdo, como o conhecimento sobre os aspectos do conteúdo que o fazem compreensível a outros isto é, como um conhecimento sobre o conteúdo para o ensino. Embora o trabalho de Shulman não tenha foco especial em matemática, constitui uma referência importante para a pesquisa em formação de professores que ensinam matemática. Por exemplo, tendo como referência a prática de sala de aula, Ball e seus colaboradores (e.g. BALL, THAMES e PHELPS, 2008) propõem a noção de conhecimento matemático para o ensino, como um modelo fundado em subdivisões de duas das categorias propostas inicialmente por Shulman. 4

5 Uma contribuição importante dos trabalhos de Shulman e de Ball está no reconhecimento da existência de um conhecimento sobre o conteúdo que é próprio da atividade de ensino de matemática na escola básica e que, sobretudo, não pode ser reduzido ao conhecimento de matemática per se (independentemente desses conhecimentos poderem ou não ser bem delimitados ). Para Noddings (1992), mais do que um simples rótulo para um corpo delimitado de conhecimento, a expressão conhecimento pedagógico de conteúdo reflete um grito de político, que exige a investigação sobre a identidade desse conhecimento e de como ele se manifesta e interfere na prática do professor. Como observado em Rangel et al (2015), o grito político proclamado por Noddings denuncia a necessidade de se conceber a formação inicial e continuada de professores com fundamento em sua epistemologia própria sob a perspectiva da construção de saberes a partir da prática e para a prática, como alertam Fiorentini e Lorenzato (2009) e Even e Ball (2008). Essa concepção de formação de professores se estabelece no reconhecimento do ensino na escola básica como uma atividade profissional que, como tal, envolve saberes e práticas próprios. Fiorentini e Oliveira (2013) defendem um movimento de mudança de modelos de formação baseados no treinamento para modelos baseados na prática do professor, que correspondem a uma mudança de percepção da aprendizagem da docência: da metáfora da aquisição para a metáfora da participação. O conhecimento de matemática necessário para o ensino não é uma versão diluída da matemática formal (DAVIS, SIMMT, 2006). Para Davis e Simmt (2006), o conhecimento de matemática que emerge da experiência da prática de professores pode nunca ser considerado como um aspecto explícito da sua formação e nem mesmo ser reconhecido como parte do seu corpo disciplinar formal de conhecimento. O Modelo de Investigação do Conceito Davis e seus colaboradores (e.g. DAVIS e RENERT, 2012) propõem a metodologia de investigação de conceito (concept study, no original) como um modelo de formação continuada, estruturado como um estudo coletivo e colaborativo, com foco no conteúdo, em que grupos de professores compartilham os conhecimentos que emergem de sua própria prática, visando questionar e (re)construir seus conhecimentos de matemática para o ensino. Para esses autores, o conhecimento de matemática do professor é tão extenso e tão dinâmico que não pode ser abarcado em um conjunto de recursos ou comprimido em período de estudo (DAVIS e RENERT, 2009, p. 41). Assim, a metodologia de investigação de conceito 5

6 proposta por eles se funda em uma concepção dinâmica do conhecimento de matemática para o ensino e se orienta a partir de pressupostos de que, no aspecto cultural, professores são os participantes vitais na criação da matemática, principalmente por meio da seleção e da ênfase preferencial dada a interpretações particulares, e de que saber individual e saber coletivo não podem ser dicotomizados. Para os autores, uma investigação conceitual permite uma (re)construção de conceito estabelecida a partir de um conhecimento já formado. Esse processo é identificado pelo autor como substruct. Substruct se refere a construir debaixo de alguma coisa. Na indústria, substruct refere-se à reconstrução de um prédio sem demoli-lo e, de preferência, sem interromper o seu uso. Da mesma forma, em investigações de conceito, professores reelaboram conceitos matemáticos, às vezes radicalmente, enquanto continuam a utilizá-los, quase que sem interrupção, no ensino. (DAVIS e RENERT, 2012, p. 252, tradução nossa) Uma investigação de conceito parte de uma questão disparadora inicial sobre um tópico específico da matemática escolar e se desenvolve em sessões presenciais regulares do grupo de participantes ao longo de um período de tempo. O tópico escolhido determinará, no desenrolar das sessões, a variação de assuntos e de questões que caracterizarão o estudo. A contribuição dos participantes se dá à medida que compartilham interpretações e desdobramentos para essas questões, com base na experiência da própria prática. Davis e Simmt (2006, p. 299, ênfase como no original) entendem que, em uma investigação de conceito não se trata simplesmente de identificar o que é, mas contribuir para a produção de novas interpretações possíveis. A análise de uma investigação de conceito tem caráter interpretativo, permitindo aos pesquisadores alcançar aspectos explícitos e implícitos do conhecimento de matemática do professor. Essa análise prevê a identificação de estágios que contemplam, de forma gradativa e encadeada a reflexão realizada pelo grupo. Segundo Davis e Renert (2012), apenas o primeiro estágio pode ser descrito como intencional, os demais são emergentes, imprevisíveis, não planejados, decorrentes de interesses comuns, conhecimentos divergentes e encontros acidentais. Esse primeiro estágio, percepções, caracteriza-se pela elaboração de uma lista que reúne as diversas imagens, metáforas, impressões que surgem a partir da reflexão coletiva sobre a questão disparadora. Os demais estágios variam de acordo com o estudo, se desenvolvendo gradativa e sequencialmente a partir da observação de relações e de conexões entre as percepções listadas no primeiro estágio. 6

7 Questão de Pesquisa, SUJEITOS e Procedimentos Metodológicos O presente trabalho visa contribuir com a pesquisa sobre o conhecimento de matemática para o ensino e sobre modelos de formação continuada de professores orientados a partir da metáfora da participação (FIORENTINI e OLIVEIRA, 2013). Assim, a questão de pesquisa que norteia este trabalho diz respeito a como e até que ponto um estudo coletivo, estruturado de acordo com o modelo de investigação de conceito (DAVIS, 2010; DAVIS e RENERT, 2012), pode contribuir para a (re)construção do conhecimento de matemática para ensino a partir do reconhecimento de aspectos elementares e do desenvolvimento metassaberes. Para explorar essa questão, foi desenvolvido um estudo coletivo no modelo de investigação de conceito com um grupo de 15 professores que cursavam uma disciplina de um curso de pós-graduação lato sensu de uma universidade pública do Rio de Janeiro. A investigação pretendida exigia que o assunto de matemática escolhido como foco do estudo fosse um tema legitimado como elementar pelos professores envolvidos, permeando o ensino básico como algo fundamental, e que sustentasse questões relevantes em relação ao seu ensino. Na mesma medida, não poderia ser um assunto que intimide os professores, comprometendo o seu envolvimento e a sua participação no estudo coletivo. Assim, o tema do estudo coletivo foi números racionais. A experiência profissional dos participantes do estudo era bastante diversificada, variando de 1 (um) a 20 anos de atuação em sala de aula. Todos atuavam em escolas públicas da rede estadual do Rio de Janeiro e/ou da rede municipal da cidade do Rio de Janeiro, e 6 atuavam também em escolas particulares. Foram realizados 19 encontros semanais, com 4 horas de duração cada. Os instrumentos de produção de dados incluíram: gravação em áudio e em vídeo, registros escritos dos participantes e anotações de campo da pesquisadora. Nos estudos conduzidos por Davis e Renert (2009), a questão disparadora do estudo coletivo é apresentada de forma bastante direta, com foco único no significado do conceito investigado, por exemplo: o que é multiplicação?. Neste trabalho, visando à articulação com as ideias de Klein sobre a relação entre a matemática escolar e a matemática acadêmica, formulamos uma questão disparadora que apontasse mais explicitamente para a identificação de aspectos elementares do tópico a ser investigado, tendo como referência o ensino na escola básica: O que é fundamental no que ensinamos sobre números racionais na escola básica?. 7

8 Desenvolvimento e Resultados do Estudo Para compor a lista de percepções (figura 1), a discussão travada pelos professores se pautou mais no contexto da sala de aula, na prática dos participantes, do que na identificação da relevância do tema para a matemática. Por exemplo, a discussão que determinou a inclusão do item compreender a ideia de unidade foi motivada pela dificuldade dos estudantes do ensino básico para resolver problemas em que a unidade corresponde a um conjunto com mais do que um elemento. A densidade do conjunto dos números racionais foi o único item cujo reconhecimento do valor para a matemática ficou explícito e foi preponderante na indicação para a composição da lista. Ainda que alguns professores não associassem a propriedade à definição de conjunto denso, todos concordavam que observar que dados dois números racionais, sempre é possível determinar outro entre eles era essencial para aprendizagem sobre números racionais. A identificação dos estágios seguintes, como descrito por Davis e seus colaboradores (e.g. DAVIS e RENERT, 2009; DAVIS 2010), de fato, revela um grau de imprevisibilidade e fica fortemente determinada pelo desenvolvimento da discussão estabelecida pelo grupo. Neste estudo, foram identificados três estágios: percepções, panoramas e inferências. Figura 1: Quadro percepções. O segundo estágio, panoramas, caracterizou-se pela avaliação e pela exploração da relevância de aspectos específicos do conhecimento matemático tendo como objetivo o ensino. Por exemplo, a discussão que envolveu a operação de divisão no contexto dos 8

9 números racionais foi motivada por um problema trazido por uma das participantes: Uma biblioteca tinha todos os seus livros acomodados em 6 estantes completamente cheias. Essas estantes foram substituídas por novas. A capacidade de cada estante nova era igual a ¾ da capacidade de uma das estantes antigas. Quantas estantes novas serão necessárias para acomodar todos os livros da biblioteca? A condução inicial do grupo foi estabelecer estratégias diversas de solução do problema, com atenção à compreensão da operação de divisão, que no contexto dos números racionais e particularmente do problema proposto, exige a interpretação de divisão como medida. O estágio inferências foi caraterizado por reflexões sobre os próprios conhecimentos, incluindo suas naturezas e origens, isto é, pela constituição de metassaberes por parte dos participantes. Para ilustrar o desenvolvimento da discussão que caracterizou esse estágio, destacamos um episódio. Um dos professores, ao final de um dos encontros, apresentou ao grupo o questionamento Para fazer cálculos com dízimas [periódicas], é sempre preciso passar para a forma de fração? Discutiu-se então que essa questão revelava uma dúvida, mas também duas certezas. A dúvida estava explícita e era relativa à execução de cálculos com dízimas. As certezas, implícitas, eram, (i) que todo número racional admite duas representações, na forma de fração e na forma de expansão decimal e (ii) que na forma de fração os cálculos estão bem estabelecidos. Em relação à dúvida, não havia novidade, ela estava sendo exposta e encarada a partir da reflexão e discussão coletiva. A novidade estava no questionamento sobre as certezas, proposto pelo grupo: De onde vêm essas certezas? Ou seja, elas foram construídas em que etapa da formação de cada um dos professores?. Esse questionamento despertou uma novidade na abordagem da discussão, questionar uma certeza. Ficava claro que não basta saber, é necessário compreender como esse saber se constitui, qual sua natureza e origem. A resposta a esse questionamento também surpreendeu a todos: os participantes reconheceram que se tratava de uma certeza constituída no ensino básico e não no curso universitário. Essa resposta é associada à dupla descontinuidade apontada por Klein. A forma como a questão foi explorada alterou completamente o cenário da discussão, promovendo uma mudança de postura dos participantes. As articulações exigidas foram ampliadas em alcance e complexidade em relação às realizadas até então. Para investigar as questões propostas foi necessário articular conhecimentos de álgebra e de análise, bem como observar o rigor e a consistência necessários à matemática. Esse processo é identificado às ideias de Klein sob a visão da matemática necessária a um professor, ampliada e panorâmica. 9

10 Considerações e Perspectivas A análise do estudo revela que a reflexão dos professores, observada a partir das discuusões, evidencia a exposição, o questionamento e a (re)elaboração do conhecimento de matemática do grupo. Em nossa análise, o estudo revelou que o processo colaborativo de investigação sobre o conteúdo segundo a metodologia de investigação de conceito pode contribuir para o desenvolvimento profissional do professor com especial atenção ao conhecimento de matemática para o ensino. Nesse sentido, promove o desenvolvimento de um metassaber (SCHUBRING, 2014) do professor de matemática e promove uma (re) elaboração conceitual (DAVIS e RENERT, 2012). Duas caraterísticas do modelo de investigação de conceito foram determinantes para os resultados deste estudo: (i) colocar em igual patamar de importância os conhecimentos de matemática que emergem da prática e aqueles que vêm da academia; (ii) promover um ambiente de reflexão coletiva, que permite aos participantes do grupo perceberem sobre os próprios conhecimentos de uma perspectiva que ultrapassa a experiência pessoal e atinge a dimensão da vivência de práticas matemáticas compartilhadas. Em nossa interpretação, essas características determinaram a reconstrução de conhecimentos pelos participantes, o que envolveu o estabelecimento de novas conexões entre diferentes aspectos desses conhecimentos e dos conhecimentos com a prática de sala de aula (isto é, reconstrução de conhecimentos de matemática para o ensino), e o desenvolvimento de metassaberes. A (re)elaboração coletiva de conhecimentos pelos participantes determina a constituição de uma matemática cultural, isto é, uma visão da matemática escolar, suas problemáticas conceituais e pedagógicas, e dos diversos saberes relacionados, que seja própria dos professores e compartilhada por eles como uma comunidade. A matemática cultural constitui um componente essencial para a produção de conhecimento em matemática, pois forma o alicerce sobre o qual novo conhecimento pode ser produzido. A constituição de uma matemática cultural caracteriza o papel da Escola de forma não hierárquica à matemática acadêmica contribuindo assim para os processos de translação histórica e de elementarização dos conceitos matemáticos (KLEIN, 2009; SHUBRING, 2014). Essa perspectiva pressupõe o entendimento de que produzir conhecimento em matemática não se reduz a demonstrar novos teoremas, mas inclui a constituição de um terreno sobre o qual novos conhecimentos possam se consolidar por meio do processo histórico de elementarização isto é, a formação de uma cultura matemática. 10

11 Essa reconstrução de conhecimentos não pode ser entendida a partir de uma perspectiva individual, e sim de uma cultura matemática compartilhada pelo grupo. Sob essa perspectiva, a potencialidade do estudo coletivo não reside meramente em aspectos incidentais (tais como as ideias de uns ajudam a enriquecer as ideias dos outros ), e sim na dinâmica dos processos que determinam a (re)construção permanente dessa cultura que, por sua vez, evidencia e potencializa o papel de autoridade e independência da Escola na produção de conhecimento matemático, como propõe Klein (2009, 2011). 11

12 Referências Ball, D. L.; Thames, M. H.; Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching: What makes it special? Journal of Teacher Education, v. 59 (5), p Davis, B.; Simmt, E. (2006). Mathematics-for-teaching: An ongoing investigation of the mathematics that teachers (need to) know. Educational Studies in Mathematics, v. 61 (3), p Davis, B.; Renert, M. (2009). Concept Study as a response to algorithmetic. Proceedings of 33 rd PME (vol.1, p ). Thessaloniki: PME. Davis, B. (2010). Concept Studies: Designing settings for teacher s disciplinary knowledge. Proceedings of 34 rd PME (vol.1, p ). Belo Horizonte: PME. Davis, B.; Renert, M. (2012). Profound understanding of emergent mathematics: broadening the construct of teachers disciplinary knowledge. Educational Studies in Mathematics, 29 (3), p Even, R.; Ball, D. (Eds.). (2009). The professional education and development of teachers of mathematics The 15th ICMI Study. New York: Springer. Fiorentini, D. e Lorenzato, S. (2009) Investigação em Educação Matemática: Percursos Teóricos e Metodológicos. Campinas: Autores Associados. Fiorentini, D. e Oliveira, A.T. (2013) O Lugar das matemáticas na licenciatura em matemática: que matemáticas e que práticas formativas? Bolema, v. 27 (47), p Kilpatrick, J. (2008). A Higher Standpoint. Proceedings ICME 11. A Higher Standpoint. Proceedings of ICME 11, Disponível em: About_ICMI/Publications_about_ICMI/ICME_11/Kilpatrick.pdf, Acesso em setembro de Klein, F. (2009). Matemática Elementar de um Ponto de Vista Superior. Volume 1, 1 a parte: Aritmética. SPM, Lisboa. Klein, F. (2011). Matemática Elementar de um Ponto de Vista Superior. Volume 1, 2 a parte: Análise. SPM, Lisboa. Noddings, N. (1992). Professionalization and Mathematics Teaching In: Grouws, D. (Ed). Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. (p ). New York: Macmillan. Rangel, L.; Giraldo, V; Maculan, N. (2014). Matemática elementar e conhecimento pedagógico de conteúdo: estabelecendo relações. Professor de Matemática Online, n. 1 (2), p Rangel, L.; Giraldo, V; Maculan, N. (2015). Conhecimento de matemática para o ensino: um estudo colaborativo sobre números racionais. Jornal Internacional de Estudos em Educação Matemática, no prelo. 12

13 Shulman, L. (1986). Those who understand: Knowledge growth in teaching. Educational Researcher, v.15, p Schubring, G. (2014). A Matemática Elementar de um Ponto de Vista Superior: Felix Klein e a sua Atualidade. In Roque, T, & Giraldo, V. (eds.), O Saber do Professor de Matemática: Ultrapassando a Dicotomia entre Didática e Conteúdo (p ). Rio de Janeiro: Ciência Moderna. 13