A importância do discriminante na construção de reticulados

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1 A importância do discriminante na construção de reticulados Ana Claudia M. M. Chagas e Antonio Aparecido de Andrade, Deptartamento de Matemática, IBILCE, UNESP, , São José do Rio Preto, SP ana.claudiachagas@hotmail.com, andrade@ibilce.unesp.br, Resumo: No presente trabalho, apresentamos a relação entre discriminante de um corpo de números com a construção de reticulados. Apresentaremos o valor mínimo do discriminante para alguns corpos de números abelianos. E por fim, a existência de reticulados D n -rotacionados, construídos via o homomorfismo torcido, para certos corpos de números abelianos. Palavras-chave: Discriminante, corpos de números abelianos e reticulados Introdução A teoria dos números algébricos tem desempenhado uma importante contribuição para a construção de códigos e reticulados algébricos. Encontrar reticulados algébricos via corpos de números com diversidade máxima e distância produto mínima máxima tem sido estudada nos últimos anos. Reticulados algébricos são reticulados obtidos através do anel de inteiros de um corpo de números e reticulados ideais são reticulados algébricos dotados de uma forma traço. A teoria de reticulados ideais têm demonstrado ser útil na teoria de informação. Reticulados ideais com alta diversidade tem sido estudados como uma abordagem alternativa para a transmissão de sinais. Os reticulados ideais têm sido estudados em vários trabalhos e de diferentes formas. Bayer-Fluckiger e F. Oggier et al. [3], [4], [9], [11], [10] e Andrade et al. [1] e [2] tem construídos Z n -reticulados rotacionados, e recentemente, Grasiele et al. [7] construíram reticulados D n - rotacionados via corpos de números. Para canais Gaussianos, onde o ruído que interfere na comunicação é um ruído branco, é interessante trabalharmos com reticulados com alta densidade de empacotamento. Nos canais de Rayleigh, com desvanecimento, que é um canal de comunicação terrestre, é a diversidade máxima e a alta distância produto mínima que interessam. Neste trabalho, tratamos de reticulados obtidos via o homomorfismo torcido, que é uma pertubação do homomorfismo de Minkowski. Um reticulado ideal que é a imagem, pelo homomorfismo torcido, de um ideal fracionário do anel de inteiros O K, tem diversidade r 1 + r 2, onde (r 1, r 2 ) é a assinatura do corpo K. Se K é totalmente real, então o reticulado tem diversidade máxima. A densidade de empacotamento e a distância produto mínima de um reticulado ideal estão relacionadas com o valor absoluto do discriminate do corpo de números, da seguinte forma: para maximizar a densidade de empacotamento e a distância produto mínima é necessário minimizar o valor absoluto do discriminate do corpo de números. Neste trabalho trabalhamos com corpos de números abelianos, para os quais conhecemos o valor do discriminante [5]. Pelo Teorema de Kronecker-Weber segue que toda extensão abeliana K de Q está contida em um corpo ciclotômico Q(ζ m ). O menor m tal que K Q(ζ m ) é chamado condutor de K. Porém, em [5], o cálculo do discriminante depende do condutor do corpo de números abeliano K. Em [8] dentre todos os corpos de números abelianos de grau p, p 2, p 3 e pq, com p e q primos distintos, é possível obter o mínimo do valor absoluto do discriminante. 207

2 1 Preliminares Nesta seção, apresentamos definições e resultados básicos sobre teoria algébrica dos números [12], a qual será necessária para o desenvolvimentos das próximas seções. Definição 1 Dizemos que um corpo K é um corpo de números algébricos se K é uma extensão finita de Q. Teorema 1 Se K é um corpo de números algébrico de grau n, então existem {σ 1, σ 2,, σ n } Q-monomorfismos distintos de K em C, onde C é o conjunto dos números complexos. Corolário 1 Se K é um corpo de números algébricos de grau n, então existe α Q tal que K = Q(α), onde α é raiz de um polinômio p(x) mônico irrdedutível sobre Q. Se σ i (K) R, para todo i = 1, 2,..., n, dizemos que K é um corpo totalmente real. O conjunto {σ 1 (α),, σ n (α)} são chamados os elementos conjugados de α, ou seja, são as n raízes distintas de p(x) sobre Q. Definição 2 Sejam K = Q(α) e Gal(K Q) = {σ : K K automorfismo; σ(x) = x, x Q} o grupo de Galois de K sobre Q. Se [K : Q] = Gal(K Q), então K Q é uma extensão de Galois, ou seja, se todos os conjugados de α K. Quando o grupo de Galois Gal(K Q) é abeliano, dizemos que K é um corpo de números abeliano. Definição 3 Seja K um corpo de números e α K. Definimos a norma e o traço de α por: n N K Q (α) = σ i (α) e T r K Q (α) = i=1 n σ i (α). i=1 Definição 4 Sejam K um corpo de números. Dizemos que α K é um elemento inteiro se existe um polinômio mônico e não nulo f(x) Z[x] tal que f(α) = 0. O conjunto O K = {α K; α é um elemento inteiro} é chamado de anel de inteiros de K. Se I é um ideal do anel de inteiros O K, a norma do ideal I é definida por N(I) = O K I. Definição 5 Seja n um inteiro positivo. Uma raíz ζ n do polinômio x n 1 é chamada de raíz n-ésima da unidade. Se ζ n n = 1 e ζ m n 1 para 1 m n 1, chamamos ζ n de uma raíz n-ésima primitiva da unidade. O corpo Q(ζ n ) é chamado de n-ésimo corpo ciclotômico. Teorema 2 Seja K = Q(ζ n ), com n inteiro positivo. i) O grau [K : Q] = ϕ(n), onde ϕ é a função de Euler. ii) Se K não é um corpo totalmente real, existe L subcorpo de K tal que L R. Neste caso, L = Q(ζ n + ζ 1 n ) é chamado corpo real maximal de K e [K : L] = 2. Teorema 3 (Kronecker-Weber)[13] Se K é um corpo de números abeliano, então K Q(ζ n ), para algum n inteiro positivo. Definição 6 Seja K um corpo de números abeliano. O menor n tal que K Q(ζ n ) é chamado de condutor do corpo K. 208

3 2 Resultados sobre discriminante de um corpo de números Nesta seção, apresentaremos a definição de discriminante e alguns resultados sobre o discriminante mínimo dos corpos de números abelianos de grau p, p 2, p 3 e pq, com p e q primos distintos. O anel O K é um Z-módulo livre de posto n = [K : Q], com {α 1, α 2,..., α n } uma Z-base. Definição 7 Definimos o discriminante de corpo K sobre Q como d K = det(t r K Q (α i α j ) i,j ), ou equivalentemente, d K = [det(σ j (w i ) i,j )] 2, onde σ i s são os n Q-monomorfismos distintos de K em C e {w 1, w 2,..., w n } é uma base de K sobre Q. Se K é um corpo de números abeliano de grau n, então com base no Teorema de Kronecker- Weber, em [5] os autores obtiveram uma fórmula para o discriminante de corpos de números abelianos, a qual depende do condutor. Assim, a maior dificuldade no cálculo do discriminante é conhecer o condutor de um corpo de números abeliano. Nos próximos resultados, apresentamos o discriminante absoluto mínimo para corpos abelianos de grau p, p 2, p 3 e pq, onde p e q são primos distintos. Teorema 4 [8] Seja s o menor primo congruente a 1 módulo p. Se K é um corpo de números abeliano de grau p, então d K = s p 1 se s < p 2 ou d K = p 2(p 1) se s > p 2. Teorema 5 [6] Se p é um número primo, então o valor absoluto mínimo do discriminante de todas as extensões abelianas de Q de grau p 2 é dado por min{s (p+1)(p 1), (s 1 s 2 ) p(p 1), p (3p+2)(p 1) }, onde s é o menor primo congruente a 1 módulo p 2, s 1 é o menor primo congruente a 1 módulo p e s 2 é o segundo menor primo congruente a 1 módulo p. Teorema 6 [8] Se p é um número primo, então o valor absoluto mínimo do discriminante de todas as extensões abelianas de Q de grau p 3 é dado por min{s p2 (p 1), (s 1 s 2 ) p2 (p 1), (s 2 p 2 ) p2 (p 1), p (p 1)(4p2 +3p+2) }, onde s é o menor primo congruente a 1 módulo p 3, s 1 é o menor primo congruente a 1 módulo p e s 2 é menor primo congruente a 1 módulo p 2. Teorema 7 [8] Se p e q são dois primos distintos, então o valor absoluto mínimo do discriminante de todas as extensões abelianas de Q de grau pq é dado por q (2pq p=1) se q 1(mod p) ou min{s (pq q), (s 1 s 2 ) (pq q), (p 2 s 2 ) (pq q), q 2(pq p) s (pq q) 1, q 2(pq p) p 2(pq q) }, onde s é o menor primo congruente a 1 módulo pq, s 1 é o menor primo congruente a 1 módulo p e s 2 é o menor primo congruente a 1 módulo q. Na Tabela 1, apresentamos o discriminante para algumas extensões abelianas de Q. 3 Reticulados e corpos de números Nesta seção, apresentamos alguns conceitos de reticulados, que são imagens, pelo homomorfismo torcido, de ideais fracionários do anel de inteiros O K de um corpo de números K, onde esses reticulados são casos particulares de reticulados ideais. Um reticulado Λ R n é um subconjunto discreto gerado, como um Z-módulo, por um conjunto {v 1, v 2,, v n } R n linearmente independente sobre R [12]. Na teoria de códigos corretores de erros encontrar constelações de sinais que tenham estrutura de reticulado é muito útil na tarefa de decodificação, por causa da estrutura linear e simétrica do reticulado. 209

4 Tabela 1: Discriminante mínimo para alguns corpos de números abelianos. Grau d K mínimo Grau d K mínimo Grau d K mínimo A vantagem de trabalhar com reticulados é que possuem parâmetros que possibilitam obter informações se as constelações de sinais com estrutura de reticulados são boas para certos canais de transmissão, onde tais parâmetros são: a diversidade, a densidade de empacotamento e a distância produto mínima. A diversidade é definida como div(λ) = min{div(x); x Λ, x 0}, onde a div(x) é o número de coordenadas não nulas de x. A densidade de empacotamento de Λ é a proporção do espaço R n coberto por esferas { tangentes ou disjuntas } e de mesmo raio. A distância produto mínima é div(λ) d p,min (Λ) = min x i ; x Λ, x 0. i=1 No presente trabalho, o corpo K será sempre considerado um corpo de números totalmente real. Definição 8 : Seja x K. O homomorfismo de anéis σ α : K R n definido por σ α (x) = ( α 1 σ 1 (x),, α n σ n (x)), onde σ i (α) = α i 0 e α i R para 1 i n, é chamado de homomorfismo torcido. Se L K é um Z-módulo livre de posto n, com {µ 1, µ 2,..., µ n } uma Z-base, então σ α (L) é um reticulado em R n gerado por {σ 1 (µ 1 ), σ 2 (µ 2 ),..., σ n (µ n )}. Deste modo, se J O K é um ideal fracionário, então σ α (J) = Λ é um reticulado em R n, com diversidade n = [K : Q] [2]. Proposição 1 [2] Seja J um ideal inteiro de O K. i) O determinante de σ α (J) é dado por det(σ α (J)) = N(J) 2 N K Q (α) d K. ii) A distância produto mínima de σ α (J) é dada por d p,min (Λ) = min(j) = min N(x) N(J), com 0 x J e N(x) = O K xo K. det(λ) d K min(j), onde iii) A densidade de empacotamento de σ α (J) é dada por δ(σ α (J)) = Em particular, se J é um ideal principal, então d p,min (σ α (J)) = ρ n [d K N(α)] 1 2. ρ n. [d K N(α)] 1 2 N(J) det(σα(j)) d K e a δ(σ α (J)) = 4 A relação do discriminante mínimo com a construção de um reticulado Quando trabalhamos com reticulados obtidos via o homomorfismo torcido, como imagem de um ideal de O K, minimizar o discriminante é equivalente a maximizar a densidade de empacotamento e a distância produto mínima. 210

5 Se for possível encontrar um corpo de números abeliano totalmente real de grau n, que tenha discriminante absoluto mínimo, neste corpo a densidade de empacotamento e a distância produto mínima serão mais alta do que nos demais corpos abelianos, de mesmo grau. Isso é muito vantajoso para ambos os canais, Gaussiano e de Rayleigh com desvanecimento. Em [9], foram construídos desta forma reticulados Z n -rotacionados sobre corpos totalmente reais com discriminante mínimo, nas de dimensões 2 à 7, mas nem sempre isso é uma tarefa fácil. Na Seção 3, vimos que quando K é uma extensão abeliana finita de Q de grau p, p 2, p 3 e pq, onde p e q são primos distintos, é possível obter o valor mínimo do discriminante, sem conhecer o condutor. Observação 1 Seja [K : Q] = 3. i) Se K = Q(ζ 9 + ζ 1 9 ), então K é um corpo de números abeliano totalmente real com d K = 81. ii) Se K = Q(ζ 7 + ζ 1 7 ), então K é um corpo de números abeliano totalmente real com d K = 49, que é o discriminante mínimo dentre todos os corpos de números abelianos de grau 3. Assim, acreditamos que seja mais vantajoso construir reticulados, via o homomorfismo torcido, como imagem de ideais de O K, utilizando K = Q(ζ 7 + ζ7 1 ). Na Seção 5, veremos que para para os casos de reticulados D n -rotacionados, esta construção é ímpossivel. 5 Existência de reticulados D n -rotacionados O reticulado D n é definido como {(x 1, x 2,, x n ) Z n ; x 1 + x x n é par}. Uma versão rotacionada do reticulado D n, construída via um corpo de números totalmente real, tem diversidade máxima e, em alguns casos, alta distância produto mínima. Os reticulados D n -rotacionados são úteis em ambos os canais, Gaussiano e de Rayleigh com desvanecimento, se comparado com reticulados Z n -rotacionados. Veremos no próximo teorema que nem sempre é possível construir reticulados D n -rotacionados como imagem de ideais fracionários, via o homomorfismo torcido. Teorema 8 [7] Se K é uma extensão de Galois de Q de grau n / {1, 2, 4} e d K ímpar, então é impossível construir um reticulado D n -rotacionado como a imagem de um ideal fracionário, via homomorfismo torcido. Corolário 2 Se o ideal 2O K não ramifica em O K, então é ímpossivel construir um reticulado D n -rotacionado como a imagem de um ideal fracionário, via o homomorfismo torcido. Corolário 3 Se K é um corpo de números abeliano de condutor m ímpar, então é ímpossivel construir um reticulado D n -rotacionado como a imagem de um ideal fracionário, via homomorfismo torcido. Vimos na Tabela 1 que é impossível construir um reticulado D n -rotacionado como a imagem de um ideal fracionário de O K, via o homomorfismo torcido, quando K é um corpo de números abeliano com discriminante mínimo. 6 Conclusões Neste trabalho, vimos a importância do discriminante de um corpo de números na construção de reticulados. Em alguns casos, na construção de reticulados, minimizar o discriminante de um corpo de números totalmente real, é importante para maximizar a densidade de empacotamento 211

6 e a distância produto mínima. Com este propósito, apresentamos o discriminante mínimo de corpos de números abelianos de grau p, p 2, p 3 e pq, onde p e q são primos distintos. Para os corpos de números abelianos de grau p, p 2, p 3 e pq, vimos que é ímpossivel construir reticulados D n -rotacionados. Referências [1] Andrade A. A., Alves C., Carlos T. B.. Rotated lattices via the cyclotomic field Q(ζ 2 r), International Journal of Applied Mathematics, 19(3), , [2] Andrade A. A., Ferrari A. J., Benedito C. W. O., Costa S. I. R..Constructions of algebraic lattices, Computational Applied Mathematics, 29(3), 1-13, [3] Bayer-Fluckiger E., Oggier F., Viterbo E.. New algebraic constructions of rotated Z n -lattice constellations for the Rayleigh fading channel. IEEE Trans. Inform. Theory, 50(4), , [4] Bayer-Fluckiger E., Oggier F., Viterbo E.. Algebraic lattice constellations: bounds on performance. IEEE Trans. Inform. Theory, 52(1), , [5] Interlando J. C., Lopes J. O. D., Neto T. P. da N.. The discriminant of abelian number fields. Journal of Algebra and Its Applications, 5(1), 35-41, [6] Interlando J. C., Lopes J. O. D., Neto T. P. da N., Flores A. L.. On the minimum absolute value of the discriminant of abelian number field of degree p 2, Journal of Algebra and Its Applications 09, 819 (2010), p 1-6. [7] Jorge G.C., Ferrari A.J., Costa S.I.R.. Rotated D n -lattices. Journal of Number Theory, 132, , [8] Mortam R. S.. On the minimum value of the discriminant of abelian number fields of certain degrees. Addison Wesley Publishing Company, Master Dissertation, Faculty of San Diego State University, [9] Oggier F., Bayer-Fluckiger E.. Best rotated cubic lattice constellations for the Rayleigh fading channel. Proceedings of the IEEE International Symposium in Information Theory, Yokohama, Japan, [10] Oggier F., Viterbo E.. Algebraic number theory and code design for Rayleigh fading channels. in Foundations and Thends in Communications and Information Theory, 1, , [11] Oggier F.. Algebraic methods for channel coding. Ph.D. Thesis, EPFL, [12] Samuel P.. Algebraic theory of numbers. Hermann, Paris, [13] Washington L.. Introduction to cyclotomic fields. Springer-Verlag, New-York,