26 a 28 de maio de 2010 Associação Brasileira de Métodos Computacionais em Engenharia

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1 Universidade Federal de São João del-rei MG 26 a 28 de maio de 2010 Associação Brasileira de Métodos Computacionais em Engenharia Otimização Extrema Generalizada Aplicada ao Problema de Despacho Ótimo de Potência Wellington D. Dutra; Paulo Eduardo Abreu; Silvan Antônio Flávio; Paulo C. Chaves; Leonidas Chaves de Resende; Luiz Antônio da Fonseca Manso. Departamento de Engenharia Elétrica Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica UFSJ, São João del-rei, MG CEP: wdamascena@yahoo.com.br, enge_paulo@yahoo.com.br, silvanflavio@yahoo.com.br, pc@pcengenharia.net, leonidas@ufsj.edu.br, lmanso@ufsj.edu.br Resumo. Os modelos heurísticos e metaheurísticos utilizam técnicas de otimização que, passo a passo, realizam um processo de geração, avaliação e seleção das melhores opções de solução para problemas complexos. Estes modelos são bastante atrativos, pois podem obter boas soluções factíveis a um baixo custo computacional. Ao mesmo tempo o processo de otimização pode utilizar estratégias que procuram evitar o aprisionamento em vales da função objetivo e, consequentemente, reduzem o risco de obtenção de ótimos locais de baixa qualidade. Várias técnicas metaheurísticas têm sido empregadas para resolver problemas não-convexos. Dentre essas técnicas podem ser citadas: a Busca Tabu (TS - Tabu Search), os Algoritmos Genéticos (GA - Genetic Algorithms), o Procedimento de Busca Aleatória Gulosa (GRASP - Greedy Randomized Adaptive Search Procedure), as Estratégias de Evolução (ES - Evolution Strategies) e a Otimização por Enxame Evolucionário de Partículas (EPSO - Evolutionary Particle Swarm Optimization). Recentemente, foi proposto um método denominado Otimização Extrema Generalizada (GEO Generalized Extremal Optimization), o qual é baseado em um modelo de evolução natural das espécies, especialmente destinado para uso em problemas de otimização complexos, tendo seus fundamentos na teoria da Criticalidade Auto-Organizada. Neste trabalho, foi implementada a técnica Otimização Extrema Generalizada ao problema de despacho ótimo de geradores. Os resultados obtidos foram comparados com resultados produzidos pelas metaheurísticas Busca Tabu e Estratégia de Evolução. Palavras chaves: Otimização Extrema Generalizada, Estratégia de Evolução, Despacho Ótimo, Metaheurísticas, Otimização.

2 1 INTRODUÇÃO Desde a década de 80, a reestruturação do setor elétrico vem ganhando muita atenção em todo o mundo. Antes deste período a estrutura organizacional do setor era vertical e monopolizada, ou seja, a geração, a transmissão e a distribuição de energia, eram controladas por uma autoridade conforme (Christie et al., 2000). Com a desverticalização do setor e o surgimento do ambiente competitivo, as ferramentas de otimização passaram a desempenhar um importante papel para as empresas de energia (Sousa et al., 2008). Um exemplo de aplicação de tais técnicas é o Despacho Ótimo DO (Wood e Wollenberg, 1996). O DO é um problema no qual se tem N unidades geradoras disponíveis e já conectadas ao sistema de potência. Na operação desse sistema, o mesmo deve atender uma carga (demanda do sistema), de forma que a soma das potências geradas pelas unidades deve ser igual à carga total do sistema mais as perdas elétricas. Muitos dos problemas de otimização em sistemas de potência, incluindo os de despacho econômico, possuem características complexas e não-lineares com a presença, muitas vezes, de restrições de igualdade e desigualdade. Desde que o problema de despacho econômico foi introduzido, diversos métodos têm sido utilizados para resolver este problema, tais como método iterativo, técnicas baseadas em gradiente, método dos pontos interiores, programação linear e programação dinâmica. Entretanto, abordagens convencionais usadas em problemas de otimização não são adequadas ao problema do despacho ótimo, ficando a solução retida em armadilhas de mínimos locais (Coelho e Mariani, 2006). Os modelos heurísticos e metaheurísticos utilizam técnicas de otimização que, passo a passo, realizam um processo de geração, avaliação e seleção de opções de solução. Estes modelos são mais atrativos, pois podem obter boas (i.e. economicamente competitivas) soluções factíveis a um baixo custo computacional. Ao mesmo tempo o processo de otimização pode utilizar estratégias que procuram evitar o aprisionamento em vales da função objetivo e, consequentemente, reduzem o risco de obtenção de mínimos locais de baixa qualidade. Uma das primeiras técnicas de inteligência artificial na abordagem do DO, foi o Recozimento Simulado Simulated Annealing (Wong e Fung, 1993). Essa técnica apresentou a facilidade de incorporar restrições à função objetivo, assegurando uma solução factível, embora possa não ser a solução ótima do problema. Tais fatores levaram os pesquisadores a dar maior atenção aos métodos de inteligência artificial a partir de então. No mesmo ano foi explorado o uso de Algoritmos Genéticos (Walters e Sheble, 1993) na abordagem ao problema com a inclusão de uma melhoria na modelagem dos geradores, antes de difícil solução pelas técnicas convencionais, os pontos de válvula. Uma técnica bastante promissora para o processo de busca em problemas de otimização não-convexos, como é o caso do DO, é denominada por Estratégias de Evolução (ES Evolution Strategies) (Herdy, 1992; Ostermeier, 1992; Schwefel, 1995). Diferentemente dos Algoritmos Genéticos, que foram propostos utilizando a codificação/decodificação do indivíduo (solução), nas ES a representação é sempre realizada de forma direta. Portanto, cada componente do indivíduo (gene) é representado por uma variável real do problema (Bak e Sneppen, 1993; Miranda, 2004). A metaheurística Busca Tabu (TS Tabu Search) (Glover, 1989), outra técnica aplicada a problemas de DO, consiste em um processo adaptativo empregado na solução de problemas de otimização combinatória para modificar o comportamento de heurísticas de busca local, de forma que a exploração do espaço de soluções não seja interrompida ou perturbada quando não existam deslocamentos que melhorem a solução corrente. Através de conhecimentos adquiridos durante a exploração do espaço de soluções, o método evita

3 que mínimos locais recentemente visitados exerçam efeito atrativo à trajetória da busca, garantindo uma exploração mais inteligente quando comparado a métodos tradicionais de busca local. Tendo em vista esta tendência, o objetivo deste trabalho é aplicar um algoritmo recente e promissor, denominado Otimização Extrema Generalizada (GEO Generalized Extremal Optimization), na resolução do problema de despacho econômico de geradores. Ao final, é realizada uma análise de sensibilidade em relação aos seus parâmetros e a validação por meio das metaheurísticas Estratégia de Evolução e Busca Tabu. 2 OTIMIZAÇÃO EXTREMA GENERALIZADA (GEO) O método da Otimização Extrema (EO Extremal Optimization), proposto por (Boettcher e Percus, 2001) foi desenvolvido para mostrar evidências da presença de Criticalidade Auto-Organizada (Self-Organized Criticality - SOC) em ecossistemas naturais (Bak e Sneppen, 1993). Para mostrar que a teoria de SOC poderia explicar características observáveis em ecossistemas naturais, (Bak e Sneppen, 1993) desenvolveram um modelo simplificado de um ecossistema onde espécies são colocadas lado a lado sobre uma linha com condições de contorno periódicas, como apresentado na Figura 1. Figura 1 Distribuição das espécies no modelo evolutivo. Na população, a vizinhança de cada espécie é composta pelas duas espécies que a margeiam, e a condição de contorno periódica implica que E 1 é vizinha de E n. Para cada espécie é atribuído aleatoriamente, com distribuição uniforme, um índice de adaptabilidade no intervalo [0,1]. A espécie menos adaptada, aquela que tiver o menor índice de adaptabilidade, é então forçada a sofrer uma mutação, ou seja, um novo índice de adaptabilidade é atribuído à mesma, também de forma aleatória. A mudança no índice de adaptabilidade da espécie menos adaptada significa para suas vizinhas que estas terão que se adaptar a um novo competidor local e assim estas também são forçadas a sofrer mutação, mesmo que seus índices de adaptabilidade sejam altos. Após algumas iterações, a população evolui para um estado crítico onde todas as espécies apresentam um índice de adaptabilidade acima de um dado valor, denominado valor crítico. A partir deste momento, a dinâmica do sistema faz com que, eventualmente, o índice de adaptabilidade de uma quantidade de espécies caia para valores abaixo do patamar crítico, em forma de avalanches que podem atingir todas as espécies (Galski, 2006). De forma a aumentar o desempenho do algoritmo original, (Bak e Sneppen, 1993) introduziram um parâmetro ajustável no método, que permite ao mesmo evitar convergência para mínimos locais. Esta implementação foi denominada τ-eo. O método da EO foi criado com o intuito de ser uma metaheurística que pudesse ser aplicada a uma grande classe de problemas. Todavia, a maneira como ele é implementado para um dado problema é específica ao mesmo e uma maneira geral de tratar a classificação das variáveis do problema que serão alteradas ao longo de uma busca pelo ótimo pode se mostrar ambígua, ou mesmo impossível (Boettcher e Percus, 2001). Para resolver esse problema, (De Sousa, 2002) propôs um algoritmo que generaliza o método da otimização extrema, denominado de Otimização Extrema Generalizada. Esse método

4 possibilita a implementação do EO independente do tipo de problema atacado, pois parte do pressuposto de que a probabilidade da variável selecionada sofrer mutação é dada pela Equação 1. onde P é a probabilidade, k é o índice de adaptabilidade, e τ é o parâmetro ajustável (positivo). O parâmetro τ pode variar de 0 a, sendo que para τ 0, o algoritmo torna a busca pelo ótimo totalmente aleatória, onde todas as variáveis tem a mesma probabilidade de serem escolhidas para sofrer mutação, e para τ, a variável menos adaptada é sempre a escolhida para sofrer mutação. O método GEO diferencia-se do método EO pelo fato de que sua implementação é independente do tipo de problema abordado e variáveis associadas. É um algoritmo voltado preferencialmente para atacar problemas de otimização com um espaço de busca complexo, não convexo, disjunto, com múltiplos mínimos e não linearidade na funçãoobjetivo e nas restrições. Pode ser aplicado a problemas com qualquer tipo de variável, sejam elas contínuas, inteiras ou discretas (De Sousa, 2002). 3 METODOLOGIA O despacho econômico é o estudo da alocação ótima de uma demanda entre as unidades geradoras com o objetivo de minimizar o custo de produção de energia elétrica por meio da otimização da distribuição da produção entre os geradores e da utilização eficiente dos recursos energéticos. O objetivo do problema de despacho econômico de energia, cujas características são complexas e não lineares, é alocar a cada uma das unidades geradoras a quantidade de energia a ser produzida de forma que se tenham os custos de operação reduzidos, respeitando restrições de igualdade e desigualdade. Assim, o problema do DO pode ser modelado como: sujeito a: (1) (2) (3) (4) onde é o número de unidades geradoras; é o custo total de produção; C i é o custo de produção do gerador i;,, e são os coeficientes da função custo do gerador ; é a demanda total; é a potência de saída para cada unidade ; e são, respectivamente, os limites mínimo e máximo de operação da unidade. Para a aplicação da metaheurística GEO foi utilizado o algoritmo GEO real que segue a mesma filosofia do GEO binário, sendo que a principal diferença é que nesse caso, as variáveis são codificadas com números reais e não com bits (Moreira, 2009). A mutação neste caso é efetuada gerando uma perturbação aleatória com distribuição normal de média nula e desvio padrão a ser escolhido como um novo parâmetro livre do algoritmo. O algoritmo GEO real é descrito pelos seguintes passos adaptados de (Lopes, 2008), sendo que, neste artigo, o termo população representa um conjunto de N espécies.

5 1. Inicialize aleatoriamente uma população de N espécies, onde cada espécie é representada por uma variável, sendo a população representada por um vetor ; 2. Calcule o valor da função objetivo da população atual obtida no passo (1) e faça = e ; 3. Mude o valor de cada variável usando a equação (5) e armazene o valor de em uma nova população (a qual é igual ao vetor, com substituído por ), gerando N novas populações; onde é um parâmetro da GEO denominado amplitude de mutação e é um número aleatório com distribuição gaussiana de média zero e desvio padrão unitário; 4. Calcule a adaptabilidade (valor da função objetivo) para cada uma das N populações geradas pela mudança de. Se for menor do que faça e ; 5. Ordene os pares (i, ) de acordo com a adaptabilidade, e atribua um rank k, onde a população com menor, a mais adaptada, assume k = 1 e a população com maior, a menos adaptada, recebe k = N; 6. Selecione com probabilidade uniforme uma das N populações obtidas no passo (3); 7. Sorteie um número aleatório distribuído uniformemente, se este número for menor que, substitua a população pela população selecionada no passo (6). Caso contrário, retorne ao passo (6); 8. Se o critério de parada for atingido, imprima a melhor solução obtida,, e a sua adaptabilidade,. Caso contrário, retorne ao passo (3). 4 RESULTADOS A metaheurística GEO foi utilizada para definir a alocação ótima de geração. O despacho ótimo teve como objetivo a busca pela solução de mínimo custo global, o qual é composto pela soma dos custos de cada unidade geradora. O algoritmo foi aplicado a um sistema teste (ver Figura 2) de barra única composto por 5 geradores (Miranda, 2004). A Tabela 1 apresenta, respectivamente, os termos constante, linear, quadrático e cúbico das curvas de custo, a potência mínima e a potência máxima de cada gerador. Percebe-se que a capacidade máxima total do sistema é 50 MW, ficando 6 MW acima da demanda, que atinge 44 MW. Os resultados obtidos foram validados por meio da aplicação das metaheurísticas Estratégia de Evolução e Busca Tabu ao mesmo sistema. Tabela 1 Dados dos geradores. (5) Figura 2 Sistema teste. Gerador a b c d P min P max G1 1 0,5 0,10 0, G2 2 0,4 0,20 0, G3 4 0,3 0,30 0, G4 6 1,5 0,15 0, G5 0 4,0 0,00 0,

6 Os algoritmos GEO, ES e TS foram implementados na plataforma Matlab 7.5, sendo utilizado um computador Dual Core 2.2 GHz com 2 GB de RAM. Para verificar a robustez das soluções obtidas, cada análise corresponde a 100 execuções do algoritmo. Primeiramente, foi realizado um estudo de sensibilidade dos principais parâmetros da GEO. As Figuras 3 e 4 apresentam uma avaliação da sensibilidade da GEO em relação aos parâmetros τ e, respectivamente. São utilizados, individualmente ou em conjunto os valores 0,1; 1 e 10 para o parâmetro. desvio padrão médio (%) n médio de iterações τ τ Figura 3 Sensibilidade do parâmetro τ, fixando σ=1. 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 0,00 desvio padrão médio (%) 4,1 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0, n médio de iterações σ σ Figura 4 Sensibilidade do parâmetro σ, fixando τ =5. A Tabela 2 apresenta, para cada uma das metaheurísticas implementadas, a melhor solução obtida para o sistema teste, a solução média, o desvio padrão e o tempo computacional médio. O despacho de geração da melhor solução é apresentado em detalhes na Tabela 3. Técnica Tabela 2 Resultado das simulações para o sistema teste. Melhor Solução ($/h) Solução média ($/h) Desvio padrão do custo ($/h) Tempo médio (s) GEO 141, , , ,031 ES 141, , , ,028 TS 141, , , ,382

7 Tabela 3 - Despacho de geração para a melhor solução. Gerador G1 G2 G3 G4 G5 Total Geração(MW) 6, , , , , ,0000 Custo($/h) 14, , , , , , DISCUSSÃO Uma grande preocupação ao se trabalhar com métodos de otimização baseados em metaheurísticas é a sua sensibilidade aos parâmetros, pois tais métodos necessitam de ajustes para cada problema proposto. Assim o estudo da sensibilidade do algoritmo em relação a seus parâmetros é de grande importância na implementação de uma nova metaheurística. Apenas dois parâmetros são importantes no ajuste da GEO: o índice de adaptação (τ) e a amplitude da mutação ( ). O aumento de τ determina o quão determinística (i.e. orientada pela adaptação das variáveis ou espécies) será a busca. Para o problema de despacho ótimo estudado, com funções de custo de geração polinomiais, contínuas, o parâmetro τ pode ser escolhido acima de um valor limite em que as soluções se estabilizam. Conforme apresentado na Figura 3, um valor de satisfaz tal premissa. No entanto, não se pode escolher um valor muito elevado para o parâmetro, pois deixaria o algoritmo com dificuldade para escapar de ótimos locais. Em relação ao parâmetro, percebe-se que um valor muito baixo (e.g. 0,1%) de amplitude de mutação atrasa o processo de busca, fazendo com que o algoritmo atinja o número máximo de iterações e apresente um alto desvio padrão (4,1%). Para valores de entre 1% e 10%, foi possível soluções com desvio padrão nulo. No entanto, à medida que aumenta, nota-se uma dificuldade em pesquisar a vizinhança das melhores soluções, aumentando assim o número de iterações. Uma estratégia que produziu bons resultados foi duplicar ou triplicar o número de novas soluções, aplicando mutação com duas ou três diferentes amplitudes. Isto é confirmado através dos resultados apresentados na Figura 4. 6 CONCLUSÕES O despacho ótimo é uma linha de pesquisa interessada em determinar a alocação ótima da demanda entre as unidades geradoras, tal que satisfaça a carga e os limites operacionais dos geradores, com um custo mínimo. A metaheurística GEO se mostrou satisfatória para a solução do despacho econômico não-linear, com funções de custo polinomiais, continuas. Pode ser utilizada para outros problemas de mesma natureza sem a necessidade de ajustes nos parâmetros. Além disso, o algoritmo não utiliza informação de derivadas da função objetivo ou das restrições. Embora possa ser aplicado a praticamente qualquer tipo de problema, ele destina-se a problemas onde o uso de métodos tradicionais não seja adequado. Pelos resultados apresentados ao longo deste trabalho, pode-se afirmar que o algoritmo da otimização extrema generalizada pode se tornar uma ferramenta importante na solução de problemas de otimização. Uma característica da GEO que a torna bastante atraente é sua facilidade de implementação, independente do tipo de problema. Deve-se deixar claro, entretanto, que não existe um método de otimização comprovadamente melhor do que os outros. Não foi objetivo deste trabalho apresentar a GEO como uma metaheurística

8 superior às demais, porém buscou-se avaliar a sua aplicação a problemas inteiros nãoconvexos, como é caso do despacho ótimo da geração de energia elétrica. Agradecimentos Os autores agradecem à FAPEMIG, à CAPES, ao CNPq e ao INERGE pelo apoio recebido. 7 BIBLIOGRAFIA Bak, P. e Sneppen, K., Punctuated equilibrium and criticality in a simple model of evolution. Physical Review Letters, pp Boettcher, S. e Percus, A., Optimization with Extremal Dynamics. Physical Review Letters, pp Christie, R., Wollenberg, B. e Wangensteen, I., Transmission management in the desregulated environment. In Proceedings of the IEEE., Coelho, L. e Mariani, V., Otimização de Despacho Econômico com Ponto de Válvula Usando Estratégia Evolutiva e Método de Quase-Newton. Revista da Sociedade Brasileira de Redes Neurais, Vol. 4(1), pp De Sousa, F.L., Otimização Extrema Generalizada: Um Novo Algoritmo Estocástico para o Projeto Ótimo. Tese de Doutorado. São José dos Campos: INPE. Galski, R.L., Desenvolvimento de Versões Aprimoradas Híbridas Paralela e Multiobjetivo do Método da Otimização Extrema Generalizada e sua Aplicação no Projeto de Sistemas Espaciais. Tese de Doutorado. São José dos Campos: INPE. Glover, F., Tabu Search Part I ORSA Journal on Computing, Vol. 1(3), pp Herdy, M., Reprodutive Isolation as Strategy Parameter in Hierarchically Organized Evolution Strategies. In Parallel Problem Solving from Nature 2. Amsterdam, Lopes, I.M.L., Controle de Atitude de Satélites Rígido-Flexíveis usando a Otimização Extrema Generalizada com Abordagem Multi-Objetivo. p.120. Miranda, V., Computação Evolucionária Fenotípica Versão 1.0. Moreira, C.J.A., Identificação de Estrelas para Determinação de Atitude de Veículos Espaciais Utilizando o Algoritmo da Otimização Extrema Generalizada. Dissertação de Mestrado. São José dos Campos: INPE. Ostermeier, A., An Evolution Strategy with Momentum Adaptation of the Random Number Distribution. In Parallel Problem Solving from Nature 2. Amsterdam, Schwefel, H.P., Evolution and Optimum Seeking. In Sixth Generation Computer Techonology Series. New York, Sousa, V., Baptista, E. e Costa, G., A Resolução do Problema de Despacho Ótimo de Reativos pelo Método da Função Lagrangiana-barreira Realaxada. Pesquisa Operacional, Vol. 28( 2), pp Walters, D.C. e Sheble, G.B., Genectic Algorithm Solution of Economic Dispatch With Valve Point Loading. IEEE Transactions on Power System, Vol. 8, No. 3, p.8. Wong, K.P. e Fung, C.C., Simulated Annealing Based Economic Dispatch Algoritm. IEE Proceedings- C, Vol. 140, No. 6, p.7. Wood, A.J. e Wollenberg, B.F., Power Generation, Operation and Control. 2nd ed. Willey - Interscience. 8 DIREITOS AUTORAIS Os autores são os únicos responsáveis pelo conteúdo do material impresso incluído no seu trabalho.