Um Estudo para o Aprimoramento do Método da Otimização Extrema Generalizada

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1 Um Estudo para o Aprimoramento do Método da Otimização Extrema Generalizada Roberto Luiz Galski, Fabiano Luis de Sousa, Fernando Manuel Ramos e Issamu Muraoka Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE) galski@ccs.inpe.br, fabiano@dem.inpe.br, fernando@lac.inpe.br, issamu@dem.inpe.br Resumo Este artigo apresenta uma implementação aprimorada do algoritmo Otimização Extrema Generalizada (Generalized Extremal Optimization - GEO), e sua variante GEO var, e analisa o ganho obtido quando aplicado a um conjunto de funções teste. O aprimoramento em questão é um dos primeiros resultados dos estudos em andamento, efetuados pelo primeiro autor como parte do seu programa de doutorado. São apresentadas curvas do valor da função objetivo versus o número de avaliações da função tanto para o GEO/GEO var original quanto para o modificado, sendo os resultados analisados. Como exemplo de aplicação prática, são mostrados os resultados obtidos com a versão aprimorada do GEO/GEO var no projeto otimizado do sistema de controle térmico da Plataforma Multimissão (PMM) do INPE. Adicionalmente, os desenvolvimentos e aplicações atuais do GEO/GEO var são comentados.. Introdução O algoritmo GEO e sua variante GEO var, são metaheurísticas de otimização global (Sousa & Ramos, 22; Sousa et al., 23a, 23b) desenvolvidas recentemente como uma proposta de generalização do algoritmo τ-eo (Boettcher & Percus, 2). Assim como os métodos Recozimento Simulado - RS (Kirkpatrick et al., 983) e os Algoritmos Genéticos - AG (Goldberg, 989), GEO e GEO var são algoritmos estocásticos cuja inspiração origina-se na analogia de processos observados na natureza. GEO e GEO var destinam-se, primeiramente, a resolver problemas de otimização complexos, onde pouco ou nada se conhece a respeito do espaço de busca viável e inviável da função a ser otimizada. Podem ser aplicados a praticamente qualquer problema de otimização contínua ou combinatória, não convexo ou disjunto, com ou sem restrições, podendo, inclusive, serem aplicados a problemas com miscelânea de variáveis reais, inteiras ou discretas. Ambos são de fácil implementação e usam apenas valores da função objetivo, sem derivadas. Não requerem nem mesmo o fornecimento de um ponto de partida situado no espaço viável. Esta universalidade de aplicação, aliada ao fato do GEO e GEO var possuírem apenas um parâmetro de ajuste, τ, constitui-se numa das maiores virtudes de ambos. Neste artigo, um aprimoramento dos algoritmos GEO e GEO var é exposto e sua influência no desempenho de ambos é avaliada, através da aplicação dos mesmos a um conjunto de funções teste não lineares. Estas funções foram utilizadas para avaliação de AG's (Potter & De Jong, 994) e também para avaliação do GEO/GEO var original (Sousa & Ramos, 22). 2. Fluxograma do GEO/GEO var A seguir, a Figura apresenta um fluxograma para GEO/GEO var. Inicialize aleatoriamente L bits que codificam N variáveis de projeto Para cada bit atribua um valor de adaptação proporcional ao ganho ou perda que a F(X) tem se o bit mudar, comparada ao melhor valor de F(X) encontrado até agora Ordene os bits (todos) de acordo com suas adaptações (uma ordenação) Mudar um bit da população com probab. P k k -τ, k =,..., L Não GEO Ordene os bits de cada variável em separado, de acordo com suas adaptações (N ordenações) Critério de parada satisfeito? Mudar um bit de cada variável com probab. P k k -τ, k=,..., Lvj Sim GEO var Retorne a melhor solução encontrada durante a busca Figura - Fluxograma para GEO/GEO var Fonte: Adaptado de Sousa et al., Versão Aprimorada de GEO/GEO var A mudança efetuada no algoritmo GEO/GEO var não o altera de forma conceitual, apenas muda um aspecto de sua implementação. Assim, o fluxograma apresentado na Fig. vale tanto para a versão original quanto para a versão aprimorada. Para estabelecer exatamente qual é a mudança, apresenta-se a seguir, os passos do algoritmo GEO (para um problema de minimização) e, em seguida, indica-se onde e como ocorre a mudança.

2 O algoritmo GEO é composto dos seguintes passos (Sousa, 22):. Inicialize aleatoriamente uma seqüência binária C, de comprimento L que codifica N variáveis de projeto. Calcule o valor da função objetivo V e faça C melhor = C e V melhor = V. 2. Para cada bit da seqüência, em uma dada iteração, faça: a) Mude o valor do bit (de para ou para ) e calcule o valor da função objetivo V i, da configuração de bits C i, b) Atribua ao bit um índice de adaptação V = (V i V melhor ). c) Retorne o bit ao seu valor original. 3. Ordene os bits de acordo com os seus índices de adaptação, de k = para o menos adaptado à k = L, para o mais adaptado. 4. Escolha com igual probabilidade um bit candidato i para sofrer mutação (mudar de para ou de para ). Gere um número aleatório ALE, com distribuição uniforme, no intervalo [,]. Se P i (k) = k -τ for maior ou igual a ALE, o bit é modificado. Se não, o processo se repete até que um bit seja confirmado para ser modificado. 5. Para o bit escolhido para sofrer mutação faça C = C i e V = V i. 6. Se V < V melhor então faça V melhor = V e C melhor = C. 7. Repita os passos 2 à 6 até que um dado critério de parada seja satisfeito. 8. Retorne C melhor e V melhor. A mudança sugerida afeta os passos 2.a e 6 acima expostos. O passo 2.a passa a ser: 2. Faça V melhor ' = V melhor e C melhor ' = C melhor. Para cada bit da seqüência, em uma dada iteração, faça: a) Mude o valor do bit (de para ou para ) e calcule o valor da função objetivo V i, da configuração de bits C i. Em seguida, se V i < V melhor ' então faça V melhor ' = V i e C melhor ' = C i. e o passo 6 passa a ser: 6. Faça V melhor = V melhor ' e faça C melhor = C melhor '. Após esta modificação, o GEO passa a reter a informação da melhor configuração/solução com a qual ele se depara ao longo de toda a busca e para todas as avaliações efetuadas da função objetivo. Na forma original, a cada iteração, o GEO executa N avaliações da função objetivo, mas compara com V melhor apenas uma: aquela que efetivamente sofre mutação de seu bit, gerando o novo C e o novo V (passo 5). Assim, a menos que τ, gerando uma indesejada busca determinística local, existe uma chance não desprezível de soluções melhores, eventualmente até a solução ótima, serem encontradas e descartadas ao longo da busca. É fácil mostrar que, a cada iteração do GEO original, a probabilidade P da melhor solução (V melhor ') não ser escolhida (ou seja, V melhor V melhor ') é dada por: P( V melhor V melhor ') = + N k= 2 A tabela, a seguir, apresenta valores para esta probabilidade, para diferentes valores de τ e diferentes número de bits para a codificação das variáveis, N. Tabela - Variação de P(V melhor V melhor ') com τ e N N τ 2 k τ,9,95,99,659,722,87 2,355,373,388 3,65,67,68 4,76,76,76 5,36,36,36 A partir da Tabela, é possível perceber que para τ>3, o número de bits N utilizado na codificação deixa de ter influência sobre P. Antes disso, para τ<3, N influencia P, fazendo-o aumentar a medida que N aumenta. Para τ= ("random walk"), por exemplo, P passa de,9 com N= para,99 com N=. Analisando agora a influência sobre P do parâmetro τ para um mesmo N, temse que P cai a medida que τ aumenta. Para N=, por exemplo, P cai de,9 com τ= para,36 para τ=5. Tendo em vista que τ define o grau de determinismo da busca, este resultado é coerente. Assim, para τ=, a busca é totalmente aleatória e onde o valor de V não tem qualquer importância, fazendo com que existam 9 chances em de V melhor ' não ser escolhido para V melhor. Por outro lado, para τ=5, essa chance cai para aproximadamente 4 em, evidenciando que com τ=5 o determinismo da busca é bem maior. No caso de GEO var, o algoritmo é composto pelo mesmo número de passos do GEO, mas faz N V ordenações e mutação simultânea de N V bits (um bit em cada variável), ao invés de apenas uma, onde N V é o número de variáveis do problema. Os passos,2,6,7 e 8 são idênticos para GEO e GEO var. Em vista disso, e por brevidade, apenas os passos 3, 4 e 5 do algoritmo GEO var original serão apresentados. São eles: 3. Para cada variável j=,..,n V ordene os bits de acordo com os seus índices de adaptação, de k = para o menos adaptado à k = Nj, para o mais adaptado. Nv é o número de variáveis e Nj é o número de bits da variável j. 4. Para cada variável j=,..,n V escolha com igual probabilidade um bit candidato i para sofrer mutação (mudar de para ou de para ). Gere um número aleatório ALE, com distribuição uniforme, no intervalo [,]. Se P i (k) = k -τ for maior ou igual a ALE, o bit é modificado. Se não, o processo se repete até que um bit seja confirmado para ser modificado. () 2

3 5. Calcule V i e faça C = C i e V = V i., onde C i é a configuração resultante da modificação em C dos N V bits escolhidos para mutar. Para GEO var, o aprimoramento afeta os passos 2.a, 5 e 6 do GEO var original. O passo 2.a passa a ser: 2. Faça V melhor ' = V melhor e C melhor ' = C melhor. Para cada bit da variável e para cada respectiva variável, em uma dada iteração, faça: a) Mude o valor do bit (de para ou para ) e calcule o valor da função objetivo V i, da configuração de bits C i. Em seguida, se V i < V melhor ' então faça V melhor ' = V i e C melhor ' = C i. o passo 5 passa a ser: 5. Calcule V i e faça C = C i e V = V i., onde C i é a configuração resultante da modificação em C dos N V bits escolhidos para mutar. Se V < V melhor ' então faça V melhor ' = V e C melhor ' = C. e o passo 6 passa a ser: 6. Faça V melhor = V melhor ' e faça C melhor = C melhor '. Para GEO var, o cálculo da probabilidade P da melhor solução não ser escolhida, a cada iteração, é mais complexo. Isto ocorre porque a cada iteração do GEO var são feitas simultaneamente N V mutações de bits. A dedução da expressão de P para GEO var ainda não está concluída e, por este motivo, não será apresentada neste artigo. 4. Resultados com as Funções Teste As versões original e modificada do GEO/GEO var foram aplicadas a um conjunto de 5 funções teste (FT). Estas funções são amplamente usadas para testar algoritmos de otimização (Potter & De Jong, 994) e todas possuem o valor zero como mínimo global. O GEO/GEO var original já foi aplicado a estas mesmas funções (Sousa & Ramos, 22). Os testes efetuados neste artigo utilizam para cada uma das funções teste os valores de τ obtidos no referido artigo (Sousa & Ramos, 22), através de uma busca do tipo varredura. As figuras 2 até 6 apresentam os resultados obtidos com a versão aprimorada do GEO/GEO var, denominada GEO'/GEO var '. Em cada figura, é apresentada também a curva obtida com o GEO/GEO var original. Além disso, cada figura contém ainda a expressão que define a respectiva função teste e seus limites laterais nas variáveis de busca, bem como os valores de τ utilizados. As curvas obtidas mostram que, de fato, houve melhora no desempenho de GEO/GEO var com a modificação e isto para todas as FT's. A modificação teve maior impacto nas funções de Rosenbrock (FT) e de Schwefel (FT3), sendo a função de Ackley (FT5) aquela de menor sensibilidade à modificação GEO ORIG (τ=,75) GEO' ( τ =,75 ) GEO var ORIG (τ=,) GEO var' ( τ =, ) Figura 2 - F(x) x NAF para a função teste (FT) GEO ORIG (τ=,) GEO' ( τ =, ) GEO var ORIG (τ=,75) GEO var' ( τ =,75 ) Figura 3 - F(x) x NAF para a função teste 2 (FT2) GEO ORIG(τ=,) GEO' (τ=, ) GEO var ORIG( τ =,75 ) GEO var' ( τ =,75 ) Figura 4 - F(x) x NAF para a função teste 3 (FT3) 3

4 GEO ORIG (τ=,25) GEO' ( τ =,25 ) GEO var ORIG (τ=2,5) GEO var' ( τ = 2,5 ) A versão aprimorada do GEO/GEO var foi usada para projetar as áreas dos radiadores térmicos (vide Figura 7) localizados em cinco dos seis painéis externos da PMM (Sousa et al. 24; Galski et al., 24). Radiadores emitem calor para o espaço, mantendo assim a temperatura dos equipamentos do satélite dentro de seus limites operacionais. Carga útil PMM Figura 5 - F(x) x NAF para a função teste 4 (FT4) 5 Área dos radiadores GEO ORIG (τ=2,25) GEO' ( τ = 2,25 ) GEO var ORIG (τ=2,5) GEO var' ( τ = 2,5 ) Figura 6 - F(x) x NAF para a função teste 5 (FT5) 5. Resultados com a Plataforma Multimissão A Plataforma Multimissão do INPE (PMM) é um conceito de arquitetura de satélites que reúne em uma plataforma todos os equipamentos que desempenham funções necessárias à sobrevivência de um satélite independente do tipo de órbita ou de apontamento, ou seja, independente da sua carga útil. Neste tipo de arquitetura, existe uma separação física entre os módulos de serviço (PMM) e de carga útil, que podem então serem desenvolvidos, construídos e testados separadamente, antes da integração dos módulos e teste finais. Existe também a vantagem da reutilização do projeto da plataforma, e redução dos custos não recorrentes na fabricação de novos satélites. A Figura 7 apresenta uma vista em perspectiva da PMM (futuro módulo de serviço do SCD3 e de outros satélites a serem construídos) na sua configuração operacional, já acoplada com a carga útil. Figura 7 - A Plataforma Multimissão (PMM) O objetivo é otimizar as temperaturas médias dos painéis da PMM com relação a temperaturas desejadas (informadas à priori), tendo em vista os limites operacionais de temperatura e as condições de carga térmica existentes em duas situações críticas, conhecidas como Caso Frio - CF e Caso Quente CQ, respectivamente. A análise térmica, necessária à obtenção dos perfis de temperaturas, foi efetuada por meio do conjunto de rotinas em fortran desenvolvido pelo grupo de controle térmico do INPE e chamado PCTER (Cardoso et al., 99). O problema foi formulado e resolvido para CF e CQ em separado. Em seguida, o mesmo foi formulado considerando que os radiadores deveriam atender simultaneamente CF e CQ. O problema assim formulado foi chamado CFQ2. As Figuras 8 e 9 mostram as soluções obtidas com GEO e GEO var, respectivamente. Área do Radiador (m 2 ) CFQ2 ( GEO, τ = 2, ) A MIN A MÁX A CF A CQ A CFQ P A I N E L Figura 8 - Soluções para CF, CQ e CFQ2 (GEO) 4

5 Área do Radiador (m 2 ) CFQ2 ( GEO var, τ = 2,25 ) A MIN A MÁX A CF A CQ A CFQ P A I N E L Figura 9 - Soluções para CF, CQ e CFQ2 (GEO var ) As soluções obtidas para CFQ2, quando comparadas com as obtidas para CF e CQ em separado, mostram que uma solução intuitiva, baseada na interpolação entre CF e CQ não levaria à solução obtida em CFQ2. Este fato é mais evidente olhando-se, nas Figura 8 e 9, o painel. Nele, as áreas dadas por CF e CQ são ambas próximas a zero, enquanto a área de CFQ2 é maior que,6 m 2. No painel 4, ocorre o oposto, as áreas dadas por CF e CQ estão ambas entre,2 m 2 e,4 m 2 e para CFQ2 vale praticamente,m 2. É válido mencionar que os resultados obtidos não só despertaram interesse no grupo de controle térmico de satélites (GCTS) do INPE, como também estão sendo utilizados, de forma complementar, como ponto de partida pelos responsáveis pelo projeto térmico da PMM para análises térmicas mais complexas/detalhadas. 6. Aplicações Atuais e Futuros Desenvolvimentos Atualmente, existem diversas aplicações de GEO/GEO var em andamento. Uma delas é a continuação da aplicação no projeto dos radiadores da PMM, agora com um modelo onde os painéis solares também são considerados na análise térmica, em termos do seu efeito de radiação sobre os painéis estruturais da PMM. Em um artigo prévio (Sousa et al., 22) GEO/GEO var foi utilizado para um estudo de otimização de tubos de calor para aplicações espaciais. Dando prosseguimento àquele trabalho, uma das aplicações correntes do GEO/GEO var no grupo de controle térmico de satélites (GCTS) é na otimização de um sistema tubo de calor/radiador. O objetivo é não só prover um dispositivo que atenda requisitos de performance térmica com a menor massa possível, como também avaliar a possibilidade da utilização de fluidos de trabalho alternativos ao comumente utilizado neste tipo de aplicação, a amônia, que é altamente tóxica e apresenta uma pressão de trabalho muito elevada. Os resultados advindos deste estudo serão utilizados como subsídios para escolha dos fluidos de trabalho a serem utilizados no desenvolvimento de tubos de calor do tipo "modelo de vôo", ou seja, com qualificação para serem embarcados em satélites, dentro de um plano de trabalho a ser desenvolvido nos próximos 4 anos. Como parte do doutorado, o primeiro autor desenvolveu e está em fase preliminar de testes de outras versões modificadas do GEO/GEO var. Uma delas, monitora a evolução da busca e, ao detectar pontos de estagnação, aplica automaticamente uma reinicialização ao processo de busca. A estagnação pode ocorrer, principalmente no GEO, em estágios avançados da busca, ficando o algoritmo preso a extremos locais cujos valores sejam menores do que grande parte dos pontos no espaço de busca. Uma outra versão, aplica uma ordenação em duas vias, sendo que a extensão para uma ordenação multivias, ou n-vias, também é vislumbrada. A explicação sobre o que vem a ser ordenação n-vias está fora do escopo do presente artigo, entretanto, o objetivo do mesmo é diminuir a cobertura não uniforme do espaço de busca que ocorre intrinsecamente durante a ordenação simples. Muito embora não existam dúvidas quanto ao fato da cobertura do espaço de busca com a ordenação simples ser não uniforme, os testes para verificar se isto de fato prejudica o desempenho do GEO/GEO var ainda não foram feitos. Como desenvolvimentos futuros, estão previstos o desenvolvimento de versões paralelizadas de GEO/GEO var, bem como de versões híbridas, onde GEO/GEO var devem atuar como meta-heurísticas governando métodos de busca local determinística. 7. Conclusões Neste artigo, um aprimoramento dos algoritmos estocásticos de otimização global GEO/GEO var foi apresentado e os resultados obtidos da sua aplicação a um conjunto de funções teste foram comparados com os resultados obtidos pela versão original do GEO/GEO var. Conforme esperado, o aprimoramento ocasionou, em maior ou menor grau, melhora no desempenho de GEO/GEO var para todas as funções teste. Além disso, os resultados obtidos pela aplicação da referida versão aprimorada de GEO/GEO var ao projeto térmico dos radiadores da Plataforma Multimissão do INPE foram apresentados e comentados de forma resumida. No caso da PMM, os resultados mostraram a existência de soluções não intuitivas e de interesse prático. Finalizando, as aplicações atuais e os futuros desenvolvimentos previstos envolvendo GEO/GEO var foram também apresentados. 5

6 Referências Boettcher, S.; Percus, A. "Optimization With Extremal Dynamics". Physical Review Letters, v. 86, pp , 2. Cardoso, H.P.; Muraoka, I.; Bastos, J.L.F.; Bambace, L.A.W.; Oliveira Filho, O.B.; Leite, R.M.G. Software de Análise Térmica PCTER: Manual do Usuário, Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais, São José dos Campos, SP, Brazil, 99. Goldberg, D.E., Genetic algorithms in search, optimization, and machine learning. Addison- Wesley Publishing, New York, 989. Kirkpatrick, S.; Gellat Jr., C.D.; Vecchi, M.P. "Optimizing by simulated annealing". Science, v. 22, n. 4598, pp , 983. Potter, M.; De Jong, K.A., "A Cooperative Coevolutionary Approach to Function Optimization", Anais do Third Parallel Problem Solving From Nature, Springer-Verlag, pp , 994. Galski, R. L.; Sousa, F. L.; Ramos, F. M.; Muraoka, I. "Spacecraft Thermal Design with the Generalized Extremal Optimization Algorithm". Submetido ao Inverse Problems, Design and Optimization Symposium, Rio de Janeiro, Março, 24. Sousa, F. L. Otimização extrema generalizada: um novo algoritmo estocástico para o projeto ótimo. Tese de Doutorado (INPE-9564-TDI/836), INPE, 22. Sousa, F. L.; Ramos, F. M., "Function Optimization Using Extremal Dynamics", Anais do 4 th International Conference on Inverse Problems in Engineering, Rio de Janeiro, Brasil, 22. Sousa, F.L., Ramos, F.M., P. Paglione, R.M. Girardi, "New Stochastic Algorithm for Design Optimization", AIAA Journal, Vol. 4, Number 9, pp , 23. Sousa, F.L. Vlassov, V. e Ramos, F.M. "Generalized Extremal Optimization for Solving Complex Optimal Design Problems". Lecture Notes on Computer Science, 2723: , 23. Sousa, F. L.; Ramos, F. M.; Galski, R. L.; Muraoka, I. "Generalized Extremal Optimization: A New Metaheuristic Inspired by a Model of Natural Evolution". Aceito para publicação em Recent Developments in Biologically Inspired Computing, De Castro, L. N. & Von Zuben, F. J. (editores), Idea Group Inc., 24. Abstract This paper presents an improved implementation of the Generalized Extremal Algorithm - GEO, and its variant GEO var, and analyses the obtained performance gain, when applied to a set of test functions. This improved implementation of GEO/GEO var is one of the first results from the ongoing studies made by the first author as part of his doctorate program. Comparative performance results for GEO/GEO var and their improved versions are shown and analyzed. As an example of a practical application, it is shown the results obtained with the GEO/GEO var improved version on the design of the thermal control system of INPE's Multimission Platform (PMM). Moreover, other developments and current applications of the algorithm are commented. Sousa, F.L. Vlassov, V. e Ramos, F.M. Heat Pipe Design Through Generalized Extremal Optimization. Anais do 9 o Congresso Brasileiro de Engenharia e Ciências Térmicas, ENCIT 22, Caxambu, MG, 22. 6