A Evolução da Resolução de Problemas no Currículo Matemático

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1 A Evolução da Resolução de Problemas no Currículo Matemático Beatriz S. D Ambrosio Miami University Ohio, EUA Uma Pequena História A resolução de problemas sempre foi considerada uma parte importante do ensino de matemática. No século XIX educadores acreditavam que a resolução de problemas deveria ocorrer como a aplicação de princípios aprendidos. O objetivo era de exercitar e fortalecer os músculos do cérebro. O professor ensinava o conteúdo, o aluno praticava a aplicação. De acordo com Ray (autor de livro texto em 1856) o aluno nunca terá que aplicar nenhuma operação que não tenha sido explicada. Infelizmente, essa visão de resolução de problemas tem predominado o ensino de matemática há mais de 150 anos, apesar das diversas percepções do que deva ser o papel da resolução de problemas no ensino da matemática. Através da história encontramos muitas propostas sobre a maneira como os professores devam utilizar a resolução de problemas como atividade de sala de aula. Stanic e Kilpatrick (1988) nos oferecem uma história da resolução de problemas desde a antiguidade até o final do século XX. Eles analizam a influência de Pólya (1945, 1981) e Dewey (1933) na resolução de problemas através do século passado. A interpretação muito limitada do trabalho de Pólya resultou em propostas curriculares que (nos anos 1960 a 1990) transmitiam aos alunos uma visao da resolução de problemas como um procedimento seguindo passos determinados. As propostas curriculares incluíam a resolução de problemas como um capítulo ou como atividades independentes. A proposta decompunha a resolução de problemas em quatro subatividades: compreender o problema, desenvolver um plano, implementar o plano, e avaliar a solucao. Muita ênfase foi dada ao ensino desses quatro passos. Alunos resolviam problemas demonstrando cada passo. Ensinava-se também uma coleção de heurísticas ou estratégias de resolução. A análise mais profunda do trabalho de Pólya nos mostra uma visão de resolução de problemas muito mais rica do que a que foi assumida nas propostas curriculares. Pólya estudava o trabalho de investigação dos matemáticos e propunha um ensino que criasse oportunidades para que os alunos se comportassem como matemáticos, investigando problemas abertos e desafiantes para todos. Esse aspecto da proposta pedagógica de Pólya se perdeu na tentativa de inseri-lo em livros texto. Dewey também nos ofereceu importantes direções para a nossa reflexão sobre a resolução de problemas. Ele propunha que os projetos curriculares fossem baseados nas experiências dos alunos. Tudo que fosse colocado para o aluno sem uma âncora na sua experiência se tornaria inútil; como entulho, criando barreiras e obstruíndo a possibilidade de pensar sobre os problemas enfrentados. Na proposta de Dewey, a criança deveria enfrentar problemas reais e

2 resolver os mesmos sem uma preocupação em acumular regras e procedimentos. Regras e procedimentos, técnicas, podem ser inteligentemente, e não mecanicamente utilizados, somente quando a inteligência do aluno fez parte de sua aquisição. Tanto Pólya, em 1981, quanto Dewey, em 1933, sugeriram que o professor optasse por envolver seus alunos na resolução de poucos problemas bem escolhidos, ao inves de carregar o currículo com tantos conceitos e procedimentos. O Ensino de Matemática via a Resolução de Problemas A partir dos anos 90 a resolução de problemas se tornou uma parte mais integrante da sala de aula de matemática. Surgiram as propostas curriculares que situavam o ensino de matemática via a resolução de problemas. A proposta era de colocar problemas aos alunos a partir dos quais novo conteúdo pudesse ser desenvolvido. Surgiram várias propostas interessantes como o uso de modelagem, e o uso de problemas de investigação, a serem resolvidos individualmente ou em pequenos grupos. Com uma postura diferente quanto aos tipos de atividade a serem propostas aos alunos, modificava-se a dinâmica da sala de aula. Modificavam-se os livro textos, e modificavam-se também as conversas sobre avaliação. O ensino de regras e procedimentos se tornava menos enfatizado na aula de matemática. Alunos estabeleciam um novo relacionamento com a disciplina da matemática. A questão de motivação e a disposição emocional dos alunos quanto à matemática se tornava um elemento importante da conversa sobre ensino e aprendizagem. Ofereço alguns exemplos de problemas que encontramos nos novos currículos matemáticos criados nos anos 90. Nos anos iniciais, encontramos propostas diversas com uma preocupação em motivar as crianças. Uma estratégia comum é o uso de literatura infantil para situar os problemas de investigação para as crianças. Exemplo 1: O Caldeirão Mágico Após a leitura do livro infantil Two of Everything (de Lily Toy Hong, 1993), em que um pobre fazendeiro encontra um caldeirão mágico que dobra tudo que for colocado dentro dele, propoem-se ás crianças a pergunta: O que occoria se todos nós caíssemos dentro do caldeirão mágico? Escreva sua proposta para resolver o problema e descreva as dificuldades que teríamos com uma turma dobrada. (Economopoulos e Russell, 1998). O livro serve de motivação para uma fantasia infantil que gera problemas matemáticos sobre a multiplicação por dois. As crianças têm experiência com a soma e subtração. Essa experiência vai servir de fundamentação para a investigação da matemática motivada pelo caldeirão mágico. Dobrar o número de alunos na turma é um desafio para as crianças de 6 ou 7 anos. O problema motiva a invenção de estratégias e a conecção a ideais já desenvolvidas sobre a soma de números inteiros. Surge também a oportunidade de envolver as crianças na investigação de dobrar quantidades de dinheiro, com moedas, gerando a oportunidade para a construção de ideias sobre o uso de números racionais representados por decimais. Mais ainda, a curiosidade dos alunos pode levar a propostas de problemas muito mais desafiantes.

3 Por exemplo, se quisermos quatro chocolates para cada aluno, e temos apenas dois chocolates, como podemos usar o caldeirão para atingirmos nosso objetivo. Com a motivação gerada por essa fantasia, as crianças podem ser desafiadas a explorarem a matemática fascinante da função potencial (2 x ). Tudo depende da disposição das crianças (e do professor) para brincar com a matemática criada por essa fantasia. Exemplo 2: Camisas e Bebidas Considere o segundo exemplo com crianças um pouco mais velhas, 9 ou 10 anos. Esse problema é proposto para motivar a construção do pensamento pre-algébrico. Figura 1: Desenvolvimento do pensamento algébrico (National Center for Research in Mathematical Sciences Education and Freudenthal Institute, 1998). Pergunta-se aos alunos que determine o preço das camisas e das bebidas sabendo o preço pago por diferentes combinações de camisas e bebidas. Neste caso a fantasia apoia-se na experiência dos alunos com o ato de se comprar objetos. A variedade de soluções propostas pelos alunos é imprevisível por muitos professores, que em geral abordam o problema de forma algébrica. Num trabalho recente com jovens encontramos diversas soluções distintas. Apresento apenas uma delas aqui e faço uma análise do potencial para analisarmos o pensamento algébrico emergente. Aluno 1: O que fiz foi usar a primeira figura e tirei uma camisa e uma bebida, ficando $22. Daí notei que na segunda figura posso ver que a camisa com uma bebida seria $22, mas ainda teríamos duas bebidas que custariam $8 (já que =30). Portanto uma bebida vai custar $4. E uma camisa custa $18.

4 Percebemos que esse aluno está utilizando, de maneira informal vários passos algébricos. Num primeiro passo ele percebe que se 2C + 2B = 44, então C + B = 22. No segundo passo o aluno usa as propriedade associativa e percebe que C + 3B = 30 pode ser vista como (C + B) + 2B = 30. Segue com uma substituição e determina que B = 30, consequentement 2B = 8, e B = 4. O pensamento algébrico emergente pode servir de oportunidade para a professora começar a discussão da manipulação simbólica mais formal. A variedade de soluções cria uma oportunidade para a discussão entre os alunos de muitas ideais matemáticas variadas. O ponto chave desse problema é o potencial que ele gera para se discutir diversas ideais matemáticas geradas pelos próprios alunos, motivadas pelo contexto do problema. Exemplo 3: Definições Matemáticas e Fórmulas de Área Finalmente, apresento um problema apropriado para alunos do ensino secundário, anos, aprendendo conceitos geométricos. O seguinte problema é proposto aos alunos (Borasi e Fonzi, sem data). Figura 2: Definições e fórmulas geométricas. (Borasi e Fonzi, sem data) O professor de geometria mostra as figuras acima e lhes dá nome: Todas essas figuras são chamadas Figuras da Raffaella. Vamos definir tais figuras e vamos criar uma maneira de determinar a área dessas figuras. Os alunos, em pequenos grupos, examinam as figuras que pertencem a esse grupo, discutem suas características e propriedades, procurando defini-las. Em seguida, levantam conjeturas e hipóteses sobre a determinação da área das figuras. Esses alunos participam de um processo que simula o trabalho de matemáticos. O problema, de um rigor matemático maior do que os enfrentados nas séries anteriores, exige do aluno uma postura de investigação, de alta demanda cognitiva. A oportunidade de fazer matemática assemelha-se à proposta pedagógica de Pólya para a resolução de problemas. O problema proposto exige que os alunos negociem, dentro de uma comunidade de matemáticos, uma definição matemática, uma generalização de

5 como encontrar a área de tais figuras, e uma prova da generalização como efetiva para todos os casos de Figuras da Raffaella. O projeto tem um fim bem definido, porém o caminho a ser tomado é completamente indeterminado a princípio. Exige dos alunos que façam um plano de trabalho e sigam o plano para a investigação em grupo. Natureza dos Problemas ou Atividades Propostas aos Alunos O professor é a força principal determinando as atividades a serem desenvolvidades em sala de aula. Ele busca respaldo no livro texto, mas em geral resolve independentemente quais atividades proporá aos seus alunos. A escolha de atividades pelo professor tem sido o objeto de pesquisa nos mais recentes estudos sobre resolução de problemas. Os trabalhos do projeto Quasar nos EUA demonstram que alunos que resolvem problemas com frequencia em sala de aula tem maior sucesso em avaliações a nível nacional e internacional, mesmo quando ênfase de tais avaliacoes seja mais voltada aos procedimentos do que a resolução de problemas. A dimensão mais importante parece ser a oportunidade de resolver problemas que exigem um grande esforço cognitivo. Passa-se então a classificar problemas do ponto de vista da demanda cognitiva exigido do aluno. Com isso fica claro que o que constitue um problema para um aluno, pode não ser problema para outro, o que não é novidade, porém o refinamento dessa afirmação passa a ter nova vida. Aparece uma classificacao de problemas pelas exigencies cognitivas: memorização, aplicação de procedimentos sem conecções, aplicação de procedimentos com conecções, e o fazer matemática (Henningsen and Stein, 1997). Memorização Ordem das operações, regras de sinais, fórmulas de perímetro ou área, etc. Aplicação de procedimentos sem conecções Soma de frações, multiplicação de números inteiros, regra de tres, etc. Aplicação de procedimentos com conecções Soma de frações, demonstrada com differentes materiais didáticos. Diferentes modelos geométricos para demonstrar a propriedade distributiva. Fazer matematica (comportando-se como um matemático) Problemas que exigem do aluno uma criatividade na proposta de solução, onde a abordagem não tem direção imediatamente identificável. Por exemplo, explicar por que qualquer número com 5 no valor posicional da unidade, quando elevado ao quadrado, resulta com o número 25 na dezena e unidade = 625; 35 2 = 1225, etc. Para muitos alunos esse problema vai exigir que ele pense criativamente, como faria um matemático.

6 Essa proposta sugere que os professores devam analisar as atividades de sala de aula e manter o trabalho do aluno ao nível de maiores exigências cognitiva, ou seja de aplicação de procedimentos com conecções e os problemas que os envolvam no ato de fazer matemática. Estuda-se também a habilidade dos professores em sustentar uma atividade que leve a construção de conhecimento, ou seja, atividades de alta demanda cognitiva durante toda uma aula. Esses estudos revelam que não é incomum o professor estragar o problema, eliminando todo o desafio para o aluno. O problema resolvido pelo professor não tem o mesmo efeito daquele resolvido pelos alunos, sem muita intervenção do professor. Vários estudos revelaram que o professor que estraga o problema muitas vezes não percebe o efeito negativo de sua intervenção. Porém é possível levar o professor a refletir sobre a aprendizagem de seus alunos consequentes da atividade em sala de aula e de sua intervenção. Professores que alteram a demanda cognitive de um problema não o fazem por mal, mas em geral o fazem para evitar o desânimo do aluno. As consequências desses atos para a aprendizagem podem ser devastadoras pois muitas vezes resultam na atitude de espera que alguém acaba me mostrando. Ou se eu tiver dificuldade o professor acaba fazendo para mim. Ou o professor não deve achar que eu sou capaz de fazer sozinho, pois sempre me diz o que fazer para resolver o problema assim que eu começo a vascilar ele intervem. Todas essas atitudes são debilitantes para o aluno de matemática e interferem na aprendizagem e no seu desenvolvimento com o pensamento matemático. A tecnologia moderna gera oportunidades de aprendizagem que vão um passo além do que se pode obter com o tradicional papel e lápis. A tecnologia cria um espaço de investigação que junta o lúdico, o visual, e o dinâmico! Os alunos de hoje se sentem à vontade nesse espaço, e poderão transcender de um mundo escolar com motivação puramente extrínsica para um mundo matemático pessoal e repleto de motivação intrínsica. Criando assim um novo relacionamento entre o aluno e a matemática. Desafio à Comunidade de Educadores Matemáticos O grande desafio da comunidade de educadores matemáticos é o de apoiar os professores a desenvolverem o seu repertório de problemas de alta demanda cognitiva. E de oferecer apoio para que eles passem a confiar na atividade do aluno como elemento chave para resultar na aprendizagem da matemática. A falta de confiança no processo de construção do conhecimento, inevitavelmente resulta na eliminação (ou diminuição) das oportunidades oferecidas aos alunos para resolverem problemas de alta demanda cognitiva.

7 Referências: Borasi, R. e Fonzi, J. (sem data). Introducing Math Teachers to Inquiry: A Framework and Supporting Materials for Teacher Educators. Material multi-media, não publicados. D Ambrosio, B. (2003). Teaching Mathematics through Problem Solving: A Historical Perspective. Lester, F. e Charles, R. (Eds.). Teaching Mathematics through Problem Solving, pg Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Dewey, J. (1933). How we think: A Restatement of the Relation of Reflective Thinking to the Educative Process. Boston: D.D. Heath & Company. Economopoulos, K. e Russell, S. (1998). Coins, Coupons, and Combinations: The Number System. Volume para segundo ano de matemática do currículo de título: Investigations in Number, Data, and Space. White Plains, NY: Dale Seymour Publications. Henningsen, M.A. e Stein, M.K. (1997). Mathematical Tasks and Students Cognition: Classroom based Factors that Support and Inhibit High Level Mathematical Thinking and Reasoning. Journal for Research in Mathematic s Education, 28: Hong, L.T. (1993). Two of Everything. Morton Grove, Ill: Albert Whitman & Company. National Center for Research in Mathematical Sciences Education and Freudenthal Institute. (1998). Comparing Quantities. Unidade do currículo: Mathematics in Context. Chicago, Ill: Britannica Encyclopedia Corp. Pólya, G. (1945). How to Solve It. Garden City, N.Y.: Doubleday. Pólya, G. (1981). Mathematical Discovery: On Understanding, learning, and teaching Problem Solving. New York: John Wiley and Sons. Ray, J. (1857). Practical Arithmetic. Cincinnati, OH: Wilson, Hinkle & Co. Stanic, G. e Kilpatrick, J. (1988). Historical Perspectives on Problem Solving in the Mathematics Curriculum. In Charles, R. and Silver, E. (Eds.). The Teaching and Assessing of Mathematical Problem Solving, pp Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.