Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de Física Dinâmica de Crescimento no Modelo de Potts

Transcrição

1 Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de Física Dinâmica de Crescimento no Modelo de Potts * Marcos Paulo de Oliveira Loureiro Prof. Jeferson J. Arenzon Prof. Daniel Adrian Stariolo

2 GRUPO DE SISTEMAS COMPLEXOS Faculty: * Prof. Jeferson J. Arenzon, Doctor, UFRGS, * Prof. Marcia C. B. Barbosa, Doctor, UFRGS, * Prof. Yan Levin, Doctor, UC Berkeley, * Prof. Daniel Stariolo, Doctor, CBPF, Pos Docs * Aline Lopes Balladares, Doctor, UFRGS, 2008 * Alexandre Derivi, Doctor, UFRGS, 2008 * Alan Barros de Oliveira,Doctor, UFRGS, * Evy Salcedo, Doctor, UFRGS, 2006 * Fabio Campos Poderoso, Doctor, USP Sc, 2007 Graduate Students: * Thiago Colla, B.Sc., UFRGS, * Ney Marçal Barraz Junior, MSc, Viçosa * Marcos Paulo Loureiro, MSc, Viçosa * Lucas Nicolau, M.Sc., UFRGS, * Tarcísio T. Nunes, B.Sc., UEFS, * Luiz A.M. Salcedo, M.Sc., ITA, * Alexandre Pereira dos Santos, B.Sc., UFRGS, * Jonathas Nunes da Silva, M.Sc., UFAM, * Marcia Martins Szortyka, M.Sc., UFRGS, * Ana Carolina Ribeiro Teixeira, M.Sc., UFRGS, * Franco Valduga, B. Sc., UFRGS,

3 Motivação A dinâmica de crescimento (coarsening) fora do equilíbrio, onde diferentes fases de equilíbrio competem, está presente em diferentes tipos de sistemas como em espumas, flutuações de interfaces, sistemas magnéticos, polímeros e cristais líquidos. Uma característica comum de quase todos os sistemas que apresentam coarsening é que são bem descritos por uma teoria fenomenológica de escalas na qual há um único comprimento característico, R(t), que cresce com o tempo. Em sistemas ferromagnéticos, os domínios da fase ordenada crescem com o tempo sob a influência da tensão superficial nas interfaces. Recentemente, a primeira evidência analítica para validar a hipótese de scaling dinâmico em 2d foi apresentada.

4 O Modelo de Potts Proposto em 1951, o modelo surgiu da generalização do modelo de Ising para mais de duas componentes de spin; J constante de acoplamento entre spins; s i = 1,..., q H= J s i, s j i, j representa cada um dos estados do spin ; s i, s j = 1 se s i =s j 0 se s i s j s i q possíveis função delta de Kronecker. Renfrey Burnard Potts 04/10/ /08/2005

5 Definições Definimos por aglomerados (clusters) um conjunto de um ou mais elementos com características comuns e que se encontram agrupados. Em sistemas magnéticos, chamamos estes aglomerados de domínios magnéticos (regiões contínuas de spins paralelos). Imagem de MFM (Magnetic Force Microscope) mostrando a presença de domínios em uma amostra de magnetita. As regiões escuras correspondem as paredes que separam os domínios (hulls)..

6 Definições Chamamos o perímetro que cerca cada domínio de hull; A área do hull é definida como a área do domínio mais a área de qualquer subdomínio interno; R 2 R 1 A h 1 = R 1 2 A h 2 = R 2 2 A d 1 = R 1 2 R 2 2 A d 2 = R 2 2 p h 1 =2 R 1 p h 2 =2 R 2 p 1 d =2 R 1 R 2 p d 2 =2 R 2

7 Objetivo Nosso objetivo foi estender a análise da distribuição de áreas dos hulls para o modelo de Potts com q estados. Em particular, nós estudamos como o comportamento apresentado pelo modelo de Ising muda na presença de competição entre q > 2 estados de equilíbrio. Analisamos o comportamento da distribuição quando o sistema apresenta uma transição de primeira ordem (q > 4) partindo da fase de altas temperaturas.

8 Resultados q=3 q=6 t

9 Resultados Distribuição de áreas dos hulls por unidade de área: n h A,t = 2 c h A t 2 onde c h =1/8 3 constante universal; parâmetro que depende do material;

10 Resultados Distribuição de áreas dos hulls por unidade de área: t 2 n h A,t = 2c h A/t 2 onde c h =1/8 3 constante universal; parâmetro que depende do material;

11 Conclusões Diferentemente do que ocorre na distribuição para q=2 (Ising), quando aumentamos o número de estados o sistema torna se mais lento fazendo com que o tempo necessário para atingirmos o limiar de percolação crítica seja muito grande ; t q Sistemas que evoluem a partir do seu estado crítico (T c ) apresentam uma distribuição de áreas dos hulls de acordo com a forma analítica 2 c n h A,t h = A t 2 prevista para q=2 (Ising);

12 Perspectivas Estudar as propriedades de crescimento para o modelo em 3D;

13 Referências Domain growth morphology in curvature driven two dimensional coarsening A. Sicilia, J.J. Arenzon, A.J. Bray and L.F. Cugliandolo 2007 Phys. Rev. E Exact results for two dimensional coarsening Proceedings of the Statphys 23, 2007, July 9 13, Genova, Italy J.J. Arenzon, A.J. Bray, L.F. Cugliandolo and A. Sicilia 2008 Eur. Phys. J. B in press Geometric properties of two dimensional coarsening with weak disorder A. Sicilia, J.J. Arenzon, A.J. Bray and L.F. Cugliandolo 2008 Europhys. Lett Experimental test of curvature driven dynamics in the phase ordering of a two dimensional liquid crystal A. Sicilia, J.J. Arenzon, I. Dierking, A.J. Bray, L.F. Cugliandolo, J. Martinez Perdiguero, I. Alonso, and I.C. Pintre 2008 submitted

14 OBRIGADO!!!

15 O Modelo de Potts Podemos representar o modelo de Potts por meio de uma notação vetorial, usando a simetria do espaço dimensional. Assim, ij = 1 q [ 1 q 1 s i s j ] q 1 sendo q o número de possíveis estados associados ao spin.