UM MÉTODO DE MEDIÇÃO DA POTÊNCIA ATIVA UTILIZANDO SOMENTE VALORES EFICAZES

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1 UM MÉODO DE MEDIÇÃO DA POÊNCIA AIVA UILIZANDO SOMENE VALORES EFICAZES André Luiz Gontijo, Luciano Martins Neto Laboratório de Máquinas Elétricas, Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade Federal de Uberlândia CEP 384-9, C.P. 593, Uberlândia MG, Brasil Resumo Este artigo apresenta uma nova abordagem no cálculo da potência ativa consumida por uma carga, através de sinais de tensão proporcionais aos valores eficazes da tensão e da corrente juntamente com o valor eficaz da soma ou da diferença destes dois sinais. Esta abordagem é interessante quando a obtenção de valores eficazes é simples e econômica comparada com a obtenção dos valores instantâneos. A análise matemática é apresentada em detalhe, bem como o funcionamento de um protótipo, e testes que permitem a confrontação teórica experimental. Palavras-Chave Fator de Potência, Potência Ativa e Valor Eficaz. A MEHOD OF MEASURING ACIVE POWER ONLY USING RMS VALUES Abstract his paper shows a new approach in the calculus of the active power consumed by a load through signals of voltage, that are proportional to the RMS values of the voltage and of the current, together with RMS value of the sum or difference of these signs. his approach it s interesting when the attainment of the RMS values it s simple and economic compared with the attainment of instantaneous values. he mathematical analysis is presented in details, as the operating principle of the prototype and the tests realized allow the confrontation of the theory and the pratics. Keywords Active Power, Power Factor and RMS Value. V( I( Vv( S( D( Vv Vi S D P Ps Kv Ki NOMENCLAURA ensão Instantânea. Corrente Instantânea. Sinal de tensão proporcional a V( Sinal de tensão proporcional a I( Soma Instantânea. Diferença Instantânea. Valor Eficaz de Vv( Valor Eficaz de Valor Eficaz de S( Valor Eficaz de D( Período. Potência Ativa. Valor proporcional à P Constante de proporcionalidade de Vv( Constante de proporcionalidade de I. INRODUÇÃO Um trabalho de grande interesse para a economia nacional se refere a análise tecnicamente mais aprimorada da conservação de energia notadamente nas áreas industrial e comercial. alvez o maior problema que se enfrenta quando se pretende fazer uma análise desse tipo está relacionado com as medições de potência, principalmente com a potência ativa. Para se realizar um trabalho eficiente se faz necessário monitorar a potência ativa em diversos pontos da instalação elétrica, de forma concomitante. Quando se trata de uma indústria ou mesmo de um comércio, facilmente se depara com dezenas de pontos de medição simultânea, e a utilização de medidores atualmente disponíveis no mercado torna-se inviável economicamente. Mesmo supondo que uma empresa de consultoria venha fazer esta análise, o investimento inicial para a própria empresa é elevado, considerando o custo unitário de tais medidores. Atualmente existem vários medidores de potência ativa disponíveis no mercado e, quase todos eles se utilizam do método mais genérico de cálculo da potência ativa que consiste em obter os valores instantâneos de tensão e corrente em um determinado circuito, e integrar o seu produto ao longo de um período. Muitos desses medidores são caros, pois necessitam amostrar com precisão os valores instantâneos de tensão e de corrente, ou seja, o número de amostras por período deve ser grande o suficiente para que o sinal seja aquisicionado corretamente, e ao mesmo tempo armazenar estes valores em uma memória para posterior análise. Para realizar todas essas funções são necessários processadores muito rápidos, e às vezes até dois processadores funcionando em paralelo, daí o seu encarecimento. Alguns desses medidores se utilizam deste método porque são construídos não só para analisar a potência ativa, mas também para realizar outras medidas para análises mais apuradas, por exemplo, em qualidade de energia. Mas existem aplicações em que estas medições são desnecessárias, como é o caso de análise de demanda ou quando é necessário apenas medir a potência ativa em determinada carga. Este trabalho vem procurar contribuir para o desenvolvimento de um método simples e eficaz de medir a potência ativa, se desvinculando da forma tradicional. Visa fornecer uma forma alternativa para o cálculo da potência ativa nos casos em que somente ela é necessária, o que acarretaria em um medidor mais econômico e dimensionado corretamente para a tarefa em questão. O método a ser proposto é aplicável quando é possível se obter facilmente o valor eficaz de um sinal qualquer, ou um

2 valor proporcional a ele, caso contrário, se fosse preciso calcular os valores eficazes da tensão e da corrente da forma tradicional o método já não se torna atrativo. Uma vez suposto fácil a obtenção do valor eficaz de um sinal qualquer, o método apresentado aqui facilita a obtenção da potência ativa, tornando-se possível, por exemplo, a construção de analisadores de demanda de potência e também de wattímetros digitais mais baratos. Para instalações onde se pode considerar a forma de onda senoidal para tensão e corrente, a obtenção dos valores eficazes é simples e econômica, pois esses valores são proporcionais aos valores máximos, e estes por sua vez, são facilmente obtidos através de uma simples retificação. Quando as formas de onda não são senoidais, na grande maioria das instalações, a tensão é muito próxima da senóide, enquanto que a corrente geralmente tem maiores distorções. Neste caso o cálculo da potência ativa considerando apenas as componentes fundamentais de tensão e de corrente é muito próximo do valor exato. Este fato possibilita a aplicação do método proposto para instalações dessa natureza. II. ANÁLISE MAEMÁICA Neste capítulo será discutida toda a análise matemática, incluindo o desenvolvimento dos métodos da soma e da diferença, bem como o estudo da sensibilidade dos métodos e a influência do erro de conversão nos métodos. Com base na discussão em torno desses erros será mostrado que o método da diferença é melhor que o da soma. A. Métodos Existem dois métodos possíveis a serem mostrados, o da soma e o da diferença. O desenvolvimento matemático dos dois métodos será mostrado paralelamente. Após a análise matemática será discutido qual método é o melhor. Supondo que se queira obter a potência ativa em jogo no bipolo da figura 1, pode-se inicialmente dispor de dois sinais de tensão, Vv( e, respectivamente proporcional à tensão V( e à corrente I( nos terminais do mesmo. Estes sinais de tensão são obtidos através de sensores de tensão e corrente, como por exemplo, um divisor de tensão e um shunt de corrente, ou sensores de efeito Hall. Dados os sinais proporcionais à tensão e à corrente instantâneas podemos achar os valores da soma e da diferença instantâneas entre estes dois valores. Elevando estes valores ao quadrado temos (1) e (). Fig. 1. ensão, corrente e seus respectivos sinais sensoriados. ( Vv ( ) = S ( ( Vv ( ) = D( + (1) () Desenvolvendo (1) e () chega-se às equações (3) e (4). Vv ( + + Vv( = S( (3) Vv ( + Vv( = D( (4) Supondo todos os sinais como sendo periódicos, pode-se integrar as equações (3) e (4) dentro de um período, e dividir cada parcela das equações pelo próprio período gerando (5) e (6) Vv( dt + dt + Vv( dt = S( dt (5) Vv( dt + dt Vv( dt = D( dt (6) Sabe-se que a definição do cálculo da potência ativa é dada por (7), onde Kv e Ki são as constantes de proporcionalidade da tensão e da corrente, respectivamente, e a definição do calculo do valor eficaz de uma forma de onda periódica qualquer é dado por (8), assim chega-se às equações (9) e (1). KvKi P = V t I t dt = Vv t Vi t dt = KvKi Ps ( ) ( ) ( ) ( ) W = 1 W ( dt (8) Vv + Vi + Ps = S (9) Vv + Vi Ps = D (1) Isolando o valor da potência Ps nas equações (9) e (1) tem-se (11) e (1), que são as formas finais das equações utilizadas neste trabalho, sendo que (11) representa o método da soma e (1) o método da diferença. S Vv Vi Ps = (11) Vv + Vi D Ps = (1) Com o valore de Ps pode ser achado o valor de P através das constantes de proporcionalidade Kv e Ki, obedecendo a relação que aparece na equação (7). B. Estudo da sensibilidade dos métodos Considerando-se sinais de tensão e corrente em regime permanente senoidal pode-se estudar o efeito da variação do fator de potência da carga nas fórmulas (13) e (14), que foram desenvolvidas através das fórmulas (11) e (1), com isto pode-se observar a sensibilidade dos métodos. S Vv Vi Cos( α ) = (13) Vv Vi Vv + Vi D Cos( α ) = (14) Vv Vi Mantendo os valores eficazes de tensão e corrente fixos e variando os valores eficazes da soma e da diferença tem-se uma variação do fator de potência da carga. Através desta análise construímos o gráfico da figura. Observando-se a figura nota-se que para uma mesma variação nos valores de S e D, próximo ao fator de potência unitário, implica em uma grande variação no fator de potência no caso da soma, e em uma pequena variação nesse mesmo valor no caso da diferença.

3 Fig.. Gráfico do fator de potência em função de S ou D Fig. 3. Mapa de erro (Método da Soma). Como a maioria das cargas apresenta fator de potência mais próximo da unidade do que de zero, conclui-se que o método da diferença é melhor que o da soma para medir a potência ativa, devido a sua alta sensibilidade a variações na faixa onde o fator de potência é próximo da unidade. C. Erro de conversão O erro de conversão aparece somente em sistemas onde há uma conversão de analógico para digital. Quando essa conversão é feita alguma precisão é perdida. Para minimizar este erro pode-se somente aumentar o número de bits utilizados na conversão. Devido à fórmula utilizada, o erro de conversão pode se tornar grande e limitar o uso deste método para apenas uma faixa de atuação. Sabendo que o erro varia com o tamanho da corrente e com o ângulo de carga, foi utilizado um programa feito no Matlab para prever o comportamento deste erro utilizando os métodos da soma e da diferença. Este programa foi feito considerando que as correntes e tensões estão em regime permanente senoidal. No cálculo foi fixado o valor da tensão em 17 Volts, o valor do fundo de escala da tensão em 18 Volts e o número de bits utilizado na conversão foi de 8 bits. Assim foram gerados os mapas de erro da soma (figura 3) e da diferença (figura 4). Através destas figuras podemos notar que: O método da diferença é melhor por ser menos sensível à digitalização, como explicado no item anterior. Quanto mais longe a corrente está do fundo de escala maior o erro apresentado. O mesmo vale para tensão, mas como ela varia muito menos que a corrente é mais fácil ajustar o fundo de escala de tensão para que ele fique o mais próximo possível do valor medido. Fig. 4. Mapa de erro (Método da Diferença). III. O PROÓIPO Foi construído um protótipo para medição de uma carga trifásica em regime permanente senoidal. Este protótipo obedece ao esquema da figura 5, sendo que cada medidor da figura pode ser mostrado em detalhe no diagrama de blocos da figura 6, onde pode ser observado que o protótipo foi construído para trabalhar com o método da diferença, uma vez que este foi comprovado como sendo o melhor. Porém deve-se ressaltar que o sistema trifásico a ser medido deve estar na área permitida em azul, na figura 4, nas três fases para que o erro seja, com certeza, menor que 1%. Quanto maior o ângulo maior o erro. Isto devido à não linearidade da fórmula, pois como já foi visto, pelo método da diferença quanto maior o ângulo maior o erro devido à não linearidade. Fig. 5. Diagrama de Blocos do Protótipo.

4 Fig. 6. Diagrama de Blocos do Medidor. Os transdutores utilizados na captação dos sinais instantâneos de corrente foram sensores de efeito Hall. Este tipo de transdutor foi escolhido por oferecer uma boa isolação elétrica entre a carga e o circuito de medição, alem de apresentar uma resposta rápida. No caso da obtenção dos sinais instantâneos de tensão, foram utilizados amplificadores diferenciais, porque eram mais práticos e atendiam os requisitos necessários para a medição de tensão da rede. A disposição dos transdutores no protótipo pode ser vista na figura 7. Lembrar que foi necessário um conjunto de três retificadores para cada fase, um para a tensão, outro para a corrente e outro para o sinal da diferença. Após esta fase, há a presença de um multiplaxador, mostrado na figura 5, pois o microcontrolador que foi utilizado possuía apenas oito conversores A/D e eram necessários nove conversores, um para cada sinal. Para esta tarefa foram utilizados três conjuntos de chaves analógicas CMOS 466. Para a aquisição e armazenamento dos valores lidos foram utilizados um microcontrolador PIC 16F877 e seis unidades de memória IC 4LC56. Os dados foram armazenados para depois serem passados ao computador através de comunicação serial. Resumindo, o protótipo pega uma amostra da tensão retificada, que é proporcional ao valor eficaz, da corrente retificada e da diferença retificada em cada fase a cada 1 segundo e realiza os cálculos gerando uma curva com os valores da potência instantânea em cada segundo de medição. A análise dos dados foi feita através de um programa feito em Matlab. IV. RESULADOS EXPERIMENAIS Foram realizados dois testes com o protótipo, o primeiro utiliza uma carga monofásica Z ligada de forma a simular uma carga trifásica equilibrada em estrela, conforme a figura 9. Neste primeiro teste foram feitos três ensaios, um para cada valor de Z apresentado na tabela I. O outro teste consiste em utilizar uma carga trifásica conectada em estrela. Neste teste se repetem as medições para as duas cargas mostradas na figura 1. Fig. 7. Esquema dos transdutores. Foram utilizados também, filtros butterworth de 3ª ordem para filtrar os sinais de entrada de tensão e corrente, onde somente a componente fundamental de 6Hz seja medida. Isso porque, como se sabe, a tensão da rede sempre é muito próxima a 6Hz e como a potência ativa depende da tensão, a maior parte, senão toda, da potência ativa se encontra na fundamental. Após a obtenção dos três sinais (tensão, corrente e diferença) filtrados, estes sinais foram retificados em dois estágios. O primeiro estágio foi a retificação do sinal em onda completa, já o segundo estágio foi o alisamento das formas de onda obtidas. As etapas de filtragem retificação e alisamento podem ser vistas na figura 8. ABELA I Valores de Z utilizados no 1º teste Ensaio Resistência (Ω) Indutância (mh) 1 31,3 16,37 31,3, ,3 38,33 No primeiro teste foi utilizado um osciloscópio do tipo HS 7 da ektronic para medir a tensão, a corrente e a potência ativa consumida pela carga monofásica Z, e assim poder comparar com os resultados obtidos pelo medidor proposto. Fig. 8. Condicionamento de sinais. Fig. 9. Conexão do primeiro teste.

5 Fig. 1. Cargas do segundo teste. primeiro ensaio. segundo ensaio Fig. 13. Segundo Ensaio (Medidas do Osciloscópio) Fig. 11. Primeiro Ensaio (Medidas do Osciloscópio) (c) (d) Fig. 1. Potência Ativa Medida 1º Ensaio Potência otal; Potência Fase A; (c) Potência Fase B; (d) Potência Fase C; Na figura 11 são apresentadas as medidas obtidas através do osciloscópio, onde a figura 11. mostra a tensão e a corrente amostradas e a figura 11. mostra o produto da corrente pela tensão e o valor da potência ativa, calculada pelo osciloscópio como sendo a média do produto entre tensões e correntes. Como dito anteriormente, este primeiro teste simula uma carga trifásica equilibrada, deste modo, será apresentado na figura 1 os resultados obtidos com o protótipo, sendo que a linha em azul representa o valor medido, e a linha vermelha o valor real da potência, medida pelo osciloscópio. As figuras 13, 14, 15 e 16 mostram as medições e os resultados para os outros dois ensaios. Como pode ser visto nas figuras 11.a, 13.a e 15.a, embora o sinal de tensão esteja (c) (d) Fig. 14. Potência Ativa Medida º Ensaio Potência otal; Potência Fase A; (c) Potência Fase B; (d) Potência Fase C; senoidal, a corrente possui distorções, mas mesmo assim as medições foram satisfatórias, e estas distorções não afetaram de forma crítica a medição da potência ativa. O método de medição utilizado no segundo teste foi análogo ao método dos três wattímetros[1], onde o ponto comum foi colocado no neutro e as cargas, como pode ser visto nas figuras 1 e 11, não são conectadas no neutro. Para uma melhor aferição foi utilizada uma placa de aquisição de dados conectada em paralelo com a carga e sincronizado, de forma que a primeira medição do protótipo corresponda ao valor medido pela placa de aquisição. O software utilizado pela placa de aquisição foi feito em LabView pelos professores Luciano Vieira Lima e Alcimar Barbosa Soares, e calcula as tensões e correntes eficazes bem como a potência ativa e reativa consumida pela carga. Fig. 15. erceiro Ensaio (Medidas do Osciloscópio)

6 V. CONCLUSÃO (c) (d) Fig. 16. Potência Ativa Medida 3º Ensaio Potência otal; Potência Fase A; (c) Potência Fase B; (d) Potência Fase C; Os parâmetros utilizados na placa de aquisição foram de seis canais, sendo três correntes e três tensões, 5 amostras por canal e uma freqüência de amostragem de 5 Hz. Essa freqüência de amostragem se mostrou satisfatória, pois tira os ruídos de alta freqüência presentes nos sinais dos sensores, o que não prejudicou em nada a aferição porque o protótipo somente lida com as componentes fundamentais. ABELA II Resultados da primeira medição Grandeza Sistema de Aquisição Protótipo Va 17,15 V 17,5 V Vb 19,8 V 19,67 V Vc 19,6 V V Ia 1,79 A 1,77 A Ib 1,84 A 1,84 A Ic 1,81 A 1,8 A Potência 697,8 W 699,91 W Erro de,3% Na tabela II, estão os resultados da primeira medição, onde são mostrados todos os parâmetros medidos e as comparações com os valores obtidos pelo protótipo. emos também a tabela III que nos mostra uma comparação das medidas realizadas pela placa de aquisição e pelo protótipo no ensaio com carga desequilibrada. ABELA III Resultados da segunda medição Grandeza Sistema de Aquisição Protótipo Va 17,3 V 17,5 V Vb 18,87 V 18,36 V Vc 19,94 V 19,1 V Ia,5 A,4 A Ib,73 A,7 A Ic 1,86 A 1,84 A Potência 857,99 W 866,56 W Erro de,998% Diante dos estudos teóricos realizados e do desenvolvimento prático apresentado nesta dissertação chegou-se a várias conclusões importantes, dentre elas o fato de que, dos dois métodos apresentados e desenvolvidos o método da diferença foi o que mostrou melhores resultados no calculo da potência ativa, sendo que o método da soma foi, por este motivo, descartado. Outra conclusão que se pode obter com o trabalho apresentado é que, assim como no caso dos medidores digitais tradicionais, o medidor construído também possui as limitações de número de bits de conversão e de fundo de escala. Porém, uma diferença apresentada entre o medidor construído e os medidores tradicionais foi a influência do fator de potência da carga na sensibilidade do medidor, sendo que quanto mais longe o fator de potência está da unidade menor será a sensibilidade do medidor, o que pode inserir erro na medição. Por fim, conclui-se que, com o método da diferença, apresentado nesta dissertação, foi possível construir um medidor mais barato que os tradicionais e que fornece resultados satisfatórios, dentro das limitações já mencionadas. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] Kerchner, Russel M., Corcoran, George F. (1977). Circuitos de Corrente Alternada, Vol. I [] COUCH II, L. W.; Digital and Analog Communication Systems. 5 ed. New Jersey, Prentice Hall, [3] CORIM, A. A. M. B.; Instalações Elétricas. 3 ed. São Paulo, MAKRON Books. [4] GARDNER, N.; Siegesmund M. PIC C - An Introduction to programming the Microchip PIC in CCS C. Bluebird Eletronics, UK, Character Press Limited. DADOS BIOGRÁFICOS André Luiz Gontijo, nascido em 1/1/1977 em Araguari- MG é engenheiro eletricista () e mestre (5) pela Universidade Federal de Uberlândia. Luciano Martins Neto, nascido em /5/1948 em Botucatu-SP é engenheiro eletricista (1971), mestre (1976) e doutor (198) pela Escola de Engenharia de São Carlos-USP. Atualmente é professor titular na Universidade Federal de Uberlândia nas áreas de máquinas elétricas e aterramentos elétricos.