A REVOLUÇÃO DO PRISMA LAINE VASCONCELLOS 1, BEATRIZ SILVA APARECIDO 2 1 Aluna do curso de Licenciatura em Matemática, IFSP, campus Bragança Paulista, enial.lala@gmail.com. 2 Aluna do curso de Licenciatura em Matemática, IFSP, campus Bragança Paulista, beatrizsilvaaparecido@gmail.com. RESUMO: Os elementos que compõem cilindro inscrito e circunscrito em um mesmo prisma e as relações entre seus volumes serão mostrados com o auxílio de materiais manipuláveis para despertar a curiosidade dos alunos a fim de favorecer a aprendizagem significativa. A intenção é propor uma atividade curricular diferenciada para fazer com que os alunos se interessem pelo aprendizado de sólidos de revolução em geometria espacial, onde percebemos algumas dificuldades no processo de ensino e aprendizagem. A proposta visa usar material de baixo custo para suprir a falta de recursos das escolas públicas, atendendo dessa forma às necessidades das escolas e dos professores e, principalmente os alunos, favorecendo a sua aprendizagem. PALAVRAS-CHAVE: sólidos de revolução; material manipulativo; cilindros inscritos e circunscritos. INTRODUÇÃO O uso de material concreto no ensino de matemática facilita o aprendizado dos conceitos matemáticos pelos alunos, pois dessa forma eles constroem a imagem de várias dimensões em sua mente, consoante com o que diz Lorenzato (2006) que devemos começar o ensino com o concreto, manipulável e não pelos desenhos das figuras, indo de encontro com as propostas de van Hiele (1994) que apresenta os níveis de desenvolvimento do Pensamento geométrico. O ensino de matemática é muito voltado para resolução de exercícios, onde o professor expõe o conteúdo e o aluno testa seus conhecimentos usando a capacidade de decorar e usar fórmulas. Skovsmose (2000) diz que para superarmos esse paradigma o professor deve construir um ambiente na sala de aula propicio para a construção do conhecimento, para a pesquisa e investigação. Uma forma de criar esses ambientes seria utilizar materiais manipulativos e orientar os alunos com perguntas que o instigue. Neste trabalho será mostrado empiricamente que o volume de um cilindro é equivalente ao volume de um prisma que tem a mesma área da base e mesma altura, como enunciado no Princípio de Cavaliere que diz: Se dois sólidos possuírem a mesma altura, eles terão o mesmo volume se as secções de alturas iguais, determinadas por planos de mesma direção, tiverem a mesma área (DOLCE; POMPEO, 2005). O cone e o cilindro são os sólidos de revolução gerados a partir de um triângulo e um retângulo, respectivamente, girados em torno de um eixo (Figuras 1 e 2). Dessa forma, o material proposto visa mostrar os elementos de cilindros inscrito e circunscrito em um mesmo prisma. A razão entre os volumes desses sólidos também será estudado por meio de estimativas. MATERIAL E MÉTODOS Infelizmente os professores de matemática que atuam nas escolas públicas não possuem recursos materiais e assim, a nossa intenção é usar materiais de baixo custo, isto é, materiais que os alunos têm em casa ou que sejam de fácil acesso. Para gerar o cilindro e o cone serão necessários: cola, tesoura, papel cartão ou color set e palitos de churrasco. Para o cilindro, corta-se uma forma retangular no papel cartão que é colado
no palito de churrasco e para o cone o papel cartão é cortado na forma de um triângulo retângulo de modo que um dos catetos fique colado no palito de churrasco, obtendo assim os dois objetos mostrados na Figura 1. Esses materiais manipuláveis servirão para que o aluno visualize dois sólidos de revolução, o cilindro e o cone que são obtidos girando-se essas duas figuras planas em torno de um eixo como mostrado na Figura 2. Para visualizar o cilindro inscrito e circunscrito, o material necessário será um prisma regular quadrangular e um palito de churrasco. Para confecciona-lo será necessário determinar o centro das bases desse prisma que pode ser obtido pelo encontro de suas diagonais. Depois de marcado esses pontos é feito um furo em cada uma das bases para que o palito de churrasco passe através dela e este é fixado usando cola quente ou cola madeira, obtendo dessa forma um objeto como o apresentado na Figura 3. Este material servirá para que o aluno visualize os cilindros inscritos e circunscritos em um prisma regular quadrangular que são obtidos girando-se o objeto em torno de um eixo, mostrado na Figura 4. Propomos que os alunos construam o material em grupo de modo colaborativo de forma que vivenciem a sua construção e registrem suas observações ao rotacionar cada um dos objetos construídos. E o professor pode levar um modelo pronto para que os alunos consigam visualizar melhor os objetos a serem construídos e ajuda os alunos na construção de seu próprio material de estudo, estimulando a observação dos objetos que está sendo construídos e seus elementos. DESCRIÇÃO E DISCUSSÃO Inspirado em Lorenzato (2006) defendemos que a educação deve começar pela prática (concreto), pois o aluno tem primeiro a visão concreta e depois a visão teórica, utilizamos materiais concretos para ilustrar sólidos de revolução, estes são feitos por meio de manipulação de objetos. A formação de professores de matemática está voltada principalmente para as escolas públicas e infelizmente as mesmas, muitas vezes, não possuem recursos, assim a nossa intenção foi usar materiais de baixo custo, isto é, usar materiais que os próprios alunos tenham em casa ou que seja de fácil acesso, como por exemplo, papel cartão, tesoura, palito de churrasco e cola, para que os mesmos possam construir seus próprios sólidos. Na construção do material o professor atua como mediador para o acesso ao conhecimento. Ao elaborar o material o professor pode explorar os conceitos de retângulo, as formas de obter retângulos em um papel qualquer, instigar o aluno a perceber as características de um retângulo e de um triângulo retângulo; justificativas para que o triângulo da Figura 1 seja retângulo.
Figura 1: Figuras planas, com eixo, confeccionadas para o desenvolvimento do trabalho. Para confecção desse material foram utilizados: papel cartão, palitos de churrasco, cola e tesoura. É importante que o triângulo seja reto para gerar o cone reto. O cilindro e o cone são obtidos pelo movimento de giro em torno das mãos como mostra a Figura 2. Figura2: Cone e cilindro obtidos pelo movimento de giro do retângulo e triângulo. No giro desses objetos o professor e o aluno podem observar os elementos presentes em cada um dos sólidos de revolução. Esta etapa de visualização e reconhecimento corresponde ao
nível 0 do modelo de van Hiele (1994) que é o estágio inicial onde os alunos raciocinam basicamente por meio de considerações visuais. O nível 1 de van Hiele (1994) diz que os alunos raciocinam sobre conceito geométricos, por meio de uma análise informal de suas partes e atributos através de observação e experimentação está presente no momento em que eles observam os elementos que as compõem os sólidos de revolução como o raio da base, a geratriz e altura Assim a construção e confecção desses materiais manipulativos ajudam a desenvolver a visão espacial de alunos pelo estimula da observação desses objetos, favorecendo dessa forma a construção da imagem em sua mente e favorecendo a abstração alcançando o nível de dedução informal ou ordenação que corresponde ao nível 2 de van Hiele (1994 ) que diz os alunos formam definições abstratas, podendo estabelecer inter-relações das propriedades nas figuras e entre figuras. O material da Figura 3 mostra como visualizar os cilindros inscritos e circunscritos em um prisma regular quadrangular usando o movimento de rotação deste objeto confeccionado com materiais simples e de baixo custo. FIGURA 3. Prisma regular quadrangular atravessado por um palito. A percepção dos cilindros inscrito e circunscrito e as relações entre os elementos que compõem são observados pelo movimento de giro, da mesma forma que foram feitos com o cone e o cilindro, corresponde ao nível 2 de van Hiele(1994).
FIGURA 4. Cilindros inscrito e circunscrito em um prisma regular quadrangular obtido pelo movimento de rotação. Este material foi desenvolvido como parte integrante da Prática como componente curricular da disciplina de Geometria Espacial em que esse conteúdo é abordado. A ideia é perceber as diferentes formas de ensinar e aprender para ajudar na melhora da participação e interação dos alunos e suas relações tanto aluno-aluno, quanto professor-aluno. A proposta aqui apresentada também vai de encontro ao que Skovsmose (2000) chama de ambientes de aprendizagem 2 que tem referências à matemática pura, mas com cenário para investigação. Um cenário de investigação para Skovsmose (2000) é aquele que convida os alunos a formularem questões e procurarem explicações. Ele valoriza o processo de exploração e explicação dos alunos, pois assim o cenário para investigação passa a constituir um novo ambiente de aprendizagem. No cenário para investigação, os alunos são responsáveis pelo processo. Dessa forma, o papel do professor se faz importante na elaboração das questões de investigação e no convite aos alunos a elaborarem suas próprias questões. REFERÊNCIAS DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de Matemática Elementar 10: geometria espacial, posição e métrica. São Paulo: Atual, ed. 6, 2005. KALEFF, A. M.; HENRIQUES, A. S.; REI, D. M.; FIGUEIREDO, L.G. Desenvolvimento do Pensamento Geométrico O Modelo de Van Hiele, Bolema, Rio Claro. n0 10, pp.21-30, 1994. LORENZATO, S. A. (Org.). O laboratório de ensino de matemática na formação de professores. Campinas: Autores Associados, 2006. SKOVSMOSE, O. Cenários para investigação. Bolema, v. 13, n. 14, p. 66 91, 2000.