Capítulo 1 Aula 8 1.1 Caminhos de Euler e Hamilton Podemos percorrer as margens de um grafo iniciando em um vértice e retornando a ele percorrendo cada borda do grafo exatamente uma vez? Da mesma forma, podemos percorrer as margens de um grafo iniciando em um vértice e retornando a ele enquanto visitamos cada vértice do grafo exatamente uma vez? Embora essas questões pareçam semelhantes, a primeira questão, que pergunta se um grafo tem um circuito de Euler, pode ser facilmente respondida simplesmente examinando os graus dos vértices do grafo, enquanto a segunda pergunta, que pergunta se um grafo tem um Circuito de Hamilton, é bastante difícil de resolver para a maioria dos grafos. Nesta seção, estudaremos essas questões e discutiremos a dificuldade de resolvê-las. Embora ambas as perguntas tenham muitas aplicações práticas em muitas áreas diferentes, ambas surgiram em enigmas antigos. Aprenderemos sobre esses velhos quebra-cabeças e sobre aplicações práticas modernas. 1.1.1 Caminhos de Euler e Circuitos A cidade de Konigsberg, na Prússia (agora chamada de Kaliningrado e parte da república russa), foi dividida em quatro seções pelos ramos do rio Pregel. Essas quatro seções incluíam as duas regiões nas margens do Pregel, na ilha de Kneiphof e na região entre os dois ramos do Pregel. No século XV III, sete pontes conectaram essas regiões. A Figura 1.1 mostra essas regiões e pontes. As pessoas da cidade faziam longas caminhadas pela cidade aos domingos. Eles se perguntaram se era possível começar em algum lugar da cidade, atravessar todas as pontes uma vez sem atravessar nenhuma ponte duas vezes e voltar ao ponto de partida. O matemático suíço Leonhard Euler resolveu esse problema. Sua solução, publicada em 1
Figura 1.1: As Sete Pontes de Konigsberg. 1736, pode ser o primeiro uso da teoria dos grafos. Euler estudou este problema usando o multigrafo obtido quando as quatro regiões são representadas por vértices e as pontes por arestas. Este multigrafo é mostrado na Figura 1.2. Figura 1.2: Modelo Multigrafo das Pontes de Konigsberg. Definição 1. Um circuito de Euler em um grafo G é um circuito simples que contém todas as arestas de G. Um caminho de Euler em G é um caminho simples que contém todas as arestas de G. Exemplo 2. Quais dos grafos não direcionados da Figura 1.3 possuem um circuito Euler? Daqueles que não têm, quais têm um caminho de Euler? Solução: O grafo G 1 tem um circuito Euler, por exemplo, a, e, c, d, e, b, a. Nenhum dos grafos G 2 ou G 3 possui um circuito Euler (o leitor deve verificar isso). No entanto, G 3 tem um caminho de Euler, a saber, a, c, d, e, b, d, a, b. G 2 não tem um caminho de Euler (como o leitor deve verificar). 2
Figura 1.3: Grafos não orientados G 1, G 2 e G 3. Exemplo 3. Quais dos grafos não direcionados da Figura 1.4 possuem um circuito Euler? Daqueles que não têm, quais têm um caminho de Euler? Figura 1.4: Modelo Multigrafo das Pontes de Konigsberg. Solução: O grafo H 2 tem um circuito de Euler, por exemplo, a, g, c, b, g, e, d, f, a. Nem H 1 nem H 3 possuem um circuito Euler (como o leitor deve verificar). H 3 tem um caminho de Euler, a saber, c, a, b, c, d, b, mas H 1 não (como o leitor deve verificar). Teorema 4. Um multigrafo conectado com pelo menos dois vértices tem um circuito de Euler se e somente se cada um de seus vértices tiver um grau par. Exemplo 5. Muitos quebra-cabeças pedem que você desenhe uma imagem em um movimento contínuo sem levantar um lápis para que nenhuma parte da imagem seja refeita. Podemos resolver esses quebra-cabeças usando circuitos e caminhos Euler. Por exemplo, as cimitarras de Mohammed, mostradas na Figura 1.5, podem ser desenhadas dessa maneira, onde o desenho começa e termina no mesmo ponto? Solução: Podemos resolver este problema porque o grafo mostrado na Figura 1.5 possui um circuito Euler. Tomemos o circuito a, b, d, c, b, e, i, f, e, a. Obtemos o subgráfico H excluindo as arestas desse circuito e todos os vértices que se tornam isolados quando essas arestas são removidas. Então formamos o circuito d, g, h, j, i, h, k, g, f, d em H. Depois de formar este circuito, usamos todas as arestas em G. Adicionando este novo circuito no primeiro circuito no 3
Figura 1.5: Cimitarras de Mohammed. lugar apropriado produzimos o circuito de Euler a, b, d, g, h, j, i, h, k, g, f, d, c, b, e, i, f, e, a. Este circuito permite desenhar as cimitarras sem levantar o lápis ou refazer parte da imagem. Teorema 6. Um multigrafo conectado possui um caminho de Euler, mas não um circuito de Euler, se e somente se, tiver exatamente dois vértices de grau ímpar. Exemplo 7. Quais grafos mostrados na Figura 1.6 têm um caminho Euler? Figura 1.6: Três grafos não orientados. Solução: G 1 contêm exatamente dois vértices de grau ímpar, a saber, b e d. Portanto, ele possui um caminho Euler que deve ter b e d como seus pontos finais. Um tal caminho de Euler é d, a, b, c, d, b. Da mesma forma, G 2 tem exatamente dois vértices de grau ímpar, a saber, b e d. Portanto, ele tem um caminho Euler que deve ter b e d como pontos finais. Um tal caminho de Euler é b, a, g, f, e, d, c, g, b, c, f, d. G 3 não tem caminho de Euler porque tem seis vértices de grau ímpar. 1.1.2 Caminhos e Circuitos de Hamilton Desenvolvemos condições necessárias e suficientes para a existência de caminhos e circuitos que contêm cada borda de um multigrafo exatamente uma vez. Podemos fazer o mesmo para caminhos e circuitos simples que contêm todos os vértices do grafo exatamente uma vez? 4
Teorema 8. Um caminho simples em um grafo que passa em cada vértice exatamente uma vez é chamado de caminho de Hamilton, e um circuito simples em um gráfico G que passa por todos os vértices exatamente uma vez é chamado de circuito de Hamilton. Ou seja, o caminho simples x 0, x 1,..., x n 1, x n no grafo G = (V, E) é um caminho de Hamilton se V = {x 0, x 1,..., x n 1, x n } e x i x j para 0 i < j n, e o circuito simples x 0, x 1,..., x n 1, x n, x 0 (com n > 0) é um circuito de Hamilton se x 0, x 1,..., x n 1, x n é um caminho de Hamilton. Exemplo 9. Quais dos grafos simples na Figura têm um circuito Hamilton ou, se não, um caminho Hamilton? Figura 1.7: Três grafos simples. Solução: G 1 tem um circuito de Hamilton: a, b, c, d, e, a. Não há nenhum circuito de Hamilton em G 2 (isso pode ser visto observando que qualquer circuito contendo cada vértice deve conter a borda {a, b} duas vezes), mas G 2 tem um caminho de Hamilton, a saber, a, b, c, d. G 3 não possui um circuito Hamilton nem um caminho Hamilton, pois qualquer caminho contendo todos os vértices deve conter uma das arestas {a, b}, {e, f} e {c, d} mais de uma vez. Teorema 10. Se G é um grafo simples com n vértices com n 3 tais que o grau de todos os vértices em G é pelo menos n, então G tem um circuito de Hamilton. 2 Teorema 11. Se G é um grafo simples com n vértices, n 3 tais que deg(u) + deg(v) n para cada par de vértices não adjacentes u e v em G, então G tem um circuito de Hamilton. 5