CI202 - Métodos Numéricos Lista de Exercícios 2 Zeros de Funções Obs.: as funções sen(x) e cos(x) devem ser calculadas em radianos. 1. Em geral, os métodos numéricos para encontrar zeros de funções possuem duas condições para verificar se a aproximação encontrada x k está suficientemente próxima da raiz real ξ: ξ x k < ε 1 f(x k ) < ε 2 Explique essas condições, indicando suas principais diferenças e por que a primeira é comumente substituída pela condição x k+1 x k < ε 1 ou pela condição b a < ε 1, onde [a, b] é um intervalo que contém a raiz. Ilustre suas explicações através do gráfico de uma função. 2. Sobre o Método da Bisseção: (a) Calcule a estimativa para o número de iterações para I = [2, 3] e ε = 10 1 e também para I = [2, 4] e ε = 10 2. (b) O cálculo da aproximação x k, em cada iteração, é dado pela média do intervalo [a, b] que contém a raiz, isto é, x k = a + b. Dado isto e o fato de que podemos 2 estimar o número de iterações independente da função (item (a)), explique por que é necessário conhecer a função f(x)? (c) Mesmo que f(x) tenha mais que um zero em [a, b], o método pode ser aplicado. Nos casos em que isto ocorre, verifique, com o auxílio de gráficos, se é possível determinar qual zero será obtido. (d) A função f(x) = 2 x 3x possui dois zeros: um no intervalo [0, 1] e outro no intervalo [3, 4]. Obtenha os zeros de f(x) em ambos os intervalos usando o Método da Bisseção com ε = 10 1. Quantas iterações foram necessárias? af(b) bf(a) 3. A fórmula do Método da Falsa Posição, x k =, pode ser interpretada f(b) f(a) como a média ponderada do intervalo [a, b], com pesos f(b) e f(a), ou como a interseção da reta que passa pelos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)) com a reta das abscissas. Deduza essa fórmula usando semelhança de triângulos. 1
4. Uma bola é arremessada para cima com velocidade inicial v 0 = 30m/s a partir de uma altura x 0 = 5m, em um local onde a aceleração da gravidade é g = 9.81m/s 2. Sabe-se que h(t) = x 0 +v 0 t+ 1 2 gt2. Calcule, pelo Método da Falsa Posição, o tempo gasto para a bola tocar o solo com erro menor ou igual a 0.001. (Desconsiderar o atrito com o ar). 5. Considere a função f(x) = x 3 x 1. Resolva a equação f(x) = 0 pelo Método da Iteração Linear com função de iteração ϕ(x) = 1 x + 1 x 2, x 0 = 1 e ε 1 = ε 2 = 10 6. 6. Seja a equação x 2 x 2 = 0: (a) Obtenha possíveis (4 ou 5) funções de iteração para o Método da Iteração Linear. (b) Verifique quais das funções obtidas geram sequencias convergentes para obter o zero próximo a x 0 = 1.7. 7. Dada a equação x 2 + x 6 = 0, determinar uma aproximação de x, pelo Método da Iteração Linear, tomando x 0 = 1.5 e uma tolerância de erro 0.01 entre duas iterações consecutivas, operando com 5 casas decimais com arredondamento. Obs.: se a convergência demorar mais que 7 iterações, escolher outra função de iteração. 8. Calcular a raiz da equação f(x) = 20x + cos(x) = 0, contida no intervalo [ 1, 0] com ε 1 = ε 2 = 10 4, usando o Método de Newton. Os cálculos devem ser realizados com 4 casas decimais com arredondamento. Dados f (x) = 20 sen(x) e f (x) = cos(x). 9. Aplique o Método de Newton à equação x 3 2x 2 3x + 10 = 0 com x 0 = 1.9 e justifique o que acontece. 10. O valor de π pode ser obtido através da resolução das seguintes equações: (a) sen(x) = 0 (b) cos(x) + 1 = 0 Aplique o método de Newton com x 0 = 3 e precisão 10 7 em cada caso e compare os resultados. 11. Existe uma modificação no Método de Newton na qual a função de iteração ϕ(x) é dada por ϕ(x) = x f(x) f (x 0 ), onde x 0 é a aproximação inicial e é tal que f (x 0 ) 0. (a) Com o auxílio de um gráfico, escreva a interpretação geométrica deste método. (b) Cite algumas situações em que é conveniente usar este método em vez do método de Newton. 2
12. Seja f(x) = e x 4x 2 e ξ sua raiz no intervalo (0, 1). Tomando x 0 = 0.5, encontre ξ com ε = 10 4, usando: (a) o Método da Iteração Linear com ϕ(x) = 1 2 ex/2. (b) o Método de Newton. Compare a rapidez de convergência. 13. Calcular 5 e 5 25 utilizando o método de sua preferência com erro ε = 10 4. 14. Para as equações abaixo, calcular pelo menos uma raiz real, com ε = 10 3, através dos seguintes métodos: Bisseção, Falsa Posição, Iteração Linear (apenas os itens a, c e d), Newton e Secante. (a) f(x) = e x + x 5 = 0 f (x) = e x + 1 f (x) = e x (b) f(x) = cos(x) x 3 + 1 = 0 f (x) = sen(x) 3x 2 f (x) = cos(x) 6x (c) f(x) = sen(x) + x = 2 f (x) = cos(x) + 1 f (x) = sen(x) (d) f(x) = x 2 cos(x) = 0 f (x) = 2x + sen(x) f (x) = 2 + cos(x) (e) f(x) = x 4 3x 2 + x = 3 f (x) = 4x 3 6x + 1 f (x) = 12x 2 6 Obs.: Pode-se começar verificando se os seguintes intervalos contém raizes reais: (a) x 0 [1, 2] (b) x 0 [1, 2] (c) x 0 [1, 2] (d) x 0 [ 1, 0.5] ou x 0 [0.5, 1] (e) x 0 [ 3, 2] ou x 0 [1.5, 2] 3
Respostas: 1. Observe que ξ x k considera a distância da aproximação sobre o eixo das abscissas, enquanto f(x k ) sobre o eixo das ordenadas. 2. (a) Respectivamente, 4 e 8 iterações. (b) Observe o algoritmo. (c) Observe o algoritmo. (d) Respectivamente, x [0.4375, 0.5] e x [3.3125, 3.375], ambos com 4 iterações. 3. Apostila, pág. 20. 4. h(t) = 4905t 2 + 30t + 5 e intervalo inicial I = [6, 7]. x 1 = 6.24937 x 2 = 6.27561 x 3 = 6.27827 x 4 = 6.27853 5. Como ϕ (x) > 1, para todo x ( 1, 1), o método não irá convergir com a função de iteração dada. x 0 = 1 x 1 = 2 x 2 = 0.75 x 3 = 3.111... x 4 = 0.424744898 x 5 = 7.897338779 6.... 7. ϕ(x) = 6 x 2 Não converge para nenhuma das raízes. ϕ(x) = 6 x x 1 = 2.12132 x 2 = 1.96944 x 3 = 2.00763 x 4 = 1.99809 4
ϕ(x) = 6 x x 1 = 2.12132 x 2 = 2.84979 x 3 = 2.97486 x 4 = 2.99581 x 5 = 2.99930 ϕ(x) = 6 x + 1 x 1 = 2.40000 x 2 = 1.76471 x 3 = 2.17021 x 4 = 1.89262 x 5 = 2.07425 x 6 = 1.95170 x 7 = 2.03273 x 8 = 1.97842 x 9 = 2.01449 x 10 = 1.99038 x 11 = 2.00643 x 12 = 1.99572 x 13 = 2.00286 ϕ(x) = 6 x x x 24 = 2.99733 8. x 0 = 1 x 1 = 0.05000 x 2 = 0.04994 5
9. 10. (a) x = 3.141593, com 2 iterações. 11.... (b) x = 3.137179, com 5 iterações. x 0 = 1.9 x 1 = 15.22606 x 2 = 9.99931 x 3 = 6.55726 x 4 = 4.33505 x 5 = 2.97689 x 6 = 2.26763 x 7 = 2.02844 x 8 = 2.00037 x 9 = 2.00000 12. (a) O Método da Iteração Linear obtém x = 0.714753186 após 8 iterações. (b) O Método de Newton obtém x = 0.71481186 após 3 iterações. 13. x = 5 = f(x) = x 2 5 = 0 e o Método de Newton encontra x = 2.23607, para x 0 = 2. x = 5 25 = f(x) = x 5 25 = 0 e o Método de Newton encontra x = 1.90365, para x 0 = 1. 14. As respostas foram obtidas computacionalmente usando 5 casas decimais com truncamento na resposta. Manualmente poderá ocorrer uma pequena diferença. Newton Bisseção Falsa Posição Secante Iteração Linear 1,30656 1,30664 1,30647 1,30655 1,30644 1,12656 1,12598 1,12609 1,12656-1,10606 1,10547 1,10606 1,10606 1,10634-0,82413-0,82422-0,82411-0,82413-0,82432 0,82413 0,82422 0,82411 0,82413 0,82432-2,04983-2,04980-2,04867-2,04983-1,83011 1,83008 1,83003 1,83011-6