Seminário de Pesquisa DCET UESB 27 de julho de 2012
Objetivo principal: preencher as tabelas s das identidades polinomiais graduadas de M 2 (K) com char(k) 2 Graduações ( de M 2 ) (K) K Infinito K Finito K 0 A 0 = y 0 K 1 y 2 y 2 y 1 y q 1 y 1 ( ) 0 K e A 1 = z K 0 1 z 2 z 3 z 3 z 2 z 1 f (y 1 + z 1, y 2 + z 2 ) ( ) u v A 0 =? y q2 bv u 1 y 1, z 2q 1 1 z 1 ( ) u v e A 1 =? f (y bv u 1 + z 1, y 2 + z 2 ) em que f (y 1 + z 1, y 2 + z 2 ) = (y 1 +z 1 (y 1 +z 1 ) q )((y 2 +z 2 ) (y 2 +z 2 ) q2 )(1 [y 1 +z 1, y 2 +z 2 ] q 1 ).
Objetivo principal: preencher as tabelas s das identidades polinomiais graduadas de M 2 (K) com char(k) = 2 Graduações ( de M 2 ) (K) K Infinito K Finito K 0 A 0 = y 0 K 1 y 2 + y 2 y 1? ( ) 0 K e A 1 = z K 0 1 z 2 z 3 + z 3 z 2 z 1? ( ) u u + v A 0 =?? ( b(u + v) v ) bu + v u e A 1 =?? v bu + v
Entender as tabelas 1 Identidades polinomiais 2 3 4
Passos Identidades polinomiais 1 Identidades polinomiais 2 3 4
Notações Identidades polinomiais Notações Sejam: K um corpo; X = {x 1, x 2,... } um conjunto (infinito e enumerável); K X = K x 1, x 2,... a álgebra associativa livre, livremente gerada por X ; A uma álgebra (associativa e com unidade) sobre K; G um grupo.
Definição e exemplo Definição Dizemos que 0 f (x 1,..., x m ) K X é uma identidade polinomial de A se f (a 1,..., a m ) = 0 quaisquer que sejam a 1,..., a m A. Caso exista tal f diremos que A satisfaz f. Exemplo Seja A uma álgebra comutativa. Então, A satisfaz a identidade polinomial f (x 1, x 2 ) = [x 1, x 2 ] em que [x 1, x 2 ] = x 1 x 2 x 2 x 1 é o comutador usual.
Exemplos Identidades polinomiais Exemplo Se A é de dimensão finita menor que n então A satisfaz a identidade standard de grau n s n (x 1,..., x n ) = σ S n ( 1) σ x σ(1) x σ(n), em que S n denota o grupo de permutações de n elementos e ( 1) σ denota o sinal da permutação σ. O exemplo anterior nos diz que a álgebra das matrizes M n (K) satisfaz a identidade polinomial standard de grau n 2 + 1.
Exemplos Identidades polinomiais Exemplo Melhorando o exemplo anterior, para a álgebra da matrizes, temos o Teorema de Amitsur-Levitzki, nos dizendo que as álgebra das matrizes M n (K) satisfaz a identidade polinomial standard de grau 2n. Observação 2n é o menor grau de identidade satisfeita por M n (K). Todas as identidades de M n (K) de grau 2n são múltiplos escalares de s 2n exceto o caso n = 2 e K = 2.
Exemplos Identidades polinomiais Exemplo A álgebra das matrizes M 2 (K) satisfaz a identidade h(x 1, x 2, x 3 ) = [[x 1, x 2 ] 2, x 3 ]. Então já sabemos o significado da expressão identidades polinomiais.
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T ideais Identidades polinomiais O conjunto T (A) das identidades polinomiais de A forma um ideal de K X, que tem a propriedade de ser invariante sob todos os endomorfismos de K X. Definição Um ideal I de K X é um T ideal se é invariante sob todos os endomorfismos de K X, ou seja, φ(i ) I para todo endomorfismo φ de K X. Teorema O ideal T (A) das identidades de A é um T ideal de K X.
s para T ideais A interseção de uma família qualquer de T ideais é um T ideal. Assim dado S K X podemos definir o T ideal gerado por S, denotado por S T, como a interseção de todos os T ideais de K X que contêm S. Definição Se S T (A) é tal que S T = T (A), dizemos que S é uma base das identidades de A.
Exemplos de bases de T (A) Exemplo (Razmyslov, 1973 e Drensky, 1981) Se K é um corpo com char(k) = 0, então uma base de T (M 2 (K)) é dada por s 4 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) e h(x 1, x 2, x 3 ) = [[x 1, x 2 ] 2, x 3 ].
Exemplos de bases de T (A) Exemplo (Koshlukov, Colombo, 2004) Seja K um corpo infinito. Se char(k) > 3, então uma base de T (M 2 (K)) é dada por s 4 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) e h 5 (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = [[x 1, x 2 ] [x 3, x 4 ], x 5 ]. Se char(k) = 3, então uma base de T (M 2 (K)) é dada por s 4 (x 1, x 2, x 3, x 4 ), h 5 (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) e r 6 (x 1,..., x 6 ) = [x 1, x 2 ] (u v) 1 8 ([x 1, u, v, x 2 ] + [x 1, v, u, x 2 ] [x 2, u, x 1, v] [x 2, v, x 1, u]), em que a b = 1 2 (ab + ba) e u = [x 3, x 4 ] e v = [x 5, x 6 ].
Exemplos de bases de T (A) Exemplo (Maltsev, Kuzmin, 1978) Se K é um corpo finito com q elementos, então uma base de T (M 2 (K)) é dada por f (x 1, x 2 ) = (x 1 x q 1 )(x 2 x q2 2 )(1 [x 1, x 2 ] q 1 ) e 2(x 1 x q 1 ) (x 2 x q 2 ) (2(x 1 x q 1 ) (x 2 x q 2 ))q. Então já sabemos o significado da expressão base das identidades polinomiais.
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Álgebras graduadas Definição Seja G um grupo aditivo. Dizemos que A é G-graduada se A = g G A g em que A g são subespaços de A e A g A h A g+h para todo g, h G. Exemplo Considere G = Z e A = K[x]. A é Z-graduada: A n é o espaço gerado por x n se n 0 e A n = 0 se n < 0.
Exemplos de álgebras graduadas Exemplo ( K 0 Se A = M 2 (K), uma Z-graduação é dada por A 0 = 0 K ( ) ( ) 0 K 0 0 A 1 =, A 0 0 1 = e A K 0 h = 0 para todo h Z {0, 1, 1}. ),
Exemplos de álgebras graduadas Exemplo Veja que A = M 2 (K) é Z 2 -graduada com A = A 0 A 1 em que ( ) ( ) K 0 0 K A 0 = e A 0 K 1 =. K 0
Exemplos de álgebras graduadas Exemplo Seja A = M 2 (K). Suponha {( char(k) ) 2. Uma Z } 2 -graduação de A é u v A 0 = : u, v K e bv u {( ) } u v A 1 = : u, v K com b K K bv u 2. Suponha {( agora char(k) = 2. ) Uma Z 2 -graduação } de A é u u + v A 0 = : u, v K, b(u + v) v {( ) } bu + v u A 1 = : u, v K com u bu + v b K {λ + λ 2 : λ K}.
Exemplos de álgebras graduadas Nos dois últimos exemplos, tivemos G = Z 2 e estas são as graduações de M 2 (K) que aparecem nas tabelas iniciais.
Álgebra associativa livre graduada Considere X = {x 1, x 2,...}, Y = {y 1, y 2,...} e Z = {z 1, z 2,...} com Y Z = e X = Y Z. Um monômio m K X é dito par se contem um número par de entradas de Z. Caso contrário, m é chamado ímpar. Considere K X 0 o espaço gerado pelos monômios pares e K X 1 o espaço gerado pelos monômios ímpares. Assim K X = K X 0 K X 1 é a álgebra associativa livre graduada.
Identidade polinomial graduada Definição Seja A = A 0 A 1 uma álgebra graduada. Dizemos que um polinômio 0 f (y 1,..., y m, z 1,..., z n ) K X é uma identidade polinomial graduada para A se f (a 1,..., a m, b 1,..., b n ) = 0 para todos a 1,..., a m A 0 e b 1,..., b n A 1. Definição Para duas álgebras graduadas A = A 0 A 1 e B = B 0 B 1 dizemos que um homomorfismo de álgebras φ : A B é graduado se φ(a i ) B i para i=0,1. Definição Um ideal I de K X é um T 2 ideal se é invariante sob todos os endomorfismos graduados de K X.
s das identidades graduadas Teorema O ideal T 2 (A) das identidades polinomiais graduadas de uma álgebra graduada A é um T 2 ideal de K X. A noção de T 2 ideal gerado por S K X é análoga a ideia de T ideal gerado. Assim sabemos agora o que significa a expressão base das identidades polinomiais graduadas de uma álgebra graduada. Vejamos alguns exemplos de bases.
s das identidades graduadas Exemplo (Di Vincenzo, 1992; Koshlukov, Azevedo, 2002 e Brandão, Koshlukov, Krasilnikov, 2009) Considere a graduação de A = M 2 (K) com K infinito e ( ) ( ) K 0 0 K A 0 = e A 0 K 1 =. K 0 Se char(k) 2, então uma base de T 2 (M 2 (K)) é dada por {y 1 y 2 y 2 y 1, z 1 z 2 z 3 z 3 z 2 z 1 }. Se char(k) = 2, então uma base de T 2 (M 2 (K)) é dada por {y 1 y 2 + y 2 y 1, z 1 z 2 z 3 + z 3 z 2 z 1 }.
s das identidades graduadas Exemplo (Koshlukov, Azevedo, 2002) Considere a graduação de A = M 2 (K) com A = A 0 A 1 em que ( ) ( ) K 0 0 K A 0 = e A 0 K 1 = K 0 e K finito com q elementos. Se char(k) 2, então y q 1 y 1 e f (y 1 + z 1, y 2 + z 2 ) = (y 1 +z 1 (y 1 +z 1 ) q )((y 2 +z 2 ) (y 2 +z 2 ) q2 )(1 [y 1 +z 1, y 2 +z 2 ] q 1 ), com y 1, y 2 Y e z 1, z 2 Z, formam uma base de T 2 (M 2 (K)).
s das identidades graduadas Exemplo (Koshlukov, Azevedo, 2002) Considere A = M 2 (K) em que K tem char(k) 2 e é finito com q elementos, com a graduação Ω b de M 2 (K) ( ) ( ) Ω b u v 0 = e Ω b u v 1 = bv u bv u em que u, v K e b K K 2. Então uma base das identidades graduadas de Ω b é dada por y q2 1 y 1, z 2q 1 1 z 1 e f (y 1 + z 1, y 2 + z 2 ) = (y 1 +z 1 (y 1 +z 1 ) q )((y 2 +z 2 ) (y 2 +z 2 ) q2 )(1 [y 1 +z 1, y 2 +z 2 ] q 1 ), com y 1, y 2 Y e z 1, z 2 Z.
Os exemplos anteriores são os que aparecem nas tabelas iniciais. s das identidades polinomiais graduadas de M 2 (K) com char(k) 2 Graduações ( de M 2 ) (K) K Infinito K Finito K 0 A 0 = y 0 K 1 y 2 y 2 y 1 y q 1 y 1 ( ) 0 K e A 1 = z K 0 1 z 2 z 3 z 3 z 2 z 1 f (y 1 + z 1, y 2 + z 2 ) ( ) u v A 0 =? y q2 bv u 1 y 1, z 2q 1 1 z 1 ( ) u v e A 1 =? f (y bv u 1 + z 1, y 2 + z 2 ) em que f (y 1 + z 1, y 2 + z 2 ) = (y 1 +z 1 (y 1 +z 1 ) q )((y 2 +z 2 ) (y 2 +z 2 ) q2 )(1 [y 1 +z 1, y 2 +z 2 ] q 1 ).
s das identidades polinomiais graduadas de M 2 (K) com char(k) = 2 Graduações ( de M 2 ) (K) K Infinito K Finito K 0 A 0 = y 0 K 1 y 2 + y 2 y 1? ( ) 0 K e A 1 = z K 0 1 z 2 z 3 + z 3 z 2 z 1? ( ) u u + v A 0 =?? ( b(u + v) v ) bu + v u e A 1 =?? v bu + v
Passos Identidades polinomiais 1 Identidades polinomiais 2 3 4
Pergunta Identidades polinomiais Pergunta E os pontos de interrogação? significam que as respectivas bases eram desconhecidas. Os resultados principais desta tese responderam a todos os pontos de interrogação.
Resultados novos Teorema Suponha K infinito com char(k) 2. Considere M 2 (K) com a graduação M 2 (K) = Ω b 0 Ωb 1 em que {( ) } Ω b u v 0 = : u, v K e bv u {( ) Ω b u v 1 = bv u } : u, v K em que b K K 2. Então uma base das identidades graduadas de Ω b é dada por {y 1 y 2 y 2 y 1, z 1 z 2 z 3 z 3 z 2 z 1 }, com y 1, y 2 Y e z 1, z 2 Z.
Ideia da demonstração Sejam {y 1 y 2 y 2 y 1, z 1 z 2 z 3 z 3 z 2 z 1 }, com y 1, y 2 Y e z 1, z 2 Z, o conjunto de identidades graduadas candidato a base e I o T 2 ideal gerado pelo candidato. O que queremos é mostrar que I = T 2 (M 2 (K)). Para mostrar que I T 2 (M 2 (K)) basta ver que os elementos de I são identidades graduadas. Para mostrar que T 2 (M 2 (K)) I usamos que K X /T 2 (M 2 (K) é isomorfa a uma determinada álgebra de matrizes genéricas. Assim basta encontrar um conjunto de geradores de K X /I que seja linearmente independente na álgebra das matrizes genéricas.
Ideia da demonstração Um conjunto de geradores de K X /I é dado por y a1 y a2 y ak, y a1 y a2 y ak z c1 z d1 z c2 z d2 z cm z dm ẑ cm+1, y a1 y a2 y ak z c1 y b1 y b2 y bl z d1 z c2 z d2 z cm z dm ẑ cm+1 em que a 1 a 2 a k, b 1 b 2 b l, c 1 c 2 c m c m+1, d 1 d 2 d m, k 0, l 0, m 0. No terceiro tipo, se k = l = 0, o grau é maior ou igual a 2. O chapéu sobre a variável significa que ela pode faltar.
Ideia da demonstração Seja F (M 2 (K)) a subálgebra de M 2 (K[y (1) i, y (2) i, z (1) i, z (2) i : i 1]) gerada pelas matrizes ( ) ( ) y (1) i y (2) i z (1) i z (2) i A i = by (2) i y (1) i, B i = bz (2) i z (1) i, b K K 2. Um fato conhecido é que K X /T 2 (M 2 (K)) é isomorfa a F (M 2 (K)). Assim basta mostrar a independência linear dos geradores de K X /I quando substituímos y i por A i e z i por B i. Fazemos isso olhando para o elemento a 12 da matriz que aparece após a substituição.
Resultados novos Teorema Suponha K infinito com char(k) = 2.Considere M 2 (K) com a graduação M 2 (K) = A 0 A 1 em que {( ) } u u + v A 0 = : u, v K e b(u + v) v {( ) bu + v u A 1 = v bu + v } : u, v K em que b K {λ + λ 2 : λ K}. Então uma base das identidades graduadas é dada por {y 1 y 2 + y 2 y 1, z 1 z 2 z 3 + z 3 z 2 z 1 } em que y 1, y 2 Y e z 1, z 2 Z.
Ideia da demonstração Completamente análoga a demonstração anterior. As diferenças são: 1) As matrizes A i e B i. Trocamos as anteriores por A i = B i = ( ( y (1) i y (1) i + y (2) i i + y (2) i ) y (2) i b(y (1) bz (1) i + z (2) i z (1) i z (2) i bz (1) i + z (2) i em que b K {λ + λ 2 : λ K}. 2) Optamos por olhar para o elemento a 11 para mostrar a independência linear dos geradores de K X /I. ) ), e
Resultados novos Teorema Considere ( a Z 2 -graduação ) ( Ω de M 2 (K) ) = A 0 A 1 da forma K 0 0 K A 0 = e A 0 K 1 = e seja K um corpo finito K 0 com q elementos e char(k) = 2. Então uma base das identidades polinomiais graduadas de Ω é dada por {y q 1 + y 1, (y 1 +z 1 +(y 1 +z 1 ) q )((y 2 +z 2 )+(y 2 +z 2 ) q2 )(1+[y 1 +z 1, y 2 +z 2 ] q 1 )}, em que y 1, y 2 Y e z 1, z 2 Z.
Ideia da demonstração Seja {f 1 = y q 1 + y 1, f 2 = (y 1 +z 1 +(y 1 +z 1 ) q )((y 2 +z 2 )+(y 2 +z 2 ) q2 )(1+[y 1 +z 1, y 2 +z 2 ] q 1 )}, com y 1, y 2 Y e z 1, z 2 Z, o conjunto de identidades graduadas candidato a base. Seja B a variedade das álgebras graduadas que satisfazem f 1 e f 2. O que queremos é mostrar que B = VarΩ, em que VarΩ é a variedade das álgebras graduadas que satisfazem as identidades graduadas de Ω.
Ideia da demonstração Para mostrar que VarΩ B basta ver que f 1 e f 2 são identidades graduadas. Para mostrar que B VarΩ usamos que B é gerada por álgebras graduadas finitas e subdiretamente irredutíveis. Assim basta mostrar que cada álgebra graduada finita e subdiretamente irredutível pertence a Var Ω. O que fazemos é mostrar que cada álgebra graduada finita e subdiretamente irredutível está mergulhada em Ω.
Resultados novos Teorema Seja K um corpo finito com q elementos e char(k) = 2. Considere a Z 2 -graduação {( de M 2 (K) = ) A 0 A 1 com } u u + v A 0 = : u, v K e b(u + v) v {( ) } bu + v u A 1 = : u, v K, em que v bu + v b K {λ + λ 2 : λ K}. Então uma base das identidades polinomiais graduadas é dada por {y q2 1 + y 1, z 2q 1 1 + z 1, (y 1 +z 1 +(y 1 +z 1 ) q )((y 2 +z 2 )+(y 2 +z 2 ) q2 )(1+[y 1 +z 1, y 2 +z 2 ] q 1 )}, em que y 1, y 2 Y e z 1, z 2 Z.
Ideia da demonstração A demonstração é análoga a anterior. A principal diferença está na construção dos mergulhos.
O novo cenário fica assim: s das identidades polinomiais graduadas de M 2 (K) com char(k) 2 Graduações ( de M 2 ) (K) K Infinito K Finito K 0 A 0 = y 0 K 1 y 2 y 2 y 1 y q 1 y 1 ( ) 0 K e A 1 = z K 0 1 z 2 z 3 z 3 z 2 z 1 f (y 1 + z 1, y 2 + z 2 ) ( ) u v A 0 = y bv u 1 y 2 y 2 y 1 y q2 1 y 1, z 2q 1 1 z 1 ( ) u v e A 1 = z bv u 1 z 2 z 3 z 3 z 2 z 1 f (y 1 + z 1, y 2 + z 2 ) em que f (y 1 + z 1, y 2 + z 2 ) = (y 1 +z 1 (y 1 +z 1 ) q )((y 2 +z 2 ) (y 2 +z 2 ) q2 )(1 [y 1 +z 1, y 2 +z 2 ] q 1 )
s das identidades polinomiais graduadas de M 2 (K) com char(k) = 2 Graduações ( de M 2 ) (K) K Infinito K Finito K 0 A 0 = y 0 K 1 y 2 + y 2 y 1 y q 1 + y 1 ( ) 0 K e A 1 = z K 0 1 z 2 z 3 + z 3 z 2 z 1 g(y 1, y 2, z 1, z 2 ) ( ) u u + v A 0 = y b(u + v) v 1 y 2 + y 2 y 1 y q2 1 + y 1, ( ) z 2q 1 1 + z 1 bu + v u e A 1 = z v bu + v 1 z 2 z 3 + z 3 z 2 z 1 g(y 1, y 2, z 1, z 2 ) em que g(y 1, y 2, z 1, z 2 ) = (y 1 +z 1 +(y 1 +z 1 ) q )((y 2 +z 2 )+(y 2 +z 2 ) q2 )(1+[y 1 +z 1, y 2 +z 2 ] q 1 ).
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