PRÁTICAS DE DEGGE LICENCIATURA EM ENGENHARIA GEOESPACIAL 017/018
ALGUNS CONCEITOS SISTEMAS DE REFERÊNCIA ADOTADOS EM PORTUGAL Direção-Geral do Território (DGT http://www.dgterritorio.pt/cartografia_e_geodesia/geodesia/sistemas_de_referencia/ Portugal Continental ED50 - European Datum 1950 (Obsoleto - Substituído pelo sistema PT-TM06-ETRS89 Bessel Datum Lisboa (Obsoleto - Substituído pelo sistema PT-TM06-ETRS89 Datum Lisboa (Obsoleto - Substituído pelo sistema PT- TM06-ETRS89 Datum 73 (Obsoleto - Substituído pelo sistema PT- TM06-ETRS89 PT-TM06/ETRS89 - European Terrestrial Reference System 1989 Arquipélago dos Açores Arquipélago da Madeira Regiões Autónomas Datum S. Braz - S. Miguel (Grupo Oriental do Arquipélago dos Açores Datum Base SW - Graciosa (Grupo Central do Arquipélago dos Açores Datum Base SE - Porto Santo (Arquipélago da Madeira PTRA08-UTM/ITRF93 - realização do International Terrestrial Reference Frame 1993 Datum Observatório - Flores (Grupo Ocidental do Arquipélago dos Açores 1
Centro de Informação Geoespacial do Exército (CIGeoE https://www.igeoe.pt/index.php?id=38&cat=3 Portugal Continental Datum Lisboa militares (Obsoleto - Substituído pelo sistema TM/WGS84 WGS84 / TM (Gauss-Kruger Regiões Autónomas WGS 84 / UTM TIPOS DE COORDENADAS Coordenadas Cartesianas (X, Y, Z Geodésicas ou geográficas (φ, λ, h Retangulares (M, P V.G. Aboboreira (Beja PT-TM06-ETRS89 X= 499381.5571 m Y= -676850.4038 m Z= 3896819.7516 m φ= 37 53 58,7635 N λ= 07 43 07,999 W Gr h= 57,85 m M= 36448,61 m P= -19653,96 m
TRANSFORMAÇÃO ENTRE COORDENADAS TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS NUM MESMO DATUM COORDENADAS TRIDIMENSIONAIS CARTESIANAS (X, Y, Z COORDENADAS GEODÉSICAS (φ, λ, h COORDENADAS RETANGULARES (M, P, H TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS ENTRE DIFERENTES DATA COORDENADAS TRIDIMENSIONAIS CARTESIANAS (X i, Y i, Z i DATUM ORIGEM Transformação de Helmert Fórmulas de Bursa-Wolf COORDENADAS TRIDIMENSIONAIS CARTESIANAS (X f, Y f, Z f DATUM DESTINO COORDENADAS GEODÉSICAS (φi, λi, h i DATUM ORIGEM Fórmulas de Molodensky COORDENADAS GEODÉSICAS (φf, λf, h f DATUM DESTINO COORDENADAS RETANGULARES (M i, P i DATUM ORIGEM Transformação Polinomial COORDENADAS RETANGULARES (M f, P f DATUM DESTINO 3
EXERCÍCIO 1 Executar um programa, numa linguagem escolhida pelos alunos, que realize a transformação direta das coordenadas geodésicas (φ, λ dos seguintes vértices geodésicos nas correspondentes coordenadas retangulares (M, P. V.G. Aboboreira (Beja V. G. Cabeço da Ponta (Porto Santo - Madeira PT-TM06/ETRS89 Datum Lisboa Datum 73 PTRA08-UTM/ITRF93 φ= 37 53 58,7635 N φ= 37 53 53,17608 N φ= 37 53 56,01135 N φ= 33 0 15,697 N λ= 07 43 07,999 WGr λ= 07 43 03,09455 WGr λ= 07 43 10,5907 WGr λ= 16 1 41,8679 WGr h= 57,85 m h= 08,7901 m h= 04,8015 m h= 3,7 m M= 36 448,61 m M= 36 448,0117 m M= 36 445,0373 m M= 37 851,519 m P= -196 53,96 m P= -196 54,9317 m P= -196 55,3140 m P= 3 656 76,308 m A transformação direta das coordenadas geodésicas (φ, λ de um ponto nas correspondentes coordenadas planas (x, y através da projeção de Gauss (também conhecida por Transversa de Mercator é definida por via analítica através das fórmulas obtidas por desenvolvimento em série: y = k.( λ λ λ + N sin.cos + N sin.cos.k + N sin.cos 4 70.k 8 λ 7 + N sin φ.cos φ.k 6 4030 3 5 7 λ 3 λ 5 λ 7 x = k 0.( λ.n.cosφ + Ncos φ.k1 + Ncos φ.k3 + Ncos φ.k 5 6 10 5040 4 6 3 5 0 σ φ φ φ φ φ φ 4 sendo k0 o fator de escala, σ o comprimento do arco de meridiano desde o paralelo origem até ao paralelo do ponto, λ a diferença de longitude entre o ponto e o meridiano central da projecção (λ-λ 0, φ a latitude geográfica do ponto, N a grande normal à latitude φ: N = a ( 1 1 e.sin φ 4
(a, e os parâmetros característicos do elipsóide de referência e ρ o raio de curvatura do meridiano à latitude φ: ρ = a. ( 1 e ( 1 e.sin φ 3 e = f f ( onde e é a excentricidade do elipsóide e f é o achatamento do elipsóide; e ainda N k1 = tg φ ρ k N N = + 4 tg φ ρ ρ 3 N N N 4 k3 = 4 (1 6 tg φ + (1 + 8 tg φ tg φ + tg φ 3 ρ ρ ρ 4 3 N N N N 4 k4 = 8 (11 4 tg φ 8 (1 6 tg φ + (1 3 tg φ tg φ + tg φ 4 3 ρ ρ ρ ρ 4 6 k = 61 479 tg φ + 179 tg φ tg φ 5 k 6 = tg φ + 1385 3111 543 4 6 tg φ + tg φ Na projeção de Gauss, aplicada à cartografia portuguesa, usa-se um factor de escala k 0= 1, dada a pequena largura da nossa faixa continental. A projecção UTM é a projeção de Gauss aplicada a cada um dos 60 fusos, de 6 cada, em que podemos dividir o globo terrestre, tomando-se k0= 0,9996 (valor escolhido de modo a tornar iguais as deformações da carta no meridiano médio e nos meridianos limítrofes do fuso. O comprimento aproximado do arco de meridiano σ entre quaisquer duas latitudes φ 0 e φ é determinado através de: com B C σ = a ( 1 e A ( φ φ0 ( sinφ sinφ0 + ( sin4φ sin4φ0 4 D E F ( sin6φ sin6φ ( sin8φ sin8φ ( sin10φ sin10φ 0 + 0 0 6 8 10 5
3 45 175 1105 43659 A 1 e e e e e 4 64 56 16384 65536 4 6 8 10 = + + + + + + 3 15 55 05 7765 B e e e e e 4 16 51 048 65536 4 6 8 10 = + + + + + 15 105 05 10395 C e e e e 64 56 4096 16384 4 6 8 10 = + + + + 35 315 31185 D e e e 51 048 13107 6 8 10 = + + + 315 8 3465 10 E = e + e + 16384 65536 F 3465 13107 10 = e + Elipsoide de referência: PT-TM06/ETRS89 Datum Lisboa Datum 73 GRS80 a = 6 378 137 m f = 1 / 98,57 101 Hayford (ou Internacional 194 a = 6 378 388 m f = 1/97 Hayford (ou Internacional 194 a = 6 378 388 m f = 1/97 PTRA08- UTM/ITRF93 GRS80 a = 6 378 137 m f = 1 / 98,57 101 Projeção cartográfica: Transversa de Mercator Transversa de Mercator Transversa de Mercator Transversa de Mercator Latitude da origem das coordenadas retangulares: Longitude da origem das coordenadas retangulares: Falsa origem das coordenadas retangulares: Coeficiente de redução de escala no meridiano central: 39 40' 05'',73 N 39 40' 00'' N 39 40' 00'' N 0 08 07' 59'',19 W 08 07' 54'',86 W 08 07' 54'',86 W Em M: 0 m Em P: 0 m Em M: 0 m Em P: 0 m Em M: +180,598 m Em P: -86,990 m 1,0 1,0 1,0 0,9996 33 W (fuso 5 7 W (fuso 6 15 W (fuso 8 Em M: +500 000 m Em P: 0 m 6
EXERCÍCIO Executar um programa, numa linguagem escolhida pelos alunos, que realize a transformação inversa das coordenadas retangulares (M, P dos vértices geodésicos utilizados no exercício 1 nas correspondentes coordenadas geodésicas (φ, λ. Para efectuar a transformação inversa das coordenadas planas Gauss (ou UTM nas correspondentes coordenadas geodésicas basta utilizar um processo iterativo: 1 Toma-se como ponto de partida um valor aproximado para φ (φ ap, saído de um cálculo anterior ou considerando um valor aproximado para o arco de meridiano σ: P σ ap = k 0 sendo P a distância à perpendicular; donde a primeira aproximação para φ é dada por: σ φ = φ + A a ap 0 ( 1 e Com base neste valor aproximado da latitude recalcula-se o comprimento de arco de meridiano σ usando a expressão: B C σ = a ( 1 e A ( φ φ0 ( sinφ sinφ0 + ( sin4φ sin4φ0 4 D E F ( sin6φ sin6φ ( sin8φ sin8φ ( sin10φ sin10φ 0 + 0 0 6 8 10 3 Com este novo valor para σ podemos determinar a correcção a aplicar a φ através de: onde φ = ρ = ( σap σ ρ a. ( 1 e ( 1 e.sin φ 3 7
sendo o novo valor da latitude igual a: φ = φ + φ 4 Entra-se de seguida num processo iterativo, recalculando σ, ρ e φ e o novo valor da φ até que φ seja inferior à precisão desejada (10-10 ; 5 Com o valor da latitude φ resultante do processo iterativo, calcula-se a latitude e longitude do ponto, através das seguintes expressões: 4 4 4 ( t t t ( ( 4 9 ( 1 t 1t t M t M φ = φ + ψ ψ 3 3 + + k0 ρ k0 N k0 ρ 4 k0 N 6 t M 4 3 4 8 5 5 ψ ( 11 4t 1ψ ( 1 71t + 15ψ ( 15 98t + 15t + k0 ρ 70 k0 N + 180ψ 5 3 360 + k k N 8 t M 4 6 7 7 1385 + 3633t + 4095t + 1575t 0 ρ 4030 0 ( M M = + + k N 6 k N 3 ( λ λ0 cosφ 3 3 ( ψ t 0 0 3 4 ( 4ψ ( 1 6t ψ ( 9 68t 7ψ t 4t 5 M + 5 5 + + + 10 k0 N 7 M 7 7 + + + 5040 k0 N 4 6 ( 61 66t 130t 70t N sendo M a distância à meridiana, ψ =, calculado com o valor da latitude φ, e t = tgφ. ρ 8
EXERCÍCIO 3 Executar um programa, numa linguagem escolhida pelos alunos, que realize a transformação direta entre coordenadas geodésicas (φ, λ, h dos seguintes vértices geodésicos nas correspondentes coordenadas cartesianas tridimensionais (X, Y, Z. V.G. Aboboreira (Beja PT-TM06/ETRS89 φ= 37 53 58,7635 N λ= 07 43 07,999 WGr h= 57,85 m X= 499381,5571 m Y= -676850,4038 m Z= 3896819,7516 m V. G. Cabeço da Ponta (Porto Santo - Madeira PTRA08-UTM/ITRF93 φ= 33 0 15,697 N λ= 16 1 41,8679 WGr h= 3,7 m X= 5135480,8889 m Y= -1507717,9053 m Z= 3457470,4300 m Considerando um triedro cartesiano OXYZ centrado com o elipsóide de referência, com o eixo dos ZZ coincidente com o seu eixo de revolução, com o eixo dos XX assente no semi-plano origem das longitudes geodésicas e o eixo dos YY escolhido de modo a tornar o triedro directo, as coordenadas geodésicas (φ, λ, h de um ponto genérico relacionam-se com as suas coordenadas cartesianas tridimensionais (X, Y, Z por meio das seguintes expressões: X = ( N + h cosφ cosλ Y = ( N + h cosφ sinλ ( Z = e N h 1 + sinφ sendo N a grande normal ao elipsóide de referência à latitude φ, h a altitude elipsoidal do ponto e (a, e os seus parâmetros de forma. Estas expressões correspondem à transformação directa das coordenadas geodésicas (φ, λ, h de um ponto nas correspondentes coordenadas cartesianas tridimensionais (X, Y, Z. 9
EXERCÍCIO 4 Executar um programa, numa linguagem escolhida pelos alunos, que realize a transformação inversa entre coordenadas cartesianas tridimensionais (X, Y, Z dos vértices geodésicos utilizados no exercício 3 nas correspondentes coordenadas geodésicas (φ, λ, h. A transformação inversa das coordenadas cartesianas tridimensionais (X, Y, Z de um ponto nas correspondentes coordenadas geodésicas (φ, λ, h é executada recorrendo a um processo iterativo: 1 A longitude λ pode ser facilmente calculada a partir das coordenadas cartesianas tridimensionais utilizando a seguinte expressão: Y λ = arctg X A latitude é obtida por um processo iterativo dado que as quantidades φ e h são dependentes uma da outra, pelo que se utiliza um valor aproximado para a latitude o qual é calculado por: φap = arctg P Z ( 1 e com P igual a: ( 1/ P = X + Y 3 Com base neste valor aproximado da latitude calcula-se o valor de N, e em seguida o valor para a altitude elipsoidal h usando a expressão: P h = N cosφ 4 O processo iterativo continua recalculando o valor de φ, com N e h calculados no passo anterior, utilizando a expressão: Z + e N sinφ φ = arctg P 10
5 Com este novo valor da latitude φ, recalcula-se o valor de N, da altitude elipsoidal h e em seguida um novo valor para a latitude φ e assim sucessivamente até alcançar a precisão desejada para a transformação (φi-φ i-1 =10-10. 11
EXERCÍCIO 5 Executar um programa, numa linguagem escolhida pelos alunos, que realize a transformação entre as coordenadas cartesianas tridimensionais (X, Y, Z - Transformação de Helmert/Fórmulas de Bursa-Wolf - de dois data distintos. Ponto Datum 73 X= 481586 m Y= -578951 m Z= 419745 m PT-TM06/ETRS89 X= 481506,1368 m Y= -578841,009 m Z= 41978,0548 m A transformação de sete parâmetros de Helmert, expressa em formato matricial, é designada por fórmula de Bursa-Wolf e tem a seguinte forma: Xn X 1 RZ RY X Y n Y ( 1 α RZ 1 R X Y = + + Z n Z RY RX 1 Z onde (X, Y, Z são as coordenadas de um dado ponto no sistema de referência geocêntrico origem, (X n, Y n, Z n são as coordenadas desse mesmo ponto no sistema de referência geocêntrico destino, ( X, Y, Z são as componentes do vetor que une os centros dos dois elipsóides, (RX, RY, RZ são os ângulos de rotação em torno dos eixos de referencial de origem e α é o factor de escala (expresso em partes por milhão - ppm. Nota: A fórmula apresentada encontra-se em conformidade com a norma ISO 19111:007. No entanto, é de ter em conta outras versões utilizadas em alguns programas que se reflectem nos sinais e/ou no sentido das rotações. De seguida apresentam-se os parâmetros da transformação de Bursa-Wolf do datum Lisboa e datum 73 para PT-TM06-ETRS89 retirados do sítio da Direção-Geral do Território (http://www.dgterritorio.pt/cartografia_e_geodesia/geodesia/transformacao_de_coordenadas/paramet ros_de_transformacao_de_coordenadas/portugal_continental/bursa_wolf_do_datum_lisboa_e_datum_ 73_para_pt_tm06_etrs89/ em fevereiro de 017. 1
Parâmetros de Transformação de Bursa-Wolf do Datum Lisboa e Datum 73 para PT-TM06-ETRS89 Datum Lisboa para PT-TM06/ETRS89 Datum 73 para PT-TM06/ETRS89 X (m -83,088-30,994 Y (m -70,693 +10,591 Z (m +117,445 +5,199 R X (" -1,157 +0,633 R Y (" +0,059-0,39 R Z (" -0,65 +0,900 α (ppm -4,058 +1,950 13
EXERCÍCIO 6 Executar um programa, numa linguagem escolhida pelos alunos, que realize a transformação entre as coordenadas geodésicas (φ, λ, h - Fórmulas de Molodensky - de dois data distintos. Ponto Datum 73 φ= 40 36 10 N λ= 6 51 17 WGr h= 86 m PT-TM06/ETRS89 φ= 40 36 1,9913 N λ= 6 51 13,4858 WGr h= 884,078 m A transformação de Molodensky tem cinco parâmetros tendo a seguinte forma: e Nsinφcosφ a b Xsinφcos λ Ysinφsinλ + Zcosφ + a + fsinφcosφ ρ + N a b a φn = φ + ρ + h Xsinλ + Ycos λ λn = λ + cosφ ( N + h a b hn = h + Xcosφcos λ + Ycosφsinλ + Zsinφ a + f Nsin φ N a onde φ n, λ n, h n são a latitude, longitude (em radianos e a altitude elipsoidal (em metros a obter, φ, λ, h são a latitude, longitude (em radianos e a altitude elipsoidal (em metros originais, X, Y, Z as componentes do vetor que une os centros dos dois elipsóides, a, b os semi-eixos maior e menor do elipsóide origem, e, f a primeira excentricidade e o achatamento do elipsóide origem, a, f a diferença entre os semi-eixos maiores e os achatamentos dos dois elipsóides, N o raio de curvatura do primeiro vertical (Grande Normal e ρ o raio de curvatura do meridiano. 14
b = a (1 f De seguida apresentam-se os parâmetros da transformação de Molodensky do datum Lisboa e datum 73 para PT-TM06-ETRS89 retirados do sítio da Direção-Geral do Território (http://www.dgterritorio.pt/cartografia_e_geodesia/geodesia/transformacao_de_coordenadas/paramet ros_de_transformacao_de_coordenadas/portugal_continental/molodensky_do_datum_lisboa_e_datum _73_para_pt_tm06_etrs89/ em fevereiro de 017. Parâmetros de Transformação de Molodensky do Datum Lisboa e Datum 73 para PT-TM06-ETRS89 Datum Lisboa para PT-TM06/ETRS89 Datum 73 para PT-TM06/ETRS89 X (m -303.861-3.150 Y (m -60.693 +110.13 Z (m +103.607 +36.711 a (m -51.000-51.000 f (m -1.419686x10-5 -1.419686x10-5 15
EXERCÍCIO 7 Executar um programa, numa linguagem escolhida pelos alunos, que realize a transformação entre as coordenadas retangulares (M, P - Transformação Polinomial - de dois data distintos. Ponto Datum 73 M= 0000 m P= 0000 m h= 100 m PT-TM06/ETRS89 M= 19999,7773 m P= 0000,1413 m h= 155,6977 m A transformação polinomial de grau permite transformar coordenadas retangulares num determinado datum nas coordenadas retangulares num outro datum: M = a + a u + a v + a u + a uv + a v n n 0 1 3 4 5 P = b + b u + b v + b u + b uv + b v 0 1 3 4 5 onde M n, P n são as coordenadas rectangulares a obter, X, Y as coordenadas rectangulares originais, a i, b i os coeficientes de transformação, X 0, Y 0, h, k os parâmetros de normalização e u e v têm a seguinte forma: X X Y Y u = v = h k 0 0 De seguida apresentam-se os parâmetros da transformação polinomial do datum Lisboa e datum 73 para PT-TM06-ETRS89 retirados do sítio da Direção-Geral do Território (http://www.dgterritorio.pt/cartografia_e_geodesia/geodesia/transformacao_de_coordenadas/paramet ros_de_transformacao_de_coordenadas/portugal_continental/polinomios_de_grau do_datum_lisbo a_e_datum_73_para_pt_tm06_etrs89/ em fevereiro de 017. 16
Coeficientes de Transformação Polinomial de Grau do Datum Lisboa e Datum 73 para PT-TM06-ETRS89 Datum Lisboa para PT-TM06/ETRS89 Datum 73 para PT-TM06/ETRS89 a 0 +1,38051 +0,8961 a 1 +19998,5656 +19999,16977 a -1,69483-5,6888 a3-0,576 +0,357 a4 -,9606-0,87853 a5 -,45601-1,37 b0 +0,80894-0,08867 b1 +1,31669 +,39595 b +79995,74505 +79997,91435 b3 +0,4888 +0,15146 b4 +,65999 +1,11109 b5-3,86484-1,06143 X 0 0 0 Y 0 0 0 h +130000 +130000 k +80000 +80000 17
EXERCÍCIO 8 Considerando as coordenadas geodésicas e as correspondentes coordenadas retangulares dos vértices geodésicos ABOBOREIRA (Beja, Baixo Alentejo e CABEÇUDO (Mogadouro, Trás-os-Montes, calcule a: Coordenadas PT-TM06-ETRS89 Geodésicas ou geográficas (φ, λ Retangulares (M, P V.G. Aboboreira φ= 37 53 58,7635 N λ= 07 43 07,999 W Gr M= 36448,61 m P= -19653,96 m V.G. Cabeçudo φ= 41 19 50,6809 N λ= 06 6 0,698 W Gr M= 1443,53 m P= 18600,69 m a deformação linear k em cada um dos vértices; b convergência de meridianos γ em cada um dos vértices; c correção tangente à corda β para a distância entre os vértices; d correção de redução dos comprimentos finitos s1 s para a distância entre os vértices (1. k x 1 ρ N = + ( 0 0 γ = λ λ0 sinφ 1 β = + 6 ρ N sin1 0 0 ( x x ( y y A B B A = s + + ( B B A A 1 s1 s x x x x 6 ρ0 N0 (1 Para calcular o valor de s 1, ou seja a geodésica entre os vértices geodésicos, aceda ao seguinte link: https://geographiclib.sourceforge.io/cgi-bin/geodsolve 18
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EXERCÍCIO 9 Sabendo que os coeficientes da expressão do módulo da deformação linear na projeção de Bonne são respetivamente e = 1 + λ (sin φ r/ R, f = λ(sin φ r / R, g = 1, calcule os: a elementos da elipse de Tissot (semieixo maior e menor e respetivas direções; b módulos da deformação angular máxima e os respetivos azimutes dessas deformações; para um ponto com as seguintes coordenadas φ= 50 N, λ= 10 EGr, sobre o elipsóide de Hayford (a= 6 378 388 m; f = 1/97. Considere o seguinte valor para a latitude da origem da projeção φ 0= 45 N. R = R σ 0 R = N cotφ 0 0 0 r = N cosφ 1 k1 = ( e + g + ( e g + 4 f 1 k = ( e + g ( e g + 4 f f tgα = ( e g tgδ m 1 k = ± k k k 1 1 tgα = ± m k k 1 nestas equações e, f e g são os valores das equações que se encontram em cima no enunciado do exercício, enquanto que nas expressões seguintes a, e e f, referem-se, respetivamente, ao semieixo maior, à excentricidade e achatamento do elipsóide. e = f f ( N = a ( 1 1 e.sin φ 0
B C σ = a ( 1 e A ( φ φ0 ( sinφ sinφ0 + ( sin4φ sin4φ0 4 D E F ( sin6φ sin6φ ( sin8φ sin8φ ( sin10φ sin10φ 0 + 0 0 6 8 10 1