1 FÍSICA APLICADA TECNOLOGIA EM MECATRÔNICA INDUSTRIAL TECNOLOGIA EM ELETRÔNICA INDUSTRIAL TECNOLOGIA EM FABRICAÇÃO MECÂNICA Elaborado por: Prof. Walmor Cardoso Godoi, M.Sc. Prof. Alexandre Meira, M.Sc. REV.01
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3 1. otação científica Muitas vezes realizamos medidas e precisaremos manipular essas medidas (somar, multiplicar, aplicar em fórmulas, etc). O problema é que as medidas que obtemos nem sempre são fáceis de lidar. Obtemos ou números muito grandes, ou muito pequenos. A notação científica é uma forma concisa de representar números, em especial muito grandes (100000000000) ou muito pequenos (0,00000000001). É baseada no uso de potências de 10 (os casos acima, em notação científica, ficariam: 1 10 11 e 1 10-11, respectivamente). Como exemplo, observe os números abaixo: 600000 30000000 500000000000000 7000000000000000000000000000000000 0,0004 0,00000001 0,0000000000000006 0,0000000000000000000000000000000000000000000000008 A representação desses números na forma convencional torna-se difícil, em especial no quarto e oitavo exemplos. O principal fator de dificuldade é a quantidade de zeros extremamente alta para a velocidade normal de leitura dos números. Pode-se pensar que esses valores são pouco relevantes e de uso quase inexistente na vida cotidiana. Mas este pensamento é incorreto. Em áreas como a Física e a Química esses valores são frequentes. Por exemplo, a maior distância observável do universo mede cerca de 740 000 000 000 000 000 000 000 000 metros, e a massa de um próton é aproximadamente 0,00000000000000000000000000167 gramas. Para valores como esses, a notação científica é mais compacta. Outra vantagem da notação científica é que ela sempre pode representar adequadamente a quantidade de algarismos significativos. Por exemplo, a distância observável do universo, do modo que está escrito, sugere a precisão de 30 algarismos significativos. Mas isso não é verdade (seria coincidência demais 25 zeros seguidos numa aferição). Não confunda algarismos significativos com casas decimais. Considere os comprimentos 35,6 mm, 3,56 m, e 0,00356 m. Todos têm 3 (três) algarismos significativos, mas else têm uma, duas e cinco casas decimais, respectivamente. 1.1 História A primeira tentativa conhecida de representar números demasiadamente extensos foi empreendida pelo matemático e filósofo grego Arquimedes, e descrita em sua obra O Contador de Areia [1], no século III a.c.. Ele desenvolveu um método de representação numérica para estimar quantos grãos de areia existiam no universo. O número estimado por ele foi de 1 10 63 grãos.
4 Foi por meio da notação científica que foi concebido o modelo de representação de números reais através de ponto flutuante. Essa idéia foi proposta independentemente por Leonardo Torres y Quevedo (1914), Konrad Zuse (1936) e George Robert Stibitz (1939). A codificação em ponto flutuante dos computadores atuais é basicamente uma notação científica de base 2. A programação com o uso de números em notação científica consagrou uma representação sem números subscritos. 1,785 10 5 e 2,36 10-14 são representados respectivamente por 1.785E5 e 2.36E-14 (como a maioria das linguagens de programação são baseadas na língua inglesa, as vírgulas são substituídas por pontos). 1.2 Descrição Um número escrito em notação científica segue o seguinte modelo: X 10 x O número X é denominado mantissa e x a ordem de grandeza. Notação científica padronizada A definição básica de notação científica permite uma infinidade de representações para cada valor. Mas a notação científica padronizada inclui uma restrição: a mantissa deve ser maior ou igual a 1 e menor que 10. Desse modo cada número é representado de uma única maneira. Como transformar Para transformar um número qualquer para a notação científica padronizada devemos deslocar a vírgula obedecendo o príncípio de equlíbrio. Vejamos o exemplo abaixo: 253756,42 A notação científica padronizada exige que a mantissa esteja entre 1 e 10. Nessa situação, o valor adequado seria 2,5375642 10 5 (observe que a sequência de algarismos é a mesma, somente foi alterada a posição da vírgula). Para o exponente, vale o princípio de equilíbrio: "Cada casa decimal que diminui o valor da mantissa aumenta o expoente em uma unidade, e vice-versa". Nesse caso, o expoente é 5. Observe a transformação passo a passo: 253756,42 = 25 375,642 10 1 = 2 537,5642 10 2 = 253,75642 10 3 = 25,375642 10 4 = 2,5375642 10 5
5 Um outro exemplo, com valor menor que 1: 0,0000000475 = 0,000000475 10-1 = 0,00000475 10-2 = 0,0000475 10-3 = 0,000475 10-4 = 0,00475 10-5 = 0,0475 10-6 = 0,475 10-7 = 4,75 10-8 Desse modo, os exemplos da primeira página ficarão: 6 10 5 3 10 7 5 10 14 7 10 33 4 10-4 1 10-8 6 10-16 8 10-49 1.3 Operações Adição e subtração Para somar dois números em notação científica, é necessário que o expoente seja o mesmo. Ou seja, um dos valores deve ser transformado para que seu expoente seja igual ao do outro. A transformação segue o mesmo princípio de equilíbrio. O resultado possivelmente não estará na forma padronizada, sendo convertido posteriormente. Forma geral : X 10 x + Y 10 x = (X+Y) 10 a Exemplos: 4,2 10 7 + 3,5 10 5 = 4,2 10 7 + 0,035 10 7 = 4,235 10 7 6,32 10 9-6,25 10 9 = 0,07 10 9 (não padronizado) = 7 10 7 (padronizado) Multiplicação Multiplicamos as mantissas e somamos os expoentes de cada valor. O resultado possivelmente não será padronizado, mas pode ser convertido: Forma geral: (X 10 a ) (Y 10 b ) = (XY) 10 a+b Exemplos: a) (6,5 10 8 ). (3,2 10 5 ) = (6,5 3,2) 10 8+5 = 20,8 10 13 (não padronizado) = 2,08 10 14 (convertido para a notação padronizada) b) (4 10 6 ) (1,6 10-15 ) = (4 1,6) 10 6+(-15) = 6,4 10-9 (já padronizado sem necessidade de conversão)
6 Divisão Dividimos as mantissas e subtraímos os expoentes de cada valor. O resultado possivelmente não será padronizado, mas pode ser convertido: Forma geral: (X 10 a )/ (Y 10 b ) = (X/Y) 10 a-b Exemplos: (8 10 17 ) / (2 10 9 ) = (8 /2) 10 17-9 = 4 10 8 (padronizado) (2,4 10-7 ) / (6,2 10-11 ) = (2,4 /6,2) 10-7-(-11) 0,3871 10 4 (não padronizado) = 3,871 10 3 (padronizado) Exponenciação A mantissa é elevada ao expoente externo e o expoente da base dez é multiplicado pelo expoente externo. Forma geral: (X 10 x ) y =X y 10 xy (2 10 6 ) 4 = (2 4 ) 10 6 4 = 16 10 24 = 1,6 10 25 (padronizado) Radiciação Antes de fazer a radiciação é preciso transformar um expoente para um valor múltiplo do índice. Após feito isso, o resultado é a radiciação da mantissa multiplicada por dez elevado à razão entre o expoente e o índice do radical. Ordem de grandeza A ordem de grandeza de um número é o expoente da potência de dez que aparece quando o número é expresso em notação científica. Por exemplo, se A=2,3 x10 4 e B=7,8X10 4, A e B possuem a mesma ordem de grandeza (no caso 4).
7 (X) 1 ª Parcial ( ) 2 ª Parcial ( ) Recuperação ( ) Exame Final ( ) Aproveitamento Extraordinário de Estudos ( X ) Exercícios ( ) Avaliação Substitutiva Nota (valor:10,0 Peso: 2): Disciplina: Física Aplicada Turma: Aluno (a): Data: 1. Represente os números dados com a notação científica, forma padronizada e três significativos: a) 1236,840 b) 4,22 c) 0,000000000000211 d) 0,000238 e) 9,10 f) 8003 g) 945330001 2. Resolva. Apresente o resultado em notação científica, forma padronizada e três significativos: a) (3 10 5 ) (3 10 6 ) = b) (2 10 7 ) (3 10-9 ) = c) (4 10-6 ) (4 10-4 ) = d) (7,5 10 2 ) (2,3 10-21 )= 3. Apresente os resultados das operações indicadas em notação científica, forma padronizada e três significativos: a) 3.45 10 8 / 6.74 10-2 = b) 6.7 10 7 / 8.6 10 3 = c) 4.7 10-2 / 5.7 10-6 = d) 6,0003 /2,002 10-3 = 4. Efetue as operações. Apresente os resultados das operações indicadas em notação científica, forma padronizada e três significativos: a) (8.41 10 3 ) + (9.71 10 4 ) = b) (5.11 10 2 ) - (4.2 10 2 ) = c) (8.2 X 10 2 ) + (4.0 10 3 ) = d) (6.3 10-2 ) - (2.1 10-1 ) =
8 Resposta Lista 1 Notação Científica 1 2 3 4 a. 1,24 10 2 b. 4,22 10 0 c. 2,11 10-13 d. 2,38 10-4 e. 9,10 10 0 a) 9 10 11 b) 6 10-2 c) 1,6 10-9 d) 1,73 10-18 a) 5.12 10 9 b) 7.79 10 3 c) 8,25 10 3 d) 3,00 10 3 a) 1.06 10 5 b) 9.1 10 1 c) 4.82 10 3 d) 1,47 10-1
9 2 Medidas e Grandezas Físicas 2.1 Introdução Por que medir? O desenvolvimento e a consolidação da cultura metrológica vêm-se constituindo em uma estratégia permanente das organizações, uma vez que resultam em ganhos de produtividade, qualidade dos produtos e serviços, redução de custos e eliminação de desperdícios. A construção de um senso de cultura metrológica não é tarefa simples, requer ações duradouras de longo prazo e depende não apenas de treinamentos especializados, mas de uma ampla difusão dos valores da qualidade em toda a sociedade. Inmetro, 2007 A Física trabalha com as grandezas físicas, ou seja, com aquelas grandezas na natureza que podem ser medidas e quantificadas. Exemplo: No nado livre a velocidade do nadador pode chegar a até 7,2 km/h. Aqui a grandeza física em questão é a velocidade. Esta grandeza mede a rapidez do nadador. A unidade usada para representar a rapidez do nadador foi o km/h (quilômetros por hora). Note que se eu quiser posso usar outras unidades para representar a grandeza física velocidade. Poderia usar o m/s (metros por segundo), ou então a mph (milhas por hora) que é utilizada nos EUA, por exemplo. Descobrimos a física aprendendo como medir e comparar suas grandezas. Medimos cada grandeza física em suas próprias unidades, por meio da comparação com um padrão. A unidade é o único nome com o qual designamos a medida daquela grandeza (por exemplo, a unidade metro para a grandeza comprimento). Assim, Uma grandeza física é uma propriedade de um corpo, ou particularidade de um fenômeno, suscetível de ser medida, i.e. à qual se pode atribuir um valor numérico. A medição de uma grandeza pode ser efetuada por comparação direta com um padrão ou com um aparelho de medida (medição direta), ou ser calculada, por meio de uma expressão conhecida, à custa das medições de outras grandezas (medição indireta). A unidade é o único nome com o qual designamos a medida daquela grandeza. Exemplo, o metro para a grandeza comprimento. 2.2 O Sistema Internacional de Unidades Em 1971, na 14ª Conferência Geral sobre Pesos e Medidas, foram selecionadas sete grandezas como fundamentais, as quais formam o SI: comprimento (m), tempo (s), massa (kg), corrente elétrica (A), temperatura termodinâmica (K), quantidade de matéria (mol), intensidade luminosa (cd). As grandezas, em geral, foram definidas para estarem em escala humana.
10 Unidades das Grandezas do SI Prefixos para unidades do SI Antes de falarmos dos prefixos, temos que voltar atenção especial a um alfabeto diferente do nosso. O alfabeto grego é utiliado em muitos dos prefixos de física. Quando tratamos com grandezas muito grandes ou muito pequenas usamos os prefixos listados abaixo.
11 2.3 Mudança de Unidades Frequentemente precisamos mudar as unidades nas quais uma determinada grandeza física está expressa. Fazemos isso por um método denominado de conversão em cadeia (multiplicamos por uma razão entre as unidades que é igual ao fator unitário). Por exemplo, Por exemplo, para converter 2 min em segundos, temos Mais exemplos: Realize as conversões solicitadas a) 1,5 kg mg b) 60 km/h m/s e mm/s c) 3 m 3 cm 3 d) 10 l ml 2.4 Comprimento A definição do metro baseada no protótipo internacional em platina iridiada, em vigor desde 1889, foi substituída na 11ª CGPM (1960) por uma outra definição baseada no comprimento de onda de uma radiação do criptônio 86, com a finalidade de aumentar a exatidão da realização do metro. A 17ª CGPM (1983, Resolução 1; CR 97 e Metrologia, 1984, 20, 25) substituiu, em 1983, essa última definição pela seguinte: Tal número foi escolhido para que a velocidade da luz c, fosse dada exatamente por c=299792458 m/s
12 2.5 Tempo Primitivamente, o segundo, unidade de tempo, era definido como a DE TEMPO (SEGUNDO) fração 1/86 400 do dia solar médio. Porém não era muito exato. Assim, a 13ª CGPM (1967) decidiu substituir a definição do segundo pela seguinte: Na sessão de 1997, o Comitê Internacional confirmou que: Essa definição se refere a um átomo de césio em repouso, a uma temperatura de 0 K. 2.6 Massa A massa é uma grandeza física fundamental, definida segundo a mecânica Newtoniana como inércia ou resistência de um corpo em ter seu movimento acelerado, na teoria da gravitação universal de Newton, a massa tem outro papel, é a origem da força gravitacional. A teoria da relatividade de Einstein dá razão a essa função dupla, e relaciona a massa como um tipo de Energia através da famosa equação E=mc². Ao contrário do espaço e do tempo, que podemos dar uma definição operacional e intuitiva através de réguas e relógios, para definirmos o conceito de massa é necessário recorrermos explicitamente à teoria física. O conceito intuitivo de quantidade de matéria ( que não deve ser confundido com quantidade de substância em mols) é muito vago para uma definição operacional e referem-se a propriedades comuns de peso e inércia, que são tratados de forma diferente na dinâmica Newtoniana. Atualmente existem algumas teorias que tentam explicar a massa, dentre elas podemos falar do mecanismo de Higgs, teoria das cordas e a teoria quântica da gravidade mas nenhuma ainda foi testada experimentalmente (O LHC cuja início de operação ocorreu em 2008 tem potência suficiente para encontrar o Bóson de Higgs se ele existir). A 3ª CGPM (1901; CR,70), para acabar com a ambigüidade que ainda existia no uso corrente sobre o significado da palavra peso, confirmou que: O quilograma é a unidade de massa (e não de peso, nem força); ele é igual à massa do protótipo internacional do quilograma. Este protótipo internacional em platina iridiada é conservado no Bureau Internacional, nas condições que foram fixadas pela 1ª CGPM em 1889.
13 O quilograma padrão. Um segundo padrão de massa As massas dos átomos podem ser comparados entre si mais precisamente do que o quilograma padrão. Por esta razão, temos um segundo padrão de massa, o átomo de carbono-12 ao qual, por acordo internacional, foi atribuída uma massa de 12 unidades de massa atômica (u) com uma incerteza de 10 nas duas últimas casas decimais.