Órbitas de Birkho para Aplicações do Tipo Twist

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS Departamento de Matemática Dissertação de Mestrado Órbitas de Birkho para Aplicações do Tipo Twist Patrícia Romano Cirilo Orientador: Mário Jorge Dias Carneiro 2007

Um menino caminha e caminhando chega no muro e ali logo em frente a esperar pela gente o futuro está E o futuro é uma astronave que tentamos pilotar... Nessa estrada não nos cabe conhecer ou ver o que virá O m dela ninguém sabe bem ao certo onde vai dar Toquinho et al

Agradecimentos Ao professor e orientador Mário Jorge Dias Carneiro pela paciência, por toda sua disponibilidade e por seu entusiasmo durante as discussões que resultaram nesta dissertação. É certamente um privilégio para alguém que esteja iniciando a carreira acadêmica poder partilhar do conhecimento de um matemático de excelência como o professor Mário Jorge. Aos professores membros da banca Alexandre Baraviera, José Antônio Miranda e especialmente à professora Sônia Pinto de Carvalho pela leitura cuidadosa e pelas valiosas sugestões na redação nal desta dissertação. Aos professores do programa de pós-graduação em especial àqueles com os quais cursei disciplinas: Dan Avritzer, Fernando Oliveira, Hamilton Bueno, Márcio Soares e Mário Jorge Carneiro. Aos professores da graduação especialmente à professora Márcia Fusaro por ter nos usado como "cobaias" nas suas aulas de cálculo com ɛ 's e δ 's e com isto ter sido parcialmente responsável por minha escolha pelo bacharelado em matemática; à professora Cristina Ferreira que me recebeu, no início da graduação, em seu projeto de visitas ao laboratório de ensino da matemática e pelo encorajamento após o período deste projeto; à professora Sylvie Kamphorst pela orientação durante o projeto PAD-Oscilações; ao professor Carlos Henrique Moreira, tutor do PET-Matemática, por sua dedicação a nós alunos do PET; ao professor Seme Gebara pelo estimulante curso de Topologia; aos exigentes professores Alberto Sarmiento e Michel Spira pelos quais tenho grande carinho apesar das noites em claro com as listas de exercícios; e agradeço ainda aos professores Carlos Carballo, Jorge Sabatucci, Maria Laura Magalhães, Regina Radicchi e a todos aqueles professores que, mesmo sem me dizer, após os cursos básicos e a graduação continuaram torcendo por mim.

Aos funcionários do Departamento de Matemática pelo apoio e suporte administrativo. Ao CNPq pelo suporte nanceiro. Aos professores e demais autoridades do Colégio Militar de Belo Horizonte e aos professores da Escola Municipal Geraldo Teixeira da Costa pelos ensinamentos menos especícos entretanto de grande valia para a formação da pessoa que conclui este mestrado. Aos meus pais Lourdes e Leonardo pelo apoio constante e à Pauliane pelo carinho de irmã. Aos meus amigos que de longe ou de perto estiveram presentes, disseram palavras de afago nas horas difíceis e foram felizes com as minhas conquistas, em especial à Débora, à Marcelle, à Sara e à Madrinha Solange, os meus sinceros agradecimentos. Aos colegas da época da graduação Van Ham, Vinícius, Marinho, Bonezinho e Cia, Raquel, Daila, Danilo e a todos os colegas de turma e do PET. Aos colegas da Pós-Graduação pela respostas, pelas discussões, mas também, e principalmente, pelas perguntas que contribuíram de forma fundamental em nosso aprendizado. Em especial a Luana e Simone que foram companheiras mais presentes nos preparativos para o exame de qualicação e nas disciplinas do mestrado. Gostaria de mencionar também Leandro, Flavi, Flaviana, Flávio (Bin Laden), Maurício, Renato, Geraldo, W e Éder por terem proporcionado, cada um ao seu modo, momentos menos difíceis durante a árdua rotina e os colegas Heleno, Viviana e Eduardo que foram companhias muito agradáveis na reta nal do mestrado. A todos o meu muito obrigada!

Sumário 1 Introdução 6 2 Denições e Resultados Básicos 8 3, Relação de Recorrência 10 3.1 Aplicações Twist e....................... 10 3.2 Órbitas de Birkho........................ 15 3.3 Subsoluções e Supersoluções................... 18 3.4 Teorema de Hall.......................... 23 3.5 Órbitas com no de rotação w................... 26 4 Critério para h top > 0 28 4.1 Entropia topológica........................ 28 4.2 O Teorema............................. 31 4.3 A Solução zig-zag......................... 34 4.4 Construção de K......................... 39 5 Entropia Topológica Nula e Órbitas de Birkho 44

Capítulo 1 Introdução Para estudar a dinâmica de transformações que preservam área é interessante se perguntar sobre a existência de órbitas "ordenadas". A importância desta condição geométrica foi observada por G. D. Birkho no início do século XX e desde então as órbitas de Birkho vêm sendo estudadas com anco. Nesta dissertação será estudado um critério para que uma aplicação possua entropia topológica positiva e utilizando este critério serão apresentadas condições para a existência de órbitas de Birkho. As hipóteses requeridas sobre a aplicação ϕ do cilindro S 1 R nele mesmo são que ela seja um homeomorsmo, twist monótona e que preserve orientação. A aplicação ϕ é obtida através de uma relação de recorrência (x k 1, x k, x k+1 ) = 0 ( k Z) onde x j é a primeira coordenada de um ponto do cilindro. Será apresentado um teorema que permite obter soluções da relação de recorrência com certas propriedades de periodicidade e ordem. Com isto é possível, a partir de órbitas de ϕ com estas propriedades, concluir a existência de órbitas de Birkho, donde segue, em particular, um teorema de G. R. Hall [3]. 6

Capítulo 1. Introdução Com algumas hipóteses sobre a seqüência x k k (veja (3.4)), mostra-se a existência de órbitas de Birkho com um número de rotação pré-determinado. Para terminar, mostra-se que se ϕ tem entropia topológica nula então toda órbita tem número de rotação para frente e para trás e ainda, um resultado atribuído originalmente a P. Boyland, que se a entropia topológica é nula e a órbita é do tipo (p, q) com mdc(p, q) = 1 então esta é necessariamente uma órbita de Birkho. Já que não se supõe nenhuma diferenciabilidade sobre a transformação ϕ em questão, não podem ser utilizados argumentos como os de hiperbolicidade, transversalidade e nem procedimentos variacionais para a construção de conjuntos caóticos, portanto os métodos aqui utilizados são puramente topológicos, o que ressalta a beleza do assunto. A referência básica do estudo apresentado é o artigo de S. B. Angenent [1] e esta teoria se generaliza para cilindros do tipo S 1 R n. 7

Capítulo 2 Denições e Resultados Básicos Sejam A o cilindro R/Z R e ϕ : A A. Um levantamento de ϕ no recobrimento universal R 2 de A é dado por onde f e g satisfazem: F (x, y) = (f(x, y), g(x, y)) f(x + 1, y) = f(x, y) + 1 g(x + 1, y) = g(x, y) Denição 1 (Twist monótona). Diz-se que ϕ é uma aplicação twist monótona 1 quando f é estritamente crescente ou estritamente decrescente em y. Por convenção suponha que f é crescente em y e suponha também a condição de twist innito, i.e., lim f(x, y) = ± y ± 1Quando trata-se de difeomorsmos, a denição mais usada para a condição de twist é exigir que 2 f(x, y) 0 ou mais ainda, para a condição de twist uniforme, exigir que 0 < c 2 f(x, y) 1 c para alguma constante positiva c. 8

Capítulo 2. Denições e Resultados Básicos Denição 2 (Preservar orientação). Será dito que um homeomorsmo do plano no plano preserva orientação quando ao se tomar um círculo (orientado) no plano o homeomorsmo preservar a orientação do círculo e a sua imagem for tal que o "lado de dentro", i.e., a região limitada do círculo, é levado no lado de dentro do círculo (topológico) da imagem. 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 Para o estudo proposto, serão necessárias as seguintes condições ϕ : A A homeomorsmo twist monótona preserva orientação (2.1) Denição 3 (Órbita). Uma seqüência {x k } k Z, x k pertencente a um domínio D, é uma órbita para uma função f : D D quando f(x k ) = x k+1 para todo k Z. O espaço das seqüências {x k } k Z, quando x k R, será, nesta dissertação, denotado por X. 9

Capítulo 3, Relação de Recorrência 3.1 Aplicações Twist e Como f é monótona em y, para todo par (x, x) R 2 existe uma única solução Y (x, x) da equação f(x, Y (x, x)) = x e esta solução é contínua, estritamente crescente em x e ainda f(x, Y (x + 1, x + 1)) + 1 = f(x + 1, Y (x + 1, x + 1)) = x + 1 f(x, Y (x + 1, x + 1)) = x pela unicidade segue que a solução Y (x, x) satisfaz Y (x + 1, x + 1) = Y (x, x) x, x R A partir de Y (x, x) construa uma nova função Y (x, x) = g(x, Y (x, x)) que é também contínua e periódica no sentido que 10

Capítulo 3., Relação de Recorrência 3.1. Aplicações Twist e Y (x + 1, x + 1) = g(x + 1, Y (x + 1, x + 1)) = g(x, Y (x + 1, x + 1)) = g(x, Y (x, x)) = Y (x, x) A função Y (x, x) é estritamente decrescente em x. De fato, para x 0 xo a imagem da reta x = x 0 por F é dada pelo gráco da função G 0 (x) = g(x 0, Y (x 0, x)). Pela condição de twist, este gráco divide o plano em duas partes, uma acima e outra abaixo dele. Assim dado x 0 < x 1 a imagem da reta x = x 1 está necessariamente contida em umas destas partes. Portanto tem-se g(x 0, Y (x 0, x)) < g(x 1, Y (x 1, x)) ou g(x 0, Y (x 0, x)) > g(x 1, Y (x 1, x)) Mas a primeira desigualdade não pode ocorrer. Para ver isto, trace um círculo (topológico) C que contenha um segmento da reta x = x 0 e que possua um trecho da reta x = x 1 na sua região limitada e oriente-o no sentido anti-horário. Pela condicão de twist a imagem deste segmento por F estará contida no gráco referido acima e estará orientado de modo crescente [veja a gura]. x 0 x 1 11

Capítulo 3., Relação de Recorrência 3.1. Aplicações Twist e Assim, por se tratar de um homeomorsmo que preserva a orientação ca determinada a orientação do círculo imagem de C e também a região que será a imagem do "lado de dentro" de C. Em particular, ca determinado que a imagem de um trecho da reta x = x 1 está contida na parte do plano abaixo do gráco de G 0 (x) donde segue que toda a imagem da reta está contida nesta porção do plano. Portanto ocorre a segunda desigualdade, i.e., para x 0 < x 1 vale Y (x 0, x) = g(x 0, Y (x 0, x)) > g(x 1, Y (x 1, x)) = Y (x 1, x) conforme era esperado concluir. Da construção de Y também decorre que lim Y (x, x) = ± e x ± lim Y (x, x) = x ± Seja {(x k, y k )} uma seqüência no plano. Os pontos desta seqüência formam uma órbita para F se e somente se, para todo k Z, x k+1 = f(x k, y k ) y k = g(x k 1, y k 1 ) Pela denição de Y, a primeira igualdade é equivalente a y k = Y (x k, x k+1 ) e com isto, da segunda segue que y k = g(x k 1, Y (x k 1, x k )) = Y (x k 1, x k ). Em resumo, no caso de uma trajetória de F, tem-se y k = Y (x k, x k+1 ) y k = Y (x k 1, x k ) 12

Capítulo 3., Relação de Recorrência 3.1. Aplicações Twist e Subtraindo as relações anteriores vê-se que uma seqüencia (x k, y k ) é uma órbita de F se e somente se as coordenadas x satisfazem e as coordenadas y são dadas por Y (x k, x k+1 ) Y (x k 1, x k ) = 0 k Z y k = Y (x k, x k+1 ). Seja (x k 1, x k, x k+1 ) := Y (x k, x k+1 ) Y (x k 1, x k ) (3.1) No caso em que ϕ for uma aplicação exata, por exemplo, a função será dada por (x k 1, x k, x k+1 ) = 1 g(x k, x k+1 ) 2 f(x k 1, x k ). Pode-se, portanto, `esquecer' a aplicação inicial ϕ e considerar relações de recorrência denidas no espaço das seqüências X de modo que, se : R 3 R é uma aplicação contínua ; monótona crescente em x k 1 e em x k+1 ; periódica de modo que (x k 1 + 1, x k + 1, x k+1 + 1) = (x k 1, x k, x k+1 ); e satisfazendo lim (x k 1, x k, x k+1 ) = lim (x k 1, x k, x k+1 ) = ± x k 1 ± x k+1 ± (3.2) ela se estende a uma aplicação, também denotada por, denida no espaço das seqüências X dada por : X X x [ (x)] k = (x k 1, x k, x k+1 ) 13

Capítulo 3., Relação de Recorrência 3.1. Aplicações Twist e Considerando a equação (x k 1, x k, x k+1 ) = 0, k Z (3.3) ao invés de estudar as órbitas da aplicação F, pode-se assim estudar as soluções de (3.3), i.e., seqüências x X tais que (x k 1, x k, x k+1 ) = 0 para todo k Z. Tendo em vista a aplicação : R 3 R com as propriedades (3.2), considere a equação (a, b, c) = 0 Assim, dados (a, b) existe c que satisfaz esta equação e pode ser feita a associação (a, b) (b, c). Do mesmo modo, dados (b, c) existe a que satisfaz a equação acima tornando possível a associação (b, c) (a, b). Neste sentido cam denidas as aplicações F e (sua inversa) G dadas por F (a, b) = (b, c) tal que (a, b, c) = 0 G (b, c) = (a, b) tal que (a, b, c) = 0 Considerando os esquemas (a, b) F (b, f (a, b)) (a, b, f (a, b)) = 0 conclui-se, das denições anteriores que e (b, c) G (g (b, c), b) (g (b, c), b, c) = 0 (g (b, f (a, b)), b, f (a, b)) = 0 a = g (b, f (a, b)) G F (a, b) = (a, b) Note que isto mostra que G é de fato a inversa de F. Lembre do objeto de estudo A, o cilindro R 2 /Z que é homeomorfo a S 1 R, onde Z age em R 2 por (x k 1, x k )+j = (x k 1 +j, x k +j). A periodicidade citada nas propriedades da função garante ainda que esta ação é preservada, de 14

Capítulo 3., Relação de Recorrência 3.2. Órbitas de Birkho modo que F (z +j) = F (z)+j, assim a projeção dene um homeomorsmo no cilindro A, que será denotado por ϕ. 3.2 Órbitas de Birkho Denição 4 (Órbita de Birkho). Uma seqüência {x k } k Z A é dita uma órbita de Birkho para a aplicação ϕ = ϕ se a sua projeção π na variedade orientada S 1 = R/Z preserva a ordem na órbita. Isto signica que se π(x j ) está entre π(x i ) e π(x k ) no círculo orientado então a imagem π ϕ(x j ) estará também entre as imagens π ϕ(x i ) e π ϕ(x k ). Mais precisamente, deve ser preservada a ordem de acordo com a aplicação exponencial e : R + S 1 x k θ k e então, ao olhar para a representação em Z R da seqüência (k, x k ), será observado um gráco monótono conforme a gura seguinte, x k k O espaço X das seqüências bi-innitas de números reais é de fato R Z, com a topologia produto. 15

Capítulo 3., Relação de Recorrência 3.2. Órbitas de Birkho Por denição, X tem a seguinte ordem parcial, Com a convenção, x y x k y k k Z x < y x y e x y Um intervalo ordenado [x, y] será um conjunto da forma [x, y] = {z X x z y} Observe que [x, y] [0, 1] Z, i.e., um intervalo ordenado [x, y] é homeomorfo ao espaço produto compacto [0, 1] Z. Considere uma ação por translação τ de Z Z em X dada por (τ m,n (x)) i = x i m + n Denição 5 (Seqüência de Birkho). x X é uma seqüência de Birkho se (m, n) Z Z tem-se τ m,n (x) x ou τ m,n (x) x Equivalentemente tem-se que x X é uma seqüência de Birkho se e somente se para todo i, j, k Z x i x j + k x i+1 x j+1 + k Assim, se {x i } é a seqüência das abscissas de uma órbita de uma aplicação twist monótona então x é uma seqüência de Birkho se e somente se a aplicação preserva a ordem na órbita. Note a relação entre esta observação e a denição 4. 16

Capítulo 3., Relação de Recorrência 3.2. Órbitas de Birkho Denição 6 (Tipo (p, q)). Uma seqüência x X será dita do tipo (p, q) quando satiszer x k+q = x k + p k Z Em outras palavras, x = τ q,p (x) Observação 7. Se x X for uma seqüência do tipo (p, q) então todas as suas translações y = τ m,n (x) serão do tipo (p, q). De fato, (τ q,p (y)) k = y k q + p = x (k q) m + p + n = (τ m,n (τ q,p )(x)) k = (τ m,n (x)) k = y k Proposição 8. Se x X for uma seqüência periódica do tipo (p, q) e for também uma seqüência de Birkho, então x é periódica do tipo (p 0, q 0 ), onde p 0 = p l e q 0 = q l l = mdc(p, q) Demonstração: Sendo x uma seqüência de Birkho, então τ q0,p 0 (x) x ou τ q0,p 0 (x) x. Suponha que x i q0 + p 0 x i para todo i Z. Como o objetivo é provar que vale de fato a igualdade, suponha que para algum i tenha-se x i q0 + p 0 > x i. Do fato de estar sendo suposto que τ q0,p 0 (x) x, como τ q0,p 0 preserva a ordem parcial em X, decorre que, para todo inteiro k, τ kq0,kp 0 (x) τ (k 1)q0,(k 1)p 0 (x) τ 2q0,2p 0 (x) τ q0,p 0 (x) Assim, aplicando isto para k = l, x i = x i lq0 + lp 0 = [τ lq0,lp 0 (x)] i [τ q0,p 0 (x)] i = x i q0 + p 0 > x i 17

Capítulo 3., Relação de Recorrência 3.3. Subsoluções e Supersoluções o que é um absurdo. Assim, para todo i tem-se (τ q0,p 0 (x)) i = x i donde concluise que x é do tipo (p 0, q 0 ). Se ao invés de supor τ q0,p 0 (x) x for considerada a desigualdade contrária, o mesmo argumento mostrará que τ q0,p 0 (x) = x. 3.3 Subsoluções e Supersoluções Denição 9 (Sub e Supersolução). Uma seqüência x X será uma subsolução para quando e será uma supersolução quando (x j 1, x j, x j+1 ) 0 j Z (x j 1, x j, x j+1 ) 0 j Z Lema 10. São propriedades das sub e supersoluções: O conjunto das subsoluções para é fechado em X. O mesmo vale para as supersoluções. Se {x (α) } α A é uma família de subsoluções limitada superiormente (com a ordem parcial em X) então sup α x (α) denido por (sup α x (α) ) i := sup x (α) i α é uma subsolução. Analogamente dene-se o ínmo coordenada a coordenada e então uma família de supersoluções que é limitada inferiormente tem um inf α x (α) que é uma supersolução. Demonstração: O conjunto das subsoluções é a pré-imagem do intervalo real [0, + ) pela função contínua e portanto é fechado. 18

Capítulo 3., Relação de Recorrência 3.3. Subsoluções e Supersoluções Para vericar a segunda propriedade enunciada, considere x := sup α x (α). Para cada posição j Z e para cada k N existe α jk tal que x j 1 2 k xα jk j e então x j = sup k x α jk j ou seja x = sup x jk. α Sendo assim, pode-se supor que j,k a família {x α } é enumerável. Mais ainda, se for denido x (N) = sup{x (α jk) 0 k, j N}, quando N, x (N) i x i e portanto x (N) x. Considere então duas subsoluções x e y e seja z = sup(x, y). Dada uma posição j Z suponha que z j = x j, como para todo i vale que z i x i, segue da monotonicidade da função que Analogamente, se z j = y j, (z j 1, z j, z j+1 ) = (z j 1, x j, z j+1 ) (x j 1, x j, x j+1 ) 0 (z j 1, z j, z j+1 ) = (z j 1, y j, z j+1 ) (y j 1, y j, y j+1 ) 0 Em ambos os casos obteve-se (z j 1, z j, z j+1 ) 0 para j escolhido arbitrariamente, portanto z é uma subsolução conforme queria-se mostrar. Para duas subsoluções sabe-se que o resultado é válido, i.e., se x, y são subsoluções então o supremo sup(x, y) é uma subsolução conforme foi visto. Sendo assim, dada uma família enumerável {x α n } n N de subsoluções, com x = sup{x αn } considere x β 2 = sup(x α 1, x α 2 ) x β n = sup(x β n 1, x α n ) 19

Capítulo 3., Relação de Recorrência 3.3. Subsoluções e Supersoluções Então cada uma das seqüências x é uma subsolução. Por construção, βn x β n i x α n i e portanto sup n {x β n i } x i. Ainda por construção, a seqüência real {x βn i } n é crescente para todo i e limitada por x i. Donde conclui-se que } x i, tendo portanto sido provada a igualdade sup n {x β n i sup n {x βn i } = x i Assim, dado N N existe x βn 0 tal que x βn 0 i x i para todo i N, onde signica próximo na métrica da reta. O que quer dizer que isto dá uma noção de convergência no espaço produto R Z. E assim, (tomando abertos adequados), pode-se concluir que x pertence ao fecho do conjunto de subsoluções, mas como foi visto este conjunto é fechado, donde segue que x é de fato uma subsolução conforme se queria demonstrar. Uma outra maneira de concluir o último argumento é lembrar do teorema de Tichonov pois como o conjunto é fechado, ao invés da família enumerável, basta considerar uma nita. O que signica que se o problema for resolvido para uma família de duas subsoluções o caso nito segue por indução trivialmente. O resultado apresentado a seguir, juntamente com seus corolários, justi- ca a importância das sub e supersoluções na obtenção de seqüências que sejam de fato soluções da relação de recorrência (3.3). Teorema 11. Sejam x, x X uma sub e uma supersolução respectivamente, ordenadas de sorte que x x. Então existe pelo menos uma solução de (3.3), diga-se x, entre x e x, i.e., x x x. Demonstração: Seja S := {y X y é subsolução e y x} O conjunto S é limitado superiormente, portanto existe o supremo de S e este será denotado por x := sup S. 20

Capítulo 3., Relação de Recorrência 3.3. Subsoluções e Supersoluções Pelo lema anterior x é subsolução, i.e., para todo j Z, (x j 1, x j, x j+1 ) 0. Será mostrado que na verdade, para todo j Z, vale a igualdade na expressão acima. Como x S, tem-se x x x. Suponha então que para algum j Z ocorra a desigualdade estrita (x j 1, x j, x j+1 ) > 0. Já que x é uma cota superior para o conjunto S, para todo j, ocorre x j x j. Se x j < x j, dena { xj + ε, se j = k x ε k = x j, se j k Pela monotonicidade de, apresentada em (3.2), para todo ε 0 e k j, (x ε k 1, x ε k, x ε k+1) (x k 1, x k, x k+1 ) 0 Como (x j 1, x j, x j+1 ) > 0 e é contínua, para ε pequeno vale, (x ε j 1, x ε j, x ε j+1) 0 Diminuindo ε se necessário para que ainda valha x j + ε x j, tem-se x ε S, o que é um absurdo pois x ε > x. No caso em que x j = x j, (x j 1, x j, x j+1 ) = (x j 1, x j, x j+1 ) (x j 1, x j, x j+1 ) > 0 o que é novamente um absurdo pois x é uma supersolução. Logo para todo j Z tem-se (x j 1, x j, x j+1 ) = 0 portanto x = sup S é 21

Capítulo 3., Relação de Recorrência 3.3. Subsoluções e Supersoluções solução de (3.3). Está assim provado o teorema. No entanto, note ainda que se for denido o conjunto S := {y X y é supersolução e y x}, então inf S será também, por argumentos análogos, uma solução da relação de recorrência (3.3). E em geral, sup S e inf S são seqüências distintas. Corolário 12. Se pelo menos uma entre x e x for uma seqüência de Birkho, então existe uma solução entre x e x que é uma seqüência de Birkho. Demonstração: Suponha que x seja uma seqüência de Birkho. Será mostrado que x = sup S é também uma seqüência de Birkho. Sejam m, n inteiros quaisquer, então da hipótese, τ m,n (x) x ou τ m,n (x) x Caso ocorra τ m,n (x) x, para todo y S, τ m,n (y) τ m,n (x) x portanto, τ m,n (y) S. Isto porque y é uma subsolução se e somente se τ m,n (y) é uma subsolução. Sendo assim, τ m,n (S) S. Como x, e portanto τ m,n (x), pertence a S, τ m,n (x) sup S = x No caso em que τ m,n (x) x, tem-se τ m, n (x) x e repetindo os passos anteriores, mostra-se que τ m, n (x) x, donde τ m,n (x) x. Assim, para todo par de inteiros m, n tem-se τ m,n (x) x ou τ m,n (x) x e portanto, x é uma seqüência de Birkho. Caso a subsolução x seja uma seqüência de Birkho prova-se por argumentos análogos que inf S é uma seqüência de Birkho. 22

Capítulo 3., Relação de Recorrência 3.4. Teorema de Hall Corolário 13. Se pelo menos uma entre x e x for uma seqüência periódica do tipo (p, q), então existe uma solução x de (3.3) que está entre x e x e é periódica do tipo (p, q). Demonstração: Suponha que x seja uma seqüência periódica do tipo (p, q), i.e., τ q,p (x) = x Tome y S, então τ q,p (y) τ q,p (x) = x, donde τ q,p (y) S. Mas então τ q,p (sup S) = sup τ q,p (S) = sup S, i.e., τ q,p (x) = x, ou seja, x é uma seqüência do tipo (p, q). Como no corolário anterior, no caso em que x é que for periódica do tipo (p, q), mostra-se o análogo para inf S. 3.4 Teorema de Hall Denição 14 (Número de rotação). Dene-se o `número de rotação para frente' de uma sequência x X como ρ + := lim k x k x 0 k e o `número de rotação para trás' como ρ := x k x 0 lim k k caso existam. Se ambos existem e além disso coincidem, ρ = ρ + = ρ é dito o número de rotação da seqüência {x k } k Z. Caso o número de rotação exista, ele pode ser interpretado como a medida da velocidade angular média (ângulo/iteração) com que a seqüência dá voltas no cilindro. Em 1984 G. R. Hall [3] provou o seguinte resultado: 23

Capítulo 3., Relação de Recorrência 3.4. Teorema de Hall Teorema 15 (Hall). Toda aplicação twist monótona que tem uma órbita periódica do tipo (p, q) tem necessariamente uma órbita de Birkho do tipo (p 0, q 0 ) com p 0 q 0 = p q. O seguinte teorema generaliza este resultado. Teorema 16. Seja x X uma solução da relação de recorrência (3.3) para a qual existe w R tal que M = sup x k kw < k Z Então (3.3) tem uma solução de Birkho cujo número de rotação é w. Demonstração: A imagem de uma solução por uma translação τ (m,n) (x) também é uma solução e pela hipótese existem x = sup{τ m,n (x) n mw} x = inf{τ m,n (x) n mw} Como x {τ m,n (x) n mw} pode-se supor que x τ m,n (x), assim se n mw, 0 x k m + n x k x k m + mw x k kw + M x k 2M Tomando o supremo quando n mw, x k x k 2M Do mesmo modo, x k x k 2M 24

Capítulo 3., Relação de Recorrência 3.4. Teorema de Hall Assim, se for denido y k := x k 2M e y k := x k + 2M então y e y são tais que y y e ainda serão uma sub e uma supersolução respectivamente, já que, pelo lema 10, x é subsolução e x é supersolução. Mais ainda, y e y serão seqüências de Birkho. Para ver isto, sejam r, s Z dados e considere τ r,s (x) = sup(τ m+r,n+s (x) n mw) = sup(τ m,n (x) n mw + s rw) Se rw s, n mw n mw + s rw, donde ou seja sup(τ m,n (x) n mw) sup(τ m,n (x) n mw + s rw) x τ r,s (x) Se s rw, n mw + s rw n mw, donde τ r,s (x) x Então x é uma seqüência de Birkho e portanto y também o é. Analogamente, x e y são seqüências de Birkho. O corolário 12 implica que (3.3) tem uma solução de Birkho y entre y e y. Das hipóteses segue ainda que o que implica kw M x k M + kw k Z kw 3M x k 2M x k 2M = y k y k y k = x k + 2M 3M + kw 25

Capítulo 3., Relação de Recorrência 3.5. Órbitas com no de rotação w. portanto w y k lim k ± k w Assim, tal solução y tem necessariamente número de rotação w. 3.5 Órbitas com no de rotação w. Sejam w 0 e w 1 números reais, w 0 w 1, para os quais existam uma subsolução x e uma supersolução x de (3.3) tais que lim inf k lim sup k lim inf k lim sup k x k k w 1, x k k w 1, x k k w 0, x k k w 0 (3.4) Note que quando x e x possuirem número de rotação para trás e para frente, as condições acima serão satisfeitas e se resumirão a ρ = x k lim k k w x k 0 < w 1 lim k x ρ + = lim k k k w 0 < w 1 lim k k = ρ + x k k = ρ Um dos principais resultados que serão apresentados aqui é o Teorema 17. Com as condições (3.4), para todo w [w 0, w 1 ] existe uma solução Birkho de (3.3) com número de rotação w. Demonstração: Das inequações (3.4) segue que lim inf k ± k 1 (x k w k) min(w 1 w, w w 0 ) 0 lim sup k 1 (x k w k) max(w w 1, w 0 w) 0 k ± 26

Capítulo 3., Relação de Recorrência 3.5. Órbitas com no de rotação w. Assim existe um inteiro N 0 tal que para todo k Z vale Sejam x k w k N e x k w k + N (3.5) y := sup{τ m,n (x) N n mw} y := inf{τ m,n (x) + N n mw} Assim, por argumentos análogos aos utilizados no teorema 16, pode-se armar que y é uma supersolução Birkho com número de rotação w e que y é uma subsolução Birkho também com número de rotação w. Da conclusão tirada em (3.5), y k w k y k i.e., y y. Segue portanto do teorema 11 e do corolário 12 que existe uma solução Birkho entre y e y e esta solução tem número de rotação w. Em particular, segue que se x X for uma órbita (não Birkho) com número de rotação igual a w então existe uma órbita, Birkho, com número de rotação w. Neste caso as condições do teorema se resumiriam a w 0 = w = w 1 27

Capítulo 4 Critério para h top > 0 4.1 Entropia topológica Não é simples dar uma noção intuitiva do que seja a entropia topológica. Grosseiramente pode ser dito que este conceito representa, com um único número, a taxa do crescimento exponencial das órbitas que podem ser distinguidas com precisão nita, porém arbitrária. Antes de prosseguir com a denição, será dado um exemplo para tentar clarear esta idéia. Considere o shift nito com 2 símbolos modelando, por exemplo, o lançamento de uma moeda. Ao jogar a moeda n vezes, o número de seqüências diferentes de cara ou coroa que podem ser obtidas cresce exponencialmente, a uma taxa exponencial igual a log2 que é, conforme será mencionado posteriormente, o valor da entropia topológica deste shift. A abordagem escolhida aqui para a denição de entropia topológica será via conjuntos geradores. Para este propósito serão necessárias algumas cosiderações preliminares. Seja f : M M uma aplicação contínua num espaço métrico compacto M com uma certa função distancia d. Considere a seqüência crescente de 28

Capítulo 4. Critério para h top > 0 4.1. Entropia topológica métricas d f n, com d f 1 = d, dada por d f n(x, y) = max d(f i (x), f i (y)) 0 i n 1 em outra palavras, d f n mede a distância entre os segmentos de órbita {x,..., f n 1 (x)} e {y,..., f n 1 (y)}. Seja B f (x, ɛ, n) a bola aberta {y M d f n(x, y) < ɛ}. Um conjunto E M será dito (n, ɛ)-gerador quando M x E B f(x, ɛ, n). Seja S d (f, ɛ, n) a cardinalidade mínima de um conjunto (n, ɛ)-gerador, i.e., a cardinalidade de um conjunto (n, ɛ)-gerador minimal, S d := min{ E E é um (n, ɛ)-gerador}. Em palavras, S d é o número mínimo de condições iniciais cujas órbitas até o tempo n aproximam-se pelo menos ɛ da órbita de qualquer outra condição inicial. Sendo M compacto, sempre existe um conjunto (n, ɛ)-gerador nito. Considere a taxa de crescimento exponencial, h d (f, ɛ) := lim sup n 1 n logs d(f, ɛ, n) Como h d (f, ɛ) não decresce com ɛ, pode-se denir h d (f) := lim ɛ 0 h d (f, ɛ) O número h d (f) é igual ao número h d (f) desde que d seja uma métrica que dena a mesma topologia que a métrica d no espaço M. 1 Assim é coerente a seguinte Denição 18 (Entropia topológica). O número h d (f) calculado para uma métrica qualquer que gere uma dada topologia em M é chamado a entropia topológica de f e será denotado por h top (f). 1Para o leitor interessado na demonstração deste fato ver [4, Prop. 3.1.2] 29

Capítulo 4. Critério para h top > 0 4.1. Entropia topológica Para os estudos aqui propostos, será dito que uma aplicação contínua f : N N, N um espaço métrico, tem entropia topológica positiva, quando existir um compacto invariante K N tal que f K tem entropia topológica positiva. Denição 19 (Fator). Uma aplicação g : N N é dita um fator de f : M M se existe uma h : M N contínua e sobrejetiva tal que h f = g h. Proposição 20. [4, Prop. 3.1.6] Se a aplicação g for um fator de f então h top (g) h top (f). Proposição 21. [4, Corol. 3.1.4] Se uma aplicação g : N N for conjugada a uma aplicação f : M M, i.e., se existe um homeomorsmo h : M N tal que h f = g h, então h top (g) = h top (f) Proposição 22. [4, Prop. 3.1.7] Se Λ for um conjunto fechado f-invariante então h top (f Λ ) h top (f); h top (f m ) = m h top (f) Proposição 23. [4] A entropia topológica do shift de Bernoulli com n símbolos é igual a log n e é portanto positiva. O resultado seguinte vem enunciar os fatos acima já no formato em que serão utilizados no texto. Fica claro que a demonstração decorre diretamente dos fatos citados acima. Proposição 24. Dada uma aplicação ϕ, se for possível exibir um compacto K invariante por algum iterado ϕ n de ϕ que tem um shift de Bernoulli como fator quando restrito a K então ϕ tem entropia topológica positiva. 30

Capítulo 4. Critério para h top > 0 4.2 O Teorema 4.2. O Teorema Teorema 25. Sejam x e x sub e supersoluções de uma relação de recorrência, como a de (3.3), que satisfaçam as condições (3.4) para w 0 < w 1. Então ϕ tem entropia topológica positiva. Para provar este teorema basta construir um subconjunto compacto K de A tal que alguma iterada de ϕ deixa K invariante e tem um shift de Bernoulli como fator quando restrita a K, pois, conforme a proposição 24, sua existência implica entropia topológica positiva. Dados dois números racionais ρ 0 e ρ 1 tais que w 0 < ρ 0 < ρ 1 < w 1. Sejam z(t) = ρ 0 t + ρ 1 t Z(t) = ρ 1 t + ρ 0 t onde t + = max{t, 0} e t = max{ t, 0}. Z(t) ρ 1 ρ 0 z(t) Sejam w = sup{τ m,n (x) n z(m)} w = inf{τ m,n (x) n Z(m)} 31

Capítulo 4. Critério para h top > 0 4.2. O Teorema w w Como τ m,n (x) i = x i m + n, (τ m,n (x) i 1, τ m,n (x) i, τ m,n (x) i+1 ) = (x i 1 m + n, x i m + n, x i+1 m + n) = (x i 1 m, x i m, x i+1 m ) 0 e portanto tem-se uma família de subsoluções limitada superiormente, pelo lema 10, w é uma subsolução e w, uma supersolução. Lema 26. Com as hipóteses (3.4) segue que existe M tal que, para todo k Z, x k Z(k) M x k z(k) + M Demonstração: De fato, sabe-se que (para ε pequeno) x k k w 1 ε > ρ 1 exceto para nitos k s. Assim, para k > 0, tem-se que Z(k) = kρ 1 e por conseguinte, x k kw 1 kε kρ 1 kε = Z(k) kε 32

Capítulo 4. Critério para h top > 0 4.2. O Teorema Suponha agora, por absurdo, que para todo n N exista k n tal que x kn k n ρ 1 < n ( ) xkn k n ρ 1 < n k n x kn ρ 1 < n k n k n O lado esquerdo da última desigualdade é positivo exceto para nitos k n 's, então tomando o limite inferior quando n, conclui-se que no caso em que a ordem de n é maior ou igual a ordem de k n o limite inferior do lado direito será negativo, o que é um absurdo. No caso da ordem de n ser menor que a ordem de k n o termo da direita tende a 0 e portanto lim inf x kn donde segue que lim inf x kn k n k n ρ 1 0 ρ 1, novamente um absurdo. Assim existe M 1 tal que para todo k > 0 tem-se x k Z(k) M 1. Repita o argumento e consiga M 2 tal que para todo k < 0 tem-se x k Z(k) M 2. Tome M = max{m 1, M 2 } e portanto, para todo k será verdade que x k Z(k) M. Por argumentos similares segue que existe M tal que x k z(k) + M. Escolha novamente o maior M para que ambas desigualdades sejam verdadeiras com o mesmo M. Para todo (m, n) com n z(m), tem-se (τ m,n (x)) k = x k m + n z(k m) + M + z(m) z(k) + M onde na última passagem foi utilizada a subaditividade de z(t), i.e., z(k) z(k m) z(m). Assim tomando o supremo sobre todos m, n tais que n z(m) tem-se w k z(k) + M 33

Capítulo 4. Critério para h top > 0 4.3. A Solução zig-zag pondo m = k e n = z(k) w k (τ m,n (x)) k = x 0 + z(k) Sem perda de generalidade tome M tal que M > x 0 + 1, então w k x 0 + z(k) M + 1 + z(k) M + z(k) Assim foi provado que para todo k Z, Um argumento análogo permite concluir que w k z(k) M (4.1) w k Z(k) M podendo ser necessário tomar o maior M mais uma vez. Por razões que serão justicadas posteriormente, M será, além do mais, escolhido como um número inteiro. 4.3 A Solução zig-zag Seja Q um múltiplo comum dos denominadores dos racionais ρ 0 e ρ 1 citados anteriormente, i.e., ρ 0 Q e ρ 1 Q são inteiros. Escolha Q grande de sorte que (ρ 1 ρ 0 )Q 8M (4.2) Seja e = (e k ) k Z seqüência bi-innita de zeros e uns, i.e., e k {0, 1}. Dada uma tal seqüência duas funções serão denidas, χ e (t) e ζ e (t). 34

Capítulo 4. Critério para h top > 0 4.3. A Solução zig-zag No intervalo jq t < (j + 1)Q dene-se χ e (t) = ρ ej i.e.,χ e (t) = ρ 1 se e j = 1 e χ e (t) = ρ 0 se e j = 0. χ e (t) ρ 1 ρ 0 Q t A outra função é ζ e (t) = t 0 χ e (s)ds Observação 27. Para todo inteiro j, ζ e (jq) é um inteiro. De fato, jq 0 χ e (s)ds = Qρ 0 + Qρ 1 Z Observação 28. Para a qualquer seqüência e vale a desigualdade z(t) ζ e (t) Z(t) De fato, lembre que ρ 0 χ e ρ 1 e portanto, para t > 0, t ρ 0 ds t χ e (s)ds t 0 0 0 ρ 0 t ζ e (t) ρ 1 t z(t) ζ e (t) Z(t) 35 ρ 1 ds

Capítulo 4. Critério para h top > 0 4.3. A Solução zig-zag ζ (t) e Z(t) z(t) Analogamente para t < 0. Agora dena W e := sup{τ jq,ζe(jq)(w) j Z} W e := inf{τ jq,ζe(jq)(w) j Z} Transladados de w Transladados de w Proposição 29. W e,k ζ e (k) M W e,k ζ e (k) M 36

Capítulo 4. Critério para h top > 0 4.3. A Solução zig-zag Demonstração: Para todo m Z tem-se [τ jq,ζe(jq)(w)] m ζ e (m) = w m jq + ζ e (jq) ζ e (m) = w m jq 0 jq χ e (s) ds m 0 χ e (s) ds = w m jq z(m jq) + z(m jq) w m jq z(m jq) M m jq χ e (s) ds onde na última desigualdade foi utilizada a proposição (4.1) e na penúltima, utilizou-se que z(t) x+t χ x e (s)ds para todo t R e todo x R. De fato, como ρ 0 χ e ρ 1, integrando tem-se: Se t 0, Se t < 0, x z(t) = t + ρ 0 = tρ 0 χ e (s)ds x x+t x+t x+t x χ e (s)ds ρ 1 = tρ 1 = ρ 1 t = z(t) donde, z(t) x+t x χ e (s)ds conforme se queria. Voltando à desigualdade obtida [τ jq,ζe (jq)(w)] m ζ e (m) M e tomando sup j Z tem-se W e,k ζ e (k) M 37

Capítulo 4. Critério para h top > 0 4.3. A Solução zig-zag Falta então mostrar que W e,k ζ e (k) M. Para isto, escolha j tal que jq m (j + 1)Q Se e j = 0, W e,m [ τ ] jq,ζe(jq)(w) m = w m jq + ζ e (jq) z(m jq) M + ζ e (jq), = ρ 0 (m jq) + ζ e (jq) M = = Se e j = 1 m jq m 0 χ e (s)ds + jq 0 χ e (s)ds M = ζ e (m) M χ e (s)ds M pois, w m jq z(m jq) M W e,m [ τ ] (j+1)q,ζe((j+1)q)(w) m = w m (j+1)q + ζ e ((j + 1)Q) z(m (j + 1)Q) M + ζ e ((j + 1)Q) = ρ 1 (m (j + 1)Q) + ζ e ((j + 1)Q) M = = m (j+1)q m 0 χ e (s)ds + χ e (s)ds M = ζ e (m) M (j+1)q 0 χ e (s)ds M O que implica, em ambos os casos, W e,m ζ e (m) M. Portanto, W e,m ζ e m M Analogamente, W e,m ζ e (m) M 38

Capítulo 4. Critério para h top > 0 4.4. Construção de K Segue diretamente das denições de W e e de W e e da periodicidade da função que W e M é uma subsolução e que W e + M é uma supersolução. E isto justica o fato de M ter sido escolhido como um número inteiro no nal da seção 4.2, para que as translações W e M e W e + M ainda sejam sub e supersoluções. Da proposição anterior segue que W e M W e + M. Logo existe pelo menos uma solução de (3.3) entre W e M e W e + M. 4.4 Construção de K Denote por Σ e o conjunto de soluções W de (3.3) tal que W e M W W e + M A proposição anterior garante que Σ e é não vazio. Seja Σ := e Σ e isto é, a união de todos os Σ e onde e percorre todas as seqüências de {0, 1}. Lembre que K tem que ser um subconjunto de, onde R1+1 Z age em R 1+1 Z por Dena então (x 1, x 0 ) + 1 = (x 1 + 1, x 0 + 1) K e := {(x 1, x 0 ) mod Z x Σ e } K := {(x 1, x 0 ) mod Z x Σ} Proposição 30. K e K e são compactos 39

Capítulo 4. Critério para h top > 0 4.4. Construção de K Demonstração: Como Σ e está contido no intervalo ordenado [W e M, W e + M] então Σ e é pré-compacto 2. Se W n são soluções e W n W então, pela continuidade de, (W ) = (lim W n ) = lim (W n ) = 0, i.e., W também é solução e portanto Σ e é fechado. Sendo pré-compacto, segue que Σ e = {soluções } [W e M, W e +M] é de fato compacto. Cada K e é a imagem de Σ e pela projeção π :X R1+1 Z x (x 1, x 0, x 1 ) mod Z Donde segue que K e é compacto pois π é contínua. Σ também é compacto. Para ver isto, observe que Σ está contido em um intervalo ordenado Σ {x X z(k) M x k Z(k) + M} portanto Σ é pré-compacto. Falta mostrar que Σ é fechado. Seja {w (m) } m 1 uma seqüência em Σ convergindo para w X. Então, para todo m existe seqüência e (m) = {e (m) k } k 1 de {0, 1} tal que w (m) Σ e (m). Agora, passando a uma subseqüência se necessário, pode-se arranjar as coisas de modo que {e (m) k } k 1 seja eventualmente constante. Assim, se e k = lim m e(m) k, para m grande e = e (m) e segue pela denição de W e e W e que x C W e (m) W e W e (m) W e 2Um conjunto C é dito pré-compacto se dado qualquer ε > 0 toda cobertura do tipo B(x, ε) admite subcobertura nita. Uma condição suciente para a compacidade de um conjunto pré-compacto é que ele seja fechado 40

Capítulo 4. Critério para h top > 0 4.4. Construção de K Segue daí que w Σ e e então w Σ. Donde conclui-se que Σ é fechado e portanto compacto. Como K = π(σ) e π é contínua, K é compacto. Proposição 31. Os conjuntos K e são disjuntos dois a dois. Demonstração: Seja (x 1, x 0 ) R 1+1 representando um ponto em K e. Pode-se olhar para sua órbita pelo difeomorsmo F : R 1+1 R 1+1 que dará uma seqüência bi-innita x = {x j } j Z Por outro lado, precisa existir uma seqüência x Σ tal que (x 1, x 0 ) mod Z = π( x). E como x é uma solução de (3.3), ele é unicamente determinado por suas componentes (x 1, x 0, x 1 ), donde ca explícito que x = x mod Z. Portanto, a partir da proposição 29 e usando, para k = jq e k = (j + 1)Q, o fato obtemos W e,k M < x k < W e,k + M ζ e ((j + 1)Q) 2M < x (j+1)q < ζ e ((j + 1)Q) + 2M Somando as duas desigualdades, ζ e (jq) 2M < x jq < ζ e (jq) + 2M ζ e ((j + 1)Q) ζ e (jq) 4M < x (j+1)q x jq < ζ e ((j + 1)Q) ζ e (jq) + 4M 41

Capítulo 4. Critério para h top > 0 4.4. Construção de K E como Segue que ζ e ((j + 1)Q) + ζ e (jq) ρ ej Q = = (j+1)q jq (j+1)q jq = Qρ ej ρ ej Q = 0 χ e (s)ds ρ ej Q ρ ej ρ ej Q x (j+1)q x jq ρ ej < 4M Agora lembre-se que (ρ 1 ρ 0 )Q > 8M; assim a desigualdade acima não pode ser verdadeira simultaneamente para e j = 0 e para e j = 1. De fato, suponha que seja válida a desigualdade para e j = 1, i.e., Então, 4M + ρ 1 Q x (j+1)q x jq 4M + ρ 1 Q x (j+1)q x jq ρ 0 Q 4M + ρ 1 Q ρ 0 Q = 4M + (ρ 1 ρ 0 )Q e > 4M + 8M = 4M ( x (j+1)q x jq ρ 0 Q) = ( x (j+1)q x jq ) + ρ 0 Q ( 4M + ρ 1 Q) + ρ 0 Q = (ρ 1 ρ 0 )Q + 4M < 8M + 4M = 4M Desta duas desigualdades conclui-se que x (j+1)q x jq ρ 0 Q > 4M. Analogamente, se a desigualdade for válida para e j = 0 mostra-se que vale a desigualdade contrária para e j = 1. 42

Capítulo 4. Critério para h top > 0 4.4. Construção de K Em outras palavras, dado um ponto em K e pode-se encontrar x, a partir de x, pode-se calcular cada posição e j da seqüência e através da desigualdade acima (o valor de e j será aquele para o qual a desigualdade se verica). Então a seqüencia e foi recuperada a partir de x, donde segue que dois diferentes K e não podem se sobrepor. A prova desta última proposição mostra também que existe uma aplicação contínua ɛ : K C = {0, 1} Z onde C é o espaço das seqüências de {0, 1} equipado com a topologia produto. C é homeomorfo ao conjunto de Cantor. Tem-se ainda que ɛ é sobrejetiva. Considere o shift σ agindo em C dado por Usando o fato que σ(e) k = e k+1. e usando também que w Σ e w = τ Q,ρej Q(w) Σ σ(e) (ϕ ) Q (π(w)) = π( w), verica-se que (i) K é invariante por (ϕ ) Q ; (ii)ɛ (ϕ ) Q = σ ɛ, i.e., (ϕ ) Q manda K e sobre K σ(e) K ɛ C ϕ Q σ K ɛ C Em outras palavras, (C, σ) é um fator de (K, (ϕ ) Q ) e portanto ϕ tem entropia topológica positiva, veja a proposição 24. 43

Capítulo 5 Entropia Topológica Nula e Órbitas de Birkho Usando o critério descrito para obter entropia topológica positiva, serão estudadas aplicações twist monótonas do anel bidimensional A = S 1 R cujas entropias se anulam. Seja ϕ : A A uma tal aplicação e F : R 2 R 2 seu levantamento tais que as condições (2.1) sejam satisfeitas. Para cada P A associe a seqüência {x k (P )}, onde x k (P ) é a abscissa (1 a coordenada) de F k (P ) e P é um levantamento de P. F (P ) F (P ) P P x (P) 1 x (P) 0 R ϕ (P) P ϕ S 1 44

Capítulo 5. Entropia Topológica Nula e Órbitas de Birkho Note que a seqüencia x k (P ) depende do levantamento escolhido de P, mas a seqüência x k (P ) x 0 (P ) não depende. Aqui, x 0 (P ) é a primeira coordenada de F 0 (P ) = I(P ) = P. Lembrando a denição 14, observa-se que os números de rotação de P para frente e para trás como sendo ρ ± (P ) = x k (P ) x 0 (P ) lim k ± k se eles existem. É permitido que ρ ± seja + ou. Teorema 32. Se ϕ tem entropia topológica nula então todo P A tem número de rotação para frente e para trás. Teorema 33. Se ϕ tem entropia topológica nula e P é um ponto periódico do tipo (p, q) com mdc(p, q) = 1 então a órbita de P é uma órbita de Birkho. Antes de começar a demonstrar os teoremas acima, lembre que o problema de encontrar órbitas da aplicação ϕ foi transformado no problema de encontrar soluções da relação de recorrência (x k 1, x k, x k+1 ) = 0 k Z Denição 34. Sejam x e y X seqüências bi-innitas. Diz-se que x e y se `interceptam em um inteiro k' se ou veja a próxima gura. (y k x k )(y k+1 x k+1 ) < 0 y k = x k e (y k 1 x k 1 )(y k+1 x k+1 ) < 0 45

Capítulo 5. Entropia Topológica Nula e Órbitas de Birkho = k k+1 j 1 j j+1 Observação 35. Duas seqüências x e y estão ordenadas se e somente se elas não se interceptam para nenhum inteiro k. Em particular, conclui-se da observação anterior que x é uma seqüência de Birkho se e somente se x não intercepta nenhuma de suas translações τ m,n (x). Observação 36. Dada uma seqüência x X pode acontecer que para algum par de inteiros (m, n), com m > 0, x e τ m,n (x) se interceptem em innitos inteiros positivos k 1, k 2,.... Isto ocorre por exemplo no caso em que x é periódica. Dada uma seqüência x X, seja J(x) := {(m, n) m > 0 e (x τ (m,n) (x)) = } e dena o correspondente conjunto de números racionais { n } R(x) := m (m, n) J(x) Q Lema 37. Se R(x) é nito, então x tem número de rotação para frente. Demonstração: Dena x k ρ := lim sup k k x k ρ := lim inf k k 46 e

Capítulo 5. Entropia Topológica Nula e Órbitas de Birkho Se x não tem número de rotação para frente, ρ < ρ e portanto existe a b Q tal que ρ < a b < ρ. Escolha a b Q\R(x). Portanto (x τ b,a(x)) <. E daí existe k Z tal que j k j k x j x j b + a ou x j x j b + a No primeiro caso, i.e., se j k tem-se x j x j b + a. Por indução segue que para todo l Z, De fato, para l = 1, Se vale para l, Assim, x k+lb x k + la x k+b x k+b b + a = x k + a x k+(l+1)b x k+(l+1)b b + a = x k+lb + a x k + la + a, = x k + (l + 1)a x k+lb lb por hipótese de indução x k lb + la lb = x k lb + a b Tomando o lim inf l, conclui-se ρ 0 + a b 47

Capítulo 5. Entropia Topológica Nula e Órbitas de Birkho o que é um absurdo. No segundo caso também tem-se uma contradição semelhante. Logo, é necessário que ρ = ρ. Note apenas que não está sendo excluída a possibilidade de o número de rotação para frente ser innito. Lema 38. Se R(x) contém dois ou mais elementos, então ϕ tem entropia topológica positiva. Demonstração: Sejam a b c d elementos de R(x). Então (b, a), (d, c) J(x) e em particular b, d > 0. Suponha que a b c d. Será construída uma supersolução y cujo número de rotação para trás é a b e o número de rotação para frente é c d. Como x e τ b,a (x) se interceptam innitas vezes, precisa existir j 0 tal que x j τ b,a (x) j = x j b + a x j+1 > τ b,a (x) j+1 = x j+1 b + a Em outras palavras precisa existir j 0 tal que x i τ b,a (x) i cresça de negativo para positivo em j. 48

Capítulo 5. Entropia Topológica Nula e Órbitas de Birkho Para i j dene-se y j = x j y j 1 = x j 1. y j b+1 = x j b+1 y j b = x j a y j b 1 = x j 1 a. y j 2b+1 = x j b+1 a. Em geral, para t = 0, 1,..., b 1 e s 0, Espera-se que para i j 1, y j sb t = x j t sa (y i 1, y i, y i+1 ) 0 Como, por construção, a seqüência y i é periódica, basta vericar isto para i = j 1,..., j b. Para j i j b + 1 tem-se y i = x i e então em i = j b + 1, (y i 1, y i, y i+1 ) = (x i 1, x i, x i+1 ) = 0 para j 1 i j b + 2 (y i 1, y i, y i+1 ) = (x j a, x j b+1, x j b+2 ) (x j b, x j b+1, x j b+2 ), pois x j a x j b = 0 49

Capítulo 5. Entropia Topológica Nula e Órbitas de Birkho O cálculo é semelhante para vericar o caso i = j b. Resta então denir y i para i > j. Mas como x e τ c,d (x) também se interceptam innitas vezes, existe k 0 tal que x k x k d + c x k+1 < x k d+1 + c Se necessário, tome k de modo que k > j e então dena y i = x i se j i k e para t = 1, 2,..., d e s > 0 y k+sd+t = x k+t + sc Do mesmo modo que foi feito anteriormente, verica-se que para estes casos também tem-se (y i 1, y i, y i+1 ) 0. E portanto, y é uma supersolução com número de rotação para frente igual a a e número de rotação para trás igual b a d. c Analogamente construa y com número de rotação para frente igual a a e b número de rotação para trás igual a d. c y e y satisfazem as condições (3.4) e portanto, pelo teorema 25 ϕ, que é conjugada a ϕ, tem entropia topológica positiva. Demonstração: (do teorema 32) Se ϕ tem entropia topológica nula, então pelo lema 38, o conjunto R(x) possui no máximo um elemento para toda solução x de (3.3). Pelo lema 37, esta seqüência possui número de rotação para frente. Considere agora a seqüência reversa x k = x k. Então, se (r, s, t) = (t, s, r), x satisfaz a relação de recorrência monótona ( x i 1, x i, x i+1 ) = 0. 50

Capítulo 5. Entropia Topológica Nula e Órbitas de Birkho A aplicação correspondente a esta relação de recorrência monótona é conjugada à inversa de ϕ e pela proposição 21 esta inversa também possui entropia topológica nula. Donde segue que a seqüência x possui número de rotação para frente e portanto a seqüência x possui número de rotação para trás. Demonstração: (do teorema 33) Seja x X uma seqüência periódica do tipo (p, q). Como para todo (m, n) a seqüência τ m,n (x) também é periódica do tipo (p, q) (veja observação 7), há duas possibilidades: ou x e τ m,n (x) não se interceptam ou elas se interceptam innitas vezes. Da periodicidade também decorre que se x e τ m,n (x) interceptam-se então o mesmo acontece para x e τ m+q,n+p. Assim se (m, n) J(x), então (m + q, n + p) J(x) e portanto os números racionais n e n+p pertencem a R(x). m m+q Já que por hipótese ϕ tem entropia topológica nula, segue do lema 38 que n = n+p m m+q. Mas isto implica n = p m q. A outra hipótese, mdc(p, q) = 1, garante que existe um inteiro l 1 tal que (m, n) = (lq, lp). Mas se isto fosse verdade, concluir-se-ia que τ m,n (x) = x o que contradiz a hipótese de que x e τ m,n (x) se interceptam. A contradição decorre do fato de supor que x e τ m,n (x) se interceptam para algum (m, n), então x não intercepta nenhuma de suas translações, o que signica que x é uma órbita de Birkho. 51

Referências Bibliográcas [1] ANGENENT, S. B., Monotone recurrence relations, their Birkho orbits and topological entropy, Ergodic Theory & Dynamical Systems, 10, (1990), 15-41. [2] CARNEIRO, M. J. D., RAGAZZO, C. G., ZANATA, S. A., Introdução à Dinâmica de Aplicações do Tipo Twist, 25 o Colóquio Brasileiro de Matemática, 2005. [3] HALL, G. R., A topological version of a theorem of Mather on twist maps, Ergodic Theory & Dynamical Systems, 4, (1984), 585-603. [4] KATOK, A., HASSELBLATT, B., Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems, Cambridge University Press, 1995. [5] MAÑÉ R., Teoria Ergódica, IMPA, 1983. [6] MUNKRES J., Topology Prentice Hall, 1975. 52

Índice Remissivo (n, ɛ)-gerador, 29 ϕ, 15 órbita, 9 Birkho, 15 conjugada, 30 entropia topológica, 28, 29, 44 positiva, 30 fator, 30 número de rotação, 23 para frente, 23, 26, 45 para trás, 23, 26, 45 ordem parcial, 16 pré-compacto, 40 relação de recorrência, 13 seqüência Birkho, 16 solução, 14 subsolução, 18 supersolução, 18 tipo (p, q), 17 53 translação, 16 twist, 8 innito, 8 monótona, 8 uniforme, 8