CÁLCULO NUMÉRICO Profa. Dra. Yara de Souza Tadano yaratadano@utfpr.edu.br
Aula 5 Zeros reais de funções Parte 2
Voltando ao eemplo da aula anterior, vemos que o ponto médio da primeira iteração 1 = 2,5 está mais próimo da raíz do que 2 = 2, 75 e 3 = 2,625. O método da bissecção, no entanto, não faz uso desta observação. A sequência de intervalos é construída a partir apenas do sinal de f no ponto médio. Cálculo Numérico 3/39
EXEMPLO 6 Aula anterior Aplicação do método da bissecção para: f log 1, em 2,3 com 0, 002 k a k b k f(a k ) f(b k ) k+1 f( k+1 ) 0 2,00000 3,00000-0,39794 0,43136 2,50000-0,00515 1 2,50000 3,00000-0,00515 0,43136 2,75000 0,20816 2 2,50000 2,75000-0,00515 0,20816 2,62500 0,10021 3 2,50000 2,62500-0,00515 0,10021 2,56250 0,04720 4 2,50000 2,56250-0,00515 0,04720 2,53125 0,02094 5 2,50000 2,53125-0,00515 0,02094 2,51563 0,00788 6 2,50000 2,51563-0,00515 0,00788 2,50781 0,00140 Cálculo Numérico 4/39
MÉTODO DA FALSA POSIÇÃO Cálculo Numérico 5/39
MÉTODO DA FALSA POSIÇÃO Uma alteração simples no método da bissecção é capaz de aprimorar o refinamento do intervalo que contém a raiz. Em vez de tomar a média aritmética entre a e b, o método da falsa posição toma a entre a e b com pesos f (b) e f (a), respectivamente. a f f b b b f f a a Cálculo Numérico 6/39
MÉTODO DA FALSA POSIÇÃO Graficamente, este ponto é a intersecção entre o eio e a reta r () que passa por (a, f (a)) e (b, f (b)). y f () r () a b Cálculo Numérico 7/39
MÉTODO DA FALSA POSIÇÃO Método da Bissecção Calcula a média aritmética dos limites do intervalo que contém a raiz ([a, b]). Método da Falsa Posição Calcula a média ponderada dos limites do intervalo que contém a raiz ([a, b]). Cálculo Numérico 8/39
MÉTODO DA FALSA POSIÇÃO Análise Gráfica y f () 0 2 a 0 1 a 1 b 0 b 2 a 2 b 1 Cálculo Numérico 9/39
Eemplo 1 Aplique o método da falsa posição para: f log1 em [2, 3], com = 0,002. k a k b k f(a k ) f(b k ) k+1 f( k+1 ) 0 2,0000 3,0000-0,3979 0,4314 2,4798-0,0219 1 2,4798 3,0000-0,0219 0,4314 2,5049-0,0011 b - a = 0,5202 > = 0,002 f() < = 0,002 2,5049 Cálculo Numérico 10/39
Eemplo 1 Aplique o método da falsa posição para: f log1 em [2, 3], com = 0,002. k a k b k f(a k ) f(b k ) k+1 f( k+1 ) 0 2,0000 3,0000-0,3979 0,4314 2,4798-0,0219 1 2,4798 3,0000-0,0219 0,4314 2,5049-0,0011 2 2,5049 3,0000-0,0011 0,4314 2,5062 0,00001 3 2,5049 2,5062-0,0011 0,00001 2,5062 0,00001 b - a = 0,001 < = 0,002 2, 5062 Cálculo Numérico 11/39
Algoritmo do método da falsa posição Seja f () contínua em [a, b] e tal que f (a) e f (b) têm sinais opostos: ENTRADA: etremidades a, b; precisão, número máimo de iterações N 0. SAÍDA: solução aproimada Passo 1: Faça i = 1; FA = f (a) FB = f (b). ou mensagem de erro. Passo 2: Enquanto i N 0, eecute os passos 3 a 6. Passo 3: Faça = (a* FB +b* FA ) / ( FB + FA ); (Calcula i ) Cálculo Numérico 12/39
Algoritmo do método da falsa posição Passo 4: Se ( a) <, então: SAÍDA (); (Procedimento concluído com sucesso). PARE. Passo 5: Faça i = i + 1. FX = f () Passo 6: Se FX * FB < 0, então faça a = ; FA = FX. senão faça b = FB = FX. Passo 7: SAÍDA ( O método falhou após N 0 iterações, N 0 =, N 0 ); (O procedimento não foi bem-sucedido). PARE. Cálculo Numérico 13/39
MÉTODO DA FALSA POSIÇÃO VANTAGENS: Estabilidade e convergência para a solução procurada; Desempenho regular e previsível; Cálculos mais simples que o método de Newton. Cálculo Numérico 14/39
MÉTODO DA FALSA POSIÇÃO DESVANTAGENS: Lentidão do processo de convergência (requer o cálculo de f ( ) em um elevado número de iterações); Necessidade de conhecimento prévio da região na qual se encontra a raiz de interesse (o que nem sempre é possível). Cálculo Numérico 15/39
Eercício Seja f () = 3 9 + 3; I = [0, 1], = 10-3. Aplique o Método da Falsa Posição para obter o valor aproimado de. k a k b k f ( a k ) f ( b k ) k+1 f ( k+1 ) 0 0 1 3-5 0,375-0,3222656 1 0 0,375 3-0,32226563 0,33862434-0,0087902 2 0 0,33862434 3-0,0087902 0,33763505-0,0002259 3 0 0,3763505 3-0,0002259 0,33760963-5,795 10-6 f ( ) 4 = 5, 795 10-6 < e < 0,002 4-3 = 2,54 10-5 <e Cálculo Numérico 16/39
MÉTODO DO PONTO FIXO Cálculo Numérico 17/39
MÉTODO DO PONTO FIXO (MPF) A importância deste método está mais nos conceitos que são introduzidos em seu estudo que em sua eficiência computacional. Cálculo Numérico 18/39
MÉTODO DO PONTO FIXO Seja f () uma função contínua em [a, b], intervalo que contém uma raiz da equação f () = 0. Este método consiste em transformar esta equação em uma equação equivalente = g (). Partindo, então, de uma aproimação inicial 0, gerar uma sequência { k } de aproimações para pela relação k+1 = g ( k ), uma vez que: g f 0 Cálculo Numérico 19/39
MÉTODO DO PONTO FIXO Implicação de tal procedimento: Problema de determinação de um zero de f() Problema de determinação de um ponto fio de g() Função de iteração Uma função que satisfaz as condições apresentadas é chamada função de iteração para a equação f () = 0. Cálculo Numérico 20/39
EXEMPLO Seja a equação 2 + 6 = 0. Funções de iteração possíveis: g g g g 1 2 3 4 6 2 6 6 1 6 1 Dada uma equação do tipo f() = 0, há para tal equação mais de uma função de iteração g(), tal que: f() = 0 = g() Cálculo Numérico 21/39
Eemplo Embora não seja preciso usar método numérico para se encontrar as duas raízes desta equação ( 1 = -3 e 2 = 2), vamos trabalhar com duas funções de iteração para demonstrar numérica e graficamente a convergência ou não do processo iterativo. Cálculo Numérico 22/39
Eemplo Considere a raiz 2 = 2. Tomando 0 = 1,5 e usando a função de iteração: y y = 2 g1 6 2 1 0 2 1 { k } g() Cálculo Numérico 23/39
Considere agora: y g 2 6 y = g() { k } quando k 0 2 2 1 Cálculo Numérico 24/39
Análise gráfica da convergência Podemos ter várias situações: SITUAÇÃO 1: y y = g() { k } quando k 2 1 0 Cálculo Numérico 25/39
Análise gráfica da convergência SITUAÇÃO 2: g() y y = { k } quando k 1 3 2 0 Cálculo Numérico 26/39
Análise gráfica da convergência SITUAÇÃO 3: y g() y = { k } 0 1 2 Cálculo Numérico 27/39
Análise gráfica da convergência SITUAÇÃO 4: y g() y = { k } 3 1 0 2 Cálculo Numérico 28/39
O teorema a seguir nos fornece condições suficientes para que o processo seja convergente. Cálculo Numérico 29/39
Teorema Seja uma raiz da equação f () = 0, isolada em um intervalo I centrado em. Seja g () uma função de iteração para a equação f () = 0. Se: i) g () e g () são contínuas em I; ii) g' iii). I 0 M 1, I e Então a sequência { k } gerada pelo processo iterativo k+1 = g ( k ) converge para. Cálculo Numérico 30/39
Critérios de Parada No algoritmo do método do ponto fio, escolhe-se k como raiz aproimada de se: k g k 1 k 1 k 1 f ou k k 1 k ou k Cálculo Numérico 31/39
Critérios de Parada Devemos observar que, não implica k k k necessariamente. 1 Contudo, se g () < 0 em I (intervalo centrado em ), a sequência { k } será oscilante em torno de. Cálculo Numérico 32/39
Critério de Parada g() y y = k k 1 k X k-2 k X k-1 0 Cálculo Numérico 33/39
Algoritmo do método do ponto fio Para determinar uma aproimação para = g (), dada uma aproimação inicial 0 : ENTRADA: aproimação inicial 0 ; precisão, número máimo de iterações N 0. SAÍDA: solução aproimada Passo 1: Faça i = 1; ou mensagem de erro. Passo 2: Enquanto i N 0, eecute os passos 3 a 6. Passo 3: Faça = g ( 0 ); (Calcula i ) Passo 4: Se 0 <, então: SAÍDA (); (Procedimento concluído com sucesso) PARE. Cálculo Numérico 34/39
Algoritmo do método do ponto fio Passo 5: Faça i = i + 1. Passo 6: Faça 0 = (Atualizar 0 ) Passo 7: SAÍDA ( O método falhou após N 0 iterações, N 0 =, N 0 ); PARE. (O procedimento não foi bem-sucedido). Cálculo Numérico 35/39
Convergência do MPF Seja { k } uma sequência que converge para um número e, seja, e k = k -, o erro na iteração k. Se eistir um número p > 1 e uma constante C > 0, tais que: lim k e e k 1 p k C (1) Então p é chamada de ordem de convergência da sequência { k } e C é a constante assintótica de erro. Cálculo Numérico 36/39
Convergência do MPF Pode-se provar que o MPF, em geral, tem convergência apenas linear, ou seja p = 1. Uma vez obtida a ordem de convergência p de um método iterativo, ela nos dá uma informação sobre a rapidez de convergência do processo. Cálculo Numérico 37/39
MÉTODO DO PONTO FIXO VANTAGENS: Rapidez no processo de convergência; Desempenho regular e previsível. Cálculo Numérico 38/39
MÉTODO DO PONTO FIXO DESVANTAGENS: Um inconveniente é a necessidade da obtenção de uma função de iteração g ( ); Difícil sua implementação. Cálculo Numérico 39/39