Análise Matemática I

Análise Matemática I o Semestre de 00/0 LEC e LET Resumo da matéria Resultados do texto [] I Números reais. Admitimos a existência de um conjunto R (a cujos elementos chamamos números reais) no qual supomos definidas duas operações, uma chamada adição e outra multiplicação, e supomos fixado um subconjunto de R, designado por R +, a cujos elementos chamamos números positivos. Os quatro termos número real, número positivo, adição e multiplicação são adoptados como conceitos primitivos da teoria o que significa que não são definidos.. Aceita-se que (R, +, ) seja um corpo, i.e., que sejam verdadeiras as seguintes proposições: A. Axiomas da adição: i) associatividade: ii) comutatividade: iii) elemento neutro: x,y,z R (x + y) + z = x + (y + z); x,y R x + y = y + x; u R x R u + x = x; prova-se facilmente que o elemento neutro é único; designa-se o elemento neutro da adição por 0; iv) existência de simétrico: x R x R x + x = 0; prova-se facilmente que o elemento simétrico é único; designa-se o simétrico de x por x. O par (R, +) é um grupo comutativo. Definição da subtracção: B. Axiomas da multiplicação: i) associatividade: x,y R x y := x + ( y). x,y,z R (x y) z = x (y z); ii) comutatividade: x,y R x y = y x;

iii) elemento neutro: u R\{0} x R u x = x; prova-se facilmente que o elemento neutro é único; designa-se o elemento neutro da multiplicação por ; iv) existência de inverso: x R\{0} x R x x = ; prova-se facilmente que o elemento inverso é único; designa-se o inverso de x por /x. O par (R \ {0}, ) é um grupo comutativo. Definição da divisão: x x R y R\{0} := x (/y). y C. Axioma da distributividade da multiplicação em relação à adição: x,y,z R x (y + z) = x y + x z. Prova-se facilmente que 0 é elemento absorvente da multiplicação. Note-se que se impõe que o elemento neutro da multiplicação seja distinto do elemento neutro da adição. De facto, no axioma relativo à existência de elemento neutro para a multiplicação exige-se que u R\{0}. Note-se que se se levantasse esta restrição, então o conjunto {0} com a adição e multiplicação usuais satisfaria os nove axiomas anteriores. 3. Aceita-se que (R, R +, +, ) seja um corpo ordenado, i.e., que seja um corpo e que sejam verdadeiras as seguintes proposições: D. Axiomas de ordem: i) fecho de R + para a adição e multiplicação: x,y R + x + y R +, x y R + ; diz-se que um número é negativo sse o seu simétrico for positivo e designa-se por R o conjunto dos números negativos; ii) tricotomia: todo o número real x verifica uma e uma só das três condições seguintes: x é positivo, x é zero ou x é negativo. Sendo x, y R, dizemos que x é menor do que y, ou que y é maior do que x, e escrevemos x < y ou y > x, sse y x R +. Seja x < y. Prova-se facilmente que se z > 0, então xz < xy; se z < 0, então xz > xy. Com os onze axiomas anteriores e a proposição da linha anterior prova-se facilmente que 0 <. Nota: (Q, Q +, +, ) também é um corpo ordenado. O conjunto Q é definido mais à frente. 4. Aceita-se que (R, R +, +, ) seja um corpo ordenado completo, i.e., que que seja um corpo ordenado e que seja verdadeiro o

IV. Axioma do supremo: qualquer subconjunto de R majorado e não vazio tem supremo. 5. Diz-se que L é majorante do conjunto A sse qualquer elemento de A for menor ou igual a L. Diz-se que l é minorante do conjunto A sse qualquer elemento de A for maior ou igual a l. Diz-se que o conjunto A é limitado sse tiver majorantes e minorantes. Diz-se que M é máximo do conjunto A sse M é majorante de A e M A. Diz-se que m é mínimo do conjunto A sse m é minorante de A e m A. Diz-se que s é supremo do conjunto A sse s é o mínimo do conjunto dos majorantes de A. Diz-se que s é ínfimo do conjunto A sse s é o máximo do conjunto dos minorantes de A. 6. Existirá de facto (R, R +,+, ) satisfazendo os doze axiomas acima? Pode construir-se (R, R +,+, ) se se admitir a existência de (N,+). 7. Um conjunto X R é indutivo sse x X x + X. 8. O conjunto, N, dos números naturais é, por definição, a intersecção de todos os conjuntos indutivos que contêm 0. O conjunto N = N \ {0}. 9. Princípio de indução matemática. Para cada n N, seja P(n) uma proposição. Se P(0) é verdadeira e P(n) P(n + ), então P(n) é uma proposição verdadeira para todo o n N. (De facto, designando por A o subconjunto formado pelos elementos de N para os quais P(n) é uma proposição verdadeira, A é indutivo e contém 0, pelo que N A; mas então A = N, uma vez que A N.) 0. Propriedade Arquimedeana: o conjunto N não é majorado. Prova: Suponhamos que N era majorado. Então N teria supremo s. Existiria necessariamente um natural p > s (caso contário s seria majorante de N). Mas então p + > s. Como p + é um natural, chegámos a uma contradição. Logo, N não é majorado. (Nota: para provar que N não é majorado tem que se recorrer ao axioma do supremo. Há corpos ordenados (não completos) onde os naturais são majorados.). Define-se o conjunto, Z, dos números inteiros como a união do conjunto dos números naturais com o conjunto dos seus simétricos.. Define-se o conjunto dos números racionais como sendo o conjunto dos números que se possam escrever na forma x/y com x Z e y N. 3. Existência de irracionais. Pode provar-se a existência de um número irracional, mostrando que existe um x R tal que x = e que nenhum número racional satisfaz esta condição. Prova. Admitamos que existia r Q tal que r =. Então, existem p, q N, primos entre si, tais que r = p/q. Segue que p = q, pelo que p é par, p = s com s N. Logo, 4s = q s = q, pelo que q também é par. Mas então p e q não são primos entre si. Para provar que existe um x R tal que x =, define-se s = sup{x R : x > 0 e x < }. O número real s está bem definido porque o conjunto é não vazio e majorado. Prova-se que são impossíveis as desigualdades s < e s >, porque no primeiro caso (s + /n) < para n suficientemente grande, e no segundo caso (s /n) > para n suficientemente grande. 3

4. Seja a R + e n N. Define-se n a como o supremo do conjunto dos números reais x tais que x n < a. Tem-se que ( n a) n = a. 5. Diz-se que dois conjuntos são equipotentes sse existe uma bijecção entre eles. 6. Densidade de Q e R \ Q em R. Sejam a, b R, a < b. Existem um racional e um irracional em ]a, b[. Prova. Decorre facilmente do seguinte lema (tomando c = b a e uma vez que os múltiplos inteiros de um (ir)racional são (ir)racionais): qualquer que seja c > 0 existem um racional e um irracional em ]0, c[. Este lema é consequência de propriedade Arquimedeana e do facto de /n ser racional e /n ser irracional, n N. Conclui-se, obviamente, que em qualquer intervalo com mais de um ponto há infinitos racionais e infinitos irracionais. 7. Diz-se que um conjunto é numerável sse for equipotente a N. Os conjuntos Z e Q são numeráveis. Um conjunto diz-se contável sse for finito ou numerável. 8. Princípio do encaixe. Seja {I n } n N uma família de intervalos limitados e fechados satisfazendo I n+ I n, n N. Então n= I n. Prova. Se I n = [a n, b n] então n= In [sup n N a n,inf n N b n], porque sup n N a n inf n N b n, desigualdade esta que decorre facilmente da definição de supremo e ínfimo. 9. Seja a, b R, a < b. O intervalo [a, b] não é numerável. Prova. O argumento é por contradição. Suponhamos que [a, b] = {x n} n N. Constrói-se uma família I n de intervalos limitados e fechados, [a, b] = I 0 I I... I n..., tais que x n I n, n N. Pelo princípio do encaixe, existe x 0 n=in. Observa-se que, qualquer que seja n N, x n I n implica que x n n= In, pelo que xn x 0. Isto contradiz o facto de x 0 [a, b] = {x n} n N. 0. Teorema de Cantor. Seja A um conjunto qualquer e P(A) o conjunto das partes de A, ou seja, o conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A. Então existe uma aplicação injectiva de A em P(A), mas não existe nenhuma aplicação bijectiva entre estes dois conjuntos. Diz-se que o cardinal de A é inferior ao cardinal de P(A) e escreve-se #A < #P(A). Prova. Suponhamos que existia uma bijecção ϕ de A em P(A). Designe-se por M o conjunto de nido por M = {x A : x ϕ(x)} e por m o elemento de A tal que ϕ(m) = M. Facilmente se veri ca que não se pode ter nem m M nem m M.. Teorema de Schröder Bernstein. Se existe uma função injectiva f : A B e existe uma função injectiva g : B A, então existe uma bijecção h : A B.. Cantor pôs a questão de saber se existiria algum conjunto A R com #N < #A < #R. Em sua opinião não deveria existir um tal conjunto, mas ele não foi capaz de o provar. Esta hipótese, conhecida como hipótese do contínuo, foi um dos grandes desa os matemáticos deixados pelo século XIX. Em 940 Gödel provou que não se podia desprovar a hipótese do contínuo usando os axiomas aceites da Teoria do Conjuntos. Mais tarde, em 963, Cohen mostrou que, de acordo com os mesmos axiomas, era impossível provar a hipótese do contínuo. Juntos, estes resultados implicam que a hipótese do contínuo é indecidível. Pode ser aceite ou rejeitada como uma a rmação acerca da natureza dos conjuntos in nitos, e em qualquer dos casos nenhuma contradição lógica resultará. Poderá encontrar mais informação sobre este assunto em S. Abbott, Understanding Analysis, Springer Undergraduate Texts in Mathematics, 00. 4

3. Por definição, x = x se x 0, e x = x se x < 0. Seja a R e ǫ > 0. A vizinhança ǫ de a é V ǫ (a) = {x R : x a < ǫ} = ]a ǫ, a + ǫ[. II Sucessões. Por definição, uma sucessão de termos em A é uma aplicação de N em A. Sendo u uma sucessão, os valores de u(), u(),..., u(n),... dizem-se os termos da sucessão. O valor u(n) é o termo de ordem n, ou enésimo termo, da sucessão. Em vez de se escrever u(n), é habitual escrever-se u n para designar o enésimo termo da sucessão u. É ainda habitual designar a sucessão u por (u n ) n N, ou simplesmente (u n ). As sucessões de termos em R dizem-se sucessões reais. Por razões de comodidade, por vezes consideram-se sucessões definidas em N, em vez de N, ou seja, aplicações de N num conjunto A.. Habitualmente representamos geometricamente os termos de uma sucessão real u por um dos dois seguintes processos: esboçando o seu gráfico no plano cartesiano, ou marcando os primeiros termos da sucessão na recta real. O gráfico da sucessão u é o conjunto {(n, u n ) : n N }. 3. Uma progressão aritmética de primeiro termo a e razão r, é uma sucessão u, definida por u n = a + (n )r, para n N. Uma progressão geométrica de primeiro termo a e razão r, é uma sucessão u, definida por u n = ar n, para n N. A sucessão u : N R dos números de Fibonacci é definida por u 0 = 0, u =, u n+ = u n + u n para n N. Dizemos que uma tal sucessão está definida por recorrência. n 5 h É simples provar por indução que u n = + 5 5 n i, para n N. 4. As operações algébricas estendem-se naturalmente às sucessões reais. 5. Uma sucessão real diz-se minorada sse for minorado o conjunto dos seus termos e majorada sse for majorado o conjunto dos seus termos. Uma sucessão diz-se limitada sse for minorada e majorada, ou seja, sse for limitado o conjunto dos seus termos. Uma sucessão real diz-se crescente sse u n u n+, para qualquer n N e decrescente sse u n u n+. Diz-se monótona sse for crescente ou decrescente. Diz-se ainda estritamente monótona sse for estritamente crescente ou estritamente decrescente, onde estas designações têm o significado óbvio. 6. Sejam u e v duas sucessões e suponha-se que, para todo o n N, v n N e ainda que v é estritamente crescente. A sucessão w = u v, definida por w n = (u v)(n) = u(v(n)) = u vn, diz-se uma subsucessão de u, mais precisamente, a subsucessão de u determinada por v. 5

7. Tem grande importância o seguinte Teorema. Qualquer sucessão real tem subsucessões monótonas. Prova. Dada uma sucessão real u, seja K := {p : n>p u n > u p}. Se K é infinito, u tem uma subsucessão estritamente crescente. Se K é finito, u tem uma subsucessão decrescente. 8. Diz-se que a sucessão real u converge ou tende para a, e escreve-se lim u = a, lim n u n = a ou u n a, sse Vǫ(a) p N n N n > p u n V ǫ (a), ou seja, ǫ>0 p N n N n > p u n a < ǫ. Uma sucessão real diz-se convergente sse existe um número real a tal que u n a. As sucessões que não são convergentes dizem-se divergentes. Uma sucessão diz-se um infinitésimo sse converge para zero. 9. Toda a sucessão convergente é limitada. 0. Unicidade do limite. Seja u n uma sucessão real e a, b R. Se u n a e u n b, então a = b.. Teorema das Sucessões Enquadradas. Sejam u, v e w três sucessões reais e suponha-se que a partir de certa ordem u n v n w n. Se u e w convergem ambas para a, então v também converge, e o seu limite é a.. O produto de um infinitésimo por uma sucessão limitada é um infinitésimo. 3. a) Se u e v são sucessões convergentes então u + v e u v são sucessões convergentes e tem-se lim(u+v) = limu+limv, lim(u v) = limu limv. Se, além disso, v n 0 para todo o n N e lim v 0, então lim(u/v) = limu/ limv. b) Sejam u e v duas sucessões convergentes e suponha-se que, para infinitos valores de n, u n v n. Então limu lim v. c) Se u a, então u a. Prova. Segue da desigualdade u n a u n a. d) Seja p N e u n 0 para todo o n N. Se u n a, então p u n p a. A prova decorre de p un p un a un a a = ( p un) p + p a( p un) p +... + ( p a) p p un + ( p a) p ( p a) p. 4. Se c <, então c n 0. Prova. Usa-se a desigualdade de Bernoulli: ( + k) n + nk, para qualquer n N e k >. 5. Para todo a > 0, tem-se lim n n a =. Prova. Usa-se a desigualdade de Bernoulli: ( + k n) n + nk n, para qualquer n N e qualquer sucessão (k n) cujos termos sejam maiores do que. Suponhase em primeiro lugar que a > e defina-se k n := n a. Claro que k n > 0 e a = ( + k n) n + nk n. Logo, k n (a )/n. Pelo Teorema das Sucessões 6

Enquadradas, k n é um infinitésimo. Isto prova que lim n n a =, para a >. No caso em que 0 < a <, lim n n a = lim n / np /a = / =. O caso a = é trivial. 6. Toda a sucessão monótona e limitada é convergente. Prova. Se a sucessão é crescente prova-se que ela converge para o supremo do conjunto dos seus termos. 7. A sucessão u, definida por u n = n k=0 k! é obviamente estritamente crescente e é também majorada (por exemplo por 3, porque k! < para k > ). k Logo converge. Chamamos ao seu limite número de Neper, usualmente designado pela letra e. Outra sucessão com limite e é a sucessão v, definida por v n = ( n, + n) também crescente e majorada. 8. Um Teorema fundamental sobre sucessões reais deve-se a Bolzano e Weierstrass. Qualquer sucessão limitada tem subsucessões convergentes. Prova. Qualquer sucessão real u tem uma subsucessão monótona. Essa subsucessão é, além de monótona, limitada. 9. Dizemos que a sucessão real u é uma sucessão de Cauchy sse ǫ>0 p N m,n N m, n > p u m u n < ǫ. 0. Uma sucessão real é convergente sse é uma sucessão de Cauchy. Ideia da prova. É fácil provar que qualquer sucessão convergente é de Cauchy. Em sentido inverso, se u é de Cauchy, então é limitada. Pelo Teorema de Bolzano- Weierstrass, tem uma subsucessão convergente, digamos para a. É fácil provar que lim u = a.. A definição de sucessão de Cauchy é muito útil para provar a convergência de sucessões para as quais não temos candidato a limite.. Diz-se que a é sublimite da uma sucessão sse a sucessão tem uma subsucessão convergente para a. 3. Seja u uma sucessão real limitada. Então u é convergente sse o conjunto dos seus sublimites é singular. Claro que se u é convergente, então o conjunto dos seus sublimites é singular. Para a prova em sentido inverso, é fácil provar que se u não converge, então o conjunto dos seus sublimites não é singular. 4. O conjunto dos sublimites de uma sucessão limitada tem elemento máximo e mínimo. 5. Chama-se limite superior de (u n ), e denota-se por limsup u n ou lim u n, ao maior sublimite da sucessão (u n ). Chama-se limite inferior de (u n ), e denotase por liminf u n ou lim u n, ao menor sublimite da sucessão (u n ). 7

6. Seja (u n ) uma sucessão limitada e S o conjunto dos seus sublimites. Então, (i) S ; (ii) S é singular sse (u n ) é convergente; (iii) uma sucessão monótona, é convergente (pelo que S é um conjunto singular); (iv) S tem elemento máximo e mínimo. Estas quatro propriedades não subsistem no quadro das sucessões não limitadas. No sentido de as estender a sucessões não limitadas e no sentido de caracterizar o comportamento de um maior leque de sucessões, introduz-se a recta acabada. 7. A recta acabada é o conjunto definido por R = R {, + }, onde e + designam dois objectos matemáticos distintos e distintos de qualquer número real. Um elemento de R diz-se finito sse pertence a R e infinito em caso contrário. 8. Considera-se em R a relação de ordem menor (<) determinada pelas seguintes regras: (i) se x, y R são ambos finitos a relação x < y coincide com a relação de ordem em R; (ii) para qualquer x R, tem-se < x < +. 9. Qualquer subconjunto de R (incluindo o conjunto vazio) tem supremo e ínfimo. 30. Na recta acabada definem-se vizinhanças do modo seguinte. Sendo ǫ > 0, se a R, então V ǫ (a) coincide com a vizinhança anteriormente definida. As vizinhanças de e + são definidas por V ǫ ( ) = [, /ǫ[ e V ǫ (+ ) =]/ǫ, + ]. Estas definições asseguram que V ǫ (+ ) é um intervalo, + é a intersecção de todas as suas vizinhanças, e que 0 < δ < ǫ implica V δ (a) V ǫ (a). 3. Dizemos que a sucessão real u tende ou converge em R para a (a R) sse Vǫ(a) p N n N n > p u n V ǫ (a). Assim, u n + sse k R p N n N n > p u n > k, u n sse k R p N n N n > p u n < k. 3. Seja (u n ) uma sucessão e S o conjunto dos seus sublimites em R. Então, (i) S ; (ii) S é singular sse (u n ) é convergente; (iii) uma sucessão monótona, é convergente (pelo que S é um conjunto singular); (iv) S tem elemento máximo e mínimo. 33. Seja u uma sucessão de termos positivos. Se u n+ /u n converge em R, então n un também converge, e para o mesmo limite. Prova quando o limite é finito. Seja lim n u n+ /u n = l R e ǫ > 0. Existe p N tal que, para todo o n > p, l ǫ < u n+ /u n < l + ǫ. Isto implica que (l ǫ) n p u p+ < u n < (l + ǫ) n p u p+, para todo o n > p +. Logo, (l ǫ) n n u p+ < (l ǫ) n p+ un < (l + ǫ) n n u p+, para todo o n > p +. Pelo Teorema das Sucessões (l+ǫ) p+ Enquadradas, qualquer sublimite de n u n pertence ao intervalo [l ǫ,l + ǫ]. Como ǫ é arbitrário, o conjunto dos sublimites é um conjunto singular, e n u n converge para l. 34. Aplicando a proposição do ponto anterior pode, por exemplo, concluir-se que lim n n n = e que lim n n n! = +. 8

n 35. Seja p N e a >. Tem-se lim p a n a = 0, lim n n! n n n! = 0 e lim n n = n 0. q n n (i) Como lim p ( n a n = lim n q n) p n = a a <, existe ǫ > 0 tal que n n p a n < ( ǫ), n para todo o n N suficientemente grande. Logo, p a n < ( ǫ) n, para todo o n N n suficientemente grande. O Teorema das Sucessões Enquadradas implica que lim p n a n = 0. q q n a (ii) Como lim n n = alim n! n n = 0, tem-se n a n < n! n!, para todo o n N suficientemente grande. Logo, an < n! n, para todo o n N suficientemente grande. O a Teorema das Sucessões Enquadradas implica que lim n n = 0. (iii) Como n! n n n!, o Teorema das Sucessões Enquadradas implica que limn n n n = 0. 36. Define-se potência de um expoente racional r, representado pela fracção irredutível p q, com p Z e q N, por a r := ( q a) p, para todos os reais a para os quais o segundo membro tem sentido. Seja a >. Seja ainda α um irracional arbitrário e (r n ) uma sucessão crescente de racionais convergente para α. A sucessão (a rn ) é crescente e limitada, pelo que converge. Prova-se que o limite não depende da sucessão de racionais, convergente para α. Define-se a α como lim n a rn. Mais, pode provar-se que sempre que (s n ) seja uma sucessão de racionais convergente para α, se tem lim n a sn = a α. Se 0 < a < e α é irracional, então define-se a α := ( a) α. Esta definição é equivalente a atribui a a α valor igual ao limite de (a rn ), onde (r n ) é qualquer sucessão de racionais convergente para α. 37. São sete as indeterminações: +,, 0 0, 0, 0, 0 0 e. v 38. lim(u n lim v n ) = limu n n, desde que o segundo membro não seja um símbolo de indeterminação ( 0, 0 0 ou ). ( ) un 39. Prova-se que se x n a e u n +, então + xn u n e a. n! III Séries. Seja (a n ) uma sucessão real. Chama-se sucessão das somas parciais de (a n ) a sucessão definida por s n = n k= a k = a +...+a n. Diz-se que a sucessão (a n ) é somável sse a sucessão (s n ) convergir. Neste caso, designando por l o limite de (s n ), costuma escrever-se l = k= a n k, em vez de l = lim n k= a k, e costuma dizer-se que a série k= a k é convergente e que l é a soma da série. Quando (s n ) não converge (em R) costuma dizer-se que a série é divergente. Em qualquer dos casos, é costume chamar-se a a n o termo de ordem n da série. A notação acima é ambígua pois confunde a série k= a k com a sua soma. Em rigor, uma série é um par ordenado de sucessões ((an), (sn)) que veri que sn = P n k= a k, para qualquer n N.. A série n= xn converge sse x < e, neste caso, a sua soma é /( x). 9

3. Uma série de Mengoli é uma série do tipo n= (b n b n+ ), em que b n R, para cada n N. A sucessão das suas somas parciais é n k= (b k b k+ ) = b b n+, pelo que a série converge sse a sucessão (b n ) convergir. Nesse caso, designando por k o limite de (b n ), n= (b n b n+ ) = b k. 4. Se a série n= a n converge, então a n é um infinitésimo. 5. Uma série, n= a n, de termos não negativos (a n 0, para todo o n N ) converge sse a sucessão das suas somas parciais for majorada. 6. Critério geral de comparação. Suponha-se que 0 a n b n, para todo o n N. Então, a) se n= b n é convergente, n= a n é convergente; b) se n= a n é divergente, n= b n é divergente. 7. A série harmónica P n= k k+ =, para k N. Logo, P n= Seja α <. Então P n= 8. P n= + P n n= convergente. Seja α >. Então P n= diverge. De facto, P k+ n n= k + + + P n k= P k+ n n= k + = +. > P n α n= =, pelo que P n n= + P n(n ) n= < P n α n= n n <, pelo que P n n= k+ = n α é divergente. =, pelo que P n= n é n α é convergente. 9. Sejam a n 0 e b n > 0. Se a n /b n converge para l ]0, + [, então n= a n e n= b n são da mesma natureza. Nota. Se a n/b n converge para 0, então a convergência de P n= bn implica a convergência de P n= an, e a divergência de P n= an implica a divergência de P n= bn. Se an/bn converge para +, então a divergência de P n= bn implica a divergência de P n= an, e a convergência de P n= an implica a convergência de P n= bn. 0. A série de Dirichlet, n= n α converge sse α >. Em face do já exposto, basta provar que a série de Dirichlet converge se < α <. Temse P k+ n= k n α P k+ k n= k kα = = kα k(α ), para k N. Como α >, segue-se α < e P n= n α P k=0 ( α ) = k α.. Critério de Cauchy. Seja n= a n uma série de termos não negativos e suponha-se que n a n converge e que o seu limite é l. Se l <, a série converge; se l >, a série diverge. Prova. Suponhamos que l < e seja 0 < ǫ < l. Existe p N tal que n > p implica n an < l + ǫ <. Logo a n < (l + ǫ) n, para n > p. Se l >, então existe p N tal que n > p implica n a n, pelo que a n, para todo o n > p. Este critério pode ser melhorado. Seja P n= an uma série de termos não negativos e suponha-se que lim sup n a n = l. Se l <, a série converge; se l >, a série diverge.. Critério de D Alembert. Seja n= a n uma série de termos positivos e suponha-se que a n+ /a n converge e que o seu limite é l. Se l <, a série converge; se l >, a série diverge. Prova. Num dos pontos anteriores vimos que se lim a n+ /a n = l, então lim n a n = l. Basta aplicar o Critério de Cauchy. 0

3. Dizemos que a série P n= bn é uma permutação de P ψ : N N tal que b n = a ψ(n), para todo o n N. n= an sse existe uma bijecção Seja P n= an uma série de termos não negativos e P n= bn uma sua permutação, bn = a ψ(n). Então P n= an = P n= bn. De facto, sendo m = max{ψ(), ψ(),..., ψ(n)}, vem b +...+b n = a ψ() +...+a ψ(n) a +...+a m P n= an. Logo, P n= bn P n= an. Como P n= an é uma permutação de P n= porque bn a n = b ψ (n), vem também P n= an P n= bn. Seja P n= an uma série de termos não negativos e (Km) uma sucessão de subconjuntos de N, disjuntos dois a dois, cuja união é N. Então P n= an = P P m= n K m a n. 4. Critério de Cauchy. A série n= a n converge sse a sucessão das suas somas parciais for uma sucessão de Cauchy, ou seja, ǫ>0 p N q,r N p < q < r a q+ +... + a r < ǫ. 5. Critério de Leibniz. Seja (a n ) uma sucessão decrescente de termos positivos. A série n= ( )n+ a n converge sse (a n ) converge para zero. Prova. Seja (a n) uma sucessão decrescente, convergente para 0. Se q, r N com q < r, então a q+ a q+ +... + ( ) r q a r a q+, pelo que a sucessão das somas parciais é de Cauchy. A implicação em sentido contrário é imediata. 6. A série harmónica alternada, n= ( ) n n, converge. 7. Diz-se que a série n= a n é absolutamente convergente sse n= a n for convergente. As séries convergentes, mas não absolutamente convergentes, dizem-se simplesmente convergentes. 8. Para a R, sejam a + e a, respectivamente, as partes positiva e negativa de a, ou seja, a + = max{a, 0} e a = max{ a, 0}. A série n= a n é absolutamente convergente sse convergem ambas as séries n= a+ n e n= a n. A prova decorre imediatamente de 0 a + n a n, 0 a n a n e a n = a + n + a n. 9. Toda a série absolutamente convergente é convergente. Tem-se a n a n. n= Prova. Suponhamos que P n= an converge. Pelo ponto anterior, P n= a+ n e P n= a n convergem. Logo, P n= an = P n= a+ n P n= a n também converge. Para provar a desigualdade, basta aplicar a desigualdade triangular à sucessão das somas parciais da série de termo geral a n e, seguidamente, tomar o limite de ambos os membros. 0. Teorema de Riemann. Seja P n= an uma série simplesmente convergente e α R. Existem permutações de P n= an com soma α.. Motivação da definição da série produto. O produto dos dois polinómios a 0 + a x + a x +... + a r x r e b 0 + b x + b x +... + b r x r é o polinómio a 0 b 0 + (a b 0 + a 0 b )x + (a b 0 + a b + a 0 b )x +... Definição da série produto. A série produto de n=0 a n e n=0 b n é a série n=0 c n, onde c n = n i=0 a n ib i, para todo o n N. n=

. Se n=0 a n e n=0 b n são absolutamente convergentes também o é a série produto, n=0 c n. Além disso, n=0 c n = n=0 a n n=0 b n. 3. Seja (a n ) uma sucessão real e x R. Chamamos série de potências de x, com coeficientes a 0, a,...,a n,..., a n=0 a nx n. 4. A série de potências n=0 a nx n é absolutamente convergente em cada ponto do intervalo ] r, r[, onde r = limsup n a n, e é divergente em ], r[ ]r, + [. A r R chama-se raio de convergência da série. 5. O raio de convergência da série n=0 a nx n é igual a lim n a n a n+, sempre que este limite exista. 6. A série E(x) := n=0 xn n! é absolutamente convergente para qualquer x R. Verifica-se facilmente que E(x)E(y) = E(x + y). Como E() = e, conclui-se que E(n) = e n, para n N. Além disso, e n E( n) = E(n)E( n) = E(0) =, pelo que E( n) = e n. Logo, E(m) = e m para todo o m Z. Seja p Z e q N. Então E (p/q) q = E(p) = e p, ou seja, E (p/q) = q e p. Logo, E(r) = e r, para todo o r Q. Seja a R. Prova-se que se (x n ) é uma sucessão convergente para a, então E(x n ) converge para E(a). Seja x R e a R +. Vimos atrás que a x é igual ao limite de (a rn ), onde (r n ) é qualquer sucessão de racionais convergente para x. Tomando a = e, e x = lim n e rn = lim n E(r n ) = E(x). Conclui-se que E(x) = e x, para todo o x R. 7. Definimos as seguintes séries de potências, absolutamente convergentes em R: sin x = cosx = x x3 3! + x5 5!... = ( ) n x n+ n=0 (n+)!, x! + x4 4!... = ( ) n x n n=0 (n)!. Usando a proposição relativa ao produto de séries absolutamente convergentes, prova-se que cos(x+y) = cosxcos y sinxsin y, para todos os x, y R. IV Continuidade e limite. Uma função real de variável real é uma aplicação de um subconjunto D de R em R. Sendo f : D R, a imagem de um conjunto A D por f designa-se por f(a). A função f : D R diz-se majorada sse f(d) for um conjunto majorado. Define-se de modo análogo função minorada e limitada.

Chama-se supremo de f em A, sup A f, ao supremo do conjunto f(a), ou seja, ao sup x A f(x). Este supremo será + se f não for majorada e se A = ou se f é a função vazia, i.e., a função de domínio vazio. Define-se de modo análogo ínfimo de f em A, inf A f e, quando existam, max A f e min A f. [Nota: Não se deve confundir (valor do) máximo com ponto de máximo (o ponto onde o máximo ocorre).] Define-se da forma habitual o que se entende por função crescente, estritamente crescente, decrescente, estritamente decrescente, monótona e estritamente monótona. O gráfico de f : D R é o conjunto {(x, y) R : x D, y = f(x)}.. Definimos a função logaritmo natural, designada por ln ou log, como sendo a inversa da função x e x. Esta definição faz sentido porque a função exponencial (de base e > ) é estritamente crescente. Sendo o contradomínio de x e x o intervalo R +, o domínio da função logaritmo é R + e para x R +, lnx é o único valor y, tal que x = e y. Reconhece-se sem dificuldade a validade das fórmulas ln(xy) = ln x + ln y e ln(x/y) = lnx lny, para todos os x, y R +. 3. Estão deduzidas algumas propriedades das funções trigonométricas no texto a partir das definições do seno e coseno dadas acima. Devemos salientar que se prova que existe um ρ > 0 tal que cosρ = 0 e cosx > 0 para cada x [0, ρ[; Define-se o número π por π := ρ. 4. Definem-se as funções seno hiperbólico e coseno hiperbólico por sinhx = ex e x = x + x3 3! + x5 5! +... = n=0 xn+ cosh x = ex +e x = + x! + x4 4!... = n=0 xn (n)!. Verifica-se, sem qualquer dificuldade, que cosh x sinh x =. (n+)!, Se o parâmetro t percorrer o conjunto R, o ponto (cost, sin t) percorre (infinitas vezes) a circunferência de raio um e centro na origem. Se o parâmetro t percorrer o conjunto R, o ponto (cosht, sinht) percorre (uma vez) o ramo direito da hipérbole {(x, y) R : x y = }. 5. Definição de continuidade de Cauchy. Seja D R e a D. A função f : D R é contínua em a sse ou seja, sse Vδ (f(a)) Vǫ(a) x D x V ǫ (a) f(x) V δ (f(a)), δ>0 ǫ>0 x D x a < ǫ f(x) f(a) < δ. 6. Definição de continuidade de Heine. Seja D R e a D. A função f : D R é contínua no ponto a sse sempre que x n seja uma sucessão, de termos em D, convergente para a, a sucessão f(x n ) converge para f(a). 7. As definições de continuidade de Cauchy e Heine são equivalentes. 3

8. Diz-se que a função f é contínua sse é contínua em todos os pontos do seu domínio. 9. Exemplos. a) Sejam m, b R. A aplicação x mx + b é contínua. b) A função de Heaviside é descontínua na origem. c) A função de Dirichlet é descontínua em R. 0. Da definição de continuidade de Heine e dos teoremas sobre sucessões, obtémse: a) se f e g são contínuas no ponto a, então f +g, f g e f g são contínuas em a; se, além disso, g(a) 0, então f/g (está definida numa vizinhança de a e) é contínua em a; b) se g é contínua em a e f é contínua no ponto g(a), então f g é contínua em a.. A função modulo é contínua.. Seja n N. Para n par, x n x é contínua em R + 0. Para n ímpar, x n x é contínua em R. 3. Seja n=0 a nx n uma série de potências com raio de convergência r ]0, + ]. A função f : ] r, r[ R, definida por f(x) = n=0 a nx n é contínua. Mais geralmente, prova-se (p. 339) que uma série de potências é uma função contínua em todo o intervalo de convergência da série. 4. Seja D R. Diz-se que o ponto a é aderente a D sse toda a vizinhança V ǫ (a) intersecta D. De forma equivalente, o ponto a é aderente a D sse existe uma sucessão de termos em D convergente para a. Designa-se o conjunto de pontos aderentes a D por D. 5. Definição de limite de Cauchy. Seja D R e a D. A função f : D R tem limite b (b R) no ponto a sse δ>0 ǫ>0 x D x a < ǫ f(x) b < δ. Neste caso escreve-se lim x a f(x) = b. 6. Definição de limite de Heine. Seja D R e a D. Diz-se que a função f, definido em D, tem limite b no ponto a sse sempre que (x n ) seja uma sucessão, de termos em D, convergente para a, a sucessão (f(x n )) converge para b. 7. As definições de limite de Cauchy e Heine são equivalentes. 8. Se a D, então f tem limite em a sse é contínua em a e neste caso lim x a f(x) = f(a). 4

Se a D \ D, a existência de limite no ponto a equivale à possibilidade de prolongar por continuidade f ao ponto a, ou seja, à existência de uma função, ˆf, definida em D {a} e contínua. É claro que ˆf(x) = { f(x) se x D, lim x a f(x) se x = a. 9. Exemplos. lim x 0 sin x x =, lim x 0 e x x =, lim x 0 cos x x =. 0. Seja D R, f : D R, A D e a A. O limite de f no ponto a relativo ao conjunto A é lim x a f A (x), quando este exista. Escrevemos também limx a f(x) para designar lim x a f x A A (x). Em particular, ao limite de f(x) quando x tende para a relativo ao conjunto D ]a, + [, quando este exista, é costume chamar limite de f no ponto a à direita, ou limite de f(x) quando x tende para a por valores superiores, usando-se para designá-lo o símbolo lim x a + f(x). Define-se de forma análoga o lim x a f(x). Tanto os limites à direita como à esquerda são usualmente designados por limites laterais. O limite de f no ponto a relativo ao conjunto D \ {a} é chamado o limite de f(x) quando x tende para a por valores distintos de a, escrevendo-se limx a f(x). x a. Usando as definições de vizinhança na recta acabada introduzidas acima, podemos também dar significado a lim x a f(x) = b quando a e/ou b são ±. Da definição de limite de Heine e dos teoremas sobre sucessões, obtêm-se imediatamente proposições relativas ao limite da soma, diferença, produto e quociente (em pontos em que o denominador não tenha limite nulo) de funções. 3. Se lim x a g(x) = b, lim x b f(x) = c e a é aderente ao domínio de f g, então lim x a (f g)(x) = c. Notas:. Este resultado não é válido para os limites por valores distintos de a e de b.. A hipótese de a ser aderente ao domínio de f g é necessária: podem existir os limites indicados de f e g, e uma vizinhança de a onde f g não está definida. 4. Teorema de Weierstrass. Seja I um intervalo limitado, fechado e não-vazio e f : I R contínua. Então f tem máximo e mínimo. 5. Teorema do Valor Intermédio. Sejam a e b R com a < b e f : [a, b] R contínua. Então f assume todos os valores entre f(a) e f(b). 6. Seja I R um intervalo e f : I R n estritamente monótona e contínua. Então f : f(i) R é contínua. 7. A função arcsin é a inversa da restrição do seno a [ π, π ] : ( x [ π, π ] sin x = y ) x = arcsiny. A função arccos é a inversa da restrição do coseno a [0, π]. (x [0, π] cosx = y) x = arccosy. 5

A função arctan é a inversa da restrição do tangente a ] π, π [. ( x ] π, π [ tan x = y ) x = arctany. arcsin x π arccos x π - x π - x arctan x π x π Pela proposição do ponto anterior as quatro funções log, arcsin, arccos e arctan são contínuas. 8. A função f : D R é contínua (em todos os pontos y D) sse ou seja, y D f é contínua em y, y D δ>0 ǫ>0 x D x y < ǫ f(x) f(y) < δ. Assim, se f é contínua, dados um y D e um δ > 0, é possível determinar ǫ (que depende de δ e y) tais que x D x y < ǫ f(x) f(y) < δ. Seja δ > 0 fixo. A função f : ]0,] R, definida por f(x) = /x é contínua. Contudo, à medida que y se aproxima de zero somos forçados a escolher valores para ǫ(δ, y) cada vez mais pequenos. É, portanto, impossível escolher ǫ apenas em função de δ. Existem funções, ditas uniformemente contínuas, para as quais a escolha de ǫ pode ser feita apenas em função de delta, ou seja, δ>0 ǫ>0 x,y D x y < ǫ f(x) f(y) < δ. O exemplo anterior mostra que, em geral, a condição de continuidade uniforme em D é diferente da condição de continuidade em todos os pontos de D. Isto é consequência do facto de não podermos trocar a ordem de quantificadores existenciais e universais. A continuidade uniforme é mais forte do que a continuidade em todos os pontos do domínio. 9. O Teorema de Heine-Cantor garante que uma função contínua num intervalo limitado e fechado é uniformemente contínua nesse intervalo. A sua prova faz-se por contradição. Este teorema será usado mais tarde para provar a integrabilidade das funções contínuas em intervalos limitados e fechados. 6

30. Uma sucessão de funções (f n) n N, com f n : D R, converge pontualmente para f : D R sse x D lim n f n(x) = f(x), ou seja, sse x D δ>0 p N n > p f n(x) f(x) < δ. Aqui a escolha de p depende de x e δ. A sucessão (f n) diz-se uniformemente convergente quando a escolha de p pode ser feita apenas em função de δ: δ>0 p N x D n > p f n(x) f(x) < δ. A noção de convergência uniforme será usada mais tarde, por exemplo, para trocar limites com integrais. 3. O limite pontual de uma sucessão de funções contínua pode não ser uma função contínua mas o limite uniforme de funções contínuas é uma função contínua. Este resultado pode ser usado, por exemplo, para provar a continuidade das séries de potências no interior dos seus intervalos de convergência. V Diferenciabilidade. Seja D R. Diz-se que o ponto a R é interior a D sse existe uma vizinhança V ǫ (a) D. Designa-se o conjunto de pontos interiores a D por intd.. Definição de derivada. Seja f : D R, com D R e a intd. Diz-se que f é diferenciável em a sse existe lim x a f(x) f(a). x a Neste caso designa-se o valor do limite por derivada de f em a, e denota-se por f (a). 3. Se f é diferenciável em a, chama-se recta tangente ao gráfico de f em (a, f(a)) à recta de equação y = f(a) + f (a)(x a). Logo, a derivada de f em a é o declive da recta tangente ao gráfico de f em (a, f(a)). 4. Se f(x) é a posição de uma partícula deslocando-se sobre a recta real no instante x, então f (a) é a velocidade da partícula no instante a. 5. Notação de Leibniz: sendo y = f(x), f (x) = lim x 0 y x = dy dx. 6. Se f é diferenciável em a, então f é contínua em a. 7. Se f e g são diferenciáveis no ponto a, então a) f + g é diferenciável em a e (f + g) (a) = f (a) + g (a). b) f g é diferenciável em a e (f g) (a) = f (a) g (a). c) fg é diferenciável em a e (fg) (a) = f (a)g(a) + f(a)g (a). 7

d) f/g é diferenciável em a se g(a) 0 e (f/g) (a) = [f (a)g(a) f(a)g (a)]/[g(a)]. 8. Derivada da função composta. Se g é diferenciável no ponto a e f é diferenciável no ponto g(a), então f g é diferenciável no ponto a e (f g) (a) = f [g(a)]g (a). Em termos da notação de Leibniz: se y = g(x) e z = f(y), então (f g) (x) = dz dx = dz dy dy dx. 9. Derivada da função inversa. Seja I R um intervalo, f : I R uma função estritamente monótona e contínua, g : f(i) R a sua inversa. Se f é diferenciável no ponto a e f (a) 0, então g é diferenciável no ponto b = f(a) e g (b) = f (a). Em termos da notação de Leibniz: se y = f(x), então x = g(y) e 0. Exemplos. g (y) = dx dy =. dy dx a) Seja n N e g :]0, + [ R, definida por g(x) = n x. A função g é inversa de f :]0, + [ R, definida por f(y) = y n. g (x) = f (y) y=f(x) = = ny n y= n x n x n. b) Seja g :]0, + [ R, definida por g(x) = ln x. A função g é inversa de f : R R, definida por f(y) = e y. g (x) = = = f (y) y=f(x) e y y=ln x x. c) Seja g : R R, definida por g(x) = arctan x. A função g é inversa de f : π, π ˆ R, definida por f(y) = tany. g (x) = f (y) y=f(x) = sec y y=arctan x = = ( + tan y) y=arctan x + x. d) Seja g : ],[ R, definida por g(x) = arcsin x. A função g é inversa de f : π, π ˆ R, definida por f(y) = sin y. g (x) = = = f (y) y=f(x) cos y y=arcsin x cos y y=arcsin x = p = sin y. y=arcsin x x Note-se que quando y está no domínio de f tem-se que cos y é positivo. e) Seja α R. Usando o resultado da alínea b) e o resultado relativo à derivada da função composta calculemos a derivada de f :]0, + [ R, definida por f(x) = x α. Tem-se f (x) = e αln x = e αln x α x = αxα. Isto generaliza o resultado da alínea a). 8

. Diferenciabilidade das séries de potências (p. 45). Uma função definida por uma série de potências de x a, com raio de convergência r > 0, é indefinidamente diferenciável no intervalo ]a r, a + r[ e as suas derivadas podem calcular-se derivando a série termo a termo.. Diz-se que a é ponto de estacionaridade de f sse f é diferenciável em a e f (a) = 0. 3. Se f é diferenciável em a e tem um extremo em a, então a é ponto de estacionaridade de f. 4. Teorema de Rolle. Sejam a, b R, com a < b, f : [a, b] R contínua, diferenciável em ]a, b[ verificando f(a) = f(b). Existe c ]a, b[ tal que f (c) = 0. 5. Corolários do Teorema de Rolle. Considere-se uma função definida num intervalo e diferenciável. Entre dois zeros da função existe pelo menos um zero da sua derivada, e entre dois zeros consecutivos da derivada não pode existir mais do que um zero da função. 6. Teorema de Lagrange. Sejam a, b R, com a < b, f : [a, b] R contínua, diferenciável em ]a, b[. Existe c ]a, b[ tal que [f(b) f(a)]/(b a) = f (c). 7. Corolários do Teorema de Lagrange. Uma função com derivada identicamente nula num intervalo é constante nesse intervalo; se a derivada for positiva, então a função é estritamente crescente. 8. Teorema de Cauchy. Sejam a, b R, com a < b, f e g funções contínuas no intervalo [a, b], diferenciáveis no intervalo ]a, b[, com g (x) 0 para todos x ]a, b[. Existe c ]a, b[ tal que f(b) f(a) g(b) g(a) = f (c) g (c). 9. Regra de Cauchy. Seja I R um intervalo não degenerado e a I. Sejam f e g : I R duas funções (cujo domínio é o intervalo I) diferenciáveis em I \ {a}, com g (x) 0 para cada x I \ {a}. Se f e g tendem ambas para 0 ou ambas para + quando x a, com x a, então f(x) lim x a x a g(x) = lim x a x a sempre que o segundo limite exista em R. f (x) g (x) Ideia da prova quando ambas f e g tendem para + quando x a: se f(x) f(y) g(x) g(y) l, então f(x) g(x) l g(y) + f(y) l quando g(x) +. g(x) g(x) 9

VI Fórmula e Série de Taylor. Seja f : D R, com D R. Designa-se por D () o conjunto formado pelos pontos (interiores a D) em que f é diferenciável. Por indução, para n natural maior ou igual a, define-se D (n) como o conjunto formado pelos pontos (interiores a D (n ) ) em que f (n ) é diferenciável.. Fórmulas de Taylor com restos de Peano e Lagrange. a) Se a D (), então f(x) = f(a) + f (a)(x a) + (x a)e (x, a), com lim x a E (x, a) = 0. Seja I D () um intervalo, a e x I. Então, para algum ξ entre a e x. b) Se a D (), então f(x) = f(a) + f (ξ)(x a), f(x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) + (x a) E (x, a), com lim x a E (x, a) = 0. Seja I D () um intervalo, a e x I. Então, para algum ξ entre a e x. c) Se a D (n), então f(x) = f(x) = f(a) + f (a)(x a) + f (ξ) (x a), f(a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) + f (a) (x a) 3 +... + fn (a) (x a)n 3! (n )! + fn (a) (x a) n + (x a) n E n (x, a) n! com lim x a E n (x, a) = 0. Seja I D (n) um intervalo, a e x I. Então, f(x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) + f (a) (x a) 3 +... + fn (a) (x a)n 3! (n )! + fn (ξ) (x a) n n! para algum ξ entre a e x. Nota: o valor de ξ depende de x, a e n. No ponto 5 indicaremos explicitamente a dependência de ξ em x e n escrevendo ξ n (x). 0

3. Quando a = 0 as fórmulas de Taylor tomam o nome de fórmulas de Mac- Laurin. 4. Seja f : D R e a D (). Para que f tenha um extremo local em a é necessário (mas não suficiente) que a seja ponto de estacionaridade de f, ou seja, que f (a) = 0. 5. Seja a D () um ponto de estacionaridade de f tal que f (a) 0. Se f (a) > 0, então f tem um mínimo local estrito em a, ou seja, ǫ>0 x Vǫ(a)\{a} f(x) > f(a). Se f (a) < 0, então f tem um máximo local estrito em a, ou seja, ǫ>0 x Vǫ(a)\{a} f(x) < f(a). 6. Seja a D (3) um ponto de estacionaridade de f tal que f (a) = 0 e f (a) 0. Então, f não tem qualquer extremo em a. 7. Se a D () e ǫ>0 x Vǫ(a) f(x) f(a) + f (a)(x a), então f diz-se convexa (ou com a concavidade voltada para cima) em a. Se ǫ>0 x Vǫ(a) f(x) f(a) + f (a)(x a), então f diz-se côncava (ou com a concavidade voltada para baixo) em a. Pode também acontecer que exista um ǫ > 0 tal que num dos intervalos ]a ǫ, a[ e ]a, a + ǫ[ o gráfico de f esteja por cima do da sua recta tangente em (a, f(a)) e no outro esteja por baixo do dessa recta. Em tal hipótese diz-se que a é um ponto de inflexão de f. 8. Se a D () e f (a) > 0, então f é convexa em a. Se f (a) < 0, então f é côncava em a. 9. A função f diz-se indefinidamente diferenciável no ponto a sse a D (n), para todo o n N. Note-se que se f é indefinidamente diferenciável no ponto a e n N, então f é n vezes diferenciável numa vizinhança de a, visto que a D (n+), pelo que a é interior a D (n). 0. Uma série de potências é indefinidamente diferenciável no interior do seu intervalo de convergência e as suas derivadas podem calcular-se derivando a série termo a termo.. Uma função f diz-se analítica num ponto a, interior ao seu domínio, sse existir uma vizinhança de a, V ǫ (a), tal que f Vǫ(a) é uma série de potências de x a.. Prova-se que uma série de potências, s(x), de x a com raio de convergência r é uma função analítica em x a < r. Mais precisamente, para cada b tal que b a < r, s(x) é igual a uma série de potências de x b se x b < r b a.

3. Seja f é indefinidamente diferenciável em a. Chama-se série de Taylor de f no ponto a a f(a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) +... + fn (a) (x a) n +... n! 4. Nem toda a função f indefinidamente diferenciável em a é analítica em a. Se f for analítica em a, então f coincide, numa vizinhança de a, com a sua série de Taylor no ponto a, pois usando a proposição do ponto 0 prova-se facilmente que nenhuma série de potências distinta da série de Taylor pode representar f numa vizinhança de a. 5. Seja f indefinidamente diferenciável no ponto a. Então f é analítica em a sse lim n + (x a) n E n (x, a) = 0 para todo o x nalguma vizinhança de a, sse lim n + f n (ξ n(x)) n! (x a) n = 0 para todo o x nalguma vizinhança de a. 6. Em vez de se usar a proposição do ponto 5, para escrever a série de Taylor de uma função num ponto é frequente usar-se a proposição do ponto 0 e os desenvolvimentos seguintes, a saber, dos quais se podem tirar os desenvolvimentos das funções analíticas de uso mais frequente: a) da série geométrica: válido para x < ; b) da exponencial: válido para todo o x R; c) das funções trigonométricas: x = + x + x +... + x +..., e x = + x + x! +... + xn n! +..., sinx = x x3 3! cosx = x! válidos para todo o x R; d) da função binomial: se α R, ( + x) α = + αx + +... + ( )n xn+ (n + )! +..., α(α ) x +... +! +... + ( )n xn (n)! +..., válido para x < (todo o x R se α N). A prova deste desenvolvimento faz-se em quatro passos: α(α )...(α n + ) x n +..., n! i) Define-se a função f por f(x) := +αx+ α(α ) x +...+ α(α )...(α n+) x n +! n!..., verificando que f(x) está bem definida para x <, ou seja, que o raio de convergência da série de potências é. ii) Usando 0, verifica-se que ( + x)f (x) = αf(x) para todo o x ],[.

iii) O passo anterior implica que [f(x)( + x) α ] 0. iv) Um dos corolários do Teorema de Lagrange implica que x f(x)( + x) α é constante. Dando o valor zero a x conclui-se que a constante é. 7. Exemplos de desenvolvimentos em série de Taylor: a) Sejam a, b R \ {0}. Calculemos o desenvolvimento de x em torno de a+bx 0. a + bx = a + bx/a = «ba b x + a a x... + ( ) n b n a n xn +... = a b a x + b a 3 x... + ( ) n a n+ xn +... válido para bx/a <, ou seja, para x < a / b. b) Seja a 0. Calculemos o o desenvolvimento de x em torno de a. Fazendo x y = x a, x = a + y = a + y/a = «ya y + a a... + y n ( )n a +... n y n = a y a + y a... + 3 ( )n a +... n+ = a a (x a) + a 3 (x a)... + ( ) n a n+ (x a)n +... válido para y/a <, ou seja, para x a < a. c) Calculemos o desenvolvimento de x ln( x) em torno de 0. d ln( x) = dx x = x x... x n... = d x dx x 3 x3... «n xn..., para x < porque a última série tem raio de convergência e a sua derivada pode ser calculada termo a termo, devido ao ponto 0. Usando um corolário do Teorema de Lagrange, ln( x) = c x x 3 x3... n xn.... Fazendo x = 0, conclui-se que c = 0. d) Calculemos o desenvolvimento de x arctan x em torno de 0. d dx arctan x = + x = x + x 4... + ( ) n x n +... = d x dx 3 x3 + «5 x5 +... + ( ) n n + xn+ +..., b n 3

para x < porque a última série tem raio de convergência e a sua derivada pode ser calculada termo a termo, devido ao ponto 0. Usando um corolário do Teorema de Lagrange, arctan x = c + x 3 x3 + 5 x5 +... + ( ) n n + xn+ +.... Fazendo x = 0, conclui-se que c = 0. e) Calculemos o desenvolvimento de x arcsin x em torno de 0. d dx arcsin x = x = + x + 3 4 x4 + 3 5 4 6 x6 +... = d x + dx 3 x3 + 3 4 5 x5 + «3 5 4 6 7 x7 +..., para x < porque a última série tem raio de convergência e a sua derivada pode ser calculada termo a termo, devido ao ponto 0. Usando um corolário do Teorema de Lagrange, arcsin x = c + x + 3 x3 + Fazendo x = 0, conclui-se que c = 0. Referências 3 4 5 x5 + 3 5 4 6 7 x7 +.... [] J. Campos Ferreira, Introdução à Análise Matemática, Fundação Gulbenkian, 6 a ed., 995. 4