UFPR - Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências Exatas Departamento de Matemática MA - Matemática Discreta - PROFMAT Prof. Zeca Eidam Lista Números Naturais e o Princípio de Indução. Prove que as identidades abaixo são verdadeiras para todo n N: n(n + ) (a) + +... + n = (b) + 3 + 5 +... + (n ) = n n(n + )(n + ) (c) + 3 +... + n(n + ) = 3 (d) + 3 +... + n(n + ) = n n + (e) + +... + n n(n + )(n + ) = 6 (f) + 3 +... + (n ) n(n )(n + ) = 3 (g) + 3... + ( ) n n n n(n + ) = ( ) ( ) n(n + ) (h) 3 + 3 +... + n 3 = (i) 3 + 3 5 +... + (n )(n + ) = n n + (j) 4 + 4 7 +... + (3n )(3n + ) = n 3n + (k) 5 + 5 9 +... + (4n 3)(4n + ) = n 4n + (l) 4 + 4 +... + n 4 = n(n + )(n + )(3n + 3n ) 30 (m) 3 + 3 3 +... + (n ) 3 = n (n ) (n) 3 + +... + (8n 5) = 4n n.. Prove que para quaisquer a,b R e n N é verificada a fórmula do binômio de Newton: ( ) n (a + b) n n = a j b n j, j ( ) n. onde = j n! para cada 0 j n. j!(n j )! j =0
3. Neste problema, vamos estudar uma maneira de deduzir expressões para somas do tipo com k N. k + k +... + n k, (a) Vamos deduzir uma expressão para k = 5. Use o binômio de Newton para mostrar que para todo j N, temos (j + ) 6 j 6 = 6j 5 + 5j 4 + 0j 3 + 5j + 6j +. (b) Some ambos os membros da igualdade acima de j = 0 até j = n e use algumas das fórmulas do exercício () para obter uma fórmula para a soma 5 + 5 +... + n 5. 4. Prove as seguintes desigualdades: (a) n! n para todo n 4; (b) n! 3 n para todo n 7; (c) n! 4 n para todo n 9; (d) n n para todo n 3; (e) n n 3 para todo n 5; (f) + + +... + > n para todo n N; 3 n (g) (Desigualdade de Bernoulli) Se x R, x > e n N então ( + x) n > + nx. (h) Se x R e n N então ( + x) n > + nx. (i) Se x R, x < e n N então ( x) n nx. (j) Mostre que se x R e x 04 então (04 + x) n n(04) n x. 5. Encontre uma expressão condensada para as seguintes somas: (a) + ( + ) + ( + + 3) +... + ( + + 3 +... + n) (b) 3 + 3 4 +... + n(n + )(n + ) (c) 3 + 3 5 +... + (n )(n + ) (d) n + (n ) + (n )3 +... + n (e) + 3 +... + (n ) (f) 4 + 4 +... + (n ) 4 6. Mostre que j + j < j < j j para todo j N. Somando ambos os membros da desigualdade acima, conclua que ( n + ) < n < n n.
7. O conjunto P(X ) das partes de um conjunto X dado é definido por P(X ). = {A : A X }. Se X é finito e tem n elementos, mostre que P(X ) tem n elementos. 8. Sejam X, Y conjuntos não-vazios finitos com m e n elementos, respectivamente. Mostre, por indução sobre n que o conjunto das funções f : X Y tem n m elementos. Obtenha o resultado do exercício anterior a partir deste. 9. Seja f : R R uma função tal que f (x + y) = f (x) + f (y) para todos x, y R. (a) Prove que f (0) = 0. (b) Prove que f (n) = an para todo n N, onde a = f (). (c) Prove que f (n) = an para todo n Z (d) Prove que f (r ) = ar para todo r Q. (e) Será que f (x) = ax para todo x R? 0. Seja f : R R uma função tal que f (x + y) = f (x)f (y) para todos x, y R. (a) Prove que f (0) =. (b) Prove que f (n) = a n para todo n N, onde a = f (). (c) Prove que f (n) = a n para todo n Z (d) Prove que f (r ) = a r para todo r Q. (e) Será que f (x) = ax para todo x R?. Dados m,n N, dizemos que m divide n se existe k N tal que n = km. Este fato é denotado por m n. Prove a veracidade das seguintes afirmações, para todo n N: (a) 6 n 3 + n (b) 9 4 n + 5n (c) 3 n+ 0 3n (d) 7 3n (e) 8 3 n + 7 (f) 7 3 n+ + n+ (g) 7 773 n 60 n (h) 44 93 n+ + 3 n+ (i) 69 3 3n+3 6n 7. Sejam a,b N tais que a > b. Prove as seguintes afirmações, para todo n N: (a) a b a n b n (b) a + b a n+ + b n+ 3
(c) a + b a n b n (d) Reobtenha alguns ítens do exercício anterior a partir dos ítens acima. (e) a a (f) 3 a 3 a (g) 5 a 5 a (h) 7 a 7 a (i) a a 3. Mostre que 977 93 547 + 046 547. 4. (AV-0) Mostre que 7 n é divisível por 6 5. Uma progressão aritmética (PA) com primeiro termo a e razão r é uma sequência de números reais a, a, a 3,... satisfazendo a n = a n + r, para cada n. (a) Prove que a n = a + nr n (b) Prove que a j = (a + a n )n j = 6. Uma progressão geométrica (PG) com primeiro termo a e razão q (q {0,}) é uma sequência de números reais a, a, a 3,... satisfazendo para cada n. a n = a n q, (a) Prove que a n = a q n n (b) Prove que a j = a nq a q 7. (AV-03) j = (a) Se {a n } é uma progressão geométrica de termos positivos, prove que {b n } definida por b n = log a n é uma progressão aritmética. (b) Se {a n } é uma progressão aritmética, prove que {b n } definida por b n = e a n é uma progressão geométrica. 8. (AV-0) A figura abaixo mostra uma linha poligonal que parte da origem e passa uma vez por cada ponto do plano cujas coordenadas são números inteiros não-negativos. 4
(a) O conjunto dos pares de números inteiros não-negativos tem a mesma cardinalidade que os números naturais? Por quê? (b) Mostre que o comprimento da linha poligonal da origem até o ponto (n,n) é n + n, para qualquer inteiro não-negativo n. (c) Qual é o comprimento da linha poligonal da origem até o ponto (0,3)? 9. Uma progressão aritmético-geométrica é uma sequência {a n } de números reais tal que a R, q e r R são dados e tem-se a n = qa n + r, (a) Prove que a n = a q n + r qn q n q n (b) Prove que a j = a q + r qn (q ) + r n q j = 0. Seja X N um subconjunto não-vazio satisfazendo as propriedades abaixo: Existe uma família crescente de números naturais k < k < k 3 <... tais que os números pertencem a X, para todo j N. Se n X então n X. Prove que X = N.. Considere a sequência {s n } dada por para cada n N. m j. = 04 k j 37k j s n. = + +... + n (a) Mostre que s n > + n (b) Mostre que s n < n 5
(c) (AV-03) Mostre que s n > n (d) O que acontece com os valores s n quando n cresce?. Considere a sequência {s n } dada por para cada n N. (a) Mostre que s n < s n+ (b) Mostre que s n > s n+ s n. = +... + ( )n n (c) Mostre que s n < s m+ para todos m,n N. (d) O que acontece com os valores s n quando n cresce? 3. Considere a sequência {x n } definida como x =, x = e x n+ = x n + x n+ para n N. Mostre que x n 4. Considere a sequência {x n } definida por x =, x = para n N. (a) Mostre que x n < x n+ (b) Mostre que x n < x n = + x n, (c) O que acontece com os valores s n quando n cresce?, +, 5. Considere a sequência {x n } definida por x =, x =, para n N. (a) Mostre que x n < x n+ (b) Mostre que x n < x n = x n, (c) O que acontece com os valores s n quando n cresce? 6. (Sobre a construção abstrata do conjunto dos números naturais) Vimos em aula que o conjunto dos números naturais N é um conjunto munido de uma função s : N N chamada função sucessor tal que s é injetora; Existe um elemento, denotado por tal que s(n), 6
3 Se uma sentença P(n) é verdadeira para n = e sempre que P(n) é verdadeira, tem-se que P(n + ) é verdadeira, então que P(n) é verdadeira Assumimos a existência de um conjunto com estas propriedades e a partir daí, definimos as operações de soma e produto e a ordem usual. Definimos também a noção essencial de número de elementos de um conjunto finito. Prove as seguintes afirmações: (a) Não existe nenhum número natural n tal que 0 < n <. (b) Mostre que se {k n } é uma sequência de números naturais tais que k k k 3... então existe n N tal que k n = k m para todo m n. (c) Prove que todo subconjunto não-vazio de N tem primeiro elemento. (Princípio da Boa Ordenação) (d) Um conjunto totalmente ordenado é um par (X, ), onde X é um conjunto não-vazio e é uma relação binária entre elementos de X tal que x x para todo x X ; (Reflexividade) Se x y e y z então x z. (Transitividade) 3 Dados x, y X, ou x y ou y x. (Tricotomia) 4 Se x y e y x então x = y. Se A X é não-vazio, um elemento a A é dito ser o menor elemento de A ou primeiro elemento de A se a x para todo x X. X é dito bem-ordenado se todo subconjunto não-vazio de X tem primeiro elemento. Evidentemente, N munido da ordem usual é um conjunto bem-ordenado. Mostre que se X é um conjunto bem-ordenado tal que, para cada x X, o segmento inicial I x, definido por I x. = {y X : y x} é finito, então existe uma função f : X N bijetora tal que x y se e só se f (x) f (y), para todos x, y X. Dito de outra forma, N é o único conjunto bem-ordenado no qual todo segmento inicial é finito. 7. Demonstre, para todos m, n, k N, as identidades abaixo, envolvendo números binomiais: ( ) ( ) ( ) ( ) (a) j j + n n + + +... + = j j j j + ( ) ( ) ( ) ( ) (b) n n + n + m n + m + + +... + = 0 m m (c) ( )( ) ( ) k m n n + m = j =0 j k j k (d) ( ) ( ) k n n = j n j =0 8. Seja {u n } a sequência de Fibonacci. Mostre que para todo n as afirmações abaixo são verdadeiras: 7
(a) u +... + u n = u nu n+ ; (b) u 3n é par; (c) u + u +... + u n = u n+ ; (d) u + u 3 +... + u n = u n ; (e) u + u 4 +... + u n = u n+ ; (f) u u + u 3 u 4... + ( ) n+ u n = ( ) n+ u n + ; (g) u + u +... + n u n = nu n+ u n+3 + ; (h) u n = un+ u n. 8