A) Introdução ao experimento Experimentos Virtuais de Mecânica Roteiro do Experimento Força de Atrito Variável Parte II Na Parte I da análise do experimento, as grandezas cinemáticas relativas ao movimento da moeda foram determinadas, bem como a força de atrito em diversos pontos do seu percurso sobre o plano inclinado. Deve ter ficado claro que a trajetória não é uma parábola, portanto, a força resultante sobre a moeda varia. Nesta segunda parte, testaremos se somos capazes de elaborar uma equação de movimento, encontrar sua solução e constatar se damos conta de explicar a trajetória observada. Verificaremos inicialmente o comportamento do módulo e da direção da força de atrito ao longo do movimento. A análise desses resultados, junto com as outras observações da experiência, nos possibilitará propor um modelo analítico para o movimento da moeda sobre o plano e calcular as funções horárias para os deslocamentos nos eixos Ox e Oy. Finalmente, será avaliada a qualidade da previsão do movimento da moeda em um plano inclinado (com todos os elementos envolvidos existindo de verdade), a partir da comparação dos pontos experimentais da trajetória com aqueles calculados pelo modelo. B) Procedimento de análise B13. Nos itens B1 e B2 da Parte I do experimento, você verificou se o movimento real da moeda correspondia à sua previsão. Quão bem você antecipou o movimento que observou? Conhecendo agora um pouco mais sobre as grandezas relativas à situação física, analise como o movimento da moeda é alterado quando se varia: a. o ângulo de inclinação do plano; b. o ângulo de lançamento da moeda; c. o coeficiente de atrito da moeda com a superfície do plano. No item B10 da Parte I, foram determinadas as componentes da força de atrito nas direções Ox e Oy do sistema de referência usado na descrição do movimento. As leis empíricas do atrito de contato aplicadas à moeda em movimento determinam as características vetoriais da força de atrito: sua direção é a mesma da velocidade, mas com sentido contrário ao deslocamento, e seu módulo é dado por:, (11) Essa expressão é suficiente para lidar com a questão do módulo, mas para verificar se a velocidade e a força de atrito têm mesma direção e sentidos contrários, serão recuperadas também as componentes da velocidade da moeda em cada instante de tempo, do item B6 da Parte I. B14. Verificando como varia o módulo da força de atrito. O gráfico do módulo da força de atrito em função do tempo foi construído na Parte I. Determine o valor médio da força de atrito a partir dos pontos experimentais conhecidos. Trace então, nesse gráfico, uma reta paralela ao eixo dos tempos na média dos valores medidos. Consulte o Apêndice ao Roteiro (Parte II) e verifique, a partir do método sugerido, que a distribuição dos pontos em torno do valor médio é consistente com a Equação (11) módulo da força de atrito constante. Determine, assim, o coeficiente de atrito cinético a partir desse valor médio de e dos valores conhecidos de, e. 1
B15. Verificando como varia a direção da força de atrito. As componentes da velocidade da moeda e da força de atrito atuante sobre a mesma foram calculadas na Parte I. A Figura 1 mostra um quadro do experimento, com a moeda sobre o quadriculado. Sobre a moeda foram desenhados dois vetores, o da velocidade e o da força de atrito. No desenho ao lado estão representados esses mesmos vetores e os ângulos que formam com o eixo Ox. y x Figura 1. À esquerda, quadro extraído do vídeo com os vetores velocidade e força de atrito sobrepostos. À direita, esquema com os mesmos vetores e os ângulos que formam com o eixo Ox. O ângulo entre o vetor velocidade e o eixo Ox pode ser calculado de acordo com a expressão: onde e são as projeções da velocidade da moeda nas direções Ox e Oy. O ângulo entre a força de atrito e o eixo Ox se calcula da mesma forma, substituindo as componentes do vetor velocidade pelas respectivas componentes da força de atrito, porém, como o vetor pertence ao 3º quadrante, será preciso somar rad ao arco tangente não deixe de consultar o Apêndice ao Roteiro (Parte II), que explica e detalha a maneira de lidar com a função arco-tangente ao calcular esses ângulos. A partir dos valores das componentes da velocidade e da força de atrito, calcule os ângulos e, bem como o ângulo entre eles, dado pela expressão a seguir, e verifique se ele se corresponde com radianos. B16. Elaborando um modelo. Uma vez verificado que, dentro da precisão dos dados, o módulo da força de atrito é constante e que os vetores velocidade e força de atrito têm sentidos contrários, podemos elaborar um modelo que descreva a trajetória da moeda baseado no fato de que o atrito se comporta conforme as leis empíricas. Considerando que os vetores força de atrito e velocidade são opostos, condição obtida no item B15, podemos relacionar os dois por meio da equação: (12) (13) (14) em que corresponde ao coeficiente de atrito cinético, ao módulo da força normal que atua na moeda e. O termo entre parênteses corresponde ao versor da direção do vetor velocidade, e o sinal de menos indica que a força de atrito está no sentido contrário ao da velocidade. 2
Vimos também que na direção Ox a única força que atua na moeda é a componente horizontal da força de atrito. Já na direção Oy (que acompanha a inclinação do plano e, portanto, não é a vertical no sentido estrito), atuam componentes das forças de atrito e peso. A força resultante sobre a moeda na direção do movimento é Assim, de acordo com as orientações do referencial pré-definidas, Dado que a força de atrito e a velocidade são opostas, e. Usando, e sabendo que é possível substituir essas relações na equação (16), de maneira que: (15) (16) (17) O módulo da velocidade pode ser obtido a partir do valor das suas componentes, e, então: (18) Finalmente, com a aplicação da 2ª Lei de Newton, (19) podem-se determinar as projeções da aceleração da moeda e obter as equações de movimento: (20) B17. Calculando a trajetória (método numérico de determinação das equações horárias). A velocidade da moeda em cada instante pode ser obtida pela solução dessas equações diferenciais acopladas e não-lineares, que só podem ser resolvidas numericamente. Para isso, serão tomados pequenos intervalos de tempo tais que, durante cada intervalo, a velocidade seja aproximadamente constante e igual à velocidade no instante em que começa o intervalo, mas a velocidade no intervalo seguinte será diferente, sendo calculada com a aceleração da equação (20) e o valor conhecido da velocidade. Na página de Guias Auxiliares do Laboratório Virtual, consta o Roteiro de Integração Numérica, que dá um exemplo de aplicação desse método em um movimento unidimensional e que explica com mais detalhes o procedimento adotado. A partir das posições e velocidades em um instante e tomando um intervalo de tempo igual ao intervalo entre quadros sucessivos (a fim de que seja pequeno, uma vez que a aproximação será tanto melhor quanto menor for o intervalo), calcula-se, para um instante de tempo posterior: 3
, (21) as novas posições: (22) e as novas velocidades, usando e da expressão (20): (23) Inicia-se o processo com os valores de posição e velocidade correspondentes ao primeiro valor de instante médio da planilha de dados experimentais, já que este corresponde ao primeiro instante em que se conhece a velocidade instantânea do corpo. As novas posições e velocidades calculadas com as equações (22) e (23) podem ser inseridas no membro direito dessas equações, a fim de obter posição e velocidade no instante subsequente; este processo pode ser repetido sucessivamente até o último instante de interesse. B18. Ajustando os parâmetros do modelo. Compare as posições calculadas por integração numérica com aquelas lidas nos quadros. A fim de facilitar a comparação, sobreponha em um mesmo gráfico os dados experimentais (já plotados no item B4 da Parte I) e os resultados calculados no item B17. Caso o cálculo tenha dado uma trajetória um pouco deslocada, mude ligeiramente (dentro de um ou dois desvios-padrões) um dos parâmetros,,, ou e recalcule a planilha (se você implementou corretamente todas as fórmulas, basta mudar o valor na célula do parâmetro e pressionar Enter). Comece por tentar encontrar os melhores valores de ou, depois procure ajustar e só mexa em e quando entender o efeito de mudar os outros parâmetros. Normalmente, depois de algumas tentativas que não tomarão mais que alguns minutos, você deve encontrar um conjunto de valores desses parâmetros que forneça uma trajetória bastante compatível com a experimental, embora dificilmente o ajuste será perfeito. C) Procedimento de elaboração do relatório O relatório deve tomar como referência um público que não conheça nem o experimento nem o que foi realizado e analisado a partir do mesmo, mas que possua conhecimentos em Física. A finalidade do relatório é que uma pessoa possa compreender o que foi feito, a qual conclusão se chegou e como essa conclusão foi obtida. Redija apresentações claras, objetivas e sintéticas. Deve ser elaborado apenas um relatório por equipe contendo as seguintes seções: C0. Identificação. Inclua os nomes dos integrantes da equipe, a turma e a situação que lhe foi designada. C1. Introdução. Resuma a explicação da situação física e o objetivo do experimento. 4
C2. Descrição do experimento. Descreva, com suas próprias palavras, o arranjo experimental de forma sucinta, mencionando os principais dispositivos e componentes usados, assim como suas características. C3. Resultados Obtidos. Apresente os resultados numéricos dos itens B14 e B15, na forma de tabelas e gráficos. Verifique se expressou os valores das grandezas em unidades apropriadas e com o número adequado de algarismos significativos, bem como se inseriu barras de incerteza em todos os gráficos. Resuma as razões pelas quais esses gráficos indicam a validade ou não das leis empíricas do atrito e como a interpretação estatística das barras de incerteza contribui para sua conclusão. C4. Análise de Dados. Primeiro, apresente em um mesmo sistema de eixos os gráficos das trajetórias medida e calculada na primeira tentativa (com as estimativas iniciais do item B17), informando os valores iniciais de, e usados nesse cálculo. Depois, apresente em um mesmo sistema de eixos os gráficos das trajetórias medida e calculada após ajustar os parâmetros (segundo o item B18), informando os melhores valores encontrados para,,, e. Não inclua os dados brutos nem os extraídos da análise inicial do conjunto de quadros, uma vez que estes já foram apresentados na síntese da Parte I. C5. Discussão. Discuta a validade das leis empíricas do atrito de contato testadas nos itens B14 e B15, em particular a Equação (11), à luz dos resultados obtidos (item C3). Aponte eventuais discrepâncias entre a trajetória medida e a calculada apresentadas no item C4 e sugira possíveis causas para as diferenças observadas. Comente se os valores ajustados de,,, e são compatíveis com os valores medidos e, caso encontre discrepâncias, sugira as razões para isso. Comente, por fim, como a análise dos dados corroborou ou não as expectativas traçadas no item B13. C6. Conclusão. Retome a introdução, atente para o objetivo do experimento e comente se ele foi alcançado plenamente, parcialmente ou não. 5