Álgebra Linear I - Aula 10 1. Distância entre duas retas. 2. A perpendicular comum a duas retas. 3. Posições relativas. Roteiro 1 Distância entre duas retas r e s Calcularemos a distância entre duas retas r e s. Esta distância é o mínimo das distâncias dist (P, Q), onde P r e Q s. Consideremos pontos P e Q de r e s, respectivamente, e vetores diretores v e w de r e s, respectivamente. Suponhamos em primeiro lugar que as retas não são paralelas. Um método para calcular a distância é o seguinte: Considere os plano π paralelo a s que contem r e ρ paralelo a r que contem s. No desenho, a reta t é uma reta paralela a s contida em π com vetor ditretor w. O ponto P é a interseção de t e r. Observe que estes planos são paralelos e que dois vetores (não paralelos) de π e ρ são v e w. Observe que a distância entre as retas é a distância entre os dois planos. Esta distância d é, por exemplo, a distância de qualquer ponto Q da reta s ao plano π. Esta distância pode ser calculada usando o produto misto como fizemos anteriormente, consideramos vetores diretores v e w das retas r e s, obtendo: d = PQ (v w). v w 1
Q w s w t P v r π Figura 1: Distância entre duas retas 1.1 Posição relativa de duas retas O método anterior fornece um sistema para saber se duas retas não paralelas se interceptam (sem necessidade de resolver um sistema): as retas se interceptam se e somente se PQ (v w) = 0. Mais uma vez, a escolha dos pontos P e Q é irrelevante. Exemplo 1. Calcule a distância entre as retas r = (t, 1+t, 2 t) e s = (t, t, 1). Resposta: Os vetores diretores são (1, 1, 2) e (1, 1, 0). Um ponto P r é (0, 1, 0) e um ponto Q s é (0, 0, 1), logo PQ = (0, 1, 1). Portanto, a distância d entre r e s é d = (0, 1, 1) (1, 1, 2) (1, 1, 0) (1, 1, 2) (1, 1, 0) = (0, 1, 1) ( 2, 2, 0) ( 2, 2, 0) = 2 8 = 1 2. Logo a distância é 1/ 2. Se as retas r e s são paralelas esta é igual a distância de P r a s, caso já considerado (distância de ponto a reta). 2
2 A perpendicular comum a duas retas Dadas duas retas r e s a perpendicular comum das retas r e s é a reta l que é ortogonal as duas retas dadas e intercepta as duas retas. Veremos o caso em que as retas são reversas (ou seja as retas não são nem paralelas nem se interceptam). Observe que se as retas têm interseção a reta perpendicular comum é obtida trivialmente (qual?) e se as retas são paralelas há infinitas soluções (justifique!). Observe que se os vetores diretores de r e s são v e u, então o vetor diretor de l é w = u v. Portanto, o único problema é obter uma reta paralela a w que intercepte a r e s. Obviamente, se escolhemos um ponto P de r a esmo e consideramos a reta que contém a P e é paralela a w, o mais provável e que a reta obtida não intercepte a s!. Então o que faremos é considerar simultaneamente todas as retas paralelas a w contendo pontos de s. Qual é o resultado? O resultado é o plano π que contém a s e é paralelo a w. Este plano intercepta r em um ponto P. Então a reta l procurada é a reta que contém a P e é paralela a w. Por construção, esta reta é ortogonal a r e a s. Também intercepta a r no ponto P. Falta ver que a reta intercepta a s. Isto decorre do fato de as retas s e l estar contidas em um plano e não ser paralelas. Finalmente, se Q = l s, temos que a distância entre s e r é P Q (mas este é um método complicado de calcular distâncias!). Exemplo 2. Determine a reta l perpendicular comum a r = (t, 1 + t, 2t) e s = (t, t, 1). Resposta: Pelos cálculos já feitos, o vetor diretor de l é paralelo a (1, 1, 2) (1, 1, 0). Portanto, podemos escolher (1, 1, 0). O plano π (usando a notação acima) contendo a s e paralelo a w tem como vetor normal (1, 1, 0) (1, 1, 0) = (0, 0, 2). Escolheremos (0, 0, 1). Usando que (0, 0, 1) pertence a s, logo a π, temos π: z = 1. A interseção de π com r é obtida substituindo a equação de r em π (assim obtemos para que valor do parámetro estamos no plano): 2t = 1, t = 1/2. 3
Portanto, o ponto P é (1/2, 3/2, 1). Logo l: (1/2 = t, 3/2 t, 1), t R. Finalmente determinaremos Q, igualando as equações de l e s: (escolhemos µ como parámetro de s) 1/2 + t = µ, 3/2 t = µ 1 = 1. Obtemos µ = 1. Logo o ponto Q é (1, 1, 1). Observe que o vetor P Q = (1/2, 1/2, 0) é paralelo a w (como deve ser), e que seu módulo é 1/ 2 (o mesmo resultado que o obtido acima). 3 Posições relativas 3.1 Posição relativa de duas retas As posições relativas de duas retas r: P + t v e e s: Q + t w podem ser: paralelas (se v = σw, σ R); iguais (se Q r); disjuntas (se Q r); reversas: as retas não são paralelas e não se interceptam (isto é, v e w não são paralelos e PQ (v w) 0); concorrentes: se interceptam em um ponto (se v e w não são paralelos e PQ (v w) = 0). Exemplo 3. As retas r: (1 + t, 2 t, t) e s: (5 + 2 t, 4 t, 2 t + 2) são paralelas e não disjuntas. As retas r: (1 + t, 2 t, t) e s: (t, 1, 2 t + 2) são reversas (escolha P = (1, 0, 0), Q = (0, 1, 2) v = (1, 2, 1) e w = (1, 0, 2) e veja que PQ (v w) = ( 1, 1, 2) ((1, 2, 1) (1, 0, 2)) = = ( 1, 1, 2) (4, 1, 2) = 4 1 4 = 9 0. 4
3.2 Posição relativa de reta e plano As posições relativas de uma reta r: P + tv e o plano e π: ax + by + cz = d podem ser: paralelos (se v n = 0, onde n = (a, b, c),) r contida em π (se P π) disjuntos (se P π) interseção em um ponto (n v 0). Exemplo 4. A reta (1 + t, t, 2 t) é paralela ao plano π: x + y z = 1 e o ponto (1, 0, 0) pertence ao plano, logo a reta está contida no plano. A reta (t, t, t) intercepta π em um ponto (no ponto (1, 1, 1)). 3.3 Posição relativa de dois planos As posições relativas de dois planos são: π: ax + by + cz = d e ρ: a x + b y + c z = d paralelos (se n = σn, onde σ 0, n = (a, b, c) e n = (a, b, c )) iguais (se n = σn e d = σd ) disjuntos (se n = σn e d σd ) se interceptam aolongo de uma reta (se n e n não são paralelos). Exemplo 5. Planos paralelos e diferentes: π: x + y + z = 1 e ρ: 3x + 3y + 3z = 1, iguais: π: x + y + z = 1 e ρ: 3x + 3y + 3z = 3, se interseção ao longo de uma reta: π: x+y+z = 1 e ρ: x+2y+3z = 1. 5