1 INSTITUTO DE MATEMÁTICA - UFRJ DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Professor Felipe Acker parte 1 - o plano Exercícios - transformações lineares determinante e produto escalar 1. Calcule: a a área do triângulo de vértices a 1 a 2 b 1 b 2 e c 1 c 2 ; b a área do K pentágono de vértices 2 1 1 4 3 3 2 4 e 1 1. 2. Sejam A = a 1 a 2 e B = b 1 b 2 dois pontos distintos. Mostre que P = x y está na reta AB se e somente se det AP AB = 0. Obtenha a partir daí equação para a reta AB. 3. Mostre que se u = a b então u = b a é ortogonal a u. Sejam A = a 1 a 2 e B = b 1 b 2 dois pontos distintos. Mostre que P = x y está na reta AB se e somente se AP AB = 0. Obtenha a partir daí equação para a reta AB. 4. Seja T : IR 2 IR 2 dada por u T = u v a11 a 21 a12 + v a 22 a 11 a 21 a 12 e a 22 são números reais xos. Suponha que os vetores a11 a12 e a 21 a 22
2 são linearmente independentes. Sejam P o paralelogramo de vértices 0 0 a11 a 21 a11 + a 12 a 21 + a 22 a12 a 22 D = { u v IR 2 u 2 + v 2 1 } E = T D. a Mostre que T transforma quadrados de lados paralelos aos eixos coordenados em paralelogramos semelhantes a P. b Encontre uma equação que caracterize os pares ordenados x y tais que x y está em E. c Calcule a área de E. 5. Sejam A = a 1 a 2 B = b 1 b 2 e C = c 1 c 2. Determine a equação da reta bissetriz do ângulo BÂC. Nos dois problemas a seguir as demonstrações não devem conter qualquer argumento geométrico/trigonométrico proibido argumentar por exemplo com se θ é ângulo entre 0 e π e cos θ = 0 então θ é reto. Devem ser usadas apenas as propriedades do produto interno válidas para quaisquer u v u 1 u 2 t: i u v = v u ii tu v = t u v iii u 1 + u 2 v = u 1 v + u 2 v iv u u 0; u u = 0 u = 0 A norma do vetor u é defnida por u = u u. 6. Prove o Teorema de Pitágoras: se u e v são vetores tais que u v = 0 então u + v 2 = u 2 + v 2.
3 7. Sejam u e v vetores não nulos. Suponha conhecidos os números a = u u 1 2 b = v v 1 2 e c = u v. a Determine em função de a b e c o real t tal que u tv é perpendicular a v isto é u tv v = 0. b Use o Teorema de Pitágoras para provar que tv u. c Conclua que vale a desigualdade de Cauchy-Schwarz-Buniacóvski: c ab ou seja u v u u 1 2 v v 1 2. 8. Sejam A e B dois pontos distintos do plano. Mostre que o ponto P do plano está sobre o círculo de diâmetro AB se e somente se P A P B = 0. Atenção estamos querendo provar usando o produto interno que o ponto P satisfaz a equação acima se e somente se P dista B A /2 de A + B/2; não vale claro usar propriedades do arco capaz! Grupos Um grupo é um par ordenado G sendo G um conjunto e : G G G u v u v uma operação com as seguintes propriedades: associatividade u v w = u v w u G v G w G; existência de elemento neutro existência de inverso i G i u = u i = u u G; u G u 1 G u u 1 = u 1 u = i.
4 Um grupo G é dito comutativo ou abeliano se para quaisquer u e v em G tem-se u v = v u. São exemplos simples de grupos abelianos que nos dizem respeito o grupo dos números reais com a adição o dos vetores do plano com a adição de vetores e o IR 2 com a adição de pares ordenados. 9. Mostre que o elemento neutro é único isto é: se existe j em G tal que j u = u j = u para todo u em G então j = i. 10. Mostre que o inverso também é único. 11. Seja que X é um conjunto. Seja SX o conjunto das funções bijetivas de X em X f : X X é bijetiva se para cada y em X existe um único x em X tal que fx = y. Seja : SX SX SX f g f g a operação de composição de funções denida por f gx = fgx. Mostre que SX é um grupo. Mostre que se X tem pelo menos 3 elementos então SX não é abeliano. 12. A matriz 2 2 a11 a A = 12 a 21 a 22 é dita invertível se existe matriz 2 2 B tal que AB = BA = I sendo I a matriz identidade denida por 1 0 A =. 0 1 Mostre que o conjunto das matrizes invertíveis com a multiplicação de matrizes é grupo não abeliano costumamos designá-lo por GL2. Se G é um grupo e H é subconjunto de G talque H é grupo H é dito subgrupo de G isso signica em particular que H é fechado para isto é u v está em H sempre que u e v estão em H de forma que podemos considerar como operação em H. Estando claro qual é a operação diremos que G é grupo e usaremos a notação H < G para indicar que H é subgrupo de G. Se IR é o
5 grupo abeliano dos reais não nulos com a operação de multiplicação IR + é o conjunto dos reais estritamente positivos e U = { 1 1} temos IR + < IR e U < IR certique-se de ter entendido. 13. Considere no plano xado um sistema de coordenadas canônico de forma que identicamos pontos vetores e pares ordenados. Sejam S o grupo das bijeções do plano L o conjunto das transformações lineares bijetivas do plano R o das rotações em torno da origem H o das homotetias de razão não nula e C o dos cisalhamentos horizontais os cisalhamentos horizontais foram denidos no exercício 6 da lista sobre vetores e transformações. a Mostre que L é subgrupo de S. b Mostre que R H e C são subgrupos de L. c Seja H + o conjunto das homotetias de razão positiva. Mostre que H + é subgrupo de H. d Quais dos seguintes tipos comutam: rotações e homotetias; homotetias e cisalhamentos; cisalhamentos e rotações? 14. Seja GL2 o grupo das matrizes 2 2 invertíveis com a operação produto de matrizes. Mostre que são subgrupos de GL2: a o conjunto SL2 das matrizes de determinante igual a 1; b o conjunto das matrizes que preservam área vistas como transformações lineares; c o conjunto das matrizes com determinante positivo. Se G e H são grupos uma função h : G H é dita um homomorsmo de grupos se hu v = hu hv. Um homomorsmo bijetivo é dito um isomorsmo. Um belo exemplo de isomorsmo é dado pela função exponencial t e t entre o grupo dos reais com a adição e o dos reais positivos com a multiplicação verique!.
6 15. Mostre que xada uma base isto é dois vetores linearmente independentes no plano ε 1 e ε 2 a aplicação h : IR 2 V V é o conjunto dos vetores do plano dada por é um isomorsmo. hx 1 x 2 = x 1 ε 1 + x 2 ε 2