DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO GEOMÉTRICO NA VISUALIZAÇÃO DE FIGURAS ESPACIAIS, POR MEIO DA METODOLOGIA DE OFICINAS Lúcia Helena da Cunha Ferreira Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais PUC/MG luciahcferreira@yahoo.com.br João Bosco Laudares Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais PUC/MG tukabh@terra.com.br Resumo: Este artigo é parte de pesquisa no Mestrado em ensino de Ciências e Matemática. A metodologia utilizada foi a de Oficinas Pedagógicas e a proposta de pesquisa objetivou a aquisição do pensamento geométrico buscando contribuir com o desenvolvimento de uma importante habilidade cognitiva: a visualização espacial. A vivência se efetivou com 35 alunos da 2ª série do Ensino Médio. Nessa experiência houve a exploração da Geometria Espacial, a partir de atividades que abordavam a visualização com observação das formas geométricas no espaço com sua descrição e comparação resgatando as suas semelhanças e diferenças. O referencial dessa pesquisa teve como base teórica o modelo de Van Hiele, como um recurso metodológico, que visou buscar resultados para desenvolvimento cognitivo do aluno na compreensão de conceitos geométricos. Um método usado foi a construção das figuras por meio do processo de exploração de vistas das suas várias faces na busca do esboço das mesmas. Palavras -chave: Visualização; Pensamento geométrico; Oficinas. INTRODUÇÃO: Devido à insatisfação em relação a nossa prática docente, investigamos diferentes formas de trabalhar a Geometria para atingirmos um dos principais objetivos instrucionais dessa disciplina: a visualização. Essa habilidade possibilita ao aluno pensar no objeto geométrico, na sua ausência, distinguindo as suas características. Para desenvolver tal competência, elaboramos atividades que possibilitassem a aquisição da habilidade da visualização para a formação do pensamento geométrico e assim minimizar as dificuldades apresentadas pelos alunos na manipulação de sólidos geométricos. É equivocado o ensino de geometria com o uso mecânico de fórmulas. A utilização de fórmula pouco favorece a compreensão de conceitos. 1
Para NASSER (1991, p.35), (...)nas últimas décadas, uma necessidade de modificações no ensino da geometria cresceu ao redor do mundo, devido às dificuldades encontradas e ao fraco desempenho mostrado por alunos secundários em geometria. Preocupados, professores pesquisadores têm desenvolvido maneiras que possibilitem ao educando desenvolver o interesse e o envolvimento no estudo da Geometria. Essa pesquisa teve, pois, como objetivo rever, formular e/ou aprofundar conceitos e procedimentos matemáticos, por meio do uso de materiais concretos, novas tecnologias com uso de software e atividades tipo lápis e papel. Os sujeitos da pesquisa foram alunos da 2ª série do Ensino Médio. A opção pela metodologia de oficinas teve como pressuposto o fato que elas favorecem a aprendizagem dos mais variados conteúdos, por ser uma metodologia essencialmente ativa, que concretizava a aprendizagem a partir da tríade ação-reflexãoação. Há que se destacar que foi utilizado o Software POLY. A TEORIA DE VAN HIELE A teoria de Piaget, durante décadas, influenciou o currículo escolar. Enquanto analisavam a sua prática docente, um casal de holandeses, os Van Hieles (Pierre M. Van Hiele e Dina Hiele- Geldof), considerando as dificuldades de seus alunos em relação aos conceitos de Geometria, propôs um modelo para organizar o ensino de acordo com a maturidade cognitiva dos alunos. Van Hiele, em sua época de estudante, teve muitas dificuldades e também percebeu o mesmo problema com seus alunos: Quando eu comecei minha carreira como professor de Matemática, eu logo percebi como era difícil essa profissão. Havia partes do conteúdo que eu poderia explicar e explicar, e ainda assim os alunos não entendiam. Eu poderia ver que eles realmente tentavam, mas não obtinham sucesso. Especialmente, no começo da Geometria, quando coisas simples tinham que ser provadas, eu podia ver que eles faziam o máximo, mas o assunto parecia muito difícil. 2
(VAN HIELE, 1986, p.39) Assim, fomos buscar no trabalho dos Van Hiele não só uma referência para o ensino de Geometria como, também, esse começo de história de vida, tão parecida com o de todo professor iniciante. No Brasil, o modelo obteve a divulgação a partir de 1990, trazido pela professora Lílian Nasser (Universidade Federal do Rio de Janeiro) que defendeu tese com este referencial, em Londres. Na tentativa de entender melhor e de procurar explicações para o desencontro entre o ensino de Geometria e sua compreensão por parte dos alunos, o casal Van Hiele, apoiado em experiências educacionais apropriadas, elaborou um método teórico que afirmou que o processo de desenvolvimento do pensamento geométrico perfaz uma seqüência de cinco níveis hierárquicos: de compreensão: visualização (ou reconhecimento), análise, dedução informal (ou ordenação, ou síntese, ou abstração), dedução formal e rigor. Sugeriu que os alunos progrediam através dessa seqüência hierárquica enquanto aprendiam geometria. O trabalho ficou conhecido como o Modelo de Van Hiele ou a Teoria de Van Hiele. Nesse modelo, o desenvolvimento das habilidades de cada nível está relacionado com as instruções e maturidade do aluno e não com a idade, série a que ele pertence, pois um aluno pode estar raciocinando em níveis diferentes em conceitos de Geometria, apesar dessas serem diferentes.a que ele pertença. Esse modelo é uma referência para o ensino de Geometria, na medida em que proporciona ao professor um olhar mais reflexivo do processo de aprendizagem. A VISUALIZAÇÃO POR MEIO DE OFICINAS Nesta última década, diversas pesquisas em Educação Matemática apontam para a importância de se incentivar, nos meios educacionais, o desenvolvimento da habilidade de visualização em Geometria. Isto porque há um reconhecimento da importância de se compreender a percepção das informações visuais, tanto para a formação matemática do educando quanto para sua educação geral. As pesquisas realizadas por MESQUITA (1989) e PADILLA (1992) procuraram chamar a atenção para o papel heurístico das figuras 3
geométricas na resolução de problemas matemáticos, comprovando que sua utilização exige um aprender a ver e a ler estas figuras. Nesse contexto, as oficinas podem ser tratadas como uma metodologia que promove o processo da habilidade de desenvolvimento da visualização, pois favorece a descoberta, a observação, a exploração e a construção do conhecimento. No processo de ensino e aprendizagem tem-se constatado dificuldades de aprendizado em conteúdos onde não é possível presenciar o processo da forma que o mesmo acontece. Nesses casos a inserção de oficinas pedagógicas no ensino de Matemática constitui um instrumento de grande valia no processo. Essa metodologia possibilita explorar não só as possibilidades dos materiais manipuláveis, como também criar um ambiente propício que oportunize a construção do conhecimento, no sentido de proporcionar significativa melhoria na aprendizagem dos estudantes nos conteúdos matemáticos. Assim é necessário que o professor elabore atividades criativas e dinâmicas que estimulem a participação dos alunos, que devem ser motivados a buscar os seus conhecimentos, por meio de sua própria ação do fazer, no levantamento de conjecturas e sua justificação. O aluno é chamado a agir como um matemático, não só na formulação de questões e conjecturas e na realização de provas e refutações, mas também na apresentação de resultados e na discussão e argumentação com seus colegas e o professor. ( PONTE et al, 2003,p.23) Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN s) enfatizam a importância de oferecer uma geometria que não prioriza apenas definições e cálculos. O desenvolvimento do pensamento geométrico dos alunos é aguçado através de situações que evidencia as formas geométricas vivenciadas pelos mesmos em seu cotidiano: Usar as formas geométricas para representar ou visualizar partes do mundo real é uma capacidade importante para a compreensão e construção de modelos para resolução de questões da Matemática e de outras disciplinas. Como parte integrante desse tema, o aluno poderá desenvolver habilidades de visualização, de desenho, de argumentação lógica e de aplicação na busca de soluções para problemas. (PCN s, 1999, p.123) Nas atividades propostas em oficinas, a visualização tornou-se uma forma mais efetiva para uma melhor compreensão da Geometria. Uma imagem que pode ser utilizada 4
para ensinar conceitos matemáticos abstratos ajuda a esclarecer e simplificar a aprendizagem de conceitos geométricos, FISCHBEIN (1993). O DESENHO DA OFICINA E AS ATIVIDADES SEQUÊNCIA 1 Apresentaremos, a seguir, parte de cada seqüência das atividades que elaboramos, pois elas foram divididas em quatro etapas: a primeira etapa de atividades foi do tipo lápis e papel e abordava uma revisão dos principais conceitos geométricos pertinentes ao estudo da Geometria Espacial e Plana. Procuramos elaborar atividades voltadas para a construção do conceito de área, mas focado na Investigação Matemática. Inicialmente, orientamos os estudantes sobre a realização da tarefa pois, o conceito iria ser trabalhado de forma intuitiva. Veja-se, abaixo, a estratégia utilizada por um aluno para resolver uma das atividades propostas: Figura 1: Estratégias usadas por um aluno no cálculo de área de algumas figuras Foi necessário, apesar dos alunos já terem visto esse conteúdo anteriormente, uma boa revisão em alguns conceitos geométricos das principais figuras planas, que seriam trabalhados a todo o momento no estudo dos Sólidos Geométricos. SEQUÊNCIA 2 5
A segunda sequência de atividades, abordou questões relativas a vistas e perspectiva com o objetivo de explorar a visualização para favorecer o aquisição do pensamento geométrico. Um problema que constatamos em relação ao desenho foi o de trabalhar o olhar no tridimensional e no bidimensional, pois os alunos tiveram dificuldades em ver no papel o que está no espaço, como podemos verificar com a fala de um aluno: Devemos desenhar o que está na frente primeiro e depois o que está nas beiradas?. Figura 2: Desenho de um aluno para identificação das arestas de alguns sólidos Orientamos que nessa etapa os alunos deveriam tentar representar o que realmente estavam vendo, exatamente o que está a sua frente, esquecendo o nome daquilo que está desenhando, buscando o relacionamento entre as dimensões, ângulos e formas. SEQUÊNCIA 3 A terceira etapa de atividades contemplou o uso de materiais manipulativos e tinha o objetivo de fazer o reconhecimento de sólidos de revolução e de poliedros. Nessa seqüência os alunos confeccionaram algumas bandeirinhas, a pedido do professor, e 6
também trouxeram de casa várias embalagens. As bandeirinhas foram confeccionadas com papel colorsete, em formas variadas de polígonos, círculo e de semicírculos, pregadas em palitos. Os alunos deveriam fixar essas bandeirinhas em um isopor, rotacioná-la 360 e descrever o sólido que era formado. Depois eles deveriam relacionar esses sólidos com as embalagens que trouxeram de casa e agrupá-los de acordo com o seguinte critério: as que rolam ( sólidos que arredondados) e as que não rolam( poliedros). Para essa classificação eles usaram o caderno e colocaram os sólidos para rolarem. Figura 3: Escrita de alunos identificando os sólidos que são formados pela rotação de bandeirinhas Com o desenrolar das atividades, notamos que os alunos passaram a perceber as características dos poliedros e dos sólidos arredondados e passaram a descrever algumas de suas propriedades, deduzindo-as informalmente. SEQUÊNCIA 4 A quarta etapa contou com atividades com o software POLY. Distribuímos os cadernos de atividades e dividimos os alunos em trios ou duplas, devido ao formato da sala de informática. Com o software que possibilita o movimento dos poliedros, a idéia de aresta, vértice e face tornou-se clara para cada aluno. Um dos objetivos da atividade: a 7
contagem do número de faces, vértices e arestas dos poliedros, teve a finalidade de enunciar a relação de Euler. Figura 4: Escrita de um aluno da sua observação entre a relação de vértices, arestas e faces de um poliedro. Após cada etapa das atividades foi feita uma plenária com todos estudantes para socialização dos resultados obtidos para reafirmação e formalização dos conceitos geométricos. Ressaltamos que os conceitos matemáticos a serem adquiridos pelos sujeitos, com o auxílio do professor, bem como as representações destes conceitos não estão nos materiais didáticos, mas nas ações interiorizadas pelo sujeito, pelo significado que dão às suas ações, às formulações que enunciam, às verificações e relações que realizam, necessitando para isso o estabelecimento de abstrações e generalizações (NEHRING, POZZOBON, 2007). Quando saímos da construção no papel ou no quadro negro para a representação com o software POLY, mudamos de um referencial estático para um referencial dinâmico. Com a visualização e a movimentação permitidas, pelo uso do POLY, tivemos a possibilidade de explorar as figuras com suas propriedades, possibilitando sua visualização em várias posições e no trabalho com poliedros e seus elementos (arestas, vértices e faces) conseguimos chegar na relação de Euler. NASSER(1991) aponta a visualização como uma forma de guiar os alunos no processo de dedução, facilitando a exploração e as conseqüentes justificativas. 8
Sendo assim, pesquisas realizadas indicam que a aprendizagem geométrica é necessária ao desenvolvimento do aluno, pois como afirma FAINGUELERNT (1999), a geometria ativa as estruturas mentais, possibilitando a passagem do estágio das operações concretas para o das operações abstratas. E se este ensino, enfocar os aspectos topológico, projetivo e euclidiano, o estudante terá possibilidades de conhecer, fazer descobertas, identificar as formas geométricas e explorar o espaço onde vive. CONSIDERAÇÕES FINAIS Essa pesquisa ainda está em desenvolvimento, mas, já é possível fazer alguma validação das atividades realizadas, pois conseguimos observar várias mudanças referentes à postura dos alunos frente a uma atividade de investigação matemática. Entendemos que após essa intervenção, que foi a implementação das oficinas, houve uma melhora significativa no desempenho dos alunos, levando a crer que a Teoria de Van Hiele, o uso de recursos didáticos diversificados e a interação social foram facilitadores na aprendizagem do reconhecimento e propriedades dos sólidos geométricos. Ainda constatamos que o caráter dinâmico do software POLY, gerou algumas vantagens para o ensino, como a de acelerar o tempo de muitas construções, encorajar a tentativa e erro. Um importante recurso desse software no estudo de poliedros é disponibilizar modos de visualização diferenciados para um poliedro e seus elementos faces, arestas e vértices, e como os poliedros podem ser relacionados interativamente. Além disso, o software permite a realização do movimento de abrir/fechar o poliedro, isto é, abrir obtendo a forma planificada, e fechar, voltando ao poliedro inicial Os alunos demonstraram curiosidade e interesse para trabalhar com os recursos concretos e o software nas oficinas. A interação entre alunos e pesquisador proporcionou aulas mais dinâmicas que levaram a uma melhor compreensão do objeto de estudo. A implementação de metodologias inovadoras de ensino no trabalho de sala de aula traz um grande desafio ao professor que, ao construir propostas de trabalho adequadas à realidade do aluno, está inserindo-o em uma nova maneira de pensar a matemática não restrita à aplicação de procedimentos. 9
REFERÊNCIAS: BRASIL. Secretaria da Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: MEC/ SEF, 1999. FAINGUELERNT, Estela kaufman. Educação Matemática : Representação e Construção em Geometria. Porto Alegre: Artes Médicas Sul, 1999. FISCHBEIN, E. The Theory of Figural Concepts. Education Studies in Mathematics, 1993. MESQUITA, Ana. L'influence des aspects figuratifs dans l'argumentation des élèves en géométrie. Strasbourg: Thèse-Université Louis Pasteur, 1989. NASSER, Lílian. Níveis de van Hiele: Uma explicação definitiva para as dificuldades em Geometria? Boletim GEPEM nº 29, p.21-25, 1991. NEHRING, C. M; POZZOBON, M. C. C. Refletindo sobre o material manipulável e a ação docente. EREM, Ijuí, 2007. PADILLA, V. L influence d une acquisition de traitements purement figuraux pour l apprentissage dês mathématiques. Strasbourg: Thèse-Université Louis Pateur, 1992. PONTE, J. P.; BROCARDO, J. ; OLIVEIRA, H. Investigações Matemáticas na Sala de Aula. 1 ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2003. VAN HIELE, P.M. Structure and Insight: A Theory of mathematics Education, Orlando, FL: Academic Press, 1986. 10