AGRUPAMENTO DE ESCOLAS 3.º Teste de Matemática B POETA ANTÓNIO ALEIXO 1 10.º ano de escolaridade fevereiro de 013 ESPAA Em todas as questões da prova, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Apresente uma única resposta a cada item. Se escrever mais do que uma resposta, deve indicar de forma inequívoca a que pretende que seja classificada (riscando todas as que pretende anular). Sempre que, na resolução de um problema, recorrer à sua calculadora, apresente todos os elementos recolhidos na sua utilização. Mais precisamente: sempre que recorrer às capacidades gráficas da sua calculadora, apresente o gráfico, ou gráficos, obtido(s), bem como coordenadas de pontos relevantes para a resolução do problema proposto (por exemplo, coordenadas de pontos de intersecção de gráficos, máximos, mínimos, etc.); sempre que recorrer a uma tabela obtida na sua calculadora, apresente todas as linhas da tabela relevantes para a resolução do problema proposto; sempre que recorrer a estatísticas obtidas na sua calculadora (média, desvio padrão, coeficiente de correlação, declive e ordenada na origem de uma reta de regressão, etc.), apresente as listas que introduziu na calculadora para as obter. Comprimento de um arco de circunferência Formulário: Áreas de superfícies r ( - amplitude, em graus do ângulo ao centro; r - raio) 180 Áreas de figuras planas Losango: Trapézio: Diagonal maior Diagonal menor Base maior Base menor Altura Apótema Polígono regular: Semiperímetro Setor circular: r 360 ( - amplitude, em graus do ângulo ao centro; r - raio) Área lateral de um cone: rg r raio da base; g geratriz Área de uma superfície esférica: r raio Volumes 4 r Pirâmide: 1 Área da base Altura 3 Cone: 1 Área da base Altura 3 Esfera: 4 3 r 3 r raio Grupo de Recrutamento 500 Matemática Página 1 de 5
1. Na Figura 1 encontra-se a imagem de uma das moedas de 50 pence de coleção, alusivas aos Jogos Olímpicos de Londres. Estas moedas têm a forma de heptágonos regulares. Figura 1 Com base nesta moeda, construiu-se, num referencial ortogonal e monométrico xoy, o heptágono regular ABCDEFG, como ilustra a Figura 1.1. Caracteriza uma rotação que transforme o ponto A no ponto F Apresenta o valor da amplitude da rotação arredondado às unidades. 1.. Relativamente à Figura, onde cada unidade corresponde a 1 milímetro, sabe-se que: O ponto H pertence ao eixo Ox A reta y 14,36 contém o ponto C A reta CD tem equação y 0, 48x 1,108 A reta CH é paralela ao eixo Oy O ponto P é o ponto médio de GF 1..1. Mostra que o ponto C tem coordenadas 14 ;14,36 Figura 1... O ponto E tem coordenadas 8 ; 3, Escreve a equação da reta EH na forma y mx b Apresenta os valores de m e b arredondados às milésimas. 1..3. O perímetro do heptágono regular ABCDEFG é 87,3 milímetros. O diâmetro de um heptágono regular é o comprimento do segmento de reta que une um dos vértices do heptágono ao ponto médio do lado oposto a esse vértice (por exemplo, o diâmetro do heptágono ABCDEFG é igual ao comprimento de CP ). Mostra que o diâmetro, arredondado às décimas, do heptágono ABCDEFG é 7,3 milímetros. Em cálculos intermédios, conserva, no mínimo, duas casas decimais. Grupo de Recrutamento 500 Matemática Página de 5
. O Luís coleciona caixas de fósforos, todas do mesmo tamanho, e decidiu construir um baú para guardar a sua coleção. O baú tem a forma de um paralelepípedo e a respetiva tampa tem a forma de uma pirâmide, como ilustra o esquema da Figura 3. Figura 3.1. As caixas de fósforos que o Luís coleciona têm a forma de paralelepípedos, de dimensões 4,5 cm3,cm 1,cm As caixas são colocadas, todas na mesma posição, dentro do baú. Investiga qual das posições indicadas, A ou B, deve o Luís utilizar para guardar o maior número possível de caixas de fósforos no baú (representado na Figura 3 pelo paralelepípedo ABCDEFGH ). Posição A Posição B Grupo de Recrutamento 500 Matemática Página 3 de 5
.. O Luís quer construir um compartimento secreto na tampa do baú para guardar uma caixa muito rara. Para tal vai colocar um teto, representado na Figura 4 pelo quadrilátero MNQP. Sabe-se que: O ponto T é o centro da base do paralelepípedo; KT 70 cm ; O ponto J é o centro do polígono MNQP ; Figura 4 KJ 7,5 cm Determina a área do teto representado pelo quadrilátero MNQP..3. Na Figura 5 está representado, num referencial o.m. Oxyz um sólido constituído pela pirâmide regular EFGHK e pelo paralelepípedo ABCDEFGH Sabe-se que: A origem do referencial coincide com o centro da face ABCD e a aresta AD é paralela ao eixo Oy Cada unidade no referencial corresponde a 1 cm. O vértice E tem de coordenadas 30, 50, 40 OK 70 Figura 5.3.1. Indica as coordenadas dos vértices D, F, G e K.3.. Indica as coordenadas do ponto simétrico de E em relação:.3..1. ao plano xoy ;.3... ao eixo Oz ;.3..3. à origem. Grupo de Recrutamento 500 Matemática Página 4 de 5
3. Um sistema de rega está ligado a um reservatório que contém água. A Figura 6 apresenta o gráfico da função f, que dá a quantidade de água no reservatório, em milhares de litros, t horas após o sistema de rega começar a trabalhar, durante um período de 10 horas. Figura 6 O sistema de rega começou a trabalhar às 8 horas. 3.1. Indica o domínio e o contradomínio da função f 3.. Qual é o volume de água no reservatório às 9 horas? 3.3. Enquanto o sistema de rega esteve ligado, a quantidade de água no reservatório diminuiu. Quanto tempo esteve ligado o sistema de rega? Apresenta o resultado em horas e minutos. 3.4. Durante quanto tempo o volume de água no reservatório foi inferior a 3500 litros? 3.5. Às 8 horas, o reservatório, com a forma de um cilindro, cuja base mede 1 metro de diâmetro, estava completamente cheio de água. Determina a altura do reservatório. Apresenta o resultado em metros, arredondado às décimas. Nota: 1litro 1dm 3 FIM Questão 1.1 1..1 1.. 1..3..1...3.1..3.. 3.1. 3.. 3.3. 3.4. 3.5. Total Cotação 16 16 16 16 18 16 5+5+5 10 5 15 15 0 00 Grupo de Recrutamento 500 Matemática Página 5 de 5