CADERNO DE ATIVIDADES DE GEOMETRIA PLANA DESENHO GEOMÉTRICO Aluno: nº: turma: Disciplina: Profº: data: Disciplina: Matemática QUESTIONÁRIO Professor: Cláudio Antônio Logomarca da escola Aluno (a): Série: Nº.: Turma: Data: 1 - Você já teve aula utilizando material de desenho? ( ) SIM ( ) NÃO 2 - Qual material você conhece e qual já utilizou? a) COMPASSO Conheço ( ) SIM ( ) NÃO Já utilizei ( ) SIM ( ) NÃO b) ESQUADRO 45 0 Conheço ( ) SIM ( ) NÃO Já utilizei ( ) SIM ( ) NÃO c) ESQUADRO 30 0 /60 0 Conheço ( ) SIM ( ) NÃO Já utilizei ( ) SIM ( ) NÃO d) TRANSFERIDOR e) RÉGUA 30 cm Conheço ( ) SIM ( ) NÃO Já utilizei ( ) SIM ( ) NÃO Conheço ( ) SIM ( ) NÃO Já utilizei ( ) SIM ( ) NÃO f) GABARITO (formas) Conheço ( ) SIM ( ) NÃO Já utilizei ( ) SIM ( ) NÃO
g) GABARITO (números) Conheço ( ) SIM ( ) NÃO Já utilizei ( ) SIM ( ) NÃO 3 - Você acha que seria importante este tipo de aula? ( ) SIM ( ) NÃO Por quê? 4 Você considera que traçar figuras poderia ter auxiliado no estudo de geometria? ( ) SIM ( ) NÃO 5 Você conhece alguém que tem ou teve aula de desenho geométrico? ( ) SIM ( ) NÃO 6 Você gostaria de ter aula de desenho geométrico, com construções utilizando os objetos da questão 2? ( ) SIM ( ) NÃO 7 Se utilizarmos algumas aulas extras, à tarde, qual seria seu grau de interesse? ( ) 100% a 80% ( ) 80% a 50% ( ) 50% a 30% ( ) menos de 30% 8 Faça um pequeno comentário sobre o assunto abordado neste questionário.
TEMA: Posições Relativas entre Retas TIPO: Sequência didática ATIVIDADE N o..1 OBJETIVO: Conhecer e construir co uso de instrumentos de desenho, todas as posições relativas entre duas retas no plano, auxiliando as construções geométricas espaciais. TEXTO INFORMATIVO: As preocupações mais fundamentais com o que se pode chamar hoje de geometria de posição, como posições relativas entre retas, surgiram provavelmente de observações como a percepção de caminhos ou de ruas paralelas ou perpendiculares, distância entre cidades, cruzamentos de vigas, etc. Os pitagóricos (séc. VI a.c.) foram os primeiros a desenvolver estudos teóricos sobre a geometria de posição para organizar o que ocorria na prática, tanto na civilização grega quanto em outras importantes, como a egípcia e a babilônica. Esses estudos foram sistematizados na obra Os elementos, do matemático grego Euclides. Esses conhecimentos são importantes para a própria Matemática e também para as demais áreas do conhecimento, onde retas e pontos tem papel importante na linguagem, realização e execução de projetos. Duas retas distintas irão assumir as seguintes posições relativas no espaço: Retas paralelas: duas retas são paralelas se pertencerem ao mesmo plano (coplanares) e não possuírem ponto de intersecção ou ponto em comum. (r // s) Retas coincidentes: pertencem ao mesmo plano e possuem todos os pontos em comum. (r = s) Retas concorrentes: duas retas concorrentes possuem apenas um ponto comum. Não é necessário que pertençam ao mesmo plano. (r X s)
Retas concorrentes: perpendiculares: são retas que possuem ponto em comum formando um ângulo de 90º. (r s) OBS: Se a perpendicular passar pelo ponto médio do segmento ela será uma mediatriz. MATERIAL NECESSÁRIO: - Compasso - Esquadro de 30 e 60 - Esquadro de 45 - Régua de 30 cm - Transferidor - Papel quadriculado DESENVOLVIMENTO: 1) TRAÇADO DE PARALELAS COM ESQUADROS Trace uma reta r em uma folha quadriculada. Posicione o esquadro de 45 com o lado maior alinhado com a reta traçada. Fixe o maior lado do esquadro de 60 em um dos lados do esquadro de 45. Deslize o esquadro de 45 sobre o esquadro de 60, traçando retas paralelas à reta r inicial. 2) TRAÇADO DE PARALELA COM COMPASSO Trace uma reta r e um ponto A fora dela em uma folha quadriculada. Posicione a ponta fixa do compasso no ponto A e trace um arco que intercepte a reta num ponto B pertencente à reta r. Posicione, agora, a ponta fixa do compasso no ponto B e, com o mesmo raio inicial, trace um arco que determine um ponto C na reta r. Posicionando agora, a ponta fixa do compasso em C, trace um arco que intercepte o arco inicial, obtendo o ponto D, interseção dos dois arcos ( o último e o primeiro). Trace uma reta que passe por A e D, que chamaremos de reta AD, paralela a reta r inicial.
3) TRAÇADO DE CONCORRENTES COM ESQUADRO Trace uma reta r na folha quadriculada. Posicionando um dos esquadros aleatoriamente, trace uma reta s que intercepte a reta r inicial, obtendo assim duas retas concorrentes. 4) TRAÇADO DE PERPENDICULARES COM ESQUADROS Trace uma reta r em uma folha quadriculada. Posicione o esquadro de 45 com o lado maior alinhado com a reta traçada. Fixe o maior lado do esquadro de 60 em um dos lados do esquadro de 45. Gire o esquadro de 45, com o esquadro de 60 fixo, apoiando agora o outro lado menor no esquadro de 60. Deslize o esquadro de 45 sobre o esquadro de 60 e trace, pelo maior lado do esquadro de 45, perpendiculares a reta r inicial. 5) TRAÇADO DE PERPENDICULAR COM COMPASSO Trace uma reta r na folha quadriculada e marque um ponto A sobre ela. Fixando a ponta fixa do compasso em A, trace dois arcos de mesmo raio, determinando na reta r dois pontos, B e C equidistantes de A. Fixando a ponta fixa do compasso em B e depois em C, trace dois arcos com raios iguais, porém com medida maior que AB, marque o ponto D, na interseção desses dois arcos. Trace uma reta ligando os pontos A e D, que chamaremos de AD, perpendicular a reta r inicial. 6) TRAÇADO DE UMA MEDIATRIZ Trace um segmento de reta AB na folha quadriculada. Posicione a ponta fixa do compasso nos pontos A e B, trace dois arcos (um acima e outro abaixo da reta) com raio maior que a metade do segmento, e obtenha os pontos C e D nas interseções desses arcos. Trace uma reta ligando os pontos C e D, ligando os pontos e obtenha uma reta CD perpendicular ao segmento AB inicial, que é a mediatriz do segmento. CONCLUSÃO: A partir do que foi estudado dê suas sugestões e/ou inferências sobre a atividade:
ATIVIDADE N o..2 TEMA: As cevianas e os pontos notáveis de um triângulo TIPO: Sequência didática OBJETIVO: Conhecer e construir com o uso de instrumentos de desenho, todas as cevianas (mediana, bissetriz, altura e mediatriz) e os pontos notáveis de um triângulo (baricentro, incentro, ortocentro e circuncentro), auxiliando as construções geométricas espaciais. TEXTO INFORMATIVO: Ceviana é um segmento de reta que liga um vértice do triângulo ao lado oposto correspondente ou ao do seu prolongamento. São exemplos de cevianas a Mediana, a Altura e a Bissetriz. O nome vem do matemático italiano Giovanni Ceva, que formulou o Teorema de Ceva, que dá condições para que três cevianas sejam concorrentes. O encontro de duas alturas no triangulo é o ortocentro. o encontro de três medianas é o baricentro, o encontro das três bissetrizes é o incentro. É importante destacar também a Mediatriz, que apesar de não ser um ceviana, tem como encontro das três mediatrizes dos três lados do triângulo o circuncentro. MEDIANA é o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. BISSETRIZ é o segmento da bissetriz de um ângulo interno que tem por extremidades o vértice desse ângulo e o ponto de encontro com o lado oposto. ALTURA é o segmento da perpendicular traçada de um vértice à reta suporte do lado oposto, cujos extremos são esse vértice e o ponto de encontro com essa reta. MEDIATRIZ é uma reta perpendicular a um segmento (no caso do triângulo, seu lado) pelo seu ponto médio, apesar de não ser uma ceviana, também um ponto notável no triângulo. INCENTRO de um triângulo é o ponto de encontro das três bissetrizes do triângulo. É também o centro da circunferência inscrita no triângulo. BARICENTRO (do grego - baros "peso", do latim - centrum "centro de gravidade") de um triângulo é também chamado de centro de gravidade ou centróide. É o ponto de encontro das três medianas de um triângulo. É também o ponto que divide cada mediana do triângulo em duas partes: um terço a contar do lado e dois terços a contar do vértice.
CIRCUNCENTRO de um triângulo é o ponto de encontro das mediatrizes dos lados do triângulo. O circuncentro pode ser interno ou externo ao triângulo. É também o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. ORTOCENTRO de um triângulo é o ponto de encontro das três alturas do triângulo. O ortocentro pode ser interno ou externo ao triângulo. OBS: Se os 4 pontos notáveis são colineares, o triângulo é isósceles. Se os 4 pontos notáveis coincidem, o triângulo é eqüilátero. MATERIAL NECESSÁRIO: - Compasso - Esquadro de 30 e 60 - Esquadro de 45 - Régua de 30 cm - Transferidor - Papel quadriculado
DESENVOLVIMENTO: 7) TRAÇADO DE MEDIANAS E DO BARICENTRO Trace um triângulo qualquer na folha com a régua de 30cm. Posicione a ponta fixa do compasso em um vértice e trace um arco com raio maior que a metade do lado, repita a operação para um vértice adjacente e marque o ponto de interseção dos dois arcos com o ponto A, ligue este ponto ao terceiro vértice e, obtenha no interior do triângulo um segmento chamado MEDIANA. Repita o procedimento para todos os vértices e encontre as três medianas, cada uma relativa a um vértice. Marque o ponto de interseção das três medianas com o ponto G, este é o baricentro. 8) TRAÇADO DE BISSETRIZES E DO INCENTRO Trace um triângulo qualquer na folha com a régua de 30cm. Posicione a ponta fixa do compasso em um dos três vértices e trace um arco que passe pelos dois lados adjacentes. Marque os pontos A e B nas interseções e, fixando a ponta fixa nesses pontos trace um arco por cada um deles e encontre o ponto de interseção C. Ligue o ponto C ao vértice, prolongando até o lado oposto obtem-se no interior do triângulo um segmento chamado BISSETRIZ. Repita o procedimento para todos os vértices e encontre as três bissetrizes, cada uma relativa a um vértice. Marque o ponto de interseção das três bissetrizes com o ponto I, este é o incentro. Trace a circunferência com centro em I e que tangencia um dos lados do triângulo. 9) TRAÇADO DE ALTURAS E DO ORTOCENTRO Trace um triângulo qualquer na folha com a régua de 30cm. Posicione o lado maior do esquadro de 45 em um lado do triângulo, em seguida posicione o esquadro de 60 em outro lado do esquadro de 45. Gire o esquadro de 45 no esquadro de 60 e trace uma perpendicular ao lado do triângulo passando pelo vértice oposto, obtendo no interior do triângulo um segmento chamado ALTURA. Repita o procedimento para todos os lados e encontre as três alturas, cada uma relativa a um lado. Marque o ponto de interseção das três alturas com o ponto O, este é o ortocentro. 10) TRAÇADO DE MEDIATRIZES E DO CIRCUNCENTRO Trace um triângulo qualquer na folha com a régua de 30cm. Posicione a ponta fixa do compasso em um vértice e trace um arco com raio maior que a metade do lado, repita a operação para um vértice adjacente e marque o ponto de interseção dos dois arcos com o ponto A. Em seguida, posicione o lado maior do esquadro de 45 nesse lado do triângulo, depois posicione o esquadro de 60 em outro lado do esquadro de 45. Gire o esquadro de 45 no esquadro
CONCLUSÃO: de 60 e trace uma perpendicular ao lado do triângulo passando pelo ponto A e, obtenha assim, no triângulo um segmento chamado MEDIATRIZ. Repita o procedimento para todos os lados do triângulo e encontre as três mediatrizes, cada uma relativa a um lado. Marque o ponto de interseção das três mediatrizes com o ponto C, este é o circuncentro. Trace a circunferência com centro em C e que passa por um dos vértices do triângulo. A partir do que foi estudado dê suas sugestões e/ou inferências sobre a atividade:
ATIVIDADE N o..3 TEMA: Polígonos regulares inscritos em uma circunferência TIPO: Sequência didática OBJETIVO: Conhecer e construir com o uso de instrumentos de desenho, todos os principais polígonos inscritos em uma circunferência de raio r, auxiliando as construções geométricas espaciais. TEXTO INFORMATIVO: Polígonos regulares inscritos na circunferência Polígono regular é todo polígono que possui lados e ângulos congruentes entre si. O nome de um polígono regular será dado de acordo com seu número de lados. Nomenclatura
POLÍGONOS CIRCUNSCRITOS E INSCRITOS Um polígono é dito circunscrito a uma circunferência, se os seus lados são tangentes à circunferência. Um polígono é dito inscrito em uma circunferência, se todos os seus vértices estão na circunferência. MATERIAL NECESSÁRIO: - Compasso - Esquadro de 30º e 60º - Esquadro de 45º - Régua de 30 cm - Transferidor - Papel quadriculado DESENVOLVIMENTO: 1) TRAÇADO DE UM TRIÂNGULO EQUILÁTERO Trace uma circunferência de raio r qualquer na folha com o compasso. Determine um ponto A qualquer na circunferência e trace o diâmetro AB, passando pelo centro O. Trace um arco de centro A e raio r e determine os pontos C e D na circunferência. Ligue com segmentos de reta os pontos B, C e D, obtendo o triângulo equilátero BCD. 2) TRAÇADO DE UM HEXÁGONO REGULAR Trace uma circunferência de raio r qualquer na folha com o compasso. Determine um ponto A qualquer na circunferência e trace o diâmetro AB, passando pelo centro O. Trace um arco de centro A e outro de centro B, ambos de raio r e determine os pontos C, D, E e F na circunferência. Ligue com segmentos de reta os pontos A, D, E, B, F e C, obtendo o hexágono regular ADEBFC. OBS: Os lados de um hexágono regular são iguais ao raio da circunferência 3) TRAÇADO DE UM QUADRADO Trace uma circunferência de raio r qualquer na folha com o compasso. Determine um ponto A qualquer na circunferência e trace o diâmetro AB, passando pelo centro O.
Trace a mediatriz de AB e determine os pontos C e D na circunferência. Ligue com segmentos de reta os pontos A, C, B e D, obtendo o quadrado ACBD. 4) TRAÇADO DE UM OCTOGONO REGULAR Trace uma circunferência de raio r qualquer na folha com o compasso. Determine um ponto A qualquer na circunferência e trace o diâmetro AB, passando pelo centro O. Trace a mediatriz de AB e determine os pontos C e D na circunferência. Posicione a ponta fixa do compasso nos pontos A, C, D e B e, trace arcos de forma a encontrar pontos de interseção externos, obtenha uma reta que passa pela interseção dos arcos e pelo centro, chamado bissetriz do ângulo, marcando na circunferência os pontos E, F, G e H. Ligue com segmentos de reta os pontos A, E, C, F, B, G, D e H, obtendo o octógono AECFBGDH. CONCLUSÃO: A partir do que foi estudado dê suas sugestões e/ou inferências sobre a atividade:
ATIVIDADE N o..4 TEMA: Isometria e Homotetia TIPO: Sequência didática OBJETIVO: Traçar figuras semelhantes a uma figura dada através de rotação, translação ou relexão e, conhecer a homotetia que é um processo de redução ou ampliação de figuras, auxiliando as construções geométricas espaciais. TEXTO INFORMATIVO: Isometria (termo muito utilizado no estudo de geometria) é uma transformação geométrica que, aplicada a uma figura geométrica, mantém constantes as distâncias entre seus pontos. Ou seja, os segmentos (lados) da figura transformada são geometricamente iguais aos da figura original, podendo ocorrer variação no sentido e na direção. Os ângulos mantêm também a sua medida. Existem isometrias simples e isometrias compostas. As isometrias simples podem ser rotações, translações e reflexões. O geómetra alemão Felix Klein sugeriu que a "simetria" (conceito que, em português, poderia ser traduzido por "isometria") seria o princípio organizador e unificador da geometria. Este é um princípio que dever ser provado através de teroremas e não simplesmente por postulados. No início estabeleceu um caminho a investigações sobre grupos relacionados com as "geometrias". Depois, gerou-se o termo "transformação geométrica" (aspecto da Nova Matemática, mas muito controverso na prática matemática atual). Este conceito é, hoje, aplicado de várias formas, como um modelo aplicado na resolução de vários problemas nes área matemáticas. Homotetia significa redução ou ampliação das distâncias dos pontos de um espaço em relação a um ponto fixo. Uma homotetia é definida pelo seu centro O e pela razão k de homotetia e é a aplicação afim tal que a cada ponto P faz corresponder o ponto P' tal que: O termo é devido ao matemático francês Michel Chasles, em 1827, derivado do grego como composto de homo (similar) e tetia (posição). Uma homotetia conserva: os ângulos; as razões entre os segmentos;a os segmentos e as linhas são transformados em segmentos e linhas paralelos aos primitivos.
MATERIAL NECESSÁRIO: - Compasso DESENVOLVIMENTO: - Esquadro de 30º e 60º - Esquadro de 45º - Régua de 30 cm - Transferidor - Papel quadriculado 1) CONSTRUÇÃO DO TRIÂNGULO A B C SIMÉTRICO AO TRIÂNGULO ABC Trace um triângulo ABC qualquer e uma reta vertical r, a direita do triângulo. Trace uma reta s perpendicular a r pelo ponto A. Com o compasso determine o ponto A em s tal que, a distância de A até r seja igual a distância entre A e r. Repita o processo para os pontos B e C, determinando B e C, nas retas t e u. Ligue os pontos A B, B C e A C, obtendo o triângulo semelhante a ABC. 2) CONSTRUÇÃO DE UM QUADRILÁTERO SIMÉTRICO POR ROTAÇÃO Trace um quadrilátero qualquer ABCD, por um dos vértices (por exemplo A) trace uma reta AA (para isso marque um ponto A na reta) com uma inclinação qualquer e, em seguida paralelas a ela pelos outros vértices. Nas paralelas traçadas, marque os pontos B, C e D com um compasso, tal que AA = BB = CC = DD. Trace A B, B C, C D e D A obtendo o quadrilátero A B C D, simétrico a ABCD. 3) CONSTRUÇÃO DE UM RETÂNGULO HOMOTÉTICO NA RAZÃO K =2 Trace um retângulo ABCD na folha, em seguida trace um ponto O à esquerda da figura. Trace retas que passam por O e pelos vértices do retângulo ABCD, no sentido da direita.
Utilizando o compasso, determine A em AO de modo que OA = 2. OA. Repita para os outros vértices, obtendo B, C e D. Ligue os pontos A, B, C e D, obtendo o retângulo homotético a ABCD. 4) CONSTRUÇÃO DE UM TRIÂNGULO HOMOTÉTICO NA RAZÃO K = -3 Trace um triângulo ABC na folha, em seguida trace um ponto O à esquerda da figura. Trace retas que passam por O e pelos vértices do triângulo ABC, no sentido da esquerda. Utilizando o compasso, determine A em AO de modo que OA = 3. OA. Repita para os outros vértices, obtendo B e C. Ligue os pontos A, B e C, obtendo o triângulo homotético a ABC.. CONCLUSÃO: A partir do que foi estudado dê suas sugestões e/ou inferências sobre a atividade:
APÊNDICE B - FOTOS TIRADAS NAS EXECUÇÕES DOS TRABALHOS DOS ALUNOS DA ESCOLA PILOTO
APÊNDICE C- FOTOS TIRADAS NAS EXECUÇÕES DOS TRABALHOS DOS ALUNOS DA ESCOLA PILOTO
APÊNDICE D - PROTOCOLOS DAS PÁGINAS 25 E 26
APÊNDICE E - PROTOCOLOS DA PÁGINA 63
APÊNDICE F - PROTOCOLOS DA PÁGINA 67
APÊNDICE G - PROTOCOLOS DA PÁGINA 71
APÊNDICE H - PROTOCOLOS DA PÁGINA 74 E 75